089400 - Séries e Equaç˜oes Diferenciais Terceira - DM

089400 - Séries e Equações Diferenciais
Terceira lista de exercı́cios
Prof. Marcelo José Dias Nascimento
8 de setembro de 2015
1. Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
a)
∞
X
1
xn
n+4
n=0
e)
∞
X
ln n
n3
n=2
i)
x
n=0
n
f)
j)
2n
2
xn
n
∞
X
n+1
n=0
∞
X
(x + 3)n
n=0
∞
X
n2
b)
∞
X
10n
c)
n
(x − 4)
g)
∞
X
(−1)n−1 n
√
x
n
n=1
∞
X
n=0
nn (x − 3)n
k)
n=1
d)
∞
X
n=2
n2
n
xn
+1
∞
X
(−1)n+1 2n−1
h)
x
(2n − 1)!
1
x2n+1
(−4)n
n=1
∞
X
n! n
x
nn
l)
∞
X
ln n
(x − 5)n
n+1
n=1
n=1
2. Determine o raio de convergência das seguintes séries.
a)
∞
X
n1
(−1)
n=1
· 3 · 5 · . . . · (2n − 1) n
x
3 · 6 · 9 · . . . · (3n)
b)
∞
X
nn
n=1
n!
xn
∞
X
(n + a)! n
3. Se a e b são inteiros positivos, determine o raio de convergência da série de potências
x .
n!(n + b)!
n=1
4. Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles
valores de x.
1)
∞
X
xn
n=1
2)
3n
∞
X
n
(x − 4)
3)
n=1
∞
X
n n
4 x
n=1
∞
X
1
4)
xn
n=1
5. Determine o raio de convergência das séries dadas e diga para quais valores de x a série converge.
(a)
∞
X
n
(−1) (4x + 1)
n
n=0
∞
X
xn n
√ 3
(b)
n
n
n=1
∞
X
(−1)n xn
√
(c)
n2 + 3
n=0
(d)
∞
X
(−1)n+1 (x + 2)n
n=1
n2n
6. Encontre o valor das integrais abaixo com erro inferior a 0, 01.
Z 1
Z 2
Z 1
1 − cos(x)
−x3
(a)
e dx
(b)
dx
(c)
cos x2 dx
x
0
1
0
7. Ache o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências.
(a)
∞
X
nx
n
n=1
(e)
n=1
∞
X
xn
n2n
n=1
Z
8. Encontre
0
1
∞
X
xn
(b)
(2n)!
(f )
∞
X
2n xn
√
n
n=1
∞
X
(x + 2)n
(c)
n(n + 1)
(d)
n=1
(g)
∞
X
n=2
xn
n ln(n)
∞
X
(−n)2n x2n
n=1
(h)
∞
X
2n (x − 3)n
n=0
n+3
2
1 − e−x
dx.
x2
9. Use a série de potências de
1
2x
para obter a expressão da série de potências da função
.
1 − x2
(1 − x2 )2
1
1
Z
sin(x2 )dx com quatro casas decimais.
10. Determine uma aproximação do valor da integral
0
11. Verifique que a série
P∞
n=0
2nx
converge para x = −1. Tal série converge absolutamente para
todo x ∈ (−1, 1] ? Explique.
P∞
n
n=1 x
12. A partir da série geométrica
(a)
∞
X
nx
n−1
encontre a soma das seguintes séries.
, |x| < 1
(b)
n=1
∞
X
∞
X
n
(c)
2n
n
nx , |x| < 1
n=1
n=1
13. Ache a soma das séries.
(a)
∞
X
(−1)n
n!
n=1
x4n
(b)
∞
X
n=1
xn
2n (n + 1)!
14. Ache a soma das séries.
(a)
∞
X
(−1)n π 2n+1
42n+1 (2n + 1)!
(b)
n=0
n=1
15. Suponhamos que
P∞
n=0 an x
n
∞
X
(−1)n π 2n−1
22n−1 (2n)!
converge em x = −4 e diverge em x = 6. O que podemos dizer da
convergência das séries.
(a)
∞
X
an
n=0
(b)
∞
X
n
an 8
(c)
n=0
∞
X
n
an (−3)
(d)
n=0
∞
X
(−1)n an 9n
n=0
∞
X
1
.
16. Ache uma série de potências cuja soma seja f (x) = ln(1 − x), |x| < 1. Mostre que ln 2 =
n2n
n=1
x
em série de potências de x.
(1 − x)2
∞
X
n
(b) Use a parte (a) para encontrar a soma da série numérica
.
2n
17. (a) Encontre a expanssão de f (x) =
n=1
18. A função f é definida por f (x) = 1 + 2x + x2 + 2x3 + x4 + · · · , isto é, a2n−1 = 2 e a2n = 1, n ∈ N.
Encontre o intervalo de convergência da série e uma fórmula explı́cita para f (x).
