Espaços Vetoriais Normados e o Teorema da Representaç˜ao de

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás
Curso de Especialização em Matemática
Espaços Vetoriais Normados e o
Teorema da Representação de
Riesz
por
Igor Maciel Resende de Oliveira
Goiânia
2015
Igor Maciel Resende de Oliveira
Espaços Vetoriais Normados e o
Teorema da Representação de
Riesz
Monografia apresentada ao Corpo Docente do Curso de PósGraduação lato sensu em Matemática - Departamento de
Áreas Acadêmicas II - IFG/Câmpus Goiânia, como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Especialista em Matemática.
Área de concentração: Álgebra
Orientadora: Profa. Aline Mota de Mesquita Assis
Co-orientador: Prof. José Eder Salvador de Vasconcelos
Goiânia
2015
A minha famı́lia: Shirlene, Larissa, Nicole.
A minha amiga: Mailine Morais.
DEDICO
Agradecimentos
A Deus, por ter me dado o dom da vida e a cada dia me proporcionar saúde
para continuar e superar os obstáculos da vida e chegar até aqui.
À Professora Mestre Aline Mota de Mesquita Assis por ter aceitado ser orientadora deste trabalho, sempre incentivando e tendo muita atenção, paciência, dedicação comigo durante o tempo que estivemos juntos no desenvolvimento do mesmo
e pela amizade que proporcionou momentos divertidos e prazerosos. Seu apoio foi
fundamental no meu desenvolvimento. Muito obrigado!
Ao Professor Doutor José Eder Salvador de Vasconcelos que apoiou todos os
alunos do curso de especialização deste instituto, sempre nos encorajando a continuar
nossa jornada e por ter aceitado ser co-orientador deste trabalho. Muito obrigado!
À minha famı́lia, em especial a minha mãe Shirlene Pereira que sempre me apoiou
incondicionalmente, me incentivando a cada dia. À minha irmã, Larissa, por esta
junto a mim e que no ano passado me proporcionou um momento muito feliz ao me
convidar para ser padrinho da minha primeira sobrinha Nicole. Eu as amo muito.
Obrigado!
A minha amiga, Mailine Morais que esteve ao meu lado durante todo o curso
me apoiando sempre e me ajudando em todos os momentos de dificuldades e ter
compartilhado comigo tantas alegrias e risadas. Também a minha amiga Ângela
Nunes que sempre me apoiou em todos os momentos da minha vida. Muito obrigado!
Aos professores do Corpo Docente da Especialização em especial aqueles com
quem cursei alguma disciplina.
Aos meus colegas que, durante o perı́odo de aula, tanto contribuı́ram para a mi-
nha formação em momentos de estudo e nas conversas divertidas durante os lanches
da tarde.
A Banca Examinadora pela disponibilidade e atenção dispensada ao meu trabalho.
Resumo
Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos e resultados de espaço vetorial
normado, espaço vetorial normado com produto interno, particularmente o Espaço
de Hilbert, e o Teorema da Representação de Riesz, para este espaço, tudo isso
analisado sob o ponto de vista algébrico. Sendo ele uma pesquisa bibliográfica, iniciase relembrando conceitos básicos de álgebra linear, entre outros necessários para seu
desenvolvimento. Depois apresenta-se um dos conceitos centrais do trabalho que é
espaço vetorial normado, bem como algumas de suas propriedades e explicita-se o
Teorema da Representação de Riesz para espaço vetorial normado. Por fim, definese alguns conceitos de topologia necessários para a definição de uma aplicação de
espaço vetorial normado com produto interno que é o Espaço de Hilbert, finalizando
com o Teorema da Representação de Riesz para este espaço, sendo este teorema
muito importante dentro dos estudos de Análise Funcional.
Palavras-chave: Espaço Vetorial Normado. Espaço de Hilbert. Teorema da Representação de Riesz.
vii
Abstract
This work aims to present the concepts and results of normed vector space, normed
vector space with inner product space, particularly Hilbert Space, and the Riesz
Representation Theorem for this space, all this is analyzed through the algebraic
perspective. Being a literally research, this work begins revisiting basic concepts
of linear algebra and other concepts necessary for its development. After that, it
is presented one of the central concepts of this work which is normed vector space,
as well as some of its properties and the explanation of the Riesz Representation
Theorem for the finite dimensional vector space. Finally, it is defined some necessary
topological concepts for the definition of the normed vector space with inner product
space application which is the Hilbert Space, ending with the Riesz Representation
Theorem for this space, begin this theorem very important within the studies of
Functional Analysis.
Keywords: Vector Normed Space. Hilbert Space. The Riesz Representation Theorem.
viii
Sumário
Introdução
1
1 Preliminares
4
1.1
Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6
Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7
Funcional Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8
Núcleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9
Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.10 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Dimensão Finita e Teorema da Representação de Riesz
17
2.1
Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2
Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3
Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4
Espaços Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5
Teorema da Representação de Riesz para Espaço de Dimensão Finita
3 Espaço de Hilbert
25
28
i
3.1
Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2
Sequências de Cauchy
3.3
Espaço Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4
Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5
Teorema da Representação de Riesz para o Espaço de Hilbert . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Conclusão
32
Referências Bibliográficas
33
ii
Introdução
Álgebra Linear é uma vertente da Matemática que se iniciou com o estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sendo alguns destes estudos realizados
na antiguidade como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta
do século II. A Álgebra Linear utiliza conceitos matemáticos fundamentais como
vetores, espaços vetoriais e transformações lineares, entre outros.
Esses conceitos básicos da Álgebra Linear serão utilizados para juntamente com
alguns conceitos topológicos, construirmos um espaço vetorial com uma norma definida, sendo ela derivada de um produto interno, apresentando uma aplicação de
toda essa teoria o Espaço de Hilbert e o Teorema da Representação de Riesz.
• David Hilbert (1862 - 1943), teve uma das maiores influências na área de Geometria depois de Euclides. Um estudo sistemático dos axiomas da Geometria
Euclidiana levou Hilbert a propor vinte e um axiomas os quais ele analisou
sua significância. Ele deixou contribuições em diversas áreas da Matemática e
da Fı́sica.
• Frigyes Riesz (1880 - 1956), foi um matemático nascido em Gyor, ÁustriaHungria (agora Hungria) e faleceu em Budapest, Hungria. Ele foi reitor e
professor da Universidade de Szeged. Riesz fez contribuições consideráveis
no desenvolvimento da Análise Funcional e seu trabalho teve um número de
aplicações importantes em Fı́sica. Seu trabalho foi construı́do baseado em
ideias introduzidas por Fréchet, Lebesgue, Hilbert e outros. Ele também tem
algumas contribuições em outras áreas incluindo a Teoria Ergódica que é uma
1
2
área da matemática que estuda sistemas dinâmicos munidos de medidas invariantes.
