F-128 Física Geral I Aula Exploratória – 04 Unicamp -­‐ IFGW F128 – 2o Semestre de 2012 1 Posição e Deslocamento O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas y coordenadas cartesianas por: . r (t) = x(t)iˆ + y(t) ĵ r y θ ĵ iˆ x x No caso espacial, 3D, temos: r (t) = x(t)iˆ + y(t) ĵ + z(t) k̂ F128 – 2o Semestre de 2012 2 Velocidade Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é: r (t +Δt )−r (t ) Δr Δx ˆ Δy ˆ vm = = = i+ j Δt Δt Δt Δt y trajetória O vetor velocidade instantânea é: r (t +Δt )−r (t ) dr v = lim = Δt →0 Δt dt (1) r (t ) Δr r (t + Δt ) Em termos de componentes cartesianas: d r (t ) dx ˆ dy ˆ v= = i+ j dt dt dt v ou: = v x iˆ + v y ˆj x Decorrências da definição (1): a) v é sempre tangente à trajetória; b) v coincide com o módulo da velocidade escalar definida anteriormente. F128 – 2o Semestre de 2012 3 Aceleração Novamente como no caso 1D, a aceleração média é: Δvz v(t + Δt)− v(t) Δv Δvx ˆ Δv y am = = = i+ ĵ+ k̂ Δt Δt Δt Δt Δt A aceleração instantânea é: 2 dv d r (t ) v (t +Δt )−v (t ) dv (2) a = lim = ou: a = = Δt →0 Δt dt dt dt 2 Em termos de componentes cartesianas: d v (t ) dv x ˆ dv y ˆ ou: a= = i+ j dt dt dt a = a x iˆ + a y ˆj Decorrências da definição (2): a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de v ); b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da trajetória. F128 – 2o Semestre de 2012 4 Movimento de um projétil Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante! r x = x0 + v0 x t v x = v0 x = constante componente x de v 1 2 componente y de r y = y 0 + v0 y t − gt 2 componente y de v v y = v0 y − gt r0 = x0iˆ + y0 ˆj componente x de y Em t = 0: ˆ v0 = v0 x i + v0 y ˆj Nota: ro e vo são as condições iniciais Trajetória g x do movimento. F128 – 2o Semestre de 2012 5 Movimento circular dφ Se ω (t ) = ≠ const. dt ⎛ v2 ⎞ a (t ) = α R vˆ + ⎜ − ⎟rˆ R⎠ ⎝ a (t ) dφ ds ρ= ds dφ =v= R = Rω (v: velocidade tangencial) dt dt dφ Se ω = = cte: φ = φo + ωt (Movimento circular uniforme) dt R Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares R e ϕ. O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo ϕ é: s = Rϕ. A posição angular ϕ é uma função do tempo, ϕ(t) . O arco descrito y em dt é dado por ds = R dϕ. Então: φ + dφ x O φ dv(t ) dω (t ) =R ≡ Rα (t ) dt dt (Movimento circular acelerado) T F128 – 2o Semestre de 2012 aN (t ) 6 Movimento Relativo Posição relativa: rPA (t ) = rPB (t ) + rBA (t ) A B rPA P • rPB rBA rPA = rPB + rBA , que é função do tempo: Velocidade relativa : drPA drPB drBA = + dt dt dt vPA = vPB +vBA v BA v PA v PB d v d v d v PA PB BA Aceleração relativa: a PA = a PB + a BA = + dt dt dt Em referenciais inerciais (os que se movem um em relação ao a PA = a PB outro em translação retilínea e uniforme): a BA = 0 (a aceleração é a mesma quando medida em dois referenciais inerciais). F128 – 2o Semestre de 2012 7 Exercício 01 A figura abaixo mostra o movimento de um cachorro em um terreno plano, do ponto A (no instante t=0) para o ponto B (em t=5,00 min), C (em t=10,0 min) e finalmente, D (em t=15,0 min). Considere as velocidades médias do cachorro do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidade média determine: a) o módulo e ângulo da que