Séries de Tempo Processos estocásticos estacionários Processos

01/07/2010
Questões adicionais quanto ao uso de
MQO com dados de séries temporais
Hipótese de exogeneidade estrita: o termo
de erro ut é não correlacionado com cada
variável explicativa em todos períodos de
tempo.
Exige-se mais que exogeneidade
contemporânea.
MQO não viesado
Séries de Tempo
Capítulos 11
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Processos estocásticos
estacionários
Questões adicionais quanto ao uso de
MQO com dados de séries temporais
Tudo fica mais complicado quando as
observações são correlacionadas ao longo do
tempo.
Será que a correlação entre as variáveis em
diferentes pontos no tempo tende para zero com
rapidez necessária?
Séries temporais que tenham correlação temporal
substancial exigem atenção especial na análise da
regressão.
Propriedades assintóticas
As distribuições de probabilidade são estáveis no
decorrer do tempo.
Um processo estocástico é estacionário se, para
toda coleção de índices no tempo 1 ≤ t1 < …< tm, a
distribuição conjunta de (xt1, …, xtm) for a mesma
para (xt1+h, … xtm+h) para h ≥ 1.
Ou seja, a distribuição de probabilidade não muda
ao longo do tempo.
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Processos estocásticos
estacionários
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Processos covariânciaestacionários
Logo, estacionariedade implica que os xt’s são
identicamente distribuídos e que a natureza de
qualquer correlação entre termos adjacentes é a
mesma entre todos os períodos.
A estacionariedade implica que o futuro seja igual
ao passado, ou seja, relações históricas podem ser
generalizadas.
Uma série com tendência é claramente não
estacionária pois sua média muda ao longo do
tempo.
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Um processo estocástico é covariânciaestacionário se E(xt) é constante, Var(xt) é
constante e, para quaisquer t e h ≥ 1, a
Cov(xt, xt+h) depende apenas de h (não depende de
t).
Logo, essa forma mais fraca de estacionariedade
requer apenas que a média e a variância sejam
constantes no tempo, e que a covariância dependa
apenas da distância no tempo entre as
observações.
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Séries temporais fracamente
dependentes
Relação entre duas variáveis ao longo do
tempo
Se quisermos entender a relação entre duas
variáveis ao longo do tempo, temos que
pressupor alguma estabilidade.
Se a relação entre y e x muda
arbitrariamente ao longo do tempo, não
conseguimos descobrir muito como a
mudança de uma afeta a outra!!
O coeficiente βj não muda ao longo do
tempo.
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Um processo MA(1)
Uma série temporal estacionária é fracamente
dependente se xt e xt+h são “quase independentes”
quando h cresce.
Se em um processo covariância-estacionário
Corr(xt, xt+h) → 0 as h → ∞, dizemos que esse
processo covariância-estacionário é fracamente
dependente.
À medida que as variáveis se afastam no tempo, a
correlação entre elas se torna cada vez menor.
Esses conceitos são importantes pois a análise de
regressão exige alguma forma de estacionaridade.
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Um processo AR(1)
Um processo média-móvel de ordem 1,
MA(1), é caracterizado por xt = et + α1et-1,
t = 1, 2, … onde et é uma seqüência iid de
média 0 e variância σ2e
Esse processo é uma seqüência fracamente
dependente e estacionária.
Prove!!!
Um processo auto-regressivo de ordem 1,
AR(1), é caracterizado por yt = ρ1yt-1 + et ,
t = 1, 2,… onde et é uma seqüência iid com
média 0 e variância σe2 .
Para esse processo ser fracamente
dependente, é necessário que |ρ| < 1 –
processo AR(1) estável.
Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(σyσy) = ρ1h
que diminui quando h cresce.
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Um processo AR(1)
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Revisitando a tendência
Corr(yt ,yt+h) = Cov(yt ,yt+h)/(σyσy) = ρ1h
que diminui quando h cresce.
Embora os y´s sejam correlacionados para
qualquer h >= 1 , a correlação se torna
pequena para h grande se ρ ≤ 1
1
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Uma série com tendência não pode ser
estacionária, pois sua média muda com o tempo.
