Transformações lineares – Núcleo e imagem

TRANSFORMAÇÕES
LINEARES
Álgebra Linear
Graduação em Engenharia Mecatrônica
2ª fase – 2016/2
Professor Gustavo Bérti
Transformação linear:
T: U → W
U é o domínio
W é o contradomínio
Para qualquer u e v do domínio temos:
● T(0) = 0;
● T(u + v) = T(u) + T(v);
● T(kv) = kT(v) , k constante real.
Representações da transformação linear
●
●
●
LEI DA TRANSFORMAÇÃO:
Ex.: T: R³ → R²
T(x, y, z) = (3x + y, -2x – y + z)
FORMA MATRICIAL:
Ex.:
MATRIZ QUE DEFINE A TRANSFORMAÇÃO:
Ex.:
Definindo a transformação a partir de
alguns elementos da imagem
→ É preciso conhecer a imagem de elementos que formam uma
base
para para o domínio.
→ Numa transformação linear do tipo Rn → Rm é preciso
conhecer a imagem de n vetores que formam um conjunto LI.
Definindo a transformação a partir de
alguns elementos da imagem
Seja {v1, v2, …, vn} uma base para o Rn.
Qualquer vetor v do Rn pode ser escrito como:
v = av1+ bv2 …+ zvn
T(v) = T (av1+ bv2 …+ zvn)
Pelas propriedades das transformações lineares:
T(v) = aT(v1) + bT(v2) + … + cT(vn)
Basta descobrir a relação entre a, b, c (coordenadas de v na
base {v1, v2, …, vn} e x, y, z (vetor v na base canônica).
Definindo a transformação a partir de
alguns elementos da imagem
EM PARTICULAR, se conhecermos a imagem dos vetores da
base canônica do domínio fica fácil definir a transformação
linear.
Exemplo:
T(1, 0) = (#, $, &)
T(0, 1) = (@, !, ¬)
T(x, y) = aT(1, 0) + bT(0, 1)
Mas {(1, 0), (0, 1)} é a base canônica então a e b já são as
coordenadas do vetor de entrada do domínio:
T(x, y) = x(#, $, &) + y(@, !, ¬) = (#x + @y, $x + !y, &x + ¬y)
Imagem da transformação linear
Imagem da transformação linear
EXEMPLO A:
Qual a imagem de T(x, y) = (x + y, x – y, x – 2y)?
Ou seja, como são os vetores (a, b, c) tais que:
(x + y, x – y, x – 2y) = (a, b, c)?
Imagem da transformação linear
EXEMPLO A:
Qual a imagem de T(x, y) = (x + y, x – y, x – 2y)?
Sabendo que a imagem é um subespaço vetorial do
contradomínio, como conseguimos uma base para Im(T)?
Qual a dimensão de Im(T)?
Qualquer vetor do contradomínio pertence à Im(T)?
(0, 2, 1) pertence à Im(T)?
(2, 0, -1) pertence à Im(T)?
Imagem da transformação linear
EXEMPLO B:
Qual a imagem de T(x, y, z) = (x + y + z, x + 2y – z, 2x + 3y)?
Sabendo que a imagem é um subespaço vetorial do
contradomínio, como conseguimos uma base para Im(T)?
Qual a dimensão de Im(T)?
Qualquer vetor do contradomínio pertence à Im(T)?
(0, 2, 1) pertence à Im(T)?
(3, 2, 5) pertence à Im(T)?
Imagem da transformação linear
EXEMPLO C:
Qual a imagem de T(x, y, z, t) = (2x, x + 2y – z, x – y + z + t)?
Sabendo que a imagem é um subespaço vetorial do
contradomínio, como conseguimos uma base para Im(T)?
Qual a dimensão de Im(T)?
Qualquer vetor do contradomínio pertence à Im(T)?
(777777770, -1895, e) pertence à Im(T)?
Transformação linear
sobrejetora
●
Todo elemento do contradomínio é
imagem, ou seja, a dimensão da imagem
é igual a do contradomínio.
Núcleo da transformação linear
Núcleo da transformação linear
EXEMPLO A:
Considerando a transformação
T(x, y) = (x + y, x – y, x – 2y):
Im
Qual o núcleo? (Nomenclatura: ker(T))
Sabendo que o núcleo é um subespaço vetorial do
contradomínio, como conseguimos uma base para ker(T)?
Qual a dimensão de ker(T)?
Núcleo da transformação linear
EXEMPLO B:
Considerando a transformação
T(x, y, z, t) = (2x, x + 2y – z, x – y + z + t):
Qual o núcleo?
Sabendo que o núcleo é um subespaço vetorial do
contradomínio, como conseguimos uma base para ker(T)?
Qual a dimensão de ker(T)?
Transformação linear
injetora
●
●
Cada elemento do domínio tem uma única imagem associada.
Basta observa ser kerT é composto apenas pelo vetor nulo.
Teorema do Núcleo e da
Imagem
dim Contradomínio
= dim ker(T) + dim Im(T)
Teorema do Núcleo e da
Imagem
CONSEQUÊNCIA:
Transformação linear
bijetora
●
Transformação linear que é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
Definindo transformações
lineares a partir do núcleo
Exemplo:
Definindo transformações
lineares a partir da imagem
Exemplo: