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F-128 – Física Geral I
Revisão #3
UNICAMP – IFGW
Centro de Massa e 2a Lei de Newton
xCM
yCM
zCM
⎫
mi xi ⎪
∑
i =1
⎪
⎪⎪
1
m1 y1 + m2 y2 +  + mN y N
1 N
⇒
r
=
=
=
m
y
CM
∑ i i⎬
m1 + m2 +  + mN
M i =1
M
⎪
⎪
m1 z1 + m2 z2 +  + mN z N
1 N
=
=
mi zi ⎪
∑
⎪⎭
m1 + m2 +  + mN
M i =1
m1 x1 + m2 x2 +  + mN xN
1
=
=
m1 + m2 +  + mN
M
N
N
∑m r
i =1
i
i
2
2
2
 ( ext )
d rN
d r1
d r2

F
=
m
+
m
+

+
m
=
M
a
∑
1
2
N
CM
dt 2
dt 2
dt 2
 ( ext )

∑F =M aCM
F128 – 2o Semestre de 2012 (esta é a 2ª lei de Newton para um sistema de
partículas: o sistema responde à resultante das
forças externas como se a massa total M
estivesse toda concentrada no centro de massa)
2 Centro de massa de corpos contínuos uniformes
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividilo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
xCM
1
=
M
N
1
mi xi →
xdm
∑
∫
M
i =1
yCM
1
→
M
∫ ydm
zCM
1
→
zdm
∫
M
A massa infinitesimal dm pode pertencer a um fio, uma superfície ou um volume:
λ dl
λ : densidade linear de massa
σ dA
dm = σ : densidade superficial de massa
ρ : densidade volumétrica de massa
ρ dV
Se o corpo (volume) tiver densidade uniforme: dm = ρ dV =
1
xCM = ∫ xdV ;
V
1
yCM = ∫ ydV ;
V
1
z CM = ∫ zdV
V
M
dV :
V
Normalmente, não precisamos calcular estas integrais triplas!
F128 – 2o Semestre de 2012 3 Momento linear
O momento linear (ou quantidade de movimento)
de uma partícula
 
é uma quantidade vetorial definida como: p =mv
dv d p
a
A 2 lei de Newton pode ser escrita como: F =m =
dt dt
O momento linear de um sistema de N partículas é a soma
vetorial dos momentos lineares individuais:
  



P = p1 + p2 +....+ pN = m1v1 ++mN v N
Derivando em relação ao tempo a expressão do centro de massa:
N

1 N

 

rCM = ∑mi ri ⇒ ∑mi vi = P = M vCM
M i =1
i =1
Derivando novamente e usando a 2a lei de Newton para um sistema de

partículas:


dP
M aCM =∑ F ( ext ) =
dt
F128 – 2o Semestre de 2012 4 Forças de interação
O resultado líquido da força de interação é fazer variar o
momento linear das partículas. Pela 2a lei de Newton:

tf
tf 
pf

dp
  

F
dt
=
dt
=
d
p
=
p
−
p
=
Δ
p
f
i
∫t
∫t dt ∫p
i
i
i
A integral temporal da força é chamada impulso da força:
Impulso = área
sob a curva (1D)
 tf 

J = ∫ F dt =Δ p
ti
Ou seja, a variação do momento linear da partícula
durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força
que age sobre ela neste intervalo.
Como não conhecemos F(t), recorremos à definição da
força média durante o intervalo de tempo da colisão:
tf