Neste trabalho propormos um estudo sobre espaços vetoriais normados, que são
espaços vetoriais munidos de uma norma, podendo ela ser derivada ou não de um
produto interno, apresentaremos também uma extensão para tal estrutura algébrica
que são espaços com produto interno, sendo um exemplo o Espaço de Hilbert, além
disso, será exposto o Teorema da Representação de Riesz para estes espaços estudados.
No Capı́tulo 1 serão apresentados conceitos básicos de Álgebra Linear, dentre
eles estão: espaço vetorial, transformação linear, funcional linear, espaço dual e outros necessários para o desenvolvimento da pesquisa, todos os conceitos citados serão
apresentados na ordem supracitada, mostrando como ocorre a construção do conhecimento, além destes conceitos algébricos definimos também sequências e quando
uma sequência é convergente, foi utilizado para compor essa parte introdutória bibliografias de Álgebra Linear sendo elas os itens [2], [3], [4], [6], [8], [9], [10] e [11]
que foram listadas nas Referências Bibliográficas deste trabalho.
No Capı́tulo 2 damos inı́cio ao estudo de espaço vetorial normado relacionando
uma ideia algébrica que é exposta quando definimos o que é uma norma, podendo
ser derivada ou não de um produto interno. Apresentamos também alguns conceitos
importantes como a identidade de Pitágoras, Polar e do Paralelogramo culminando
com o Teorema de Representação da Riesz para Espaços Vetoriais de Dimensão
Finita, neste Capı́tulo foi utilizado as bibliografias de itens [1], [2], [8], [10] e [11]
todas contidas nas Referências Bibliográficas.
Finalizando o trabalho, no capı́tulo 3 aplicamos os conceitos estudados nos
capı́tulos anteriores, definimos Espaço de Hilbert, que é um espaço vetorial normado
com produto interno, mas para tal definição precisamos de conceitos estudados pela
topologia: métrica, espaço métrico e espaço completo. Assim, fechamos este capı́tulo
enunciando e demonstrando o Teorema da Representação de Riesz para o Espaço
3
de Hilbert, esta parte é composta por refêrencias de Topologia e Análise Funcional
sendo elas os itens [1], [5] e [7] das Referências Bibliográficas.
Capı́tulo 1
Preliminares
1.1
Espaço Vetorial
Um conceito básico em Álgebra Linear é o conceito de espaço vetorial, sendo ele uma
estrutura algébrica que tem como objeto de trabalho vetores com tamanho, direção
e sentido, associados com as operações de adição e multiplicação por números reais,
formando assim a ideia básica de espaço vetorial. A partir disso, para definirmos
um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de vetores, as operações de adição e
multiplicação por escalares dos elementos deste conjunto. Neste capı́tulo, apresentaremos conceitos que envolvem espaço vetorial como, transformação linear, espaço
dual e outros conceitos necessários ao entendimento dos capı́tulos seguintes.
Definição 1.1. Seja E um conjunto não vazio munido das operações + : E ×E → E
que a cada par u, v ∈ E faz corresponder u + v ∈ E e · : R × E → E que a cada par
α ∈ R e v ∈ E faz corresponder o vetor α · v ∈ E. Dados os vetores u, v, w ∈ E e
α, β ∈ R, E é um espaço vetorial se satisfaz as seguintes propriedades:
i) u + v = v + u (Comutatividade)
ii) (u + v) + w = u + (v + w) (Associatividade da adição)
iii) (α · β) · v = α · (β · v) (Associatividade da multiplicação por escalar)
iv) Existe 0 ∈ E tal que v + 0 = 0 + v = v, para todo v ∈ E (Elemento neutro da
4
5
adição)
v) Para cada v ∈ E existe −v ∈ E, tal que v + (−v) = 0 (Inverso Aditivo)
vi) (α + β) · v = α · v + β · v (Distributiva da soma de escalares em relação a um
vetor)
vii) α · (v + u) = α · v + α · u (Distributiva de um escalar em relação a soma de
vetores)
viii) 1 · v = v (Elemento Unidade)
Observação 1.2. O 0 refere-se ao vetor nulo e o 0 ao numeral zero.
Observação 1.3. Neste trabalho utilizaremos a condição de que o espaço vetorial
é real, isto é, os escalares são números reais. Se, por ventura, os escalares são tomados em um corpo K qualquer, a Definição 1.1 ainda é válida, contudo estarı́amos
tratando de espaço vetorial sobre o corpo K ou K−Espaço Vetorial.
Exemplo 1.4. V = R2 = {(x, y)|x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações
de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
α(x1 , y1 ) = (α · x1 , α · y1 )
E assuma (x, y) = (z, t) se, e somente sex = y e z = t
Para verificar os oito axiomas do espaço vetorial, considere u = (x1 , y1 ), v =
(x2 , y2 ) e w = (x3 , y3 ). Tem-se:
i) Comutatividade: u+v = (x1 , y1 )+(x2 , y2 ) = (x1 +x2 , y1 +y2 ) = (x2 +x1 , y2 +y1 ) =
(x2 , y2 ) + (x1 , y1 ) = v + u
ii) Associatividade da adição: u+(v +w) = (x1 , y1 )+((x2 , y2 )+(x3 , y3 )) = (x1 , y1 )+
(x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ) =
(x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = (u + v) + w
iii) Associatividade da multiplicação por escalar: (α · β) · u = (α · β) · (x1 , y1 ) =
((α·β)x1 , (α·β)y1 ) = (α·(β·x1 ), α·(β·y1 )) = α·(β·x1 , β·y1 ) = α·(β·(x1 , y1 )) = α·(β·u)
6
iv) Elemento neutro da adição: Existe 0 = (0, 0) ∈ R2 , para todo u = (x1 , y1 ) ∈ R2
tal que:
u + 0 = (x1 , y1 ) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1 , y1 ) = u
v) Inverso Aditivo: Para todo u = (x1 , y1 ) ∈ R2 , existe (−u) = (−x1 , −y1 ) ∈ R2 tal
que: u + (−u) = (x1 , y1 ) + (−x1 , −y1 ) = (x1 − x1 , y1 − y1 ) = (0, 0)
vi) Distributiva da soma de escalares em relação a um vetor: (α + β) · u = (α +
β) · (x1 , y1 ) = ((α + β) · x1 , (α + β) · y1 ) = (α · x1 + β · x1 , α · y1 + β · y1 ) =
(α · x1 , α · y1 ) + (β · x1 , β · y1 ) = (α · (x1 , y1 )) + (β · (x1 , y1 )) = α · u + β · u
vii) Distributiva de um escalar em relação à soma de vetores: α·(u+v) = α·((x1 , y1 )+
(x2 , y2 )) = α·(x1 +x2 , y1 +y2 ) = (α·(x1 +x2 ), α·(y1 +y2 )) = (α·x1 +α·x2 , α·y1 +α·y2 ) =
(α · x1 , α · y1 ) + (α · x2 , α · y2 ) = α · (x1 , y1 ) + α · (x2 , y2 ) = α · u + α · v
viii) Elemento Unidade: 1 · u = 1 · (x1 , y1 ) = (1 · x1 , 1 · y1 ) = (x1 , y1 ) = u
Assim, V = R2 é um espaço vetorial.
