Ficha de diagnóstico- A Matemática e a Física Archivo

Escola Secundária
D r. F ra nc i s c o Fe rnandes Lope s
1. Resolução de equações de 1º ou 2º grau
1.1.
Em Matemática…
1.1.1. Calcule o valor de x que torna verdadeira cada uma das seguintes equações:
Nota: as equações resolvem-se procurando isolar o x, a incógnita.
a) x + 2 = 3
b) 3 x – 4 = 2
c) x2 + 5x – 2 = 0
d) 3 x2 + x + 3 = 5
1.2.
Como é que se aplicam na Física
1.2.1. Calcule o valor da aceleração de um corpo de massa 3,00 kg sujeito a uma força de 6,00 N.
1.2.2. Calcule o valor da velocidade inicial de um carrinho de brincar que estava sujeito a uma
aceleração constante de 0,5 m.s-2 e que num intervalo de tempo de 10 s atingiu a
velocidade de 11 m.s-1.
1.2.3. Considere a seguinte equação do movimento de um corpo:
x = 4 + 2 t2
(SI)
Em que altura é que o corpo atinge a posição 6 m?
2. Representações gráficas de funções
2.1.
Em Matemática…
2.1.1. Represente graficamente a função y = 2 x + 1 (como estamos mais virados para a física,
experimente pedir à máquina de calcular que o faça por si, dá muito menos trabalho!)
2.2.
Como se aplicam na Física
2.2.1. Considere as equações paramétricas do movimento de um corpo:
x=2t
(SI)
y = 2 t2
Calcule a equação da trajectória da partícula e classifique-a.
3. Resolução de sistemas
3.1.
Em Matemática…
3.1.1. Resolva o seguinte sistema:
2x + 3 y + 3 = 7
4 – 2y = 2x
1
3.2.
Como se aplicam na Física
3.2.1. Uma bola de ténis é atirada com uma velocidade horizontal de 10 m.s-1 de uma altura de
1,5 m. Calcule o alcance da bola. (Considere g = 10 m.s-2)
4. Redução de unidades
4.1.
2 ms = _____ s
4.2.
0,03 km = _______ m
4.3.
2 μm = _______ m
4.4.
5 pm = ______ m
4.5.
10 ns = ______ s
5. Comparação de grandezas
5.1.

Um bloco de massa m está sujeito a uma força F . Qual será a sua aceleração se a força a
que está sujeito duplicar?
5.2.
Qual foi a variação de energia de um corpo que inicialmente tinha um valor de 100 J e passou
a ter 50,0 J?
6. Grandezas vectoriais e grandezas escalares
6.1.
Indique se as seguintes grandezas são escalares ou vectoriais:
6.1.1. massa.
6.1.2. força.
6.1.3. temperatura.
6.1.4. velocidade média.
6.1.5. velocidade instantânea.
6.1.6. rapidez média.
6.1.7. aceleração média.
6.1.8. tempo.
6.1.9. distância percorrida.
6.1.10. deslocamento.
7. Representação de vectores
7.1.
Em Matemática…
7.1.1. Represente, a partir do referencial ortonormado indicado na figura, o vector que tem por

coordenadas (3,2). Utilize para a direcção de e y o sentido contrário ao do eixo dos yy e

para sentido de e x o sentido do eixo dos xx.
2
7.1.2. Calcule a norma do vector da alínea anterior.

7.1.3. Determine o ângulo que a direcção do vector r com o eixo dos xx.
 

7.1.4. Represente os vectores a , b e c em função das suas componentes e determine as
respectivas normas.
7.2.
Como se aplicam na Física

7.2.1. O vector aceleração, a , tem norma 10 m.s-2 e faz um ângulo de 30º com a horizontal.
a) Represente o vector num referencial cartesiano em que o eixo do xx coincide com a
horizontal.
b) Represente o vector em função das suas componentes.
8. Cálculo com vectores
8.1.
Em Matemática…
8.1.1. Considere os seguintes vectores:



a =2 e1+3 e2



b =-5 e1 + e2
e
Calcule:
a) o vector soma.


b) a diferença entre os dois vectores, a  b .

c) o dobro do vector a .
8.2.
Como se aplicam na Física
8.2.1. O Adalberto resolveu ir a casa da Maria Felisbela pedir os apontamentos de Física para
estudar para o teste do dia a seguir.
Indique, de acordo com o sistema de eixos representado na figura:
3
Considere:

y1 = 100 m

y2 = 10 m

x1 = 100 m

x2 = 500 m
a) o vector posição da casa do Adalberto.
b) a direcção do vector posição inicial do Adalberto.
c) O vector posição da casa da Maria Felisbela.
d) o deslocamento efectuado pelo Adalberto.
e) a distância percorrida até à casa da Maria Felisbela sabendo que o Adalberto andou
sempre na mesma direcção.

