Análise de Circuitos 2 Introduç˜ao (revis˜ao)

Análise de Circuitos 2
Introdução (revisão)
Prof. César M. Vargas Benı́tez
Departamento Acadêmico de Eletrônica,
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
1
2
Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benı́tez
Sumário
1 Números complexos e fasores
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Formas de representação . . . . . .
1.3 Plano complexo . . . . . . . . . . .
1.4 Conversão entre formas . . . . . . .
1.4.1 Retangular → Polar . . . .
1.4.2 Polar → Retangular . . . .
1.5 Operações com números complexos
1.6 Relações úteis . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
4
4
4
4
5
2 A onda sinusoidal e seus valores notáveis
2.1 Representação matemática . . . . . . . . .
2.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Relações úteis . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Simbologia de fontes independentes . . . .
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5
5
5
7
8
3 Valores caracterı́sticos de ondas periódicas
3.1 Valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Valor eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Resposta dos componentes R, L e C em corrente
. . . . . .
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alternada
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8
8
8
9
9
4 Notação fasorial, Impedância e
4.1 Notação fasorial . . . . . . . .
4.2 Impedância . . . . . . . . . .
4.3 Admitância . . . . . . . . . .
4.4 Associação de impedâncias . .
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12
12
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14
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admitância
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Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benı́tez
1
3
Números complexos e fasores
1.1
Definição
Número complexo é todo número que pode ser representado pela forma:
z = a + jb
√
onde a e b são números reais e j é a unidade imaginária (j = −1, definição
de Euler). O número a é a parte real do número complexo z e o número b é
a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:
a = Re(z)
b = Im(z)
1.2
Formas de representação
• Forma exponencial:
e(jθ) = cosθ + jsenθ
• Forma retangular:
z = a + jb
• Forma trigonométrica:
√
r = |z| = a2 + b2
a = rcosθ
b = rsenθ
z = r(cosθ + jsenθ)
• Forma polar:
Z = r6 θ
1.3
Plano complexo
O plano complexo (plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand) é
um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente.
A Figura 1 apresenta o plano complexo. Onde,
Im representa o eixo imaginário;
Re representa o eixo real.
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Figura 1: Plano complexo
1.4
1.4.1
Conversão entre formas
Retangular → Polar
6
z =a+
√jb → Z = r θ
2
2
r = |z| = a + b
θ = arctg ab
1.4.2
Polar → Retangular
Z = r 6 θ → z = a + jb
a = rcosθ
b = rsenθ
1.5
Operações com números complexos
z1 = a1 + jb1
z2 = a2 + jb2
• Adição:
zT = z1 + z2 = a1 + jb1 + a2 + jb2 = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )
• Multiplicação:
Na forma retangular:
zT = z1 z2 = (a1 + jb1 )(a2 + jb2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + j(b1 a2 + b2 a1 )
Na forma polar:
zT = z1 z2 = r1 6 θ1 r2 6 θ2 = r1 r2 6 (θ1 + θ2 )
• Divisão:
Na forma retangular:
z∗
1 a2 −jb2
=
zT = zz21 = zz12 z2∗ = aa12 +jb
+jb2 a2 −jb2
2
Na forma polar:
zT = zz21 = rr12 6 (θ1 − θ2 )
(a1 a2 +b1 b2 )+j(b1 a2 −b2 a1 )
a22 +b22
4
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1.6
5
Relações úteis
Complexo conjugado (z ∗ ):
Para z = a ± jb
z ∗ = a ∓ jb
Outras relações:
z · z∗ = r2
z + z ∗ = 2Re(z)
z − z ∗ = j2Im(z)
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗
(z1 · z2 )∗ = z1∗ · z2∗
jθ
cosθ = e +e
2
jθ
−jθ
senθ = e −e
j2
j = − 1j
j 2 = −1
2
−jθ
A onda sinusoidal e seus valores notáveis
2.1
Representação matemática
Expressão matemática geral para a onda sinusoidal:
y(t) = yM sen(ωt ± θ)
Onde,
yM representa a amplitude da onda;
α representa ω representa a frequência angular da onda [ rad
];
s
ω = 2πf
f ≡ frequência [Hz]
θ é a fase da onda [rad] ou [o ]
2.2
Definições
• Forma de onda: representação gráfica da forma com que uma onda
evolui ao longo do tempo.
• Amplitude: distância entre o valor médio e o valor de pico.
O valor médio de uma onda senoidal é zero.
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• Valor pico (YM , Yp ou Am ): valor máximo da onda em relação ao zero.
Tensão pico: Vp ou Ep
Corrente pico: Ip
• Valor pico-a-pico (Ypp ): O valor pico-a-pico é a medida entre os picos
máximo e mı́nimo.
