Lista 1 - Matemática I – Cálculo I

Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
22. Circunferência trigonométrica.
Se inserirmos numa circunferência de raio unitário (r = 1) os eixos do
sistema cartesiano ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano
coincida com o centro da circunferência, que seja fixado um ponto A (1,0)
chamado de origem dos arcos, de onde, como o nome
sugere, são determinados arcos com início nesse
ponto. Podemos visualizar os arcos com o ponto A
fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se desloca no
sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o
ponto P se desloca no sentido horário o arco tem
medida negativa.
Para as funções trigonométricas precisamos de
domínio real, assim, os ângulos serão convertidos
em radianos para equivaler a uma unidade de medida,
ou seja, um número real.
Para medir o comprimento de um arco de círculo
subentendido por um ângulo, , em radianos:
S= r
Se r = 1, tem-se, S =  .
OP = r = 1
 =

4
̂) =
comp(𝐴𝑃
̂=
med(𝐴𝑄)
rad
̂ =
med(𝐴𝑃)
Observações:

Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado
no sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco;
 Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma
regra de três simples, fazendo a correspondência  rad – 180º;
 Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro
quadrantes, numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos
arcos de acordo com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir
(complete):
Em graus:
Em radianos:
IQ:
____ <  < ________
IQ:
____ <  < ________
IIQ: ____ <  < ________
IIQ: ____ <  < ________
IIIQ: ____ <  < ________
IIIQ: ____ <  < ________
IVQ: ____ <  < ________
IVQ: ____ <  < ________
II
I
O
III
IV
Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido
também a arcos maiores que 360º ou 2 rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel"
completando mais de uma volta.
A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta.
Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um
número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se  e  são côngruos:
Em radianos:  -  = 2n , n  ℤ.
Em graus:  -  = 360ºn , n  ℤ.
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23. Função Cosseno.
Para determinar a função cosseno:
f: ℝ  ℝ
y = cosx
Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar
o eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo
ox, será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa
do ponto C, ou seja,
cosx = xc
A
definição
de
cosseno
na
circunferência
trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna
esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só aparece ângulos
agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º. Agora podemos
definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo, maior que 360º
ou menor que  360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos.
Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto
C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da
origem.
Quadrante
I
II
III
IV
Sinal
Crescimento
Variação
Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro
quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para
facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo
que arcos sejam em radianos.
(a) cos120º
(b) cos245º
(c) cos278º
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(d) cos335º
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Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo,
vistos no arquivo H, continuam valendo.
23.1. Gráfico Função Cosseno.
As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número
real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar uma volta a função passa
a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido
horário.
O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período.
A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude.
Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada
unidade de tempo.
Na função cosseno básica:
p = 2
A = 1
f = 1
Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados:
f: ℝ  ℝ
y = acos(bx+c)+d
Período
Amplitude
Frequência
Imagem
y = acos(x)
y = cos(bx)
y = cos(x+c)
y = cos(x) + d
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y = acos(bx+c)+d
Exemplo: Esboce o gráfico da função
f: ℝ  ℝ


y  3 cos 2x    2
4

24. Função Seno.
Para determinar a função cosseno:
f: ℝ  ℝ
y = senx
Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o
eixo oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy,
será o ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto
S, ou seja,
senx = ys
A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a
definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente,
assim como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir
o sinal positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto
S estiver abaixo da origem.
Quadrante
Sinal
I
II
III
IV
Crescimento
Variação
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Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos do primeiro
quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para
facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo
que arcos sejam em radianos.
(a) sen120º
(b) sen245º
(c) sen278º
(d) sen335º
24.1. Gráfico Função Seno.
Na função seno básica:
p = 2
A = 1
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f = 1
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Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem
abaixo.
Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções

seno e cosseno, fazendo c =
em uma das funções, os gráficos coincidem.
2
Qualquer variação na função seno, esses parâmetros são alterados:
f: ℝ  ℝ
y = asen(bx+c)+d
Período
Amplitude
Frequência
Imagem
y = asen(x)
y = sen(bx)
y = sen(x+c)
y = sen(x) + d
y = asen(bx+c)+d
Exemplo: Esboce o gráfico da função
f: ℝ  ℝ

x
y  2sen    2
3
2
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25. Exercícios.
1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:
(a) cos 99º
 7 
(e) cos  
(b) cos301º
 5 
 17 
(f)
cos610º
(c) cos 

 18 
 21 
(g) cos 

(d) cos195º
 2 
330º
2
5
3
315º
5
4
270º

7
6
150º
120º
3
4
240º

3
90º
0

6
45º
x
(º)
x
(rad)
2-Preencha a tabela abaixo:
cosx
senx
3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos:
(a) cos310º  cos50º = 0
(g)
(b) cos66º = 2cos33º
(c) cos 955º > cos 235º
(h)
(d) cos 31º < cos 49º
(e) cos 128º < cos179º
(i)
(f) cos 203º > cos 261º
(j)
 3 
 31 
 = cos 

 7 
 7 
cos 
cos33º =  cos147º
cos161º = cos19º
cos358º = cos2º
4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:
(a) sen345º
(b) sen 127º
(c) sen 256º
(d) sen 872º
5- Associe o valor de cada seno, com um arco do primeiro quadrante:
(a) sen234º
(i) sen 210º
(b) sen 156º
(j) sen 225º
(c) sen283º
(k) sen 240º
(d) sen301º
(l) sen300º
(e) sen120º
(m) sen315º
(g) sen135º
(n) sen 330º
(h) sen 150º
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6-Preencha as lacunas com >,
(a) sen 15º ___ sen 67º
(b) sen 125º ___ sen 186º
(c) sen 231º ____ sen 129º
(d) sen 171º ____ sen 305º
5
5
(e) sen   ____ sen  
 3 
 6 
(f) sen 123º ___ sen 690º
< ou =:
11 

 6 
(g) sen 
5 

 3 
____ sen 
(h) sen 123º ____ sen 843º
(i) sen 234º ____ sen 280º
(j) sen 79º ____ sen 101º
5
7
(k) sen   ____ sen  
 4 
 4 
7- Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de
variável real abaixo:
(a) y = 5cos(2x) +3
(b) y = 6sen(5x)-6
x

(c) y  2 cos  
3
7
2x
5 
(d) y  7sen

 4
4 
 3
26. Respostas dos exercícios do item 20.
1-
5
e
6
11
6
2- senx =
25
25
7
24
24
, cossecx =
, secx =
, tanx =
, cotanx =
24
7
24
7
25
3- 2 3
4- 2 2
5- 65 3
6- 3 3 +7
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