Exemplo 1.5. Os conjuntos R3 , R4 , . . . , Rn , com n ∈ N, são espaços vetoriais com
as operações de adição e multiplicação por escalar definias no Exemplo 1.4. O
conjunto R também é um espaço vetorial pois satisfaz todas as propriedades de um
espaço vetorial. Os vetores, neste caso, são números reais.
Exemplo 1.6. O conjunto F(R) = {f : R → R}, tal que f é uma função, com a
operação de adição de elementos definida como:
(f + g)(x) = f (x) + g(x); para todo f, g ∈ F(R)
e a operação de multiplicação por escalar definida como:
(λf )(x) = λf (x); para todo f ∈ F(R)eλ ∈ R
é um espaço vetorial real.
Exemplo 1.7. O conjunto C([a, b]) = {f : [a, b] → R tal que f é uma função contı́nua},
com a operação de adição de elementos e com a operação de multiplicação por escalar
definidas no Exemplo 1.6, é um espaço vetorial real.
7
1.2
Base
Definição 1.8. Seja E um espaço vetorial. Uma base de E é um conjunto de vetores
em E que seja linearmente independente e que geram o espaço E.
Exemplo 1.9. Consideremos os vetores e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,
en = (0, 0, 0, . . . , 1) do Rn . No Exemplo 1.19 mostraremos que o conjunto B =
{e1 , e2 , . . . , en } é LI em Rn . Tendo em vista que todo vetor v = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn
pode ser escrito como combinação linear de e1 , e2 , . . . , en , isto é:
v = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en
conclui-se que B gera o Rn . Portanto, B é uma base de Rn . Essa base é conhecida
como base canônica do Rn .
1.3
Subespaço Vetorial
Definição 1.10. Um subconjunto S de um espaço vetorial E, não vazio, é um
subespaço vetorial se for também um espaço vetorail. Assim, S ⊆ E é subespaço se:
i) 0 ∈ S;
ii) u + v ∈ S, para todo u, v ∈ S;
iii) k · u ∈ S, para todo u ∈ S e para todo k ∈ R.
Exemplo 1.11. Verificar se S = {(x, y) ∈ R2 ; y = ax, a ∈ R − {0}}, sendo S ⊆ R2
é um subespaço vetorial.
Devemos verificar os três axiomas de subespaço vetorial, reescrevendo o conjunto S
assumindo y = ax, temos que S = {(x, ax), x ∈ R e a ∈ R − {0}}, agora verificaremos os axiomas.
Considere u = (x1 , ax1 ), v = (x2 , ax2 ) e k ∈ R, tem se:
i) 0 ∈ S pois, para x = 0, temos (0, 0) ∈ S.
ii) u + v = (x1 , ax1 ) + (x2 , ax2 ) = (x1 + x2 , ax1 + ax2 ) = (x1 + x2 , a(x1 + x2 )) ∈ S.
iii) k · u = (kx1 , kax1 ) = (kx1 , akx1 ) ∈ S
8
Assim, S é um subespaço do R2 .
Observação 1.12. Como {(1, a)} é uma base de S, escrevemos S = [(1, a)] para
dizer que S é gerado por {(1, a)}.
1.4
Soma Direta
Definição 1.13. Seja E um espaço vetorial, U e W subespaços vetoriais de E. Se
U ∩ W = {0} o subespaço U + W é a soma direta dos subespaços U e W , denotado
por U ⊕ W .
Exemplo 1.14. Considere os seguintes subespaços de R3 ,
U = (x, y, z) ∈ R3 /z = 0 e W = (x, y, z) ∈ R3 /y = 0 .
Temos que R3 = U + W , entretanto, não como soma direta de U e W . Verificamos
falcimente este fato, sendo U = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W = [(1, 0, 0), (0, 0, 1)]. Assim,
temos que U + W = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)], no entanto U ∩ W = [(1, 0, 0)].
Portanto, temos que U + W = R3 mas não como soma direta.
Exemplo 1.15. Considere os seguintes subespaços de R2 ,
U = (x, y) ∈ R3 /y = 0 eW = (x, y) ∈ R2 /x = 0 .
Temos que R2 = U +W é uma soma direta dos subespaços U e W . Sendo U = [(1, 0)]
e W = [(0, 1)]. Assim, temos que U + W = [(1, 0), (0, 1)] e U ∩ W = {0} . Portanto,
temos que R2 = U ⊕ W
1.5
Dependência e Independência Linear
Definição 1.16. Seja um subconjunto qualquer de um espaço vetorial E. Uma
combinação linear de elementos de S é uma soma finita
α1 x1 + · · · + αn xn ,
com α1 , . . . , αn ∈ R e x1 , . . . , xn ∈ E.
9
Definição 1.17. Seja E um espaço vetorial e
A = {v1 , . . . , vn } ⊂ E.
Considere a equação
α1 v1 + · · · + αn vn = 0.
Sabemos que essa equação adimite pelo menos uma solução:
α1 = 0, α2 = 0, . . . , αn = 0
chamada solução trivial. O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os
vetores v1 , . . . , vn são LI, caso a equação α1 v1 + · · · + αn vn = 0 admita apenas a
solução trivial. Se existirem soluções αi 6= 0, diz-se que o conjunto A é linearmente
dependente (LD), ou os vetores v1 , . . . , vn são LD.
