Carapicuíba - Prof. Eduardo L. Estrada Matemática

FATEC - Carapicuíba - Prof. Eduardo L. Estrada
Matemática Discreta II
Lista 1 - Noções básicas de combinatória
1. Supondo que as placas dos veículos contêm 3 letras (dentre as 26 disponíveis)
seguidas de 4 dígitos numéricos, quantas são as placas nas quais:
(a) o zero não aparece na primeira posição numérica?
(b) não há repetição de letras e nem de dígitos?
(c) não há restrições quanto ao número de repetições?
2. Considere os números de 3 algarismos distintos formados com os dígitos 2, 3, 5, 8 e
9.
(a) Quantos são estes números?
(b) Quantos são menores do que 800?
(c) Quantos são múltiplos de 5?
(d) Quantos são pares?
(e) Quantos são ímpares?
3. Resolva o problema anterior, supondo ser permitida a repetição de dígitos.
4. Simplique:
(a)
(n+1)!
n!
;
(b)
n!
(n+2)!
;
(c)
(n+1)!
(n−1)!
;
(d)
(n−r)!
(n−r−2)!
.
5. Considere a palavra NÚMERO:
(a) Quantos são os seus anagramas?
(b) Quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?
(c) Quantos são os anagramas que começam e terminam por vogal?
(d) Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?
1
6. De quantas maneiras 3 americanos, 4 franceses e 3 belgas podem sentar em la, de
modo que os de mesma nacionalidade sentem juntos?
7. São dados os pontos A, B , C e D sobre uma reta m e A, F , G, H e I sobre uma reta
n, distinta de m. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se esses pontos?
8. De quantos modos diferentes podem ser dispostas em la m + h pessoas (todas de
alturas diferentes), sendo m mulheres e h homens:
(a) sem restrições?
(b) de modo que pessoas do mesmo sexo quem juntas?
(c) de modo que pessoas do mesmo sexo quem juntas, respeitando-se a ordem
crescente de altura?
9. Determine o número de divisores inteiros e positivos de:
(a) 720;
(b) 17.640;
(c) 1.540.
10. Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de:
(a) 720;
(b) 17.640;
(c) 1.540.
11. Há 10 cadeiras em la. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se
nenhum marido senta separado de sua mulher?
12. Há 15 cadeiras em la. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se
nenhum marido senta separado de sua mulher?
13. Há 5 livros diferentes de matemática, 6 livros diferentes de química e 10 livros diferentes de física. De quantas maneiras podemos arrumar estes livros numa estante,
de modo que:
(a) os livros de cada assunto quem juntos?
2
(b) os livros de matemática quem todos juntos?
(c) os livros de física quem todos separados?
14. De quantas maneiras podemos gravar os números de 1 a 6 sobre as faces de um cubo
se:
(a) cada face do cubo é pintada de uma cor diferente?
(b) as faces do cubo são indistinguíveis?
15. O nome de uma variável numa determinada linguagem de programação pode ser
constituído por uma letra ou então por uma letra seguida de um dígito decimal.
Quantas são as diferentes maneiras de se denominar uma variável nesta linguagem?
Considere o alfabeto constituído de 23 letras.
16. Dentre as permutações dos 10 dígitos 0, 1, ..., 9, quantas são aquelas em que o
primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito é menor do que 7?
17. De quantos modos se pode permutar as letras da palavra CARAVANA de forma
que os 4 A's não quem juntos?
18. No sistema decimal, quantos números de 6 dígitos distintos possuem 3 dígitos pares
e 3 dígitos ímpares?
19. Há 4 estradas diferentes entre as cidades A e B ; 3 estradas diferentes entre as cidades
B e C e 2 estradas diferentes entre as cidades A e C .
(a) De quantas maneiras diferentes podemos ir de A até C , passando por B ?
(b) De quantas maneiras podemos ir de A até C , passando ou não por B ?
(c) De quantas maneiras podemos ir de A até C e voltar?
(d) De quantas maneiras podemos ir de A até C e voltar, passando pelo menos
uma vez por B ?
(e) De quantas maneiras podemos ir de A até C e voltar, sem passar duas vezes
pela mesma estrada?
