Gabarito - Professores da UFF

VE-1 MATEMÁTICA BASICA
03 DE JUNHO DE 2013
PROFESSOR MARCO
(1) (2 pts) Negue as seguintes afirmações:
(i) Para todo número real x existe um número intéiro n tal que n > x.
(ii) Se um número natural n é multiplo de 10, então n é par.
Solução: (i) Existe um número real x tal que para todo intéiro n tem-se
n ≤ x.
(ii) Existe um número natural n multiplo de 10 e impar.
(2) (3 pts) Usando oportunos axiomas e algumas propriedades dos números
reais discutidos nas aulas, prove que
(i) dados a, b, x ∈ R tem-se as seguintes duplas implicações:
x2 − (a + b)x + ab = 0 ⇔ (x − a)(x − b) = 0 ⇔ x = a ou x = b.
(ii) Seja n um número natural. Temos
n é divisivel por 2 ⇒ an ≥ 0 para todo a ∈ R
Solução: (i) Temos
(x−a)(x−b) = 0
distribut.
⇔
(x−a)x−(x−a)b = 0
comutat.
⇔ x2 − ax − bx + ab = 0
De outro lado temos
(x − a)(x − b) = 0
distribut.
⇔
⇔
x2 −ax−xb+ab = 0
x2 − (a + b)x + ab = 0.
lei anulamento do produto
⇔
distribut.
x − a = 0 ou x − b = 0
oposto de um número
⇔
x = −(−a) = a ou x = −(−b) = b
(ii) Se n é divisı́vel por 2, temos que
an = a2 · a2 · · · a2 ,
n/2 vezes
i.e., an é produto de n/2 vezes a2 . Se a > 0, pelo segundo axioma de ordem
a2 , e portanto an , são positivos. Se a = 0, logo an = 0. Se a < 0, sabemos
que −a > 0, logo usamos o segundo axioma de ordem: (−a)·(−a) = a·a = a2
é positivo e também an é positivo. Em todo caso, an ≥ 0.
(3) (3 pts) Diga se cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou
falsa. Se verdadeira, prove. Se falsa, encontre um contra-exemplo.
(i) Se A, B e C são dois conjuntos, então
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
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PROFESSOR MARCO
(ii) Não existem números naturais perféitos. (Um número natural n se
diz perféito se a soma dos números naturais que dividem n, incluindo 1 e n,
é igual á 2n.)
Solução: (i) Verdadeira, de fato:
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A e (x ∈ B ou x ∈ C) ⇔
⇔ (x ∈ A e x ∈ B) ou (x ∈ A e x ∈ C) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(ii) Falsa, de fato basta considerar o número natual n = 6: os divisorer
de 6 são 1, 2, 3, 6, que somam a 2n = 12.
(4) (2 pts) Seja U um conjunto universo. Lembre que, dado um subconjunto A de U , se denota
Ac = U \ A = {u ∈ U tais que u 6∈ A}.
Dados subconjuntos A e B de U define a soma de A e B como
A + B := (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c .
Prove que:
(i) Existe um único elemento neutro da soma definida acima, isto é um
único subconjunto 0 de U tal que A + 0 = A = 0 + A para todo subconjunto
A de U .
(ii) Dado um subconjunto A de U , mostre que existe um único oposto de
A, isto é existe um único subconjunto −A de U tal que A + (−A) = 0.
Solução: (i) Define 0 := ∅, o conjunto vazio. Para todo subconjunto A
de U temos
(0.1) A + 0 = (A ∪ 0) ∩ (A ∩ 0)c = (A ∪ ∅) ∩ (A ∩ ∅)c = A ∩ Ac = ∅ = 0.
Analogamente, temos 0 + A = 0. Para mostrar a unicidade, suponha que 00
seja um subconjunto de A tal que
A + 00 = 00 = 00 + A,
(0.2)
para todo subconjunto A de U . Suponha por contradição que 0 6= 00 . Colocando A = 00 na (0.1) e A = 0 na (0.2), obtemos
0 = 00 + 0 = 00 ,
que é uma contradição.
(ii) Define −A := A. Temos
A + (−A) = (A ∪ A) ∩ (A ∩ A)c = A ∩ Ac = ∅ = 0.
Suponha que B seja um subconjunto de A tal que A + B = 0. Suponha
por contradição que B 6= −A. Logo, usando que a soma definida acima é
claramente associativa, obtemos
−A = −A + 0 = −A + (A + B) = (−A + A) + B = 0 + B = B
que é uma contradição.