Ypp = 2Yp
Tensão pico-a-pico: Vpp ou Epp
Corrente pico-a-pico: Ipp
• Valor instantâneo: magnitude da forma de onda em um instante de
tempo.
y1 = y(t = k)
Por exemplo,
e1 = v(t = 1ms) = v(1ms)
i1 = i(t = 1ms) = i(1ms)
Exemplo:
Dado v(t) = 10sen(377t)V . Qual o valor de v(t) para t = 2ms?
.2ms)V =
v(2ms) = 10sen(377 rad
s
v(2ms) = 10sen(0, 754rad)V = 10sen(43, 2o)V = 6, 84V
v(2ms) = 6, 84V
• Forma de onda periodica:
• Frequência (f ):número de ciclos por segundo.
Unidade: [Hz]
• Perı́odo (T ): duração temporal de um ciclo. Intervalo de tempo entre
duas repetições sucessivas.
O perı́odo é o inverso da frequência.
T = f1
Unidade: [s] (segundos)
Exemplo: qual é o perı́odo de um sinal com frequência de 1MHz?
T = f1 = 1M1Hz = 1·1016 Hz = 1µs
• Fase (θ): deslocamento da forma de onda no eixo horizontal à esquerda
ou direita de 0o
7
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Unidade: [rad] ou [o ]
Fase positiva: sinal deslocado para a esquerda do 0o . O sinal está adiantado em relação a 0o . O sinal “cresce” antes de 0o .
y(t) = yM sen(ωt + θ)
Fase negativa: sinal deslocado para a direita do 0o . O sinal está atrasado em relação a 0o . O sinal “cresce” depois de 0o .
y(t) = yM sen(ωt − θ)
As Figuras 2(a) e 2(b) apresentam a definição de fase positiva e negativa, respectivamente.
(a)
(b)
Figura 2: Fase positiva e negativa
2.3
Relações úteis
sen(ωt) = cos(ωt − 90o )
cos(ωt) = sen(ωt + 90o )
−sen(ωt) = sen(ωt ± 180o)
−cos(ωt) = sen(ωt + 270o ) = sen(ωt − 90o )
sen(−ωt) = −sen(ωt)
cos(−ωt) = cos(ωt)
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2.4
8
Simbologia de fontes independentes
As Figuras 3(a) e 3(b) apresentam a simbologia para as fontes independentes de tensão e corrente, respectivamente.
(a)
(b)
Figura 3: Simbologia de fontes independentes
3
3.1
Valores caracterı́sticos de ondas periódicas
Valor médio
O valor médio de uma onda y(t) é calculado sobre um intervalo da função correspondente a um perı́odo fundamental completo T , desde qualquer
instante t0 .
ȳ = ymedio =
3.2
1
T
R t0 +T
t0
y(t) dt.
Valor eficaz
O valor eficaz (raı́z quadratica média ou root mean square-RMS ) é uma
medida estatı́stica sobre a magnitude de uma variável e é calculado sobre o
intervalo da função correspondente a um perı́odo fundamental completo T ,
desde qualquer instante t0 .
yef = yrms =
q
1
T
R t0 +T
t0
y(t)2 dt
A Tabela 1 apresenta a fórmula matemática para calcular o valor eficaz
das formas de onda senoidal, quadrada e dente de serra.
Onde,
Yp representa a amplitude da onda (valor pico).
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9
Tabela 1: Fórmulas para calcular o valor RMS
Forma de onda
3.3
Valor RMS
Senoidal
Y
√p
2
Quadrada
Yp
Dente de serra
Y
√p
3
Fasores
Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de
uma onda senoidal. A notação fasorial simplifica a resolução de problemas
envolvendo funções senoidais no tempo.
Por exemplo,
Dado y(t) = yM cos(ωt + θ) = 12cos(377t + 45o)
Notação fasorial: Y = yM 6 θ = 126 45o
3.4
Resposta dos componentes R, L e C em corrente
alternada
A resposta dos componentes básicos R, L e C ao sinal senoidal (corrente/tensão) será apresentada nesta seção.
• Resistor: em um circuito puramente resistivo, a tensão e a corrente estão em fase. Os valores picos da tensão e da corrente estão relacionados
através da Lei de Ohm.
Figura 4: Circuito puramente resistivo
v = Vm sen(ωt)
i = v/R = VRm sen(ωt)
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i = Im sen(ωt)
A Figura 5 apresenta as formas de onda de corrente e tensão em um
circuito puramente resistivo.