Uma série com tendência pode ser fracamente
dependente.
Se uma série é fracamente dependente e é
estacionária em torno de sua tendência, ela é
chamada de tendência-estacionária.
Desde que a tendência seja incluída na regressão,
ela pode ser utilizada na análise de regressão.
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Hipóteses para a consistência
Inferência em grandes amostras
Homocedasticidade: Var (ut|xt) = σ2, para
todo t.
Ausência de correlação serial:
E(utus| xt, xs) = 0 para t ≠ s.
Com essas hipóteses, temos normalidade
assintótica e os erros-padrão, as estatísticas
t´s e F usuais são válidos.
Linearidade e dependência fraca.
Uma forma mais fraca da hipótese de média
condicional zero: E(ut|xt) = 0, para todo t.
Sem perfeita colinearidade nas variáveis
explicativas.
Logo, para não tendenciosidade assintótica
(consistência), precisamos de uma hipótese mais
fraca do que a da exogeneidade dos regressores
(necessária para não tendenciosidade para
qualquer tamanho de amostra).
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Exemplos: A hipótese de mercados
eficientes
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Exemplos: A hipótese de mercados
eficientes
Seja yt o retorno percentual semanal (de uma
quarta-feira a outra, no encerramento) do
índice composto da Bolsa de Valores de NY.
Uma forma estrita da hipótese de mercados
eficientes estabelece que as informações
observáveis no mercado anteriores à semana
t não devem ajudar a prever o retorno
durante a semana t.
(
)
E y t / y t −1 , y t − 2 , y t −3 ,... = E ( yt )
Se a informação acima é falsa, poderemos
usar as informações sobre os retornos
passados para prever o retorno corrente.
Como testar isto?
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Exemplos: A hipótese de mercados
eficientes
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Exemplos: A hipótese de mercados
eficientes
Especificar um modelo AR(1).
Banco de dados: nyse.gdt
Modelo 1: Mínimos Quadrados (OLS), usando as observações 76/01/21-89/03/29 (T =
689)
Variável dependente: return
Testar H0: β1 = 0
Uma vez que a defasagem de um período de
y é controlada nenhuma outra defasagem de y
afetará o valor esperado de y.
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const
return_1
Coeficiente Erro Padrão
0,179634
0,0807419
0,0588984
0,0380231
Média var. dependente
Soma resíd. quadrados
R-quadrado
F(1, 687)
Log da verossimilhança
Critério de Schwarz
rô
0,191138
3059,738
0,003481
2,399457
-1491,244
2995,559
0,001405
razão-t
2,2248
1,5490
p-valor
0,02642
0,12184
D.P. var. dependente
E.P. da regressão
R-quadrado ajustado
P-valor(F)
Critério de Akaike
Critério Hannan-Quinn
h de Durbin
**
2,112540
2,110395
0,002030
0,121838
2986,488
2989,997
0,505169
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Passeios aleatórios
Passeio aleatório (cont.)
Um passeio aleatório é um processo AR(1) com
ρ1 = 1, ou seja, ele não é fracamente dependente.
Em um passeio aleatório, o valor esperado de yt é
y0 – ou seja, não depende de t.
Var(yt) = σe2t, ou seja, cresce com t.
Dizemos que um passeio aleatório é altamente
persistente, uma vez que E(yt+h|yt) = yt para todo
h ≥ 1.
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Um passeio aleatório é um caso especial do que é
conhecido como uma processo com uma raiz
unitária.
Observe que tendência e persistência são
conceitos diferentes – uma série pode ter tendência
mas ser fracamente dependente, ou pode ser
altamente persistente sem qualquer tendência.
Um passeio aleatório com deslocamente é um
exemplo de uma série altamente persistente e com
tendência.
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Transformando séries
persistentes
Para usar séries altamente persistentes na análise
de regressão, precisamos transformá-las em séries
fracamente dependentes.
Dizemos que um processo fracamente dependente
é integrado de ordem zero, I(0).
Um passeio aleatório é integrado de ordem 1,
I(1), o que significa que sua primeira diferença
será I(0).
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