Exemplo 1.18. No espaço vetorial R3 , os vetores v1 = (2, −1, 3), v2 = (−1, 0, −2)
e v3 = (2, −3, 1) formam um conjunto linearmente dependente, pois
3v1 + 4v2 − v3 = 0
ou seja,
3(2, −1, 3) + 4(−1, 0, −2) − (2, −3, 1) = (0, 0, 0)
Exemplo 1.19. No espaço vetorial R3 , o conjunto {e1 , e2 , e3 }, tal que e1 = (1, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1), é LI. De fato, a equação
α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 = 0
ou
α1 (1, 0, 0) + α2 (0, 1, 0) + α3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
transforma-se em
(α1 , α2 , α3 ) = (0, 0, 0)
e, portanto,
α1 = α2 = α3 = 0
10
Logo o conjunto
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
é LI. De forma análoga mostra-se que os vetores
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)
formam um conjunto linearmente independente no Rn .
1.6
Transformação Linear
Definição 1.20. Sejam E e F espaços vetoriais. Uma aplicação T : E → F é
chamada transformação linear de E em F se:
i) T (u + v) = T (u) + T (v)
ii) T (αu) = αT (u)
para todo u, v ∈ E e α ∈ R.
Exemplo 1.21. Seja E = R2 e F = R3 . Uma transformação T : R2 → R3
associa vetores v = (x, y) ∈ R2 a vetores w = (x, y, z) ∈ R3 . Se a lei que define a
transformação T for
T (x, y) = (3x, −2y, x − y)
então, em particular temos:
T (−2, 3) = (−6, −6, −5)
T (0, 0) = (0, 0, 0)
T (1, 2) = (3, −4, −1)
Exemplo 1.22. Verifiquemos se T : R2 → R3 , definida por T (x, y) = (3x, −2y, x −
y) é uma transformação linear.
11
i) Sejam u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) em R2 . Então:
T (u + v) = T (x1 + x2 , y1 + y2 )
= (3(x1 + x2 ), −2(y1 + y2 ), (x1 + x2 ) − (y1 + y2 ))
= (3x1 + 3x2 , −2y1 − 2y2 ), (x1 + x2 − y1 − y2 ))
= (3x1 , −2y1 , x1 − y1 ) + (3x2 , −2y2 , x2 − y2 )
= T (x1 , y1 ) + T (x2 , y2 )
= T (u) + T (v)
Logo T (u + v) = T (u) + T (v).
ii) Verificaremos agora a condição T (αu) = αT (u), α ∈ R.
T (αu) = T (α(x1 , y1 ))
= T (αx1 , αy1 )
= (3(αx1 ), −2(αy1 ), αx1 − αy1 )
= (α(3x1 ), α(−2y1 ), α(x1 − y1 ))
= α(3x1 , −2y1 , x1 − y1 )
= αT (u).
Portanto T é uma transformação linear.
1.7
Funcional Linear
Definição 1.23. Seja V um espaço vetorial sobre R. Uma aplicação linear
f :V →R
é chamada funcional linear.
Exemplo 1.24. Considere o espaço vetorial real
C([a, b]) = {f : [a, b] → R tal que f é uma função contı́nua} .
12
A aplicação
T : C ([a, b]) → R
Z
f → T (f ) =
b
f (x)dx
a
é um funcional linear sobre C ([a, b]).
Exemplo 1.25. Mostre que todo funcional linear T : R2 → R é do tipo T (x, y) =
ax + by com a, b ∈ R.
De fato, pois sendo {(1, 0), (0, 1)} uma base de R2 , todo v ∈ R2 pode ser escrito da
forma
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
Aplicando T em ambos os membros temos:
T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1))
T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1).
Tomando a = T (1, 0) e b = T (0, 1) podemos escrever T (x, y) = ax + by, como
querı́amos.
Definição 1.26. Seja V um espaço vetorial sobre R munido da norma k·k. A norma
do funcional f : V → R, induzida pela norma k·k, é definida por:
|f (u)|
; u ∈ V − {0}
|kf |k = max
kuk
Exemplo 1.27. Seja V um espaço vetorial sobre R munido da norma k·k. Considerando v ∈ V fixo, porém arbitrário. A aplicação definida por:
T :V
→ R
u → T (u) = hu, vi
é um funcional linear limitado sobre V . Além disso, |kT k| = kvk.
13
Com efeito,
|hu, vi|
kuk kvk
|T (u)|
=
≤
= kvk ⇒ max
kuk
kuk
kuk
|T (u)|
; u 6= 0 ≤ kvk .
kuk
v = 0 implica kT k = 0.
Para v 6= 0, podemos tomar:
hv, vi
kvk2
|T (u)|
=
=
= kvk ⇒ max
u=v⇒
kuk
kvk
kvk
1.8
|T (u)|
; u 6= 0 = kvk
kuk
Núcleo e Imagem
Definição 1.28. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R e T uma transformação
linear de V em W . O conjunto
Im(T ) = {w ∈ W ; w = T (v) para algum v ∈ V }
é denominado imagem da transformação T .
Definição 1.29. Sejam V e W espaços vetoriais sobre R e T uma transformação
linear de V em W . O conjunto
Ker(T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0}
é denominado núcleo da transformação T .
1.9
Espaço Dual
Definição 1.30. Seja V é um espaço vetorial sobre R. O espaço vetorial
L(V, R) = {f : V → R tal que f é um funcional linear}
sobre R é denominado o espaço dual do espaço vetorial V , que denotamos por V ∗ .
14
Teorema 1.31. Seja V um espaço vetorial sobre R e seja B = {v1 , . . . , vn } uma
base de V . Então, existe uma única base B ∗ = {f1 , . . . , fn } de V ∗ tal que fi (vj ) = δij
em que,

 1, se i = j
δij =
 0, sei =
6 j
para todo i, j = 1, . . . , n. Para cada funcional linear f ∈ V ∗ , temos
f=
n
X
f (vi )fi ,
i=1
e para todo v ∈ V , temos
v=
n
X
fi (v)vi .
i=1
Demonstração: Dada a base B = {v1 , . . . , vn }, sejamfi : V → R, i = 1, . . . , n, os
funcionais lineares que satisfazem
fi (vj ) = δij , para todo j = 1, . . . , n.
Para mostrar que B ∗ = {f1 , . . . , fn } é uma base de V ∗ , basta mostrar que os funcionais f1 , . . . , fn são LI. De fato, suponhamos que
n
X
ci fi = 0.
i=1
Então,
0=
n
X
ci fi (vj ) =
i=1
n
X
ci δij = cj , para todo j = 1, . . . , n.
i=1
Logo, B ∗ = {f1 , . . . , fn } é uma base de V ∗ . Seja agora f ∈ V ∗ . Então, existem
c1 , . . . , cn ∈ R, tais que
f=
n
X
ci f i .
i=1
Como
f (vj ) =
n
X
ci fi (vj ) = cj
i=1
para todo j = 1, . . . , n, temos que
f=
n
X
i=1
f (vi )fi .