8.2.2. Calcule o trabalho realizado por uma força, F , ao deslocar um armário ao longo do chão,
num percurso de 2,0 m.



F = 15 e x + 20 e y
(N)
9. Derivadas
9.1.
Em Matemática…
9.1.1. Determine a função derivada de:
a) y  2 x  3
b) y  x 2  5 x
c) y  cos 2 x
d) y  2 sen5 x
9.2.
Como se aplicam na Física
9.2.1. Um piloto numa prova de rally desloca-se num percurso de acordo com a seguinte equação
das posições:



r (t )  (2,0t 2  3,0t  5,0)e x  (t 2  2)e y
(SI)
Calcule:
a) a equação das velocidades do piloto.
b) a equação das acelerações.
c) a velocidade do piloto ao fim de 3 minutos.
d) a aceleração do piloto ao fim de 10 segundos.
e) O módulo da aceleração do piloto nas condições da alínea anterior e a sua direcção.
4
SOLUÇÕES
1. Resolução de equações de 1º ou 2º grau
1.1.1. x = 1
1.1.2. x = 2
1.1.3. x = 0,37228 V x = - 5,37228
1.1.4. x = 0,66667 V x = -1
1.2.1. a = 2,00 m.s-2
1.2.2. v0 = 5,0 m.s-1
1.2.3. Como solução aparece x = 1 V x = -1
A Matemática também pode ser utilizada para fins maléficos!
(Para quem não sabe a estrela é um pentagrama!)
No entanto, tratando-se de um problema físico, o tempo não pode ser negativo ou, no caso de
a contagem dos tempos ter começado em 3 segundos (p.e.) o resultado nunca poderia ser inferior a
este valor.
Portanto, quando se recorre à linguagem matemática para a resolução de problemas físicos é
importante que se faça, no final uma crítica ao resultado obtido e nunca esquecer de colocar as
unidades da grandeza que se está a calcular.
Na matemática, usualmente a incógnita é representada por x mas, em Física e incógnita pode
ter várias representações dependendo do que se pretende calcular. É importante utilizar as letras
“correctas” para a incógnita para que, ao olhar para a expressão matemática que identifique,
claramente a grandeza física que se está a calcular.
Por exemplo, a equação:
A=B–CD
Não tem qualquer significado para um físico mas, a equação:
U = ε – ri I
(equação de Ohm generalizada para um gerador)
Pois já reconhecemos que U é tensão eléctrica, ε é a força electromotriz de um gerador, ri é a
resistência interna do gerador e I a intensidade de corrente eléctrica.
Outra diferença está na apresentação das soluções. Em Matemática não se deve apresentar os
resultados das fracções pois estas representam muitas vezes dízimas infinitas. Em Física, os
cálculos são de grandezas cuja medição está a ser feita de forma indirecta. Assim, o resultado deve
corresponder ao rigor com que foram feitas as medições directas. Ou seja, o resultado tem de
respeitar o mesmo número de algarismos significativos que os dados têm.
2. Representações gráficas de funções
2.2.1. Dão-se valores a x e obtém-se os valores para y. Como se trata de uma recta aénas se torna
necessário atribuir dois valores.
2.2.2. y = x2/4
Para conhecer a equação da trajectória (equação que permite conhecer a trajectória) é
necessário que se obtenha uma equação só com x e com y. Para isso, resolve-se o sistema em
função de t, que é substituído na outra equação.
3. Resolução de sistemas
5
3.1.1. x = 2 Λ y = 0
3.2.1.
x = 10t
(SI)
y = 1,5 – 5t2
x = 5,5, m
Recorre-se muitas vezes à resolução de problemas através de sistemas. Este recurso torna-se
necessário sempre que temos, numa equação, mais do que uma incógnita para calcular. Se
existirem duas grandezas desconhecidas torna-se necessário encontrar duas equações, se existirem
três, teremos de escrever três equações e, assim sucessivamente.
4. Redução de unidades
4.1. 2 x 10-3 s
4.2. 30 m
4.3.2 x 10-6 m
4.4. 5 x 10-12 m
4.5. 10 x 10-9 s
Para fazer a redução de uma unidade à unidade do SI apenas se tem de multiplicar o valor pelo
prefixo que lhe antecede de acordo com as seguintes tabelas:
6
5. Comparação de grandezas
5.1. a2 = a1
5.2. ΔE = - 50 J
A comparação de valores pode ser feita estabelecendo uma razão entre duas situações de um
mesmo problema ou fazer a diferença entre os valores. Recorre-se à razão de uma mesma
expressão em duas situações do mesmo problema quando não nos é fornecido muitos dos valores
que se mantém iguais ou são constantes.
6. Grandezas vectoriais e grandezas escalares
6.1.1. Escalar.
6.1.2. Vectorial.
6.1.3. Escalar.
6.1.4. Vectorial.
6.1.5. Vectorial
6.1.6. Escalar.
6.1.7. Escalar.
6.1.8. Escalar.
6.1.7. Escalar.
6.1.8. Vectorial.
Uma forma simples de distinguir grandezas vectoriais de grandezas escalares é pensar se é
necessário explicar em que sentido é que a grandeza foi aplicada ou, até se ela necessita de um
sítio para ser aplicada. Por exemplo, a distância percorrida por uma pessoa é independente do lado
para que ela andou. Nem tão pouco interessa se foi para cima ou para baixo. Até pode ter subido ao
Everest que não interessa nada! Mas se dizemos que alguém se deslocou surge logo a pergunta:
“Para onde?!?” Por isso, o deslocamento é uma grandeza vectorial pois não é suficiente conhecer o
seu valor, precisamos da direcção e do sentido.
Resumindo, para as grandezas escalares é suficiente indicar apenas um número (valor da
grandeza) e para as grandezas vectoriais é necessário o número (valor, módulo ou intensidade), a
direcção, o sentido e o ponto de aplicação.
Uma forma de não nos esquecermos de dar a resposta completa é voltar a ler a pergunta no
final da resolução do problema. Se for uma grandeza escalar, já está! Se for uma grandeza vectorial
mas na perguntar estarem expressões do tipo “intensidade”, “módulo” ou “valor”, também já podes
ficar descansado pois só estão a pedir a parte escalar do vector. Mas se não dizem nada… já é
outra história! Ainda tens de indicar (descrevendo ou de acordo com o versores dados) a direcção e
o sentido.
Em Física ainda se fala de ponto de aplicação. Normalmente, está aplicado no corpo.
7. Representação de vectores



