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BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 11 (versão 12/12/2013)
Interações magnéticas e polos magnéticos
■
Obs. 1: uma extremidade da agulha de magnetita
(Fe3 O4 ) de uma bússola em qualquer localização sobre
a Terra aponta aproximadamente em direção ao polo
norte geográfico da Terra. Por convenção, esta extremidade é denominada polo norte do ı́mã. O oposto é
denominado polo sul.
S
Polo norte geográfico
N
◆ A bússola interage com o campo magnético da
Polo sul geográfico
Terra.
■
Obs. 2: a agulha de uma bússola também se orienta ao redor de uma barra imantada: polos iguais
(NN e SS) se repelem e diferentes (NS) se atraem.
S
N
◆ A barra imantada produz campo magnético.
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Interações magnéticas e polos magnéticos
■
A experiência mostra que N e S não são “cargas” magnéticas (em
analogia com cargas +q e −q), pois não há como separá-los:
S
N
S
N
S
N
partindo a
barra ao meio
➠ Até o presente não se observaram indı́cios de existência de monopolos
magnéticos.
■
Obs. 3: a agulha de uma bússola também
se orienta ao redor de um fio conduzindo
corrente elétrica.
I
I
◆ A corrente elétrica (carga em movi-
mento) gera um campo magnético.
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Eletrostática versus magnetismo
Eletrostática
carga elétrica q1
Magnetostática
dq1
carga elétrica em movimento, I1 =
dt
~1
q1 gera um campo elétrico E
I1 gera um campo magnético B1
força sobre uma carga elétrica q2
força magnética sobre uma carga q2
dq2
em movimento, I2 =
dt
~1
F~ = q2E
F~B = ?
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Linhas de campo magnético
■
As linhas de campo magnético possuem as seguintes propriedades:
~ o campo magnético num determinado ponto
(i) assim como as linhas de E,
é tangente à linha nesse ponto e a sua intensidade está relacionada com
o número de linhas por unidade de área.
(ii) as linhas emergem do polo norte e convergem em direção ao polo sul;
(iii) Devido a não existência de monopolos magnéticos, as linhas são
fechadas;
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Linhas de campo magnético
■
Exemplos
(a) fio infinito conduzindo uma corrente I
(b) barra imantada
(c) anel conduzindo uma corrente I
I
I
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Força magnética sobre uma carga em
movimento
■
Considere uma carga q movendo-se com veloci~
dade ~v numa região com campo magnético B.
Verifica-se empiricamente que a força magnética
atuando na carga é dada por
F~B
~
F~B = kq ~v × B
■
~
B
φ
~v
No sistema internacional de unidades, k = 1 e a força é dada em newtons
(N). Portanto,
~
F~B = q ~v × B
~ sen φ. Esta expressão
A magnitude da força é dada por |F~B | = |q||~v ||B|
~
define a magnitude de B.
N/C
◆ Unidade do campo magnético no SI: [B] =
= tesla (T)
m/s
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Força magnética sobre uma carga em
movimento
■
Outra unidade comum (em CGS): [B] = gauss (G).
Temos que
1 tesla = 104 gauss
■
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Alguns valores tı́picos do campo magnético.
Localização
campo magnético (T)
Próximo a um ı́mã supercondutor
Na superfı́cie da Terra
No espaço interestelar
Sala blindada magneticamente
25
2,4 – 6,6 × 10−5
10−10
10−14
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Força magnética sobre uma carga em
movimento: exemplo
Ex. 1 Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético
~ = (10 ı̂ − 20 ̂ + 30 k̂) mT. No instante t1 o próton possui
uniforme dado por B
velocidade dada por ~v = vx ı̂ + vy ̂ + (2, 0 km/s) k̂ e a força magnética que age
sobre ele é F~B = (4,0 × 10−17 N) ı̂ + (2,0 × 10−17 N) ̂. Nesse instante, quais são
os valores de vx e de vy ?
Solução
■
A força magnética é dada por
⇒
■
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ı̂
̂
k̂
~ = q vx vy vz
F~B = q~v × B
Bx By Bz
F~B = q[(vy Bz − vz By ) ı̂ + (vz Bx − vx Bz ) ̂ + (vx By − vy Bx ) k̂]
Para o nosso problema, onde q = e, que é a carga do próton,
h
i
F~B = e (30vy +20×2×103 )ı̂+(10×2×103 −30vx )̂+(−20vx −10vy )k̂ ×10−3 T
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Força magnética sobre uma carga em
movimento: exemplo
■
Comparando componente por componente com a força dada no problema,
F~B = (4,0 × 10−17 N) ı̂ + (2,0 × 10−17 N) ̂
tem-se que
e(30vy + 40 × 103 ) × 10−3 = 4,0 × 10−17
e(20 × 103 − 30vx ) × 10−3 = 2,0 × 10−17
e(−20vx − 10vy ) = 0
Utilizando e ≈ 1,6 × 10−19 C, obtemos à partir das duas primeiras equações
acima que,
vx = −3,5 × 103 m/s = −3,5 km/s
vy = 7,0 × 103 m/s = 7,0 km/s
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Força magnética sobre uma carga em
movimento: exemplo
Qual o ângulo entre os vetores velocidade e campo magnético no instante t1 ?
