Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Operações

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Operações numéricas em ponto flutuante
Instabilidade numérica
Mal condicionamento
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Arredondamento
F(β,t,m,M)
base 10:
t=1:
t=2:
t=3:
...
0.05
0.005
0.0005
Atenção: somar à mantissa (e não ao número em si)
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Arredondamento (exemplo)
Represente o número 1234.56 no sistema F(10,3,5,5),
com arredondamento:
0.123456 x 104
mantissa: 0.123456 + 0.5 x 10-3
0.123456 + 0.0005 = 0.123956
Resposta: 0.123 x 104
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Arredondamento (exemplo 2)
Represente o número (1001.1)2 no sistema F(2,3,5,5),
com arredondamento:
0.10011 x 24
mantissa: 0.10011 +
0.10011 +
0.10011 +
0.10101
Resposta: 0.101 x 24
(0.5 x 2-3)10
(0.1)2 x 2-3
(0.0001)
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Efeito do arredondamento
Após cada operação, perdemos informação
(arredondamento).
Exemplo (t = 3, base 10):
(11.4 +3.18) +5.05 = 14.6+5.05 =19.7
11.4 + (3.18 + 5.05) = 11.4+ 8.23 = 19.6
Efeito do arredondamento
Após cada operação, perdemos informação.
Exemplo (t = 3):
(3.18/5.05) x 11.4 =
0.630 x 11.4 =
7.182
7.18
(3.18 x 11.4) /5.05 =
36.3/5.05
=
7.188
7.19
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Efeitos numéricos
Cancelamento
efeito numérico que causa perda de dígitos significativos quando
subtraímos dois números muito próximos.
Ex.:
= 0.9937806599 x 102 - 0.9937303457x 102
= 0.0000503142 x102
= 0.5031420000 x 10-4
Zeros sem significado
Resultado mais preciso:
9876 − 9875 =
1
9876 + 9875
= 0.5031418679 x 10 − 4
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Efeitos numéricos
Propagação do erro (outro exemplo cancelamento)
efeito numérico que causa perda de dígitos significativos quando
na soma de vários números, uma soma intermediária é muito
maior que a soma final.
Ex.: F(10,3,5,5)
100 + 0.000100 - 100
= 0.100 x 103 + 0.100 x 10-3 - 0.100x 103
=
=0
0.100 x 103
- 0.100x 103
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Efeitos numéricos
Propagação do erro
Calcular
Erros de arredondamento
Truncamento
Erros das parcelas se propagam para o cálculo de:
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Instabilidade numérica
Os erros podem ir se acumulando durante o processo
Erros intermediários podem anular-se
Estabilidade
Instabilidade: Quando os erros intermediários têm uma
influência muito grande no resultado final.
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Instabilidade numérica (exemplo)
Podemos provar que xn é dado pela seguinte sequência:
Atenção: a fórmula está
correta! O erro é numérico!
De (Numerical analysis - Kincaid, Cheney), p. 48
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Mal condicionamento
Maioria dos Processos Numéricos
Dados são fornecidos
Os dados são processados de acordo com um plano
pré-estabelecido(algoritmo)
Os resultados são produzidos
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Mal condicionamento
Em um problema mal condicionado, uma leve variação
nos dados de entrada pode levar a soluções
completamente diferentes.
Por que isso é importante ?
(Dados são provenientes de medidas, observações, etc. e estão
sujeitos a erros)
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Mal condicionamento (exemplo)
x+y=2
x + 1.01y = 2.01
x=y=1
Mudando 2.01 para 2.02 x=0, y=2
Se coef 1.01 mudar para 1.00, retas paralelas.
y
(1,1)
y = (2.01 - x)/1.01
y = 2-x
x