Comportamento uniaxial
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Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Universidade Federal de Alagoas MODELOS CONSTITUTIVOS Prof. Severino Pereira Cavalcanti Marques COMPORTAMENTO UNIAXIAL COMPORTAMENTO UNIDIMENSIONAL DE MATERIAIS ESTRUTURAIS Teste de Tração Axial F Carga quase-estática L V e Tensão de Engenharia ou Lagrangeana: σ 11 = A Tensão Real ou Euleriana: F Temperatura moderada σ 11r = F Ao F A e ε Deformação de Engenharia ou Lagrangeana: 11 = L Deformação Logaritmica: ε = ln Lo l 11 ∆L Lo ∆ L = L − Lo A velocidade do carregamento deve ser baixa para evitar efeito dinâmico A temperatura não deve ser alta para evitar efeitos dependentes do tempo σ σu C σr σ el B σp A α D A – Limite de proporcionalidade B – Limite elástico C – tensão última D – tensão de ruptura ε E = tan α = módulo de elasticidade Diagramas tensão-deformação Cargas baixas A ≅ Ao σ ≅σ r Cargas altas A ≠ Ao σ ≠σ r e e (σ e < σ r ) negativo F dσ r dA dσ e dF = Ao =A +σ r dδ dδ dδ dδ F = σ Ao = σ A e r gargalo positivo Tensão última F dσ r 1 r dA =− σ dδ A dδ dF dσ e = =0 dδ dδ dA <0 dδ dσ r dA A = −σ r dδ dδ σ r é crescente No gargalo as deformações são inelásticas e grandes Escoamento plástico localizado do material MATERIAL INCOMPRESSÍVEL l3′ l3 F l1 l2 F Material incompressível l3′ l1′ l2′ ln + ln + ln = ln 1 l1 l2 l3 L Lo + ∆L ε = ln = ln Lo Lo l F ∆V = 0 l1′ l2′ F ( l1′l 2′ l 3′ ) /( l1 l 2 l 3 ) = 1 ε 1l + ε 2l + ε 3l = 0 ε = ln(1 + ε ) l e ε e = exp(ε l ) − 1 MATERIAL INCOMPRESSÍVEL ε +ε +ε = 0 l 1 l 2 l 3 ln(1 + ε 1e ) + ln(1 + ε 2e ) + ln(1 + ε 3e ) = 0 ln[(1 + ε 1e )(1 + ε 2e )(1 + ε 3e )] = 0 (1 + ε 1e )(1 + ε 2e )(1 + ε 3e ) = 1 Desenvolvendo: 1 + ε 1e + ε 2e + ε 3e + ε 1eε 2e + ε 1eε 3e + ε 2eε 3e + ε 1eε 2eε 3e = 1 Admitindo ε ie Definindo pequenos: ε 1e + ε 2e + ε 3e = 0 ε 2e = ε 3e = −ν pε 1e ν p = 0,5 Tensão Convencional de Escoamento As dificuldades de obtenção do limite elástico do material levam ao uso de um valor convencional para a tensão correspondente ao início do comportamento inelástico σ Valor prático: B σY α α ε r εY ε r = 0,002 ε ε r = Deformação residual plástica após a descarga do corpo de prova σY = tensão de escoamento convencional do material MATERIAIS ELÁSTICOS NÃO LINEARES ar ga de sc ca rg a σ ε Exemplos: Alguns tipos de borracha MATERIAIS ANELÁSTICOS O elemento retoma a geometria inicial quando descarregado, mas, a curva de descarga não coincide com a curva de carga rg a σ ca Exemplos: alguns tipos de borrachas. Usadas para Amortecimento de vibrações de sc ar ga Ed ε Ed = área correspondente à energia dissipada no processo cargadescarga (energia térmica) MATERIAIS COM ENDURECIMENTO Endurecimento (strain hardening) propriedade definida pelo aumento contínuo da tensão axial com a evolução da deformação axial após o ponto de escoamento. σ εY desc arga (2) carg a (2) desc arga (1) Y carg a (3) Y2 Y1 carg a1 σY2 σ Y1 σY dσ ε > εY ⇒ >0 dε ε Trajetórias carga-descarga praticamente retas e coincidentes, paralelas ao ramo elástico linear inicial Após descarga e carga consecutivas, ocorre um aumento da tensão de escoamento MATERIAIS COM ENDURECIMENTO Na realidade as trajetórias carga-descarga consecutivas não são coincidentes desc arga carg a σ Energia dissipada ε O aumento da tensão de escoamento com o processo descarga-carga acontece apenas na direção do carregamento. Nas direções normais não existe aumento, o que significa a indução de anisotropia no material EFEITO BAUSCHINGER Fenômeno traduzido pela redução da tensão de escoamento à tração (compressão) quando o material é descarregado à compressão (tração) no regime plástico e aplicada uma tração (compressão) na mesma direção. σ σ Yc compressão ε σ Yt′ σ Yt′ < σ Y tração σY = Tensão