Solução Temos que
~v
~ = |~v ||B|
~ cos θ
~v · B
θ
q
~
B
q
vx2 + vy2 + vz2 Bx2 + By2 + Bz2 cos θ
⇒
vx Bx + vy By + vz Bz =
⇒
(−3.5 × 10) + 7, 0 × (−20) + 2, 0 × 30
= −0, 38049
cos θ = p
√
3, 52 + 7, 02 + 2, 02 102 + 202 + 302
Portanto, θ = 112◦ .
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Cargas em movimento circular
■
Considere uma partı́cula de massa m e carga elétrica
q > 0, com velocidade inicial
R
~v0 = v0 ı̂
~ =
movendo-se numa região com campo magnético B
−B0 k̂ uniforme.
■
F~B
y
~vi
x
q
Num dado instante, a partı́cula terá velocidade ~v = vx ı̂ + vy ̂ e sentirá uma
força dada por
~
F~B = q~v × B
que é perpendicular a ~v e portanto radial.
■
Como essa força radial é a força resultante, ela é igual a força centrı́peta.
~
Em módulo, tem-se que (observando que ~v ⊥ B)
2
m|~
v
|
|F~B | = qB0 |~v | = |F~cp | =
R
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( ✻)
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Cargas em movimento circular
■
Como a força resultante é radial e constante em módulo, a partı́cula vai se
mover em uma trajetória circular de raio R, com módulo de velocidade
|~v | = v0 constante, tal que da Eq. (✻) obtém-se
mv0
R=
qB
■
Relembre que no movimento circular tem-se que v0 = ωR, onde ω é a
velocidade angular. No caso de um movimento circular uniforme, ela
está relacionada com a frequência (inversa do perı́odo T ), que é dada por
f=
■
■
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Temos que
1
ω
=
T
2π
mv0
2πR
= 2π
f
v0 =
T
qB
⇒
qB
f=
2πm
A frequência acima, que não depende da velocidade da partı́cula, é conhecida
como frequência de cı́clotron.
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Força de Lorentz
■
~ e
Se uma partı́cula de carga q e velocidade ~v sofrer uma ação dos campos E
~ simultaneamente, a força resultante agindo sobre ela é dada por
B
~ + q~v × B
~
F~ = q E
que é conhecida como a força de Lorentz.
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Aplicação da força de Lorentz: seletor de
velocidade
■
■
Considere uma partı́cula carregada positivamente, inicialmente com velocidade
~vi = v0 ̂, com v0 > 0, penetrando
~ = −E0 k̂ e
numa região com campos E
~ = −B0 ı̂. Supondo-se que E0 , B0 > 0,
B
encontre o valor de v0 tal que a força
eletromagnética se anule e a partı́cula se
desloque com velocidade constante.
~
B
Fonte
~v
z
y
~
E
Fenda
x
A força resultante sobre a partı́cula é dada por
~
F~res = F~E + F~B = q(−E0 ) k̂ + q ~|v ×
B
{z }
⇒
F~res = q(−E0 + v0 B0 ) k̂
= v0 B0 k̂
■
Para que a força resultante sobre a partı́cula seja nula,
−E0 + v0 B0 = 0
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⇒
E0
v0 =
B0
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Aplicação da força de Lorentz: experiência
de J. J. Thomson
■
Experimento conduzido por J. J. Thomson em 1897 para medir a razão entre
o módulo da carga do elétron e a sua massa.
~vf
■
■
Considere um elétron (carga elétrica q = −e)
com velocidade inicial ~vi = v0 ̂ entrando
em uma região com campo elétrico constante
~ = −E0 k̂.
E
~
E
∆z
~vi
ℓ
Conforme visto na aula 2, pp. 20-21 (atente para a diferença na definição do
sistema de coordenadas e sentido do campo elétrico), o elétron deixa a região
do campo elétrico com a velocidade e deflexão
~vf = v0 ̂ +
eE0 ℓ
k̂
mv0
e
∆z =
eE0
2m
ℓ
v0
2
respectivamente.
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Aplicação da força de Lorentz: experiência
de J. J. Thomson
■
~ = −B0 k̂ é ligado e o valor de B0 é
A seguir, um campo magnético B
ajustado, tal que a deflexão seja nula. Pelo exemplo anterior com o seletor de
velocidades, para que isto ocorra, tem-se que
E0
v0 =
B0
Temos que
eE0
∆z =
2m
ℓ2
E0 2
B0
⇒
e
2∆zE0
= 2 2
m
ℓ B0
e
= 1,7 × 1011 C/kg;
◆ Valor obtido por Thomson:
m
e
= 1,758820174 × 1011 C/kg.
◆ Valor atual:
m
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Referências
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■
R. A. Serway, e J. W. Jewett Jr., Princı́pios de Fı́sica, Vol. 3, Cengage
Learning;
■
D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, Fı́sica, Vol. 3, LTC;
■
H. D. Young e R. A. Freedman – Sears e Zemansky, Fı́sica III:
Eletromagnetismo, Pearson Addison Wesley.
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