funções exponenciais

Mottola
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
1) Uma possível lei para a função exponencial do gráfico é
y
(a) y = 0,7 . 2x
(b) y = 2 . 0,7x
(c) y = -2 . 0,7x
(d) y = -2 . 1,7x
x
(e) y = - 0,7 . 2x
2) Os gráficos de y = 2x e y = 2-x
(a) têm dois pontos em comum.
(b) são coincidentes.
(c) não se encontram.
(d) têm somente um ponto em comum.
(e) têm mais de dois pontos em comum
3) (PUC) Os gráficos das funções definidas por f(x)=2x e g(x)=4x se encontram no
ponto de coordenada
(a) (-1,1/4)
(b) (-1,1/2)
(c) (-1,2)
(d) (0,1)
(e) (2,4)
4) Dadas as afirmações:
(I) A função y = 1/ x3 é exponencial.
(II) Uma função exponencial do tipo y = a . bx tem zeros reais, com a0.
(III) A equação 2x = 0 tem solução.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Apenas I é verdadeira
Apenas II é verdadeira
Apenas III é verdadeira
Todas são verdadeiras
Todas são falsas
1
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5) A função y=xx
(a) é exponencial
(b) é potência
(c) é exponencial e potência
(d) é exponencial ou potência
(e) não é exponencial nem potência
1
6) O conjunto solução da desigualdade  
2
(a) {x  R/ -2  x  2}
(b) {x  R/ x  -2 ou x  2}
(c) {x  R/ x  0 ou x  2}
(d) {x  R/ 0  x  2}
(e) {x  R/ 0  x  2}
x2 2

1
é
4
7) Seja f: RR a função exponencial definida por f(x) = a×bx, com a≠0, b>0, b≠1.
O conjunto-solução da equação f(x) = 0 é
(a) {0}
(b) {1}
(c) {0, 1}
(d) 
(e) R
8) A solução do sistema
2x . 2y = 1
3x . (1/3)y = 27
é
(a) x = 0
e
y=0
(b) x = 3/2 e
y = -3/2
(c) x = 2
e
y = -1
(d) x = -3/2 e
y = 3/2
(e) nenhuma das anteriores
9) (FUVEST) A equação 2x = -3x + 2, com x real,
(a) não tem solução.
(b) tem uma única solução entre 0 e 2/3.
(c) tem uma única solução entre –2/3 e 0.
(d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
(e) tem mais de duas soluções.
2
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10) Podemos afirmar que
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2x + 2y = 2x.y, com x, yR
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
 (-1)
2x  0, para todo x R
A função exponencial y = a× bx é crescente para b > 1
y = xx é a lei de uma função exponencial
11) (UFRGS) Uma substância decompõe-se segundo o gráfico exponencial abaixo,
onde t é o tempo (em segundos) e y é quantidade de substância (em gramas) no instante
t.
100
50
0
10
20
30
-50
A expressão de y = y(t) é
(a) y = 100.2- (t/100)
(b) y = 100.2- (t/50)
(c) y = 100.2- (t/10)
(d) y = 50.2- (t/10)
(e) y = 50.2- (t/100)
12) (PUC/RS) O domínio da função definida por y  2 x1  2  x , é
(a) (-, -1/2]
(b) (-, 1/2)
(c) (-, 1]
(d) [-1/2, +)
(e) [-1, +)
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13) (UFRGS) Sabendo-se que 6x+2 = 72, tem-se que 6-x vale
(a) -4
(b) -2
(c) 0
(d) 1/2
(e) 2
14) A soma das raízes reais da equação 4×22x - 5×2x + 1 = 0 é
(a) -2
(b) -1
(c) 1
(d) 5/4
(e) 2
15) Considerando a função exponencial f(x)=ax, a  R*+ e a  1, então se pode afirmar
(a) x1 < x2  f(x1) < f(x2), a
(b) x1 < x2  f(x1) > f(x2), a
(c) x1 < x2  f(x1) < f(x2), para a > 1
(d) x1 < x2  f(x1) < f(x2), para 0 < a < 1
(e) nenhuma das respostas anteriores.
4
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RESOLUÇÃO
1)
y=f(x)
(a) y = 0,7 . 2x
(b) y = 2 . 0,7x
(c) y = -2 . 0,7x
(d) y = -2 . 1,7x
(e) y = - 0,7 . 2x
0
f(1)
f(0)
1
x
Pelo gráfico, f(0) é negativo.
Não é (a), pois nela, f(0)=0,7.20=0,71=0,7, que é positivo.
Não é (b), pois nela, f(0)=20,70=21=2, que é positivo.
Pelo gráfico, f(0)<f(1).
Não é (d), pois nela, f(0)=-2 e f(1)=-3,4, sendo f(0)>f(1).
Não é (e), pois nela, f(0)=-0,7 e f(1)=-1,4, sendo f(0)>f(1).
2)
y=2-x
y=2x
Um ponto
3) Queremos saber para que afastamento x ocorre f(x)=g(x), ou seja, 2x=4x.
2x  4x
2 x  (2 2 ) x
2 x  22x
x = 2x
x = 0.
Logo, o ponto de intersecção é (0,1).
5
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1
1
 x 3 / 2 é uma função potência (variável na base).
3/ 2
x
x
para ser exponencial a variável deve estar no expoente.
4) (I) é F: y 
3

