21/03/2012

Problemas
21/03/2012
Problema 1
Uma partícula possui uma aceleração constante
nula e o vetor posição é
r~0 = (10m) î.
2
2
~a = 6m/s î + 4m/s ĵ .
No tempo
t = 0,
a velocidade é
(a) Determine os vetores velocidade e posição em qualquer tempo
t.
(b)
Obtenha a equação da trajetória da partícula no plano xy e esquematize-a.
Solução
(a)
A aceleração é constante, portanto o movimento é uniformemente variado, e podemos escrever as equações:
~v = v~0 + ~at
h
i
~v = ~0 + (6) î + (4) ĵ · t
~v = (6t) î + (4t) ĵ
~r = r~0 + v~0 t +
h
h
i
~r = (10) î + ~0 +
~at2
2
i
(6) î + (4) ĵ · t2
2
h
i
h
i
~r = (10) î + ~0 + (3) î + (2) ĵ · t2
~r = 10 + 3t2 î + 2t2 ĵ
(b)
Como mostramos no item (a), as componentes do vetor posição (~
r) são:
x = 10 + 3t2
y = 2t2
Para obter a equação da trajetória, é necessário expressar
pode ser feito primeiramente expressando
t
em função de
y
x:
x = 10 + 3t2
t2 =
E depois substituindo na expressão de
x − 10
3
y:
y = 2t2
1
em função de
x,
e não mais em função de t. Isso
y=
2
(x − 10)
3
6
5
4
3
2
1
12
14
16
18
20
Problema 2
Maria e Roberto decidem encontrar-se no lago Michigan.
Maria parte em seu barco de Petoskey às 9:00 da
manhã e navega para o norte a 8 mi/h. Roberto deixa sua casa na margem da ilha de Beaver, 26 mi,
30◦
a
noroeste de Petoskey às 10:00 da manhã e se move com velocidade constante de 6 mi/h. (a) Qual é a direção
que Roberto deve tomar para interceptar Maria? (b) Onde e quando eles se encontrarão?
Solução
Adote
î
na direção leste e
ĵ
na direção norte. Adote a origem do sistema de coordenadas em Petoskey.
Norte(y)
ponto de
encontro
Ilha de Beaver
26
i
m
°
30
Leste(x)
Petoskey
A posição inicial de Maria, em Petoskey, é dada pelo vetor posição:
rM
~ 0 = ~0
A posição inicial de Roberto, na ilha de Beaver, é dada pelo vetor posição:
h
◦
◦
i
r~R0 = 26 · (− sin 30 ) î + (cos 30 ) ĵ =
1
−26
2
î +
√ !
√ 3
26
ĵ = (−13) î + 13 3 ĵ
2
Tanto o módulo (8 mi/h) como a direção e sentido (norte) da velocidade de Maria são dados pelo enunciado.
O vetor pode ser representado da seguinte forma:
v~M = 8 ĵ
2
Apenas o módulo (6 mi/h) da velocidade de Roberto é dado pelo enunciado. A direção e o sentido não são
conhecidos. Se representarmos a direção e o sentido pelo ângulo
θRx
(a ser determinado), o vetor velocidade é
expresso da seguinte forma:
h
i
v~R = 6 · (cos θRx ) î + (sin θRx ) ĵ
Considere o instante
t=0
como ocorrendo às 9:00 da manhã. Tanto Maria como Roberto se movem com
velocidade vetorial constante (movimento uniforme), portanto podemos escrever as equações de posição da
seguinte forma:
r~M = rM
~ 0 + v~M t = ~0 + 8 ĵ · t
r~M = (8t) ĵ
h
i
√ r~R = r~R0 + v~R (t − 1) = (−13) î + 13 3 ĵ + 6 · (cos θRx ) î + (sin θRx ) ĵ · (t − 1)
√
r~R = (−13 + 6 cos θRx (t − 1)) î + 13 3 + 6 sin θRx (t − 1) ĵ
Acima, utilizamos
(t − 1) como variável de tempo
t = 1 ⇒ (t − 1) = 0.
de Roberto para corrigir o fato de que ele saiu 1h mais
tarde que Maria. Note que
r~M = r~R :
√
(0)î + (8t) ĵ = (−13 + 6 cos θRx (t − 1)) î + 13 3 + 6 sin θRx (t − 1) ĵ
No instante em que Roberto intercepta Maria, temos
Igualando as componentes de mesma direção do lado esquerdo e do lado direito da equação, temos um
sistema de duas equações e duas incógnitas (t e
θRx ):
= −13 + 6 cos θRx (t − 1)
√
8t = 13 3 + 6 sin θRx (t − 1)
0
Por que não determinar primeiro o θRx ?
O melhor caminho para resolver este problema
não
é, como primeiro passo, determinar a direção que Roberto
deve tomar para interceptar Maria. Para tentar calcular o ângulo
isolar
t
θRx ,
que dá a direção de Roberto, vamos
na primeira equação do sistema:
0 = −13 + 6 cos θRx (t − 1)
6 cos θRx (t − 1) = 13
t=1+
13
6 cos θRx
E substituir, então, na segunda equação do sistema, a m de obter uma equação envolvendo somente
θRx :
√
8t = 13 3 + 6 sin θRx (t − 1)
8 1+
13
6 cos θRx
√
= 13 3 + 6 sin θRx
13
6 cos θRx
√
8
4
+
= 3 + tan θRx
13 3 cos θRx
√
4
8
sec θRx − tan θRx = 3 −
3
13
A equação acima é transcendental. Caso resolvida com o auxílio de um computador, obtemos dois valores
possíveis de
θRx : 14, 65◦
e
69, 04◦ .
