5. Modelo Matematico Navier - Instituto de Matemática

Sobre o Modelo Matemático Navier-Stokes∗
por
Luis Adauto Medeiros
Introdução
Tem-se como objetivo principal fazer uma dedução do modelo matemático
para o escoamento de fluidos homogêneos, incompressı́veis e viscosos, por
meio de argumentos elementares e intuitivos, dirigido às pessoas interessadas em ciência, em geral.
Inicia-se com considerações fı́sicas geométricas, intuitivas para obter o
que se entende por fluxo de fluido através de uma superfı́cie, para obter
a equação de continuidade que traduz, matematicamente, o princı́pio de
conservação de massa. Por meio desta equação, define-se o que se entende
por fluido incompressı́vel. Da lei de conservação de quantidade de movimento encontra-se o modelo que se procura, conhecido sob a denominação
de equações de Navier-Stokes.
Concluindo, descreve-se o método para o estudo matemático do modelo,
distinguindo-se os casos em que a dimensão do espaço é n = 2 ou no caso
n ≤ 4.
Relaciona-se uma pequena bibliografia no final do artigo, refletindo a
visão do autor sobre o problema. Observe-se que a bibliografia é excessi∗
Conferência de Divulgação, Instituto de Matemática - UFRJ, 2006
1
vamente vasta e aqui encontra-se uma pequena amostra.
1. Considerações Fı́sicas e Geométricas
Considere-se um fluido em movimento. Para fixar idéia, pensa-se em
água fluindo em um canal. Represente por Ω um aberto limitado contido
no ambiente onde se encontra o fluido. Pensa-se Ω cheio do fluido, com
fronteira regular Γ. O espaço onde Ω está imerso é o R3 , construido dos
pontos x = (x1 , x2 , x3 ). Represente-se por Γ a fronteira de Ω que é uma
superfı́cie do R3 . Com ~n representa-se a normal unitária externa à fronteira
Γ de Ω. Denota-se por ~u o vetor de componentes (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)),
denominado a velocidade do fluido, isto é, das partı́culas do fluido. Denotase ~u por ~u(x, t) a velocidade no ponto x no instante t.
Considere-se uma porção da dΓ da superfı́cie Γ. Denomina-se fluxo
através de dΓ, a massa de fluido que atravessa dΓ, na direção da normal, ~n,
na unidade de tempo. Calcula-se, de modo intuitivo, o fluxo, considerando
a velocidade ~u das partı́culas. De fato, no instante ∆t uma partı́cula se
desloca de ~u∆t, na direção ~u. Considerando os pontos de dΓ, no instante
∆t, o total de partı́culas atravessando dΓ é a massa de fluido contida no
prisma de altura u∆t, u módulo de ~u, e base dΓ. Desejando-se este fluxo
na direção da normal ~n, projeta-se ~u sobre ~n, obtendo-se un ∆t para altura
do prisma, sendo un = proj~n ~u = (~u, ~n), produto escalar no R3 . Portanto
o total de partı́culas atravessando dΓ na unidade de tempo ∆t, na direção
da normal ~n, mede-se pelo total de partı́culas de fluido contido no prisma
de base dΓ e altura un ∆t, isto é, seu volume é dado por
dΓ × un ∆t.
2
O fluxo sendo a massa de fluido contida neste prisma, será dado por
ρ un ∆t dΓ.
Com ρ = ρ(x, t) representa-se a densidade do fluido, massa por unidade de
volume.
No plano tem-se a visão geométrica na Fig. 1.
Convenciona-se que o fluxo é positivo se calculado na direção positiva
de ~n e negativo na direção oposta.
Portanto, o fluxo através Γ, fronteira de Ω, no instante ∆t = 1, será o
somatório dos fluxos elementares ρ un ∆t, isto é:
Z
(1)
ρ(x, t)un (x, t) dΓ,
Γ
integral sobre a superfı́cie Γ.