20. De quantas maneiras podemos retirar sucessivamente 2 cartas de um baralho completo (52 cartas) tal que:
3
(a) A primeira carta é um ás e a segunda carta não é uma rainha?
(b) A primeira carta é de espadas e a segunda carta não é uma rainha?
21. Quantas coleções não vazias podem ser formadas com 3 A's e 5 B's?
22. Num jogo de dominó, 4 pessoas dividem entre si, igualitariamente, 28 peças. De
quantas maneiras isto pode ser feito?
23. Um bote tem 10 lugares, 5 na frente (F) e 5 atrás (A). Dos 10 passageiros, 4 preferem
F, 3 preferem A e 3 não têm preferência. De quantas maneiras os lugares podem
ser ocupados, respeitando-se as preferências?
24. Dentre as permutações simples dos n objetos a1 , a2 , . . ., an ,
(a) quantas têm a1 em primeiro lugar?
(b) quantas não têm a1 em primeiro lugar e nem a2 em segundo lugar?
(c) quantas têm a1 em primeiro lugar e a2 em segundo lugar?
25. Considere os conjuntos E = {x1 , x2 , . . . , xp } e F = {y1 , y2 , . . . , ym }.
(a) Quantas aplicações (funções) podem ser denidas de E em F ?
(b) Sendo p ≤ m, quantas aplicações injetoras podem ser denidas de E em F ?
26. Considere os algarismos do número 786.415. Forme todos os números de 6 algarismos
distintos e coloque-os em ordem crescente. Qual a posição ocupada pelo número
dado?
27. Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os
algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
28. 5 rapazes e 5 moças devem posar para uma fotograa, ocupando 5 degraus de uma
escadaria, de forma que em cada degrau que um rapaz e uma moça. De quantas
maneiras podemos arrumar este grupo?
29. Determine o valor de x para que a identidade
15
x−1
=
15
2x+1
seja verdadeira.
30. Sabendo-se que numa reunião todos os presentes apertaram as mãos entre si e que
ao todo foram feitos 66 cumprimentos, calcule o número de pessoas presentes à
reunião.
4
31. Em um congresso há 15 professores de física e 15 de matemática. Quantas comissões
de 8 professores podem ser formadas:
(a) sem restrições?
(b) havendo pelo menos um professor de matemática?
(c) havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos 2 professores
de física?
32. Numa classe existem 8 alunas, das quais uma se chama Maria, e 7 alunos, sendo
José o nome de um deles. Formam-se comissões constituídas de 5 alunas e 4 alunos.
Quantas são as comissões das quais:
(a) Maria participa?
(b) Maria participa sem José?
(c) José participa?
(d) José participa sem Maria?
(e) Maria e José párticipam simultaneamente?
33. De quantos modos podemos dividir 18 pessoas em:
(a) 3 grupos de 6 pessoas cada?
(b) 2 grupos de 9 pessoas cada?
(c) um grupo de 11 pessoas e um grupo de 7 pessoas?
(d) 9 grupos de 2 pessoas cada?
(e) 2 grupos de 4 pessoas e 2 grupos de 5 pessoas cada?
34. De quantas maneiras se pode formar anagramas, a partir das 9 consoantes e 5
vogais, constituídos de 4 consoantes e 3 vogais, todas distintas? Em quantos destes
anagramas não há 2 consoantes juntas?
35. De quantas maneiras 22 livros podem ser distribuídos entre 5 estudantes (Paulo,
Roberto, José, Mário e Rafael), de modo que 2 deles recebam 5 livros cada e os
outros 3 recebam 4 livros cada?
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36. O que muda no exercício anterior se os alunos que devem receber 5 livros são Paulo
e Roberto, enquanto que José, Mário e Rafael devem receber 4 livros cada?
37. Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPPI nos quais não há 2 letras I
consecutivas?
38. De quantas maneiras 7 homens e 12 mulheres podem sentar-se ao redor de uma
mesa redonda de forma que 2 homens não sentem juntos?
39. De quantas maneiras se pode escolher 3 números naturais de 1 a 30 de forma que a
soma seja ímpar?
40. Determine o valor de n que torna a igualdade abaixo verdadeira:
n+1
n
=
.
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3
Bom Trabalho!
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