Entretanto, existe uma forma de resolver este problema sem utilizar um
computador, que será descrita a seguir.
3
Calculando primeiramente o tempo de encontro (t)
Se tentarmos resolver o sistema determinando primeiramente
t
em vez de
θRx ,
chegaremos a uma equação de
segundo grau, que pode ser resolvida com uma calculadora comum. Para isso, isolaremos
cos θRx
e
sin θRx
no
sistema de equações:
13
6 (t − 1)
√
8t − 13 3
=
6 (t − 1)
0 = −13 + 6 cos θRx (t − 1)
⇒
cos θRx =
√
8t = 13 3 + 6 sin θRx (t − 1)
⇒
sin θRx
Utilizamos, então, a conhecida relação trigonométrica:
2
2
(sin θRx ) + (cos θRx ) = 1
√ !2 2
13
8t − 13 3
+
=1
6 (t − 1)
6 (t − 1)
√
64t2 − 208 3t + 507 + (169)
=1
36t2 − 72t + 36
√
64t2 − 208 3t + 676 = 36t2 − 72t + 36
√ 28t2 + 72 − 208 3 t + 640 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau acima, obtemos dois valores possíveis para
t=
√
−72 + 208 3 ±
t:
√ 2
72 − 208 3 − 4 · 28 · 640
2 · 28
t1 = 3, 240h
Já os dois valores possíveis de
q
(às 12:14:22)
θRx
e
t2 = 7, 056h
(às 16:03:21)
podem ser calculados a partir de uma das duas equações do sistema, por
exemplo:
13
6 (t − 1)
13
= arccos
6 (t − 1)
cos θRx =
θRx
θRx1 = 14, 65◦
e
θRx2 = 69, 04◦
O local onde eles se encontram pode ser obtido de uma das expressões dos vetores posição (r~
M ou
que
r~M
é muito mais fácil de calcular):
r~M = (8t) ĵ
~rencontro1 = (8 · t1 ) ĵ = (25, 92 mi) ĵ
~rencontro2 = (8 · t2 ) ĵ = (56, 45 mi) ĵ
4
r~R ,
sendo
Solução alternativa
É possível resolver o problema, também, de forma geométrica.
Norte(y)
ponto de
encontro
Ilha de Beaver
26
i
m
°
30
8mi
Leste(x)
Petoskey
Primeiramente, determinamos as coordenadas da ilha de Beaver:
h
◦
i
◦
r~B = 26 · (− sin 30 ) î + (cos 30 ) ĵ =
1
−26
2
î +
√ !
√ 3
ĵ = (−13) î + 13 3 ĵ
26
2
Desta forma, passamos a saber o comprimento dos catetos do triângulo-retângulo cuja hipotenusa liga Beaver
a Petoskey. Agora podemos calcular o ângulo
1h antes de Roberto (consideramos
hipotenusa é
t = 0
α
e a distância
às 10:00).
dB
corrigidas devido ao fato de Maria ter partido
Para isso, vamos trabalhar no triângulo-retângulo cuja
dB .
√
2
2
d2B = 13 3 − 8 + (13)
tan α =
Da gura, notamos que o ângulo
Seja o ângulo
γ = θRx + β .
13
√
13 3 − 8
⇒
dB = 19, 4868mi
α = 41, 8452◦
⇒
β = 90◦ − α = 48, 1548◦ .
Agora, podemos utilizar a Lei dos Senos no triângulo cujos lados são
sin α
sin γ
=
6t
8t
⇒
sin γ =
4
sin α
3
⇒
γ = arcsin
8t, 6t e dB :
4
sin (48, 1548◦ )
3
γ = arcsin (0, 889493) = 62, 8096◦
arcsin da calculadora só retorna ângulos entre 0◦
◦
ângulo γ = θRx + β seja maior que 90 . Perceba que:
Entretanto, note que a função
geometria do problema, que o
e
90◦ .
Nada impede, na
sin (180◦ − γ) = sin (180◦ ) cos (γ) − sin (γ) cos (180◦ ) = sin (γ)
O fato de que
sin (180◦ − γ) = sin (γ)
também pode ser percebido observando um ciclo trigonométrico. Isso
mostra que devemos considerar, além do ângulo
Como
γ = θRx + β ,
γ,
o ângulo
γ 0 = 180◦ − γ = 117, 1904◦ .
podemos calcular:
θRx = γ − β = 62, 8096◦ − 48, 1548◦ = 14, 65◦
0
θRx
= γ 0 − β = 117, 1904◦ − 48, 1548◦ = 69, 04◦
O tempo de encontro pode ser calculado utilizando o triângulo-retângulo cuja hipotenusa tem comprimento
6t:
cos θRx =
13
6t
⇒
5
t=
13
sec θRx
6
t=
13
sec (14, 6548◦ ) = 2, 240h
6
(às 12:14:22)
t0 =
13
sec (69, 0356◦ ) = 6, 056h
6
(às 16:03:21)
Sabe-se que a coordenada x do ponto de encontro é zero. A coordenada y do ponto de encontro pode ser
calculada por
y = 8 + 8t:
y = 8 + 8 · 2, 240 = 25, 92mi
y 0 = 8 + 8 · 2, 240 = 56, 45mi
Citações
Os problemas foram baseados em trechos do livro Física, volume
utilizados aqui somente para ns de estudo, crítica ou polêmica.
6
1, 5a
edição, de Tipler & Mosca, sendo