15
Seja v ∈ V . Então, existem λ1 , . . . , λn ∈ R, tais que
v=
n
X
λi vi .
i=1
Como fi (v) = λi , temos que,
v=
n
X
fi (v)vi .
i=1
Exemplo 1.32. Considere a base formada pelos vetores v1 = (2, 1), v2 = (3, 1) de
R2 . Encontre a base dual {φ1 , φ2 }.
Queremos encontrar os funcionais lineares φ1 (x, y) = ax + by e φ2 (x, y) = cx + dy
tais que
φ1 (v1 ) = 1, φ1 (v2 ) = 0, φ2 (v1 ) = 0, φ2 (v2 ) = 1
Essas quatro condições levam aos dois sistemas de equações lineares a seguir:

 φ (v ) = φ (2, 1) = 2a + b = 1
1 1
1
 φ (v ) = φ (3, 1) = 3a + b = 0
1
e
2
1

 φ (v ) = φ (2, 1) = 2c + d = 0
2 1
2
 φ (v ) = φ (3, 1) = 3c + d = 1.
2
2
2
As soluções são a = −1, b = 3, c = 1 e d = −2. Logo φ1 (x, y) = −x + 3y e
φ2 (x, y) = x − 2y constituem uma base dual de R2 .
1.10
Sequências
Definição 1.33. Uma sequência em M é uma função f : N → M . Se denotamos,
para cada n ∈ N, f (n) por xn , podemos denotar uma sequência apenas pelas imagens
x1 , . . . , xn , . . ., e indicamos por (xn ).
Exemplo 1.34. Seja x : N → R, com xn =
1 1 1
,
,
,
.
.
.
.
2 4 8
1
.
2n
Neste caso obtemos a sequência,
16
Definição 1.35. Dizemos que uma sequência (xn ) ⊂ M converge para x ∈ M se
para todo > 0, existi n0 ∈ N, tal que n > n0 implica em d(xn , x) < . Neste caso
dizemos que a sequência xn é convergente.
Exemplo 1.36. Toda sequência constante, xn = a, é convergente e converge para
a. De fato, para todo > 0 e todo n ∈ N, d(xn , a) = d(a, a) = 0 < . Portanto,
lim xn = a.
Observação 1.37. Se M é um espaço vetorial normado e adotamos a norma
d(x, y) = kx − yk, então uma sequência (xn ) converge para x se para todo > 0,
existir n0 ∈ N, tal que n > n0 implica que kxn − xk < .
Capı́tulo 2
Dimensão Finita e Teorema da
Representação de Riesz
Neste capı́tulo introduziremos o conceito de espaços vetorias normados, relacionando
conceitos algébricos para tal definição. Assim, apresentaremos o conceito de norma,
aplicando este conceito a um espaço vetorial, obtendo um espaço normado.
2.1
Produto Interno
Definição 2.1. Produto interno num espaço vetorial E é um funcional bilinear
simétrico e positivo:
h·, ·i : E × E → R,
ou seja, que associa a cada par de vetores u, v ∈ E um número real hu, vi, que
satisfaz as seguintes propriedades, com u, v, w ∈ E e α ∈ R:
i) Bilinearidade: hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
hαu, vi = α hu, vi
hu, αvi = α hu, vi
17
18
ii) Comutatividade (simetria): hu, vi = hv, ui
iii) Positividade: hu, ui ≥ 0, se u 6= 0 e hu, ui = 0 se, e somente se, u = 0.
Exemplo 2.2. No espaço euclidiano Rn , o produto interno canônico dos vetores
u = (α1 , . . . , αn ) e v = (β1 , . . . , βn ) é definido por hu, vi = α1 β1 + · · · + αn βn . Este
é o produto interno que consideraremos em Rn , salvo aviso em contrário.
Exemplo 2.3. A aplicação h·, ·i : R2 → R dada por hu, vi = 2x1 x2 + y1 y2 com
u = (x1 , y1 ) e v = (x2 , y2 ) é um produto interno (não canônico) em R2 . De fato,
i) Seja w = (x3 , y3 ), iremos verificar se hu, v + wi = hu, vi + hu, wi e hαu, vi =
α hu, vi:
hu, v + wi = h(x1 , y1 ), (x2 + x3 , y2 + y3 )i
= 2x1 (x2 + x3 ) + y1 (y2 + y3 )
= 2x1 x2 + 2x1 x3 + y1 y2 + y1 y3
= (2x1 x2 + y1 y2 ) + (2x1 x3 + y1 y3 )
= hu, vi + hu, wi
hαu, vi = h(αx1 , αy1 ), (x2 , y2 )i
= 2αx1 x2 + αy1 y2
= α(2x1 x2 + y1 y2 )
= α hu, vi
ii) Agora verificaremos se vale a comutatividade, ou seja, se hu, vi = hv, ui.
hu, vi = 2x1 x2 + y1 y2
= 2x2 x1 + y2 y1
= hv, ui
iii) Na positividade teremos: hu, ui = 2x21 + y12 > 0 e
19
hu, ui = 0 ⇔ 2x21 + y12 = 0 ⇔ x1 = 0 = y1 ⇔ u = 0
Portanto é um produto interno.
Observação 2.4. Um espaço vetorial com produto interno é um par (V, h·, ·i) onde
V é um espaço vetorial e h·, ·i é um produto interno em V .
2.2
Norma
Definição 2.5. Seja (V, h·, ·i) um espaço vetorial com produto interno. A aplicação
k·k : E → R dada por kvk = hv, vi1/2 é uma norma em V , a norma derivada do
produto interno h·, ·i, se satisfaz as seguintes propriedades, para todo u, v ∈ V e
k ∈ R:
i) kvk ≥ 0 e kvk = 0 se, e somente se, v = 0;
ii) kkvk = |k| kvk,
iii) ku + vk ≤ kuk + kvk (Desigualdade Triangular)
Exemplo 2.6. Consideremos o R3 com o produto interno usual. Determine a componente c do vetor v = (6, −3, c) tal que kvk = 7.
p
kvk = 62 + (−3)2 + c2
√
62 + 32 + c2 = 7
36 + 9 + c2 = 49
c2 = 4
c = ±2
Proposição 2.7. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Seja E um espaço vetorial
com produto interno h·, ·i. Então |hx, yi| ≤ kxk kyk para quaisquer x, y ∈ E.
20
Demonstração: Dado quaisquer x, y ∈ E temos:
hx + ty, x + tyi ≥ 0 para todo t ∈ R.