de escoamento do material virgem EFEITOS DEPENDENTES DO TEMPO Muitos materiais apresentam curvas tensão-deformação dependentes da velocidade ou taxa do carregamento. Em geral, o diagrama correspondente à maior taxa se localiza por cima daquele relativo à carga mais lenta. σ σ& 2 σ&1 σ& 2 > σ&1 Efeitos viscoelásticos ou viscoplásticos ε Via de regra, os efeitos dependentes do tempo são acentuados com o aumento da temperatura DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA ε F F = constante εc εp deformação de fluência εc ε el F 0 t t ε (t ) = ε el + ε p + ε c (t ) Em geral, a curva de fluência depende da tensão aplicada (Ex.: metais) RELAXAÇÃO DE TENSÃO ∆ ∆ = constante σ σo σ (t ) t σo = tensão inicial A tensão diminui ao longo do tempo σ (t ) < σ o t CREEP Creep Deformação dependente do tempo observada durante um teste de tração ou compressão em condição de temperatura elevada e com força constante. ε ruptura ε el εc εp ε cr ε el ε cp + ε p t 0 I II ε& decrescente II - Creep secundária - ε& constante III - Creep terciária - ε& crescente I - Creep primária - ε cr = def. creep recuperável ε cp = def. creep permanente t t1 III 1 T ≥ T fusão Creep induzida por temperatura: 3 COMPORTAMENTO UNIAXIAL IDEALIZADO F Teste de tração quase-estático em temperatura moderada σ σ elástico linear rígido F ε σ rígido plástico perfeito ε ε σ elástico linear, perfeitamente plástico ε COMPORTAMENTO UNIAXIAL IDEALIZADO F σ σ rígido, plástico com endurecimento linear elástico linear, plástico com endurecimento linear ε F ε σ elástico linear, plástico com endurecimento não linear ε MATERIAL ELÁSTICO Retoma a geometria inicial quando descarregado ε = f (σ ) ε= tensão com f(0)=0 Material elástico não linear (Hencky) Material elástico linear (Hookeano) σ f = função biunívoca da σ σ E E ε ε MATERIAL VISCOSO A taxa de deformação é uma função da tensão ε& = dε = g (σ ) dt Material Quase-Viscoso Material Viscoso Linear (Newtoniano) ε& = σ (Não Newtoniano ou de Stokes) σ η σ ε& = σ η η η η ε& ε& MATERIAL VISCOELÁSTICO Combinação de comportamento elástico e viscoso ε Modelo de Maxwell α tan α = σo dε dt = σo σo η E E t Observações: σ& σ ε& (t ) = + E η η σo σ E → ∞ ⇒ ε& (t ) → η η → ∞ ⇒ ε&(t ) → Fluxo viscoso Elástico σ& E Aplicação. Usando o modelo viscoelástico de Maxwell, deduzir: a) expressão das deformações para uma tensão constante σο aplicada instantaneamente e b) equação das tensões para o caso de uma deformação constante εο subitamente imposta. Respostas: E σ a) η 1 1 ε (t) = σ o + σ ot E η σο t ε b) εο E − t σ(t) = Eεoe η t MATERIAL VISCOELÁSTICO Modelo de Kelvin ou Voigt ε mola = ε amortecedor σ η E σ σ = σ mola + σ amortecedor σ = Eε + ηε& Observações: E → 0 ⇒ σ → ηε& η → 0 ⇒ σ → Eε Fluxo viscoso Elástico Aplicação. Para um material viscoelástico de Kelvin, obter a relação tensão – deformação considerando uma tensão crescente, variando linearmente desde o valor 0, no tempo t=0, até σο em t=t1. σ Resposta: η E σ σο σ t1 t σ Et1 ε (t ) = − σ o 2 1 − exp(− ) σo η E E t1 σ (t ) η MATERIAL RÍGIDO PLÁSTICO PERFEITO σ Modelo de Saint-Venant ou de Coulomb Y ε σ Y σ& > 0 ε& = 0 σ σ Y Regra de Fluxo ou de Escoamento σ& = 0 σ ≥ 0: & f (σ ) ε& = Λ σ& < 0 ε& = 0 ε ε& = 0 se σ < Y ou se σ = Y e σ& < 0 Λ& f (σ ) se σ = Y e σ& = 0 & Λ = fator positivo e indeterminado MATERIAL VISCOPLÁSTICO LINEAR Modelo de Bingham σ σ η Y η Y ε& Regra de escoamento: 0 se σ < Y ε& = σ − Y η se σ ≥ Y σ Observação: Enquanto não houver deslizamento no elemento de atrito, a tensão no Amortecedor é nula. Aplicação. Deduzir a relação tensão – deformação de um material viscoplástico linear de Bingham submetido a uma tensão uniaxial dada por σ = Y em t = 0 + σ = Y + σ& o t para t > 0 σ Y σ& o = 30MPa / min σ& o t σ& o = 10MPa / min σ = Y + 2ησ& o ε