∫t F dt = 〈 F 〉 Δt
Então:
 Δp
 i 
Δp = 〈 F 〉 Δt ou
〈F〉 =
Δt
F128 – 2o Semestre de 2012 〈F〉 =
Δp
Δt
5 Colisões elásticas unidimensionais

v1a
Antes:
Depois:

v2a
m1

v1d

v2 d
m1
m2
m2
⎧ p1a + p2 a = p1d + p2 d
(Conservação de momento linear)
⎪ 2
2
2
2
⎨ p1a + p2 a = p1d + p2 d
⎪ 2m 2m 2m 2m ( Conservação de energia cinética)
⎩ 1
2
1
2
⎛ m −m ⎞
⎛ 2m2 ⎞
⎟⎟ v2 a
v1d = ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ v1a + ⎜⎜
⎝ m1 + m2 ⎠
⎝ m1 + m2 ⎠
⎛ 2m1 ⎞
⎛ m −m ⎞
⎟⎟ v1a − ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ v2 a
v2 d = ⎜⎜
⎝ m1 + m2 ⎠
⎝ m1 + m2 ⎠
F128 – 2o Semestre de 2012 6 Colisões unidimensionais totalmente inelásticas

v1a
m1
antes
depois

v2a

vd
m2
m1+ m2
Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Pode-se
provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa
colisão inelástica em uma dimensão.
m1v1a +m2 v2 a =(m1 +m2 )vd ⇒
m1v1a +m2 v2 a
vd =
= vCM
m1 +m2
Como o centro de massa coincide com as duas partículas“grudadas”, elas têm
que se mover com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. A
energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
F128 – 2o Semestre de 2012 7 Colisões elásticas bidimensionais
Antes
v1a
Depois
v1d sen θ1
m1

v1d
v1d cosθ1
m2
θ1
Conservação do momento linear:
θ2
⎧ p1a = p1d cosθ1 + p2 d cosθ 2
⎨
⎩ 0 = p1d senθ1 − p2 d senθ 2
v2 d cosθ 2
Conservação da energia cinética:
− v2 d sen θ 2
p12a p12d p 22d
=
+
2m1 2m1 2m2

p1d
θ1
F128 – 2o Semestre de 2012 
p2 d

p1a

v2 d
triângulo dos momentos:



p1a = p1d + p2 d
8 Questão 1
Uma pequena esfera de massa m está verticalmente acima de uma bola
maior de massa M (com uma pequena separação, como na figura ao lado),
e as duas bolsa são deixadas cair simultaneamente da altura h. (Suponha
que os raios das bolas são desprezíveis em relação a h).
a)  Se a bola maior ricocheteia elasticamente no chão, qual sua velocidade
imediatamente após esta colisão?
b)  Se a bola menor ricocheteia elasticamente na bola maior, que valor de
m faz com que a bola maior pare no momento em que colide com a
menor?
c)  Nesse caso, que altura atinge a bola menor?
Respostas
F128 – 2o Semestre de 2012 a)

v
b)
m=
c)
H = 4h
M ,f

= − v = 2gh ĵ
M ,i
M
3
9 Variáveis rotacionais
Aceleração angular



Δω = ω (t+Δt ) − ω (t)

 Δω
α=
Δt


Δω dω

α = lim
=
Δt → 0 Δt
dt
Variação da velocidade angular
Aceleração angular média
Aceleração angular instantânea

A aceleração angular instantânea é um vetor paralelo aω quando o
eixo de rotação é fixo!
t2




ω (t2 ) −ω (t1 ) = ∫α (t ) dt
Velocidade angular em função de α
t2
t1
na direção fixa ( n̂ ): ω (t2 ) −ω (t1 ) = ∫α (t ) dt
F128 – 2o Semestre de 2012 t1
10 Cinemática angular
Em capítulo anterior já estudamos o movimento circular uniforme.
Vamos estudar agora o
Movimento circular uniformemente acelerado
Dadas as condições iniciais:
t1 = 0 e t2 = t → θ (0) =θ 0 e ω (0) = ω0
Temos, para a constante:
1
2
ω(t ) =ω0 +α t ; θ (t ) = θ 0 +ω0 t + α t 2
ω 2 = ω02 +2α (θ −θ 0 )
Comparando com as variáveis do movimento linear:
θ (t ) ↔ x (t ); ω (t ) ↔ v (t ); α (t ) ↔ a (t )
F128 – 2o Semestre de 2012 11 Relação com as variáveis lineares
•  Posição:
s= r θ

