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Apostila de cálculo 1 – Prof.Renato A. Toledo
DETERMINANTE
Matriz quadrada de ordem 2
O determinante dessa Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do
produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal
secundária.
Exemplo:
Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.
Diagonal principal: 2 x 6 = 12
Diagonal secundária: 9 x (–1) = – 9
DetA = 12 – (–9)
DetA = 12 + 9
DetA = 21
Matriz quadrada de ordem 3
Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a
2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o
número de linhas é igual ao número de colunas.
Regra de Sarrus
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Exemplo:
Regra de Sarrus
Diagonal principal
2 x 6 x 3 = 36
5 x 7 x (–1) = – 35
6 x 1 x 2 = 12
Soma = 36 + (–35) + 12 = 36 – 35 + 12 = 48 – 35 =13
Diagonal secundária
6 x 6 x (–1) = –36
2 x 7 x 2 = 28
5 x 1 x 3 = 15
Soma = –36 + 28 + 15 = –36 + 43 = 7
DetB = 13 – 7 = 6
EQUAÇÕES LINEARES
Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte
forma geral:
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b
Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, ... an são
coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da
equação linear).
O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear
será homogênea.
Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse
conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas
incógnitas da equação linear a igualdade a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira.
Veja um exemplo de quando um conjunto é solução de uma equação linear.
Exemplo:
Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a equação linear -2x + y + 5z = 11, para verificar se é
verdadeira essa solução deve-se substituir os valores 0, 1 e 10 nas suas respectivas incógnitas.
-2 . 0 + 1 + 5 . 2 = 11 , como a igualdade é verdadeira, podemos concluir que o conjunto solução (0, 1,
10) é uma das soluções da equação -2x + y + 5z = 11
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SISTEMAS LINEARES
Denominamos de sistema linear o conjunto de equações lineares na variável x com m
equações e n variáveis. Ao resolvermos um sistema linear podemos obter as seguintes condições de
solução: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é,
apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e
determinado, pois a única solução existente para ele é o par ordenado (4,1).
x+y=5
x–y=3
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de
x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor,
(0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc.
x+y=4
0x – 0y = 0
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas,
por isso esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível.
x+y=9
x+y=5
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REGRA DE CRAMER
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser
utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem
iguais. Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução
devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os
termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a
regra de Cramer que diz:
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 = D1
D
x2 = D2
D
x3 = D3 ... xn = Dn
D
D
Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:
Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3
equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.
.
Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 = 15.
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Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando
assim uma segunda matriz cujo determinante será Dx
Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 = 15
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a
matriz Ay, cujo determinante será Dy .
Agora calcularmos o seu determinante Dy.
Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16 = 30
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta
formaremos a matriz Az, cujo determinante será Dz .
Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.
Dz = -2 + 18 +16 +24 – 3 -8 = 45
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes,
iremos colocar em prática a regra de Cramer.
A incógnita x =
D x 15
=
=1
D
15
A incógnita y =
D Y 30
=
=2
D
15
A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.
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EXERCÍCIOS
1.Resolver os sistema abaixo pela Regra de Cramer.
a) 3x + y = 9
2x + 3y = 13
b)
x–y=7
x – 3y = 3
2.Determine x nos sistemas abaixo , utilizando a regra de Cramer:
a)
x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x+y+z=6
b)
x + 2y – z = 2
2x – 3y + 5z = 11
x – 5y + 6z = 9
3.( Mackenzie/2008)O diretor de uma empresa, o Dr. Antonio, convocou todos os seus funcionários
para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antonio à sala de reuniões, o número de homens presentes
na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr.
Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do
número de homens. Determine a quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio.