Física Geral I - F -128 Aula 14 Conservação do Momento
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Física Geral I - F -128 Aula 14 Conservação do Momento Angular; Rolamento Cinemática de Rotação z Variáveis Rotacionais Deslocamento angular: Δθ (t ) = θ (t +Δt ) −θ (t ) Velocidade angular média ω = Δθ Δt y θ x Velocidade angular instantânea Δθ dθ ω = lim nˆ = nˆ Δt →0 Δt dt ! ! Δω Aceleração angular média α = Δt ! ! Aceleração angular instantânea α! = lim Δω = dω Δt → 0 Δt dt F128 – 2o Semestre de 2012 " 2 Cinemática de Rotação Relação com as variáveis lineares • Posição: s= r θ • Velocidade: ! α ! a ! t !a N r ! ! ! v =ω × r $ $ dω $ $ dr • Aceleração: a = ×r +ω × dt"! #"! dt # ! ! aN at ! ! ! at = α ×r = α r vˆ ! ! ! ! ! ! a N = ω ×v = ω ×(ω ×r ) = − ω 2 r rˆ ! v θ $ F128 – 2o Semestre de 2012 ẑ ! ω ŷ s x̂ z y θ x 3 Rotação em torno de um eixo fixo Tabela de analogias Rotação em torno de um eixo fixo energia cinética equilíbrio 2a lei de Newton 2a lei de Newton momento conservação potência F128 – 2o Semestre de 2012 1 KR= Iω2 2 ! ! ∑τ = 0 ! ! τ ∑ =Iα ! Movimento de translação 1 K = mv 2 !2 ! ∑F =0 ! ! ∑F =ma dL τ = ∑ ( ext ) dt ! dp! ∑F = dt ! ! Li =L f P =τ ω P= F v ! L = Iω ! ! p =mv ! ! p i= p f 4 Momento Angular " ! O momento angular ℓ de uma partícula de momento p em relação ao ponto O é: ! ! ! ℓ=r× p (Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto). d d = (r × p) = r × F = τ dt dt dL Para um sistema de partículas, τ ext = dt Para um corpo rígido em torno de um eixo fixo, L = Iω Se τ / τ ext = 0 , então o momento angular é constante no tempo! F128 – 2o Semestre de 2012 5 Conservação do momento angular No sistema homem – halteres: só há forças internas e, portanto: L( z ) =Iω = constante ⇒ I iωi =I f ω f ωi I i ωf I f Com a aproximação dos halteres ( I f < I i ) a velocidade angular do sistema aumenta. F128 – 2o Semestre de 2012 6 Conservação do momento angular O mesmo princípio se aplica na patinação artística: L( z ) =Iω = constante ⇒ I iωi =I f ω f http://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0 F128 – 2o Semestre de 2012 7 Exemplo Dados I bic = 1, 2 kg.m 2 ; I tot = 6,8 kg.m 2 e ωi = 3,9 rot/s Queremos calcular a velocidade angular final ω do sistema após o menino inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta (ver figura) Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta-menino (+ banco) Li = Lbic = I bicωi O menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta Lbic → − Li F128 – 2o Semestre de 2012 8 Exemplo Momento angular final do sistema: L f = Lbic + Lmen = Lmen − Li Conservação do momento angular (pois só há forças internas no sistema) L f = Li ⇒ Lmen − Li = Li ⇒ Lmen = 2 Li I tot ω =2I bicωi 2 I bic ωi ω= ≅ 1,4 rot/s I tot F128 – 2o Semestre de 2012 9 Conservação do momento angular No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico. Nenhum torque externo atua sobre ela em relação a um eixo que passa pelo CM; então no referencial do CM: ! dL′ ! ! ! ! = ∑ ri ′ × Fi = ∑ mi ri ′ × g = 0 dt i i $ #" =0 ! e o momento angular L ′ da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocidade angular em torno do eixo que passa pelo CM, às custas da redução do momento de inércia em relação a este eixo. F128 – 2o Semestre de 2012 ! LL′′ ⊗ ! Mg Mg 10 Movimento de um corpo rígido O tipo mais geral de movimento de um CR é uma combinação de uma translação com uma rotação. F128 – 2o Semestre de 2012 11 Rolamento (sem deslizamento) Ø O deslocamento do centro de massa e a rotação estão vinculados: Ø s é o deslocamento do centro de massa do objeto Ø θ é o deslocamento angular do objeto em torno de um eixo que passa pelo CM do sistema. vCM R θ s s= Rθ A velocidade do CM é dada por: F128 – 2o Semestre de 2012 ds dθ vCM = = R = Rω dt dt 12 Rolamento (sem deslizamento) Decomposição do rolamento em rotação + translação Rotação pura Translação pura ! vCM ! vCM ! vCM v = vCM = Rω F128 – 2o Semestre de 2012 Translação + Rotação ! 2 vCM v =ω R + v =0 = v=−ω R v = rω (acima do centro) v = −rω (abaixo do centro) ! vCM v =0 O ponto de contato está sempre em repouso. 13 Rolamento (sem deslizamento) Fotografia de uma roda em rolamento ! 