7.1.1. r  3e x  2e y
7

 13
7.1.2. r
7.1.3.   34º

a
 20



b  3e x  2e

b
 13


c  2e y

c
2



7.1.4. a  4e x  2e y
7.2.1.
a) Fica no primeiro quadrante com valores de 8,7 no eixo dos xx e 0,50 no eixo dos yy.





b) a  10 cos 30º e x  10sen30º e y = 8,7 e x +0,50 e y (m.s-2)
Convém recordar, mais uma vez, que em Matemática não se colocam as unidades no final,
mas a ausência das mesmas em Física, é imperdoável!!! Em Matemática também só se fazem as
contas às fracções ou raízes que representarem números inteiros, mas em Física faz-se sempre
porque os valores medidos nunca são “infinitos”.
A utilização de vectores em Física é fundamental, utilizam-se com uma regularidade
impressionante. Tudo porque muitas das grandezas físicas são vectoriais.
8. Cálculo com vectores






8.1.1. a) a  b  3e1  4e2


b) a  b  7e1  2e2



c) 2a  4e1  6e2
 
d) a  b  7
 

e) a  b  17e3



8.2.1. a) r1  100e x  100e y
(m)
y 100

 1    45º . Faz uma direcção de 45º com a horizontal.
x 100



c) r2  500e x  10,0e y (m)
  




d) r  r2  r1  (500  100)e x  (10  100)e y  400e x  90e y (m)
b) tg 

e) d = r
 400 2  90 2  410 m
O espaço percorrido pode ser calculado através do módulo do deslocamento apenas porque o
Adalberto andou sempre na mesma direcção e no mesmo sentido. Caso contrário, teria de se dividir o
percurso em percursos menores onde o deslocamento tivesse sempre a mesma direcção e o mesmo
sentido e somar cada uma dessas parcelas.
8. Derivadas
9.1.1. Para resolver estas derivadas pode recorrer à tabela que se apresenta na folha a seguir.
Mas não se assuste! Só tem de conhecer, para a Física, as regras que está a aplicar no exercício.
8
a) y´ 2
b) y´ 2 x  5
c) y´ 2sen 2 x
d) y´ 10 cos 5 x
9.2.1. As derivadas são muito úteis em Física para conhecer o valor de valores médios em
intervalos de tempo tão pequenos que, no limite, sejam nulos.



a) v (t )  (4,0t  3,0)e x  (2,0t )e y (m.s-1)



b) a (t )  4,0e x  2,0e y (m.s-2)





c) v (t  180s )  (4,0  180  3,0)e x  (2,0  180)e y  723e x  360e y (m.s-1)



d) a (t  3s )  4,0e x  2,0e y (m.s-2)

e) a 
tg 
4,0 2  2,0 2  4,5 m.s-2
2,0
   27º com a horizontal
4,0
9