Mas sabemos que
hx + ty, x + tyi = kxk2 + 2 hx, yi t + kyk2 t2 ,
logo para satisfazer a desigualdade acima, o discriminante deste polinômio do segundo grau será:
4 hx, yi2 − 4 kxk2 kyk2 ≤ 0.
Deste modo,
hx, yi2 ≤ (kxk kyk)2
hx, yi ≤ kxk kyk .
Definição 2.8. (Ortonogalidade de Vetor) Seja E um espaço vetorial com produto
interno. Dados dois vetores x, y ∈ E definimos o ângulo ∠(x, y) entre u e v por:
∠(x, y) = arccos
hx, yi
.
kxk kyk
Em particular, se hx, yi = 0, então ∠(x, y) = π/2. Dizemos que dois vetores x, y são
ortogonais se hx, yi = 0.
2.3
Bases Ortonormais
Definição 2.9. Seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto de vetores com
mais do que dois vetores v1 , . . . , vn ⊂ V é um conjunto ortogonal se dois a dois
vetores quaisquer distintos são ortogonais, isto é, se
hvi , vj i = 0
para quaisquer i 6= j, i, j = 1, . . . , n.
21
Exemplo 2.10. No R3 com produto interno usual, o conjunto {(1, 2, −3), (3, 0, 1),
(1, −5, −3)} é um conjunto ortogonal.
Definição 2.11. Diz-se que uma base {v1 , . . . , vn } de E é uma base ortogonal se os
seus vetores são dois a dois ortogonais entre si. Se além disso eles forem unitários,
dizemos que {v1 , . . . , vn } é uma base ortonormal para E.
Exemplo 2.12. O conjunto {(1, 2, −3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} é uma base ortogonal
do R3 , mas não é uma base ortonomal.
2.4
Espaços Vetoriais Normados
Definição 2.13. Seja E um espaço vetorial, com ou sem produto interno. Qualquer
aplicação N : E → R satisfazendo as condições da Definição de Norma é uma norma
em E. Aquela dada na Definição 2.5 é uma norma especı́fica, como já observamos
é a norma induzida ou derivada do produto interno. Um espaço vetorial com uma
norma é um espaço vetorial normado.
Proposição 2.14. (Identidade de Pitágoras) Seja E um espaço vetorial com produto
interno. Então x, y ∈ E são vetores ortogonais se, e somente se,
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 ,
chamada assim de Identidade de Pitágoras.
Demonstração: Temos:
kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 ,
logo x, y ∈ E satisfazem a identidade de Pitágoras se, e somente se, hx, yi = 0.
Proposição 2.15. (Identidade Polar) Seja E um espaço vetorial com produto interno. Então
1
1
hx, yi = (kx + yk)2 − (kx − yk)2 .
4
4
22
Demonstração:
1
1
1
(kx + yk)2 − (kx − yk)2 =
(hx, xi + 2 hx, yi + hy, yi) −
4
4
4
1
(hx, xi − 2 hx, yi + hy, yi)
4
= hx, yi .
Proposição 2.16. (Identidade do Paralelogramo) Seja E um espaço vetorial com
produto interno e k·k a norma induzida por h·, ·i. Então
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
Demonstração:
kx + yk2 + kx − yk2 = (hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi) +
(hx, xi − hx, yi − hy, xi + hy, yi)
= 2(kxk2 + kyk2 )
Teorema 2.17. Seja E um espaço vetorial normado cuja norma k·k satisfaz a
identidade do paralelogramo
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
Então a identidade polar
1
1
hx, yi = (kx + yk)2 − (kx − yk)2
4
4
define um produto interno h·, ·i em E tal que a sua norma é deridada dele.
Demonstração: Vamos verificar que h·, ·i satisfaz todas as condições para ser um
produto interno em E.
Mostrando a bilinearidade, temos:
23
hx, zi + hy, zi =
= 41 (kx + zk)2 − 14 (kx − zk)2 + 41 (ky + zk)2 − 41 (ky − zk)2
= 14 (kx + zk2 + ky + zk2 ) − 41 (kx − zk2 + ky − zk2 )
= 81 (kx + z + y + zk2 + kx + z − (y + z)k2 ) − 81 (kx − z + y − zk2 + kx − z − (y − z)k2 )
= 81 (kx + z + y + zk2 + kx − yk2 ) − 81 (kx − z + y − zk2 + kx − yk2 )
= 18 (kx + z + y + zk2 ) − 81 (kx − z + y − zk2 )
= 18 (2 kx + y + zk2 + 2 kzk2 − (k(x + y + z) − zk2 )
- 81 (2 kx + y − zk2 + 2 kzk2 − (k(x + y − z) + zk2 )
= 81 (2 kx + y + zk2 − kx + yk2 ) − 81 (2 kx + y − zk2 − kx + yk2 )
=
1
4
kx + y + zk2 − 41 kx + y − zk2
= hx + y, zi, em que
hx, zi + hy, zi = hx + y, zi
para todos x, y, z ∈ E. Se α = n ∈ N, por iteração de hx, zi + hy, zi = hx + y, zi
obtemos
hnx, yi = n hx, yi ;
por exemplo, para n = 2 temos
h2x, yi = hx + x, yi = hx, yi + hx, yi = 2 hx, yi .
24
Se n = −1, notando que
h0, yi =
1
1
1
1
1
1
k0 + yk2 − k0 − yk2 = kyk2 − k−yk2 = kyk2 − kyk2 = 0,
4
4
4
4
4
4
escrevemos
0 = h0, yi = hx − x, yi = hx, yi + h−x, yi ,
de modo que
h−x, yi = − hx, yi .
Daı́, se n ∈ N,
h−nx, yi = hn(−x), yi = n h−x, yi = (−1)n hx, yi = −n hx, yi .
Portanto, hαx, yi = α hx, yi para todo α ∈ Z. Em seguida, para provar que
1
1
x, y = hx, yi
n
n
para todo n ∈ N, notamos que
X
X
1
1
1
hx, yi =
x, y =
x, y = n
x, y .
n
n
n
Reunindo os dois resultados, concluı́mos que hαx, yi = α hx, yi para todo α ∈ Q.
Para obter o resultado geral para qualquer α ∈ R, basta observar que a função norma
é contı́nua e, como o produto interno foi definido a partir da norma, ele também
é uma função contı́nua. Assim, dado qualquer α ∈ R, tomamos uma sequência
(αn ) ⊂ Q tal que αn → α e obtemos hαn x, yi → hαx, yi e αn hαx, yi → α hx, yi,
donde
hαx, yi = α hx, yi
para todo x, y ∈ E e para todo α ∈ R.
