Solução de uma equação linear

Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1
em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que
recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1,
x2,x3, ... , xn, são as incógnitas; e b1 é um número
real chamado termo independente (quando b=0, a
equação recebe o nome de linear homogênea).
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,...,rn) é
solução da equação linear
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato
implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11r1 + a12r2+ a13r3 + ... + a1nrn = b1
Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de
números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do
sistema.
Matrizes associadas a um
sistema linear
matriz incompleta: a matriz A
formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema
Matrizes associadas a um
sistema linear
matriz completa: matriz B que se obtém
acrescentando à matriz incompleta uma
última coluna formada pelos termos
independentes
das
equações
do
sistema.
Classificação de um sistema
quanto ao número de soluções
• SPD: sistema possível e determinado
(solução única)
• SPI: sistema possível e indeterminado
(infinitas soluções)
• SI: sistema impossível
(não tem solução)
Sistema normal
Um sistema
é normal quando tem o
mesmo número de equações (m) e de
incógnitas (n) e o determinante da
matriz incompleta associada ao sistema
é diferente de zero.
Se m=n e det A ≠ 0, então o sistema é
normal.
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única
solução dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o
determinante da matriz incompleta
associada ao sistema, e Dxi é o
determinante obtido pela substituição,
na matriz incompleta, da coluna i pela
coluna
formada
pelos
termos
independentes.
Discussão de um sistema
linear
Se um sistema linear tem n equações e n
incógnitas, ele pode ser:
a) SPD
b) SPI
c) SI
Discussão de um sistema linear
a) possível e determinado, se D = det A≠ 0;
caso em que a solução é única.
Discussão de um sistema linear
b) possível e indeterminado,
se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2.
Se n ≥3, essa condição só será válida se não houver
equações com coeficientes das incógnitas
respectivamente proporcionais e termos
independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta
infinitas soluções.
Discussão de um sistema linear
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo
infinitas soluções.
Discussão de um sistema linear
c) impossível, se D=0 e existe Dxi ≠ 0, 1 ≤ i ≤ n;
caso em que o sistema não tem solução.
Como D=0 e Dx ≠ 0, o sistema é impossível e não
apresenta solução