Figura 5: Circuito puramente resistivo: formas de onda
• Indutor: em um circuito puramente indutivo, a tensão vL (t). está
adiantada de 90o em relação à iL (t). Em outras palavras, a corrente no
indutor iL (t)está atrasada de 90o em relação à vL (t).
Figura 6: Circuito puramente indutivo
A Figura 7 apresenta as formas de onda de corrente e tensão em um
circuito puramente resistivo.
A tensão no indutor pode ser representada pela seguinte equação (conforme visto na disciplina de Introdução à Eletricidade):
vL (t) = L didtL = L d(Im sen(ωt))
= ωLIm cos(ωt)
dt
vL (t) = ωLIm cos(ωt) = Vm sen(ωt + 90o )
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Figura 7: Circuito puramente indutivo: formas de onda
Oposição =
ω = 2πf L
Vm
Im
=
ωLIm
Im
= ωL
A oposição é chamada de reatância indutiva e depende da frequência do
sinal e da indutância do indutor. A reatância indutiva é representada
por XL e é medida em ohms (Ω).
XL =
Vm
Im
= ωL = 2πf L
• Capacitor: em um circuito puramente capacitivo, a tensão vL (t). está
atrasada de 90o em relação à iL (t).
Figura 8: Circuito puramente capacitivo
A corrente no capacitor pode ser representada pela seguinte equação
(conforme visto na disciplina de Introdução à Eletricidade):
c
= C d(Vm sen(ωt))
= ωCVm cos(ωt)
ic (t) = C dv
dt
dt
ic (t) = ωCVmcos(ωt) = Im sen(ωt + 90o )
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Oposição =
ω = 2πf1 C
Vm
Im
=
Vm
ωCVm
=
12
1
ωC
A oposição é chamada de reatância capacitiva e depende da frequência
do sinal e da capacitância do capacitor. A reatância capacitiva é representada por XC e é medida em ohms (Ω).
XC =
Vm
Im
=
1
ωC
Comportamento de indutores e capacitores em baixa e alta frequência:
• Indutor: ↑ f ⇒↑ XL
↓ f ⇒↓ XL
• Capacitor: ↑ f ⇒↓ XC
↓ f ⇒↑ XC
Componente
f = 0Hz (CC)
Indutor (L)
XL = 2πf = 0Ω(curto)
Capacitor (C) XC = 2πf1 C = ∞Ω(aberto)
4
f → ∞(CA)
XL = 2πf = ∞Ω(aberto)
XC = 2πf1 C = 0Ω(curto)
Notação fasorial, Impedância e admitância
4.1
Notação fasorial
*Para traçar o diagrama fasorial, veja a subseção 1.3. Exemplos
serão apresentados em sala de aula.
4.2
Impedância
A impedância é caracterizada como o impedimento ao fluxo de cargas
elétricas em um material devido a uma perturbação externa alternada. A
impedância de um elemento em certa frequência é definida como a relação
entre a tensão e a corrente de entrada nesta frequência.
Esta relação pode ser dividida em duas componentes:
• relação das amplitudes (ou magnitude, módulo): representada pela
parte real da impedância e caracteriza a resistência do elemento (R);
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13
• relação entre fases: atraso entre os sinais de tensão e corrente. Representa a parte imaginária da impedância e que caracteriza a reatância
do elemento (X);
A impedância é expressa em Ohms e designada pelo sı́mbolo Z.
A reatância representa a oposição oferecida ao fluxo de corrente elétrica
alternada causada por capacitância ou indutância em um circuito.
Unidade: Ω
A relação entre impedância, resistência e reatância é dada por:
Z = R + jX
Onde,
Z representa a impedância;
R é a resistência;
X é a reatância.
X < 0: reatância capacitiva
X > 0: reatância indutiva
Conforme apresentado na seção 3.4, o valor das reatâncias é dado por:
XL = 2πf L
XC = 2πf1 C
Impedância na forma polar:
Z = r6 θ
Onde,
√
r = |z| = R2 + X 2
R = rcosθ
X = rsenθ
z = r(cosθ + jsenθ)
Ângulo de fase (θ): mede a relação entre resistência e reatância em
circuitos elétricos. O ângulo de fase é zero graus se o circuito é puramente
resistivo e noventa graus se o circuito é puramente capacitivo ou indutivo.
Um ângulo de fase de 45 graus representa um circuito com magnitudes iguais
de reatância e resistência.
Impedância puramente resistiva:
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14
Z = R 6 0o = R
Impedância puramente capacitiva:
Z = XC 6 − 90o = −jXC
Impedância puramente indutiva:
Z = XL 6 + 90o = +jXL
4.3
Admitância
Em circuitos de corrente alternada, a admitância é definida como Y =
Unidade no sistema internacional: Siemens
1
.