Simetria:
Temos
hx, yi =
1
1
1
1
kx + yk2 − kx − yk2 = ky + xk2 − ky − xk2 = hy, xi .
4
4
4
4
25
Linearidade com relação à segunda variável:
Segue da simetria e da linearidade com relação à primeira variável.
Positividade:
Se x 6= 0, temos
hx, xi =
1
1
1
kx + xk2 − kx − xk2 = k2xk2 = kxk2 > 0.
4
4
4
Portanto, h·, ·i define um produto interno em E tal que a sua norma é derivada
dele.
Corolário 2.18. Seja E um espaço vetorial normado. Então a norma de E deriva
de um produto interno se, e somente se, ela satisfaz a identidade do paralelogramo.
Demonstração: Com efeito, suponha inicialmente que a norma k·k em E deriva
de um produto interno, isto é, kvk = hv, vi1/2 , para todo v ∈ E. A Preposição
2.16 nos dá o resultado esperado. Reciprocamente suponha, que a norma k·k em E
satisfaz a identidade do paralelogramo. Isto é, kx + yk2 +kx − yk2 = 2(kxk2 +kyk2 ).
O Teorema 2.17 estabelece que esta norma é derivada do produto interno definido
pela identidade polar.
2.5
Teorema da Representação de Riesz para Espaço
de Dimensão Finita
O Teorema da Representação de Riesz mostra como é feita a identificação entre
um espaço normado e seu dual, tal teorema diz que todo funcional linear contı́nuo
possui um único vetor que o representa.
Teorema 2.19. Teorema da Representação de Riesz Seja V um espaço vetorial de
dimensão finita munido de um produto interno e f ∈ V ∗ , então existe um único
w ∈ V tal que f (v) = fw (v) = hv, wi para todo v ∈ V .
26
Demonstração: Tomemos f ∈ V ∗ e β = {u1 , . . . , un } uma base ortonormal de V ,
desse modo para v ∈ V , temos:
v=
i=1
X
ai ui ,
n
com
ai =
hv, ui i
= hv, ui i .
kui k2
Logo
v=
i=1
X
hv, ui i ui ,
n
Aplicando f , obtemos
i=1
i=1
i=1
X
X
X
f (v) = f (
hv, ui i ui ) =
hv, ui i f (ui ) =
hv, f (ui )ui i =
n
n
Definindo w =
Pi=1
n
n
*
v,
i=1
X
+
f (ui )ui
.
n
f (ui )ui obtemos f (v) = fw (v) = hv, wi para todo v ∈ V .
Agora mostraremos a unicidade de w. Suponha que exista w0 ∈ V de modo que
f (v) = fw0 (v) = hv, w0 i para todo v ∈ V . Assim, para todo v ∈ V e, portanto,
w − w0 = 0 implica w = w0 .
Observação 2.20. Uma observação importante sobre o Teorema da Representação
de Riesz é que se f1 6= f2 são funcionais lineares distintos em V , então os valores
wf1 , wf2 dados pelo Teorema são também distintos. Com efeito,
wf1 = wf2 se, e somente se,
Assim
P
X
f1 (ui )ui =
X
f2 (ui )ui .
f1 (ui )ui − f2 (ui )ui = 0. Como os vetores u1 , . . . , un são LI segue que
f1 (ui ) = f2 (ui )para todo i = 1, . . . , n. Donde f1 = f2 (pois u1 , . . . , un é base). Como
consequência disso e da bilinearidade do produto interno temos que a aplicação
ψ :V∗ →V
f 7→ wf
27
é um isomorfismo de V ∗ em V . Esta é uma outra maneira de identificar um espaço
vetorial com seu dual.
Exemplo 2.21. Considere o espaço vetorial real R3 munido do produto interno
usual h·, ·i. Considere o funcional linear f : R3 → R definido por:
f (u) = 2x + y − z,
para todo u = (x, y, z) ∈ R3 . Assim, pelo Teorema da Representação Riesz, temos
que
f (u) = hu, vi ,
para todo u = (x, y, z) ∈ R3 . Podemos observar que o elemento v = (2, 1, −1).
Assim, temos que
|kf k| = kvk =
√
6
Por outro lado, considere a base canônica {e1 , e2 , e3 }, f (e1 ) = 2, f (e2 ) = 1, f (e3 ) =
−1.
X
f (ai )ei = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + (−1)(0, 0, 1)
= (2, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, −1)
= (2, 1, −1)
Capı́tulo 3
Espaço de Hilbert
Antes de definir Espaço de Hilbert teremos que apresentar alguns conceitos necessários para tal. Dentre eles a ideia do que é métrica, como construı́mos um espaço
métrico e qual a caracterı́stica que um espaço deve possuir para ser completo.
3.1
Espaços Métricos
Definição 3.1. Uma métrica em um conjunto M é uma função d : M × M → R,
que associa a cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M × M um número real
d(x, y), chamado de distância de x a y , de modo que sejam satisfeitas as seguintes
condições para quaisquer x, y, z ∈ M :
i) d(x, x) = 0;
ii) Se x 6= y então d(x, y) > 0,
iii) d(x, y) = d(y, x);
iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Definição 3.2. Um espaço métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é
uma métrica em M .
Exemplo 3.3. Um espaço vetorial normado V torna-se um espaço métrico com a
28
29
métrica induzida pela norma dada por
d(x, y) = kx − yk ,
para todo x, y ∈ V. Denotamos esta métrica por dk·k . Com efeito,
i) d(x, x) = kx − xk = k0k = 0.
ii) Se x 6= y então kx − yk =
6 0, logo d(x, y) 6= 0.
iii) d(x, y) = kx − yk = k−(y − x)k = ky − xk = d(y, x).
iv) d(x, z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk = d(x, y) + d(y, z).
3.2
Sequências de Cauchy
Definição 3.4. Uma Sequência de Cauchy em M é uma sequência (xn ) ⊂ M tal
que, para todo > 0, existe n0 ∈ N tal que n, m > n0 resulta em d(xn , xm ) < .
Exemplo 3.5. A sequência (xn )n ∈ N em R, dada por xn = n1 , para todo n ∈ N∗ é
de Cauchy.
De fato, dado > 0, podemos encontrar n0 tal que
1
n0
< , então se n, m ≥ n0 ,
sem perda de generalidade, podemos supor que n ≥ m, assim, teremos 0 < n1 ≤
1
1
1
− 1 < 1 − 0 = 1 < , portanto (xn ) é uma
.
De
onde
concluimos
que
≤
m
n0
n
m
n0
n0
sequência de Cauchy.