possui o menor módulo; b) o módulo e ângulo da que possui o maior módulo; y (m) 50 D 25 x (m) 0 25 A 50 C -25 -50 B Respostas: a) 0,83 cm/s e 0o; b) 0,11 m/s e -63o F128 – 2o Semestre de 2012 8 Exercício 01 a) b) y (m) 50 y (m) 50 D 25 0 D rD 25 Δr = rA − rC rC 25 rA A x (m) 50 0 C -25 -25 B -50 F128 – 2o Semestre de 2012 -50 x (m) rA A 25 C 50 Δr = rA − rD B 9 Exercício 02 Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial, as coordenadas da partícula são dadas por: x = 2,0t2 +6,0t (m) y = 1,0t + 3,0 (m) Estude o movimento da partícula, isto é: a) determine sua trajetória; b) determine as componentes da velocidade em função do tempo; c) determine as componentes da aceleração em função do tempo. Solução: a) trajetória parabólica: dx(t ) = 4,0t + 6 b) dt dy(t ) vY = = 1,0 dt vX = F128 – 2o Semestre de 2012 y x = 2y − 6y 2 dvX (t ) = 4,0 dt c) dv (t ) aY = Y = 0 dt aX = y=3 y=0 x 10 Exercício 03 Um caçador, localizado a uma distância de uma árvore, dispara contra um macaco que se encontra em um galho a uma altura h. No exato instante do disparo, o macaco se solta do galho. Sendo v0 a velocidade inicial da bala, mostre analiticamente que a bala atinge o macaco, e calcule o instante em que isto ocorre. http://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw v0t v0 • M 1 2 gt 2 1 Após um tempo t, r = v0 t + g t 2 é o vetor de posição do projétil. 2 de posição do macaco. Mas este é exatamente o vetor Restrição: R (alcance da bala) ≥ d. r d F128 – 2o Semestre de 2012 11 Exercício 04 Dois carros percorrem estradas retilíneas perpendiculares entre si. O carro (1) (ver figura) tem velocidade uniforme de 72 km/h. O carro (2) arranca no instante t = 0 com aceleração constante de 2,0 m/s2. Qual é o movimento (velocidade e trajetória do carro (2) em relação ao carro (1) ? a = 2m/s2 (2) y v0 = 72 km/h t=0 movimento aparente de (2) x (1) 72 km/h (1) trajetória de (2) no referencial de (1): movimento semelhante ao de um projétil, uma semi-parábola de equação: a 2 x2 y= x = 2 400 2v0 F128 – 2o Semestre de 2012 12 Exercício 05 Um esquiador desce de uma colina e desliza-se por uma rampa com uma velocidade vo e um ângulo de inclinação θ. A colina tem um ângulo de inclinação α como é indicado na figura. a) Determine o tempo de vôo do esquiador, ou seja o tempo no qual a pessoa está no ar. b) Determine a posição na qual ela bate com a colina. F128 – 2o Semestre de 2012 13 Exercício 06-Opcional A posição de uma partícula em função do tempo é dada por: r = 4sin (ωt ) iˆ + 4cos(ωt ) iˆ onde r está em metros e t em segundos. a) descubra a trajetória desta partícula; b) calcule o vetor velocidade da partícula; c) calcule o vetor aceleração; d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo. e) mostre que os vetores v e a são perpendiculares. F128 – 2o Semestre de 2012 14 Exercício 07-Opcional Um menino gira uma pedra, em um círculo horizontal de raio 1,1 m a uma altura de 1,6 m acima do solo. A corda que segura a pedra rompe-se e a pedra, após voar horizontalmente, atinge o chão depois de viajar uma distância horizontal de 8,7 m. Qual é a magnitude da aceleração centrípeta da pedra em movimento circular? F128 – 2o Semestre de 2012 15