Sistemas lineares

Sistemas lineares
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Definição:
Equação linear é toda equação do tipo
+
+ ⋯+
= . Os números ,
chamados coeficientes e , também real, é o termo independente da equação.
Exemplos:
3 + 4 − 5 − = 0
0 +0 −0 −
=2
3
−1
=
4
2
Matriz incompleta e completa
2 +3 =4
→ − =2
•
, todos reais, são
Sistemas lineares podem ser escritos na forma matricial:
2 +3 =4
2
→ − =2
1
•
, …,
=
2
1
3
−1
=
2
1
3
−1
4
2
Classificação de um sistema linear (possível determinado, possível indeterminado ou impossível)
Por determinante:
Tendo o sistema:
!="
I)
II)
III)
"!# = "
+
+
+
+
+
+
=
=
=
"!$ = "
"!% = "
"
Se ! ≠ 0 ⇒ única solução ⇒ sistema possível determinado
Se ! = 0e !# = !$ = !% = 0 ⇒ infinitas soluções ⇒ sistema possível indeterminado
Se ! = 0e !# '(!$ '(!% ≠ 0 ⇒ não há solução ⇒ sistema impossível
Obs.: para determinar a solução de um sistema usando determinante, deve-se usar o Teorema de Cramer
=
I)
II)
III)
!$
!#
!%
; =
; =
!
!
!
Por escalonamento:
Dizemos que um sistema linear está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do
primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
Exemplo:
−7 +9 =2
+ +3 =1
−4 + =5
+3 =4
*
* =
− = 4 *
2 − =0
3 +9 =4
2 =5
Se após o escalonamento o sistema apresentar - equações distintas e - incógnitas como no * ⇒ única
solução ⇒ sistema possível determinado
Se após o escalonamento o sistema apresentar menos equações do que incógnitas como no * ⇒ infinitas
soluções ⇒ sistema possível indeterminado
Se após o escalonamento o sistema apresentar uma informação ABSURDA ou FALSA (0 = 4) como no * ⇒
sistema impossível
Obs.: para determinar a solução de um sistema usando escalonamento, basta substituir as incógnitas no final do
escalonamento. Se o sistema for possível indeterminado, a solução deve ser feita em função de uma das incógnitas.
Bibliografia
Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar 4. 7ª edição. São Paulo. Editora Atual, 2004
www.soexatas.com
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