2. Equação de Continuidade
Admite-se o princı́pio de conservação de massa de fluido: “a variação
da massa de fluido no interior de Ω, em relação ao tempo, é igual ao fluxo
de fluido através da fronteira Γ de Ω.”
3
Traduz-se, a seguir, matematicamente, este princı́pio. De fato, sendo
ρ(x, t) a densidade do fluido, a massa de fluido contida em Ω é dada por:
Z
ρ(x, t) dx,
M (t) =
Ω
sendo dx = dx1 dx2 dx3 a medida no Rn . A variação, em relação ao tempo,
é:
Z
dM (t)
∂ρ
(2)
=
dx.
dt
∂t
Ω
Suponha-se a variação devido ao fluido entrando em Ω, isto é,
Z
(3)
− ρ(x, t)un (x, t) dΓ.
Γ
O princı́pio de conservação de massa diz que as integrais (2) e (3) são
iguais, para todo aberto limitado Ω, com fronteira Γ. Note-se que se supõe
Ω limitado e do mesmo lado de Γ. Algo como a Fig. 2
Portanto, do princı́pio de conservação de massa, resulta, da igualdade
das integrais (2) e (3):
Z
Z
∂ρ
dx + ρ un dΓ = 0,
Ω ∂t
Γ
para todo Ω. Transformando a integral de superfı́cie por meio do teorema
da divergência, obtém-se:
Z Ω
∂ρ
+ div(ρ~u) dx = 0,
∂t
4
para todo Ω. Supondo-se o integrando uma função contı́nua, obtém-se:
(4)
∂ρ
+ div(ρ~u) = 0 pontualmente em Ω.
∂t
dxi
, x = (x1 , x2 , x3 ) vetor do
dt
R3 , posição da partı́cula x no tempo t, isto é, xi = xi (t), i = 1, 2, 3. Daı́
Note-se, a componente ui da velocidade ~u é
obtém-se
3
(5)
dρ ∂ρ X ∂ρ
∂ρ
ui =
=
+
+ (grad ρ, ~u).
dt
∂t
∂x
∂t
i
i=1
Efetuando o cálculo, obtém-se:
(6)
div(ρ~u) = ρ div ~u + (grad ρ, ~u).
Substituindo (5) e (6) em (4), obtém-se:
(7)
dρ
+ ρ div ~u = 0 em Ω.
dt
É claro que (4) e (7) são equivalentes. A (7) ou (4), denomina-se equação
de continuidade ou lei de conservação de massa.
Diz-se que um fluido é incompressı́vel e homogêneo quando sua densidade é constante ou, equivalentemente, div ~u = 0 em todo Ω, isto é,
(8)
div ~u = 0 em Ω.
3. Equações de Navier-Stokes
É um modelo matemático para descrição do movimento de fluidos homogêneos, densidade ρ constante, incompressı́veis, div ~u = 0 e viscosos. A
5
dedução deste modelo será obtida por meio do princı́pio de conservação de
quantidade de movimento. Estamos supondo
(9)
ρ constante e div ~u = 0 em Ω.
Considere-se um prisma de faces ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 contido em Ω, cujo volume é ∆x = ∆x1 · ∆x2 · ∆x3 e massa ρ∆x. A quantidade de movimento
desta massa, é ρ∆x~u, sendo ~u a velocidade. Da definição de integral tripla,
conclui-se que a quantidade de movimento da massa de Ω é dada por:
Z
ρ~u(x, t) dx.
(10)
m(t) =
Ω
O princı́pio diz: “a variação da quantidade de movimento m(t) de Ω,
em relação ao tempo, é igual ao somatório das forças aplicadas ao Ω.”