2 vCM ! vCM v =0 Figura da esquerda: o rolamento sem deslizamento pode ser descrito como uma rotação pura com a mesma velocidade angular ω em torno de um eixo que sempre passa pelo ponto P de contacto (eixo instantâneo de rotação). De fato: v P′ =ω 2R= 2 ω R = 2vCM Figura da direita: os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se movendo mais depressa. F128 – 2o Semestre de 2012 14 Energia cinética de rolamento Encarando o rolamento sem deslizamento como uma rotação pura em torno do eixo instantâneo: 1 K= IPω 2 2 Mas I P = I CM + M R 2 (teorema dos eixos paralelos) ! 2v Então: 1 1 2 K = I CM ω + M R 2 ω 2 ! 2 2 vCM 1 1 2 2 K = I CM ω + M vCM 2 2 Isto é, a energia cinética do corpo rígido é a v =0 soma da energia cinética de rotação em torno do CM com a energia cinética associada ao movimento de translação do CM. CM F128 – 2o Semestre de 2012 15 Exemplo O iô-iô Torque externo relativo ao CM quando o iô-iô desce: r T Tr= I CM α Dinâmica linear (eixo orientado para baixo) Mg Mg −T = Ma Condição de rolamento: Mg T= Mr 2 1+ I CM F128 – 2o Semestre de 2012 v =ω r ⇒ a =α r e r2 a= T= I CM g I CM 1+ Mr 2 16 Exemplo Note que se o iô-iô sobe, o torque muda de sinal − Tr= I CM α r T Por outro lado, o fio se enrola e a condição de rolamento também muda de sinal v = −ω r ⇒ a = − α r Mg Ao final, as equações não mudam! T r = − I CM α = I CM Ma = Mg −T F128 – 2o Semestre de 2012 a r Mg T= Mr 2 1+ I CM r2 e a= T= I CM g I CM 1+ Mr 2 17 Exemplo Podemos ainda resolver o mesmo problema usando a conservação de energia: 1 2 1 MvCM + I CM ω 2 = M g z 2 2 r Z T A condição de rolamento é Mg 2gz vCM = ± = ± 2a z vCM =ω r I CM 1+ Mr2 Sinal (+) para a descida e (–) para a subida. Equação de Torricelli com aceleração constante dada por g a= I CM 1+ M ρ2 F128 – 2o Semestre de 2012 18 Rolamento (sem deslizamento) Atrito no rolamento ! ω ! Fa ω ! ⊗ ττ ! Mg Corpo rolando ladeira abaixo devido ao próprio peso. F128 – 2o Semestre de 2012 Transforma energia cinética de translação em rotação Transforma energia cinética de rotação em translação ω ! ! ω ⊗ ττ ! M g Mg ! FFaa Roda de um carro girando. 19 Exemplo Rolamento sobre um plano inclinado Na direção y: N − Mg cosθ = 0 Na direção x: Mgsen θ −Fa = Ma ! vCM Torque relativo ao CM: Fa R = I CM α y Condição de rolamento sem deslizamento: a = Rα Momento de inércia: I CM = Mk ( k é o raio de giração) F128 – 2o Semestre de 2012 ! N ! vCM x 2 ! Fa Mgcos θ ! Mgsen vCM θ ! Mg 20 Exemplo Rolamento sobre um plano inclinado g sinθ a= I CM 1+ MR 2 ⎧2 I ⎪ Se 1+ CM2 = ⎨3/ 2 R ⎪7 / 5 ⎩ Temos ainda: Fa = Mgsenθ ! N y ! vCM x anel cilindro ! Fa Mgcos θ esfera Mgsen θ ! Mg I CM ≤ µ e N = µ e Mg cosθ ∴ 2 I CM + MR I CM + MR 2 tgθ ≤ µ e ≡ tgθ r I CM F128 – 2o Semestre de 2012 Ângulo máximo (limiar) para que haja rolamento sem deslizamento 21 Precessão do momento angular Se a roda tem uma velocidade angular ω grande, seu eixo gira em torno do eixo z, como veremos ( movimento de precessão). O torque da força peso é: ! ! ! ! ao eixo τ = r × Mg ( τ é perpendicular ! e ∴ ao momento angular L da roda. ! ! ! dL Como τ = , segue que dL é ! dt perpendicular a L ! Então o módulo de L não varia, e o que muda é apenas a sua direção. F128 – 2o Semestre de 2012 22 Precessão do momento angular Roda Temos: dL =τdt =Mgrdt e da figura: dL = Ldϕ = Iω dϕ ∴ dL Mgrdt dϕ = = L Iω Velocidade angular de precessão: dϕ Mgr Ω= = dt Iω Note que este resultado também é válido quando o eixo do giroscópio (roda) faz um ângulo diferente de zero com a horizontal (ver exemplo do pião, a seguir) F128 – 2o Semestre de 2012 ! Li ! dL ! Lf 23 Giroscópio http://www.youtube.com/watch?v=8H98BgRzpOM F128 – 2o Semestre de 2012 24 Precessão do momento angular Pião Módulo do torque da força peso: ! L θ τ =Mgr senθ ! N Lei fundamental da dinâmica das rotações: ! ! ΔL = τ Δt ! Mg ΔL=Mg r senθ Δt ! τ Da figura temos: ΔL= L senθ Δϕ = Iω senθ Δϕ ∴ Mgr senθ Δt =Iω senθ Δϕ Velocidade angular de precessão: dϕ Mgr Ω≡ = dt Iω F128 – 2o Semestre de 2012 Δϕ 25 Precessão do momento angular O centro de massa do pião executa movimento circular com uma aceleração centrípeta ! L θ a c = Ω 2 r senθ ! N A força de atrito pião-piso é a responsável por esta aceleração ! Mg ! Fa ! τ Fa =MΩ 2 r senθ Fa ≤ µ Mg Como senθ ≤ µg Ω2r F128 – 2o Semestre de 2012 para que a ponta do pião fique fixa e haja apenas movimento de rotação! Δϕ 26 Um giroscópio ! L ! N F128 – 2o Semestre de 2012 ! Mg 27 Precessão do momento angular Como a Terra é um esferóide oblato (achatado nos polos), a Lua e o Sol provocam forças como as mostradas abaixo e em 13.000 anos o eixo de rotação sofre precessão de meio período, como na figura. F128 – 2o Semestre de 2012 28 FIM! L F128 – 2o Semestre de 2012 29
