Séries numéricas - MAT-UnB

Análise na Reta - Verão UFPA
3a lista - Séries numéricas
A lista abaixo é formada por um subconjunto dos exercı́cios dos seguintes livros:
• Djairo G. de Figueiredo, Análise na reta
• Júlio S.A. Corrêa, Introdução à Análise Real
• Elon L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1
Você deve encará-la como uma lista mı́nima, uma vez que quanto mais exercı́cios fizer, melhor
vai ser o seu entendimento acerca dos conteúdos do curso.
Os itens precedidos pelo sı́mbolo (vı́deo) são aqueles para os quais existe material adicional
em vı́deo. Na maior parte dos casos o exercı́cio (ou parte dele) é resolvido no vı́deo, enquanto
em outros temos algum tipo de explicação que pode ser útil na resolução. O link para os
vı́deos podem ser encontrados no sı́tio: www.mat.unb.br/furtado/veraoufpa.htm
Uma última observação é que, na maior parte dos itens, você vai encontrar uma afirmação
no enunciado. Nesse caso, o que você deve fazer é provar a veracidade dessa afirmação.
Assim, vamos sempre que possı́vel suprimir a expressão ”Mostre que”.
1. (Séries telescópicas) Considere an =
1
n(n+1)
A
n
(a) Determine A, B ∈ R tais que an =
e resolva os itens a seguir.
+ Bn .
(b) Use o item anterior para calcular o termo geral da soma parcial sn = a1 + a2 +
· · · + an .
P
(c) Conclua que
an = 1.
P
1
(d) Usando a soma acima, mostre que 1 < ∞
n=1 n2 < 2.
P
1
1
(e) Argumentando como nos 2 primeiros itens mostre que ∞
n=1 4n2 −1 = 2
2. Uma série de termos não-negativos é convergente se, e somente se, a sequência das
somas parciais é uma sequência limitada.
P
P 2
3. Se
an converge e an ≥ 0, então
an também converge. Dê um exemplo para
mostrar que a condição an ≥ 0 não pode ser retirada.
4. Se as séries de termos nao-negativos
P
com a série
an bn .
P
an e
1
P
bn convergem, entao o mesmo ocorre
P
P
5. (Teste da Comparação) Sejam
an e
bn séries de termos não-negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que an ≤ cbn para todo n ≥ n0 , então a convergência de
P
P
P
bn implica a convergência de
an , enquanto que a divergência de
an implica a
P
divergência de
bn .
P
P
6. (vı́deo) Sejam
an e
bn duas séries de termos positivos e suponha que
0 < lim
n→∞
an
< ∞.
bn
Então, uma das seguintes alternativas ocorre: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
P
P √an
7. (vı́deo) Se a série de termos positivos
an converge, então
também converge.
n
3 9 27
+ +
+ ···.
2 4
8
8.
(vı́deo)
Estude a convergência da soma 1 +
9.
(vı́deo)
Estude a convergência das série a seguir:
√
∞
∞
X
n n + 1 X 10
,
.
n2 − 3
3n + 1
n=1
n=1
10.
(vı́deo)
Estude a covergência das séries a seguir:
X
∞ ∞
∞
X
X
2n − 1
2n
1
1
p
√
−
,
,
.
√
2n
+
1
2n
n
+
n
−
1
n(2n
+
1)
n=1
n=1
n=2
P
P a2n
11. Se an ≥ 0 e
an converge, então a série
também converge. Se a primeira
1+a2n
divergir, então a segunda pode convergir ou divergir.
P
an
12. Se an ≥ 0, então a série
converge.
1 + n 2 an
P
13. (Teste da Razão) Considere a série
an e suponha que existe o limite
an+1 .
l = lim n→+∞
an Então
(a) se l < 1 então a série é absolutamente convergente;
(b) se l > 1 então a série é divergente;
(c) se l = 1 o teste é inconclusivo .
14.
Para quais valores de a pode-se usar o Teste da Razão para estudar a conP
an n!
vergência da série ∞
n=1 nn ?
(vı́deo)
2
15. (Teste da Raiz) Considere a série
P
an e suponha que an ≥ 0 e existe o limite
l = lim
n→+∞
√
n
an .
Então
(a) se l < 1 então a série é absolutamente convergente;
(b) se l > 1 então a série é divergente;
(c) se l = 1 o teste é inconclusivo .
16. (Teste da integral) Suponha que f : [1, +∞) → [0, +∞) é uma função não-crescente.
Z ∞
P∞
Então a série n=1 f (n) converge se, e somente se, a integral imprópria
f (x)dx
1
converge.
17.
(vı́deo) Use o exercı́cio anterior para analisar
P∞ 1
n=1 na com respeito aos diversos valores de
a convergência ou divergência da série
a ∈ R.
P
18. Se (an ) é tal que an → +∞ então a série (an+1 − an ) converge enquanto a série
P 1
1
− an+1
diverge. Conclua que a primeira série abaixo converge, enquanto a
an
segunda diverge
X
∞ ∞
X
1
1
1
−
,
,
log 1 +
a
a
n
(n
+
1)
n
n=1
n=1
em que a > 0.
19. Considere uma sequência (an ) tal que a1 ≥ a2 ≥ a3 . . . e an → 0. Nesse caso, a
P
n+1
an é convergente! Para mostrar esse fato, observe que as
série alternada ∞
n=1 (−1)
reduzidas de ordem par podem ser escritas tanto na forma s2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) +
· · · + (a2n−1 − a2n ) como na forma s2n = a1 − (a2 − a3 ) − . . . (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n .
Analogamente para as reduzidas de ordem impar, onde se tem ainda que s2n+1 =
s2n + a2n+1 .
(a) Justifique a afirmação de que (s2n ) é uma sequência não-decrescente.
(b) Obtenha números a e b tais que a ≤ s2n ≤ b, e conclua que existe s = lim s2n .
(c) Justifique a afirmação de que (s2n+1 ) é uma sequência não-crescente.
(d) Verifique que (s2n+1 ) é limitada inferiormente, e conclua que existe i = lim s2n+1 .
(e) Finalmente, verifique que s = i para concluir que a série altenada é convergente.
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