A variação da quantidade de movimento de Ω é:
Z
dm(t)
d~u
(11)
ρ
=
dx.
dt
dt
Ω
As forças aplicadas em Ω, são de dois tipos:
−→
i) volumétricas aplicadas a Ω de densidade f (x, t) = (f1 (x, t), f2 (x, t), f3 (x, t)).
ii) tensões internas, e viscosidades na fronteira Γ de Ω, cujas componentes admite-se fa forma:
Fi (x, t) =
3
X
σij (x, t)ηj ,
j=1
i = 1, 2, 3. Os números reais ηj , j = 1, 2, 3, são as componentes da normal
unitária ~n, externa à Γ.
Supõe-se as funções σij (x, t), x ∈ Ω e t ≥ 0, contı́nuas e continuamente
diferenciáveis em relação a x para todo t ≥ 0. As funções fi (x, t) são
6
supostas integráveis em Ω para todo t > 0. A matriz σij (x, t), i, j = 1, 2, 3,
é denominada “tensor de tensões”.
Deduz-se, do princı́pio de conservação da quantidade de movimento, a
equação seguinte:
Z
Z −→
Z
−→
d~u
(12)
ρ
dx =
f (x, t)dx + F (x, t)dΓ
dt
Ω
Ω
Γ
Escrevendo a (12) para as componentes dos vetores dos integrandos,
obtém-se:
(13)
Z
dui
ρ
dx =
dt
Ω
Z
fi (x, t) dx +
Z X
3
σij (x, t)ηj dΓ,
Γ j=1
Ω
para i = 1, 2, 3.
Do Lema de Gauss, obtém-se:
3 Z
3 Z
X
X
σij (x, t)ηj dΓ =
j=1
Γ
j=1
∂
σij (x, t) dx,
Ω ∂xj
que substituido em (13), resulta:
Z X
Z
Z
3
∂σij
dui
fi (x, t) dx +
ρ
dx,
dx =
(14)
dt
Ω j=1 ∂xj
Ω
Ω
para i = 1.2.3.
Para fluidos homogêneos, incompressı́veis e viscosos encontra-se que
σij (x, t) tem a representação:
(15)
σij (x, t) = −p(x, t)δij + ν
∂ui ∂uj
+
∂xj ∂xi
p(x, t) número positivo e ν > 0 dita viscosidade do fluido, cf. LandauLifschitz [5]. Sendo div ~u = 0, obtém-se
3
X
∂σij
j=1
3
3
X
X
∂p
∂
∂ui ∂uj
=−
δij + ν
+
.
∂xj
∂x
∂x
∂x
∂x
j
j
j
i
j=1
j=1
7
Note-se que δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j. Logo,
restando
(16)
∂p
δij = 0 se i 6= j
∂xj
∂p
, portanto:
∂xi
3
X
∂p
∂p
−
δij = −
·
∂x
∂x
j
i
j=1
Tem-se: div ~u = 0 em Ω, logo
3
X
∂ui ∂uj
∂
+
= ν∆ui .
(17)
ν
∂x
∂x
∂x
j
j
i
j=1
Substituindo (16) e (17) em (4) obtém-se:
Z
Z Z
∂ui
∂p
ρ
−
(18)
fi (x, t) dx +
+ ν∆ui dx
dx =
∂t
∂x
i
Ω
Ω
Ω
i = 1, 2, 3, para todo Ω imerso no fluido, resultando, devido a continuidade
dos integrandos em (18):
∂p
dui
+ ν∆ui em Ω
= fi −
(19)
ρ
dt
∂xi
i = 1, 2, 3. A (19) denomina-se sistema de Navier-Stokes, para fluidos
dui
é a aceleração do
homogêneos, incompressı́veis viscosos. Note-se que
dt
fluido.
Modifica-se (19), observando-se que ~u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t))
para x = (x1 , x2 , x3 ). Portanto, a velocidade das partı́culas é uj (x, t) =
dxj
, obtendo-se:
dt
3
dui
∂ui X ∂ui
uj ,
=
+
dt
∂t
∂x
j
i=1
que substituida em (12) resulta:
3
(20)
X ∂ui
∂p
∂ui
= fi −
em Ω,
− ν∆ui +
uj
∂t
∂x
∂x
j
i
j=1
8
com i = 1, 2, 3, para t ∈ (0, T ), T > 0. Note que supõe-se ρ = 1, pois ela é
constante.