Z
Admitância na forma retangular:
Y = G + jB
Onde,
a parte real G representa a condutância (inverso da resistência) [Siemens];
a parte imaginária B representa a susceptância (inverso da reatância) [Siemens].
G=
B = X1
1
R
A admitância do circuito apresentado na Figura 9 pode ser obtida através
da soma das admitâncias de cada elemento:
YT = Y1 + Y2 + Y3 + ... + YN
A impedância total do circuito é o inverso da admitância total:
ZT =
1
YT
=
1
1
+ Y1 + Y1 +...+ Y1
Y1
2
3
N
Figura 9: Circuito paralelo
Exemplos:
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15
• Duas impedâncias em paralelo:
ZT =
Z1 Z2
Z1 +Z2
Usando o conceito de admitância:
YT = Y1 + Y2
Onde,
Y1 = Z11
Y2 = Z12
• Dado o circuito apresentado na Figura 10, determine:
Y R , Y L , Y C , Y T , ZT .
Figura 10: Exemplo
Solução:
1 6
YR = G6 0o = R1 6 0o = 5Ω
0o
YR = 0, 26 0o S = 0, 2 + j0 S
1 6
YL = BL 6 − 90o = X1L 6 − 90o = 8Ω
− 90o
YL = 0, 1256 − 90o = 0 − j0, 125 S
1 6
90o
YC = BC 6 90o = X1C 6 90o = 20Ω
YC = 0, 0506 90o = 0 + j0, 050 S
YT = YR + YL + YC = 0, 2 − j0, 125 + j0, 050 = 0, 2 − j0, 075 S
YT = 0, 21366 − 20, 56o S
ZT =
1
YT
=
1
0,21366 −20,56o
= 4, 68 + 20, 56oΩ
Tarefa: esboce o diagrama fasorial de impedâncias e admitâncias (separadamente). Não sabe como fazer? Então, veja a subseção 1.3.
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4.4
16
Associação de impedâncias
• Série:
A Figura 11 apresenta um circuito série composto por três elementos:
resistor, indutor e capacitor.
Figura 11: Circuito série: exemplo
A impedância total de um circuito série pode ser calculada da seguinte
maneira:
ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ... + ZN
Aplicando a fórmula no circuito exemplo:
ZT = Z1 + Z2 + Z3
ZT = R6 0o + XL 6 90o + XC 6 − 90o
ZT = R + jXL − jXC
ZT = R + j(XL − XC )
Observação: analisando ZT = R + j(XL − XC ), podemos concluir que
o circuito é puramente resistivo para XL = XC .
ZT = 6 + j(10 − 12) = 6 − j12
ZT = 6 − j12Ω = 6, 336 − 18, 43oΩ
A corrente total do circuito pode ser obtida através da Lei de Ohm:
IT = ZET
A diferença de potencial nos elementos R, L e C pode ser obtida aplicando a Lei de Ohm:
V Z 1 = V R = IT Z 1 = IT R
V Z 2 = V L = IT Z 2 = IT X L
V Z 3 = V C = IT Z 3 = IT X C
Ou aplicando divisor de tensão:
1
VZ1 = EZ
ZT
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VZ2 =
VZ3 =
17
EZ2
ZT
EZ3
ZT
Sugestão: efetue as operações de multiplicação e divisão na forma polar.
• Paralelo: A Figura 12 apresenta um circuito paralelo composto por dois
elementos: resistor e indutor.
Figura 12: Circuito paralelo: exemplo
A impedância total de um circuito paralelo pode ser calculada da seguinte maneira:
1
ZT
=
1
Z1
+
1
Z2
+
1
Z3
+ ... +
1
ZN
Fórmula para duas impedâncias:
Z2
ZT = ZZ11+Z
2
ou a partir da admitância total:
YT = Y1 + Y2 + Y3 + ... + YN
ZT = Y1T
Aplicando a fórmula no circuito exemplo:
1
= Z11 + Z12
ZT
1
= R6 10o + X 6 1 90o
ZT
L
→ Finalize os cálculos e esboce o diagrama fasorial de impedâncias.
Calculando a corrente que atravessa cada impedância:
I1 = IR =
E
R
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I2 = IR =
E
XL
Ou aplicando divisor de corrente:
I1 = IR =
I T Z2
ZT
I2 = IL =
I T Z1
ZT
IR =
I T ZL
ZR +ZL
IL =
I T ZR
ZR +ZL
IL =
IT R6 0o
R6 0o +XL 6 90o
IL =
20A6 0o 36 0o
36 0o +46 90o
IL = 166 36, 87o A
IR =
20A6 0o 46 90o
36 0o +46 90o
IR = 126 − 53, 13oA
18