(II) é F: O gráfico de uma função exponencial do tipo y=a.bx não intercepta o eixo
X. Logo, não há afastamentos x com altura nula.
(III) é F: O gráfico de uma função exponencial y=2x não intercepta o eixo X.
Logo, não há afastamentos x com altura nula, ou seja, a equação 2x=0 não
tem solução.
5) Uma função exponencial é do tipo y=constantevariável (y=kx).
Uma função potência é o contrário: y=variávelconstante (y=xk).
A função y=xx, ou seja, y=variávelvariável, não é nem exponencial, nem potência.
1
6)  
2
x2 2
1
 
2
1

4
-2
+++
x 2 2
1
 
2
2
+ ++
2
x2  2  2
x2 – 4 > 0
{x  R / x  -2 ou x  2}
-4
7) Uma função exponencial do tipo f(x) = a×bx não intercepta o eixo X. Logo, não há
afastamentos x com altura nula, ou seja, não há x tal que f(x)=0. O conjunto destes
pontos é vazio.
8)
2 x  2 y  1

 x 1y
3     27
  3
x y
0

2  2
 x y
3

3  3  3
2 x  y  2 0
 x y
3  33
x  y  0


x  y  3
2y = -3
x=3/2 y=-3/2
6
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9) 2x = -3x + 2
f(x)=2x e g(x)=-3x+2
2
f(x)=g(x) apenas para x(0,2/3).
1
Logo, tem uma única solução entre 0 e 2/3
2/3
10) (a) é F: Por exemplo: 2 1 + 2 1  2 1 . 1. O que vale é 2x . 2y = 2x+y
(b) é F:  1
1
Logo,  1

 1 
1
1
 1
 1
1
  1
1
 1 
 11
1     11  1
  1
1
(c) é V: y=2 x não tem intersecção com X. Logo, 2x0, para todo x R. Se 2x0,
então 2x0.
(d) é F: y = a.b x, para a=-1 e b=2, é a função y = -2x, que é decrescente:
y=2x
y=-2x
(e) é F: y = x x não é do tipo y=kx, para k constante e x variável
11)
150
100
50
0
10
20
30
40
(a) y = 100.2-(t/100)
(b) y = 100.2-(t/50)
(c) y = 100.2-(t/10)
(d) y = 50.2-(t/10)
(e) y = 50.2-(t/100)
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O ponto (0,100) está no gráfico. Logo, quando t=0, y=100.
Nas alternativas (d) e (e), quando t=0, y=50, não estando corretas.
O ponto (10,50) está no gráfico. Logo, quando y=10, y=50.
Na alternativa (a), quando t=10, temos y  100  2
Na alternativa (b), quando t=10, temos y  100  2

10
100

10
50
 100  2
 100  2


1
10
1
5


100
1
10
2
100
2
1
5


100
10
2
100
5
2
 50 .
 50
12) Em y  2 x1  2  x , o que está sob a raiz não pode ser negativo, ou seja:
2 x1  2  x  0
2 x1  2  x
x+1 -x
2x-1
x-1/2
x[-1/2,+)
13) 6x+2 = 72
6x. 62 = 72
14) 4×22x-5×2x + 1 = 0
2
4t –5t + 1 = 0
6x . 36 = 72
6x = 2
4  (2 x ) 2  5  2 x  1  0
1/6x = 1/2
6-x = 1/2
Vamos fazer t=2x
2
 b  b 2  4ac 5  (5)  4  4  1 5  9 5  3
x



2a
2 4
8
8
t '  1 e t"  1 / 4
1  2 x '

Mas t=2x. Logo, temos:  1
x"
 2
4
15) R+ = [0, +∞)
 x'  0

 x"  2
x’ + x” = -2
𝑅+∗ =(0, +∞)
a 𝑅+∗ e a  1 significa que a>0 e a≠1, condição para ser base de função exponencial.
A afirmativa correta está na letra c:
x1 < x2  f(x1) < f(x2), para a > 1 significa dizer que uma função exponencial básica
f(x)=ax é crescente para a base a>1, o que é verdade.
8
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RESPOSTAS
1) C
2) D
3) D
4) E
5) E
6) B
7) D
8) B
9) B
10) C
11) C
12) D
13) D
14) A
15) C
9