Trata-se de um sistema de três equações diferenciais parciais nas incógnitas
(u1 , u2 , u3 ) e na pressão p. O problema matemático consiste em saber se
um problema de valor inicial e de contorno, para (20), é bem posto no
sentido de Hadamard. Isto significa: existe solução, é única e depende
continuamente dos dados do problema.
De fato, dado Ω aberto limitado, não vazio do Rn , com fronteira Γ de
classe C 2 , define-se o cilindro Q = Ω × (0, T ), T > 0, do Rn+1 = Rx × Rt ,
com fronteira lateral Σ = Γ × (0, T ). O problema matemático consiste
em determinar ui : Q → R, para i = 1, 2, . . . , n, isto é, o vetor ~u(x, t) =
(u1 (x, t), u2 (x, t), . . . , un (x, t)), solução do problema de valor inicial e de
fronteira seguinte:
n
X
∂ui
∂p
∂ui
= fi −
em Q
uj
∂t − ν∆ui +
∂x
∂x
j
i
j=1
ui = 0 em Σ
(21)
div ~u = 0 em Q
ui (x, 0) = u0i (x) em Ω.
∂p
∂p ∂p
,
,...,
Represente-se o vetor ~u(x, t) por u(x, t); grad p =
∂x1 ∂x2
∂xn
por ∇p e
∂u
∂un
∂u1 ∂u2
=
,
,...,
; ∆u = (∆u1 , ∆u2 , . . . , ∆un ).
∂t
∂t ∂t
∂t
Daı́ obtém a notação:
n
X
∂u
uj
=
∂x
j
j=1
n
X
n
n
X
∂u1 X ∂u2
∂un
,
,...,
uj
uj
uj
∂xj j=1 ∂xj
∂xj
j=1
j=1
9
!
.
Com esta notação, escreve-se o sistema de Navier-Stokes (21) sob a forma:
n
X
∂u
∂u
= f − ∇p em Q
−
ν∆u
+
u
j
∂t
∂x
j
j=1
div u = 0 em Q
(22)
u = 0 em Σ
u(x, 0) = u0 (x) em Ω.
Para investigar existência e unicidade e dependência contı́nua, aplica-
se o método de Faedo-Galerkin. Precisa-se de um breve resumo sobre os
espaços a serem empregados.
4. Espaços Funcionais
Com D(Ω) representa-se o espaço das funções φ : Ω → R, com suporte
compacto em Ω, infinitamente continuamente diferenciáveis. Denota-se
por (D(Ω))n o produto cartesiano de n cópias iguais a D(Ω). Considere-se
o espaço de Sobolev H01 (Ω) e o produto cartesiano (H01 (Ω))n munido do
produto escalar:
((u, v)) =
n
X
((ui , vi ))H01 (Ω) .
i=1
e norma:
2
||u|| =
n
X
||ui ||2H01 (Ω) .
i=1
Resulta que
(H01 (Ω))n
é um espaço de Hilbert. A desigualdade de Poincaré
implica considerar-se em (H01 (Ω))n , a norma equivalente:
2
||v|| =
n
X
i=1
10
|∇vi |2L2 (Ω)
para todo vetor v = (v1 , . . . , vn ) de (H01 (Ω))n .
Note-se que
|∇vi |2L2 (Ω)
2
n Z X
∂ui
=
dx,
∂x
j
j=1 Ω
sendo dx = dx1 dx2 . . . dxn a medida de Lebesgue no Rn .
Considere-se o subespaço de Hilbert V de (H01 (Ω))n definido por:
V = {v ∈ (H01 (Ω))n ; div v = 0 em Ω}.