19. Suponha que o raio de convergência da série de potências
P
2n
convergência da série de potências ∞
n=0 an x ?
P∞
n=0 an x
n
seja R > 0. Qual o raio de
∞
X
ex − 1
n
20. Encontre a série de potências que representa f (x) =
e mostre que
= 1.
x
(n + 1)!
n=1
21. Seja f (x) = sin(x3 ). Encontre f (15) (0) e f (20) (0).
22. Seja f (x) =
P∞
n=0 an x
n,
onde an+2 = an , ∀n ∈ N. Ache o intervalo de convergência da série de
potências acima e uma fórmula para f (x).
23. Determine o intervalo de convergência da série, dentro desse intervalo, determine a soma da série
como função de x.
(a)
∞
X
(x − 1)2n
n=0
4n
(b)
∞
X
(x + 1)2n
n=0
2
9n
.
24. A série
x2 x3 x4
+
+
+ ...
2!
3!
4!
ex = 1 + x +
converge para ex para todo x.
(a) Encontre uma série para
dex
. Você obtém uma série para ex ? Explique sua resposta.
dx
Z
(b) Encontre uma série para
ex dx. Você obtém uma série para ex ? Explique sua resposta.
(c) Substitua x por −x na série para ex para encontrar uma série que convirja para e−x , para
todo x. Então, multiplique a série por ex e e−x para encontrar os seis primeiros termos de
uma série para e−x ex .
25. Usando a série de ex dada no exercı́cio acima, calcule o valor de
∞
X
(−1)n
n!2n
n=0
∞
X
1
=
xn , válida para |x| < 1, e obtenha uma série de potências de x para
26. Use a identidade
1−x
n=0
representar cada uma das funções abaixo. Em cada caso especifique o conjunto de valores de x
onde a representação é válida.
(a)
1
(1 − x)3
(b)
1
1 − 4x
(c)
1
2+x
(d)
x3
(1 − x4 )2
(e)
x
1 − x2
27. Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
(a) f (x) = e−x
2
(e) f (x) = cosh(x)
(b) f (x) = ln(1 + x2 )
(c) f (x) = sin(4x)
(f) f (x) = sinh(x)
(h) f (x) = cos(3x)
Obs. As funções cosh(x) =
(d) f (x) = sin2 (x)
ex + e−x
ex − e−x
e sinh(x) =
.
2
2
28. Para cada função dada abaixo, encontre sua expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
(a)f (x) =
√
x; a = 9
(b)f (x) = cos(x); a =
π
3
(c)f (x) =
1
;a = 1
x2
(d)f (x) = sin(x); a =
π
6
29. i) Avalie
Z
2
e−x dx
como uma série infinita. Analise o resto da série que você encontrou para decidir se a série é
convergente ou não.
ii) Avalie
ex − 1 − x
.
x→0
x2
lim
3
.....................................................................................................
Algumas Respostas:
(1-a) [−1, 1)
(1-b) (−2, 2)
(1-c) (−1, 1]
(1-g) (−2, 2)
(1-h) (−∞, ∞)
(2-a) r = 3/2
(2-b) r = 1/e
(1-d) [−1, 1)
(1-i) (−5, −1)
(1-e) [−1, 1]
(1-j) (2, 4)
(1-f) (−6, 14)
(1-k) (−e, e)
(1-l) [4, 6)
(3) O raio de convergência é ∞.
(4-1) −3 < x < 3, soma x/(3 − x); (4-2) 3 < x < 5, e soma (x − 4)/(5 − x); (4-3) |x| < 1/4, e soma
x
1/4−x ;
(4-4) 1 < |x|, e soma
(6-a) ' 0, 80
1
1−x .
(6-b) ' 0, 60
(7-a) R = 1
(7-b) R = 1
(7-c) R = 1
(7-d) R = 0
(7-h) R = 1/2
P
(−1)n+1
(8) ∞
n=1 n!(2n−1)
P
2n−1 , |x| < 1
(9) ∞
n=1 2nx
(10) 0, 31028
(11) Observe que não temos uma série de potências.
(12-a)
(13-a)
(14-a)
1
x
(12-b) (1−x)
2
(1−x)2
x/2−1)
4
2(e
e−x
(13-b)
x
√
2
π
−
,
(14-b)
0
2
4
(12-c) 2
(15-a) C.
(15-b) D. (15-c) C. (15-d) D.
P
xn
(16) ln(1 − x) = − ∞
n=1 n , |x| < 1
P
n
(17-b) 2
(17-a) ∞
n=1 nx , |x| < 1
(18) f (x) =
√
(19) R
(20)
(21)
(22)
1+2x
, |x|
1−x2
<1
P∞ xn−1
ex −1
n=1 n!
x =
(15)
(20) (0) = 0
f
(0) = (15)!
5! , f
1
f (x) = (a0 + a1 x) 1−x
2 , |x| <
1
4
(7-e) R = 2
(7-f) R = 1/2
(7-g) R = 1