Observação 3.6. Nos termos da Definição 3.4, se (M, d) = (Rn , d||·|| ), em que || · ||
é a norma euclidiana, uma sequência de Cauchy é uma sequência de pontos xn ∈ Rn
tal que, para todo > 0, existe n0 ∈ N tal que n, m > n0 implica que ||xn − xm || < .
3.3
Espaço Completo
Definição 3.7. Seja M um espaço métrico, dizemos que M é completo se, toda
sequência de Cauchy em M é uma sequência convergente.
Exemplo 3.8. O conjunto dos números reais R com a métrica usual d(x, y) =
|x − y| é completo.
30
3.4
Espaço de Hilbert
Definição 3.9. Seja H um espaço vetorial munido com o produto interno h·, ·i.
Dizemos que H é um espaço de Hilbert se H é completo com a métrica induzida
pelo produto interno.
Exemplo 3.10. O espaço euclidiano Rn é um espaço de Hilbert com o produto
interno definido por
hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn ,
onde x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) são elementos de Rn . De fato, pois de hx, yi
temos que kxk = (x21 + · · · + x2n )1/2 e deste temos a métrica euclidiana definida por
1/2
ρ(x, y) = kx − yk = hx − y, x − yi1/2 = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2
.
Temos que (Rn , ρ) é completo, pois toda sequência de Cauchy converge, portanto
(Rn , h·, ·i) é um espaço de Hilbert.
3.5
Teorema da Representação de Riesz para o
Espaço de Hilbert
O Teorema da Representação de Riesz fornece um isomorfismo natural entre o espaço
de Hilbert H e o seu dual H ∗ .
Teorema 3.11. (Teorema da Representação de Riesz) Seja H um espaço de Hilbert.
Dado f ∈ H ∗ , existe um único y ∈ H tal que
f : H → H ∗ = {f : V → R; f é linear}
x 7→ f (x) = hx, yi
para todo x ∈ H. Além disso,
|kf k| = kyk .
31
Em particular,
H∗ = H
no sentido que estes espaços são isometricamente isomorfos.
Demonstração: Como f ∈ H ∗ , segue que L = kerf é fechado. Seja L = H, então
f ≡ 0 e tomamos y = 0. Caso contrário, existe z ∈ H/L tal que kzk = 1 e z⊥L.
Temos H = [z] ⊕ L, onde [z] representa o conjunto de elementos de H/L gerados
por z. Mais especificamente, dado z ∈ H podemos escrever
z=
f (x)
f (x)
z + (x −
z)
f (z)
f (z)
e
x−
f (x)
z ∈ L.
f (z)
Afirmamos que y = f (z)z. De fato, fazendo o produto interno de z com o vetor
y = f (z)z segue que
f (x)
f (x)
hz, yi =
=
z, f (z)z + x −
z, f (z)z .
f (z)
f (z)
D
E
f (x)
z
∈
L
e
z⊥L,
segue
que
x
−
z,
f
(z)z
= 0. Deste
Como f (z)z ∈ [z], x − ff (x)
(z)
f (z)
f (x)
f (x)
z + (x −
z), f (z)z
f (z)
f (z)
modo,
hz, yi =
f (x)
z, f (z)z
f (z)
=
f (x)
f (z) hz, zi = f (x).
f (z)
Mas de acordo com a definição de z, temos que z = x, assim, temos que f (x) =
hx, yi . Além disso, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz temos |f (x)| = |hx, yi| ≤
kxk kyk, que resulta em
|f (x)|
kxk
≤ kyk logo
|f (x)|
kxk
≤ k, para todo x ∈ V e, sendo
um vetor unitário, segue que
y
hy, yi
kyk2
|kf k| ≥ f (
)=
=
= kyk .
kyk
kyk
kyk
Portanto, |kf k| = kyk.
y
kyk
Conclusão
Apresentamos, neste trabalho, o que é um espaço vetorial e quais as caracterı́sticas que deve possuir a norma e o produto interno de um vetor, tendo assim
elementos necessários para se construir um espaço vetorial normado e apresentar o
Teorema da Representação de Riesz para tal espaço. Apresentamos uma aplicação
de um espaço vetorial normado com produto interno, que é o Espaço de Hilbert, este
espaço além de necessitar de conceitos da álgebra linear, precisa também da parte
inicial de topologia, relacionadas a métrica e espaço métrico. A teoria de Espaço
de Hilbert é encontrada em textos de Análise Funcional, sendo este parte da matemática que necessita de muitos conceitos de álgebra linear, considerado até certo
ponto como o estudo de Espaços Normados de Dimensão Finita. Por fim expomos
o Teorema da Representação de Riesz para o Espaço de Hilbert, que apresenta um
isomorfimo entre o espaço de Hilbert e seu dual, e a norma de um funcional do seu
dual é igual a norma de um único vetor do próprio espaço.
Este trabalho apresenta conceitos da Álgebra Linear que juntamente com ideias
Topológicas são utilizados para a construção de teorias estudadas em Análise Funcional, havendo mais conceitos para ser aprofundado, como os aspectos geométricos
dos espaços de Hilbert, o estudo de operadores no Espaço de Hilbert, entre outros
temas que podem ser trabalhados a fim de obter um complemento desta pesquisa.
32
Referências Bibliográficas
[1] BIEZUNER, Rodney Josué, Notas de Aula Análise Funcional, Belo Horizonte: Departamento de Matemática, UFMG, 2000.
[2] BIEZUNER, Rodney Josué, Notas de Aula Álgebra Linear, Belo Horizonte:
Departamento de Matemática, UFMG, 2006.
[3] BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear, São Paulo: Harbra, 1978.
[4] HOFFMAN, Kenneth e KUNZE, Ray. Álgebra Linear, 2 ed, Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Cientı́ficos, 1979.
[5] KREYSZIG, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications,
John Wiley Sons, 1978.
[6] LIMA, Elon Lages, Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária, Rio de
Janeiro: IMPA 1995.
[7] LIMA, Elon Lages, Espaços Métricos, Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
[8] PAULINO, Petronio, Notas de Aula Álgebra Linear e suas Aplicações,
Campinas: Departamento de Matemática Aplicada, Unicamp, 2012.
[9] SPINDLER, Karlheinz, Abstract Algebra with Applications, Volume I,
New York: CRC Press, 1994.
[10] STEINBRUCH, Alfredo e Winterle, Paulo. Álgebra Linear, São Paulo, Makron Books, 1987.
33
[11] SANTOS, Reginaldo J, Álgebra Linear e Aplicações, Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2006.
34