Representa-se por (L2 (Ω))n o produto cartesiano de n fatores iguais a
L2 (Ω), munido do produto escalar:
(u, v) =
n Z
X
ui vi dx.
Ω
i=1
A norma em (L2 (Ω))n é:
2
|v| =
n Z
X
i=1
Ω
vi2 dx.
Representa-se por H a aderência de V = {ϕ ∈ (D(Ω))n ; div ϕ = 0 em Ω}
em (L2 (Ω))n . Demonstra-se que V é denso em V .
5. Formulação Matemática do Sistema de Navier-Stokes
Considere-se o sistema (22) e procura-se dar sentido ao que se entende
por solução. Para u, v ∈ V , define-se a forma bilinear:
n Z
X
∂ui ∂vi
dx.
a(u, v) = ν
∂x
∂x
j
j
Ω
i,j=1
Demonstra-se que a(u, v) é bilinear, contı́nua e V -elı́tica.
11
Motivado pelo termo não linear em (22), define-se a forma trilinear em
V:
b(u, v, w) =
n Z
X
Ω
i,j=1
Lema 1.
uj
∂vi
wi dx.
∂xj
b(u, v, w) + b(u, w, v) = 0.
Demonstração: De fato, tem-se:
b(u, v, w) − b(u, w, v) =
n Z
X
i,j=1
=
n
X
i,j=1
Ω
uj
∂vi
∂ui
wi +
vi dx =
∂xj
∂xj
n Z
X
∂uj
∂
(vi wi )dx =
dx = 0,
uj
∂xj
∂x
j
Ω
Ω
i,j=1
Z
para u, v, w ∈ V , pois o traço em Γ é zero e a divergência é zero.
Problema 1. Dados
f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)), u0 ∈ H,
(23)
determinar u e p, sendo p ∈ D′ (Q). de modo a obter:
u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L∞ (0, T ; H),
(24)
n
(25)
X
∂u
∂u
= f − ∇p em D′ (Q),
− ν∆u +
uj
∂t
∂xj
j=1
(26)
u(x, 0) = u0 (x) em Ω.
Problema 2. Dados
(27)
f ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)), u0 ∈ H,
12
determinar
u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L∞ (0, T ; H),
(28)
satisfazendo
(29)
(u(t), v) + a(u(t), v) + b(u(t), u(t), v(t)) = (f (t), v)
em D′ (0, T ) para toda v ∈ V .
(30)
u(x, 0) = u0 .
Demonstra-se: toda solução do Problema 1 é solução do Problema 2. A
demonstração de que a solução do Problema 2 é solução do Problema 1 é
a parte difı́cil do método. Ela envolve a caracterização das formas lineares
contı́nuas L pertencentes ao espaço (H −1 (Ω))n , H −1 (Ω) dual de H01 (Ω), que
se anulam em V , isto é, vetores com divergência nula. De modo preciso, o
resultado afirma: “Se L ∈ (H −1 (Ω))n e L(v) = 0 para todo v ∈ V , existe
uma função p ∈ L2 (Ω) R, tal que
Z
p div v dx. ”
L(v) =
Ω
Tendo-se em mente a equivalência dos dois problemas, resolve-se o segundo por técnicas de Análise Funcional. Adota-se o método de aproximação de Faedo-Galerkin e resultados de compacidade. O segundo problema denomina-se formulação variacional do sistema de Navier-Stokes.
Note-se, todavia, que a formulação variacional é bem posta no caso
n = 2, isto é, no plano R2 . Neste caso, por meio do teorema de Aubin [1] e
desigualdade de Sobolev, obtém-se as convergências das aproximações de
Faedo-Galerkin e a unicidade, restringindo-se a dimensão a n = 2. Para
13
o caso n ≤ 4 não foi demonstrada a unicidade. Para a existência quando
n ≤ 4, há um teorema de compacidade de J.L. Lions [9] permitindo obter
convergências das aproximações de Faedo-Galerkin. A unicidade não foi
demonstrada.
Bibliografia
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