α


at
v
θ
ŷ
x̂

aN
(em módulo: at = α r)
     
a N = ω ×v = ω ×(ω ×r ) = − ω 2 r rˆ
F128 – 2o Semestre de 2012 r
s


 dv d   dω   dr
×r +ω ×
a = = (ω × r )==
dt dt
dt 
dt

  
at = α ×r = α r vˆ

 at

a
 N
  
ds dθ
•  Velocidade: v =
= r = rω ( v = ω × r )
dt
dt
•  Aceleração:
ẑ

ω
2
a
=
ω
r)
(em módulo: N
12 Energia Cinética de Rotação
1
1
1
1
2
2
K = m1v1 + m2 v2 +.... mn vn2 =∑ mi vi2
2
2
2
2
1
1
K =∑ mi (ω ri ) 2 = ( ∑mi ri 2 )ω 2
2
2

vi
2
Momento de inércia I: I = ∑mi ri
ou:
K=
1 2
Iω
2
(energia cinética de rotação)
∫
Distribuição contínua de massa: I = r 2 dm ,
⎧λ dl : em um fio
⎪
dm=⎨σ ds : em uma superfície
⎪⎩ρ dV : em um volume
F128 – 2o Semestre de 2012 13 Teorema dos eixos paralelos
Se conhecermos o momento de inércia ICM de um corpo em relação
a um eixo que passa pelo seu centro de massa, podemos facilmente
determinar IO do corpo em relação a um eixo paralelo que passa por O.
De fato:
  
   
2
ri = ri′+h ⇒ ri = (ri′+h ) ⋅ (ri′+h )


2
2
2
′
⇒ ∑mi ri =∑mi ri +∑mi h +2h ⋅∑mi ri′
i
i
i
Mas:
i

mi ri
 ∑
 

i
h=
⇒ ∑mi ( ri − h ) = 0 ⇒ ∑mi ri′=0
i
∑mi i
o•

h

ri
dm

ri′
•CM
i
Então:
2
I O =∑mi ri = I CM + Mh 2 (teorema dos eixos paralelos)
F128 – 2o Semestre de 2012 i
14 Questão 2
Uma placa fina de dimensões a e b pode girar sem atrito ao redor de
um pivô horizontal que passa por uma extremidade (ponto O na figura). A
placa é então solta do repouso em uma posição vertical. O momento de
inércia da placa, em relação a um eixo que passa por seu centro de massa e
é perpendicular à placa, é ICM = 1/12 M(a2 + b2).
a)  Qual o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação?
b)  Encontre o módulo da velocidade angular no instante em que o centro
de massa da placa está na posição horizontal.
c)  Qual a aceleração angular da placa nesta mesma posição?
d)  Quais são as componentes x e y da aceleração do seu centro de massa
no instante em que a placa está na horizontal.
a)
b)
c)
F128 – 2o Semestre de 2012 d)
1
M ( a 2 + 4b2 )
12
b
1
ΔU = Mg = ΔK rot = I o ω 2
2
2
I=
6gb
a + 4b2
3gb2
a y = at = 2
a + 4b2
α=
ω=
12gb
a + 4b2
2
2
ax = a N =
6gb2
a 2 + 4b2
15 Torque e a 2a Lei de Newton da rotação
No plano perpendicular ao eixo de rotação:
F(||)i = Fi senϕ i =mi riα
ri Fi senϕ i =mi ri α
 

2 
Vetorialmente: ri × Fi = mi ri α ≡ τ i
2

F(||) i

Fi

τi

F(⊥ ) i
ϕi

ri
  
Definição: τ i = ri × Fi é o torque da força

externa Fi sobre a i-ésima partícula do corpo rígido ( ⋅ vetor saindo do
plano do desenho)
No caso em que várias forças agem sobre a partícula, o torque



2 
total é:
= ( m r )α ≡ I α
τ res =∑τ i
Finalmente:
F128 – 2o Semestre de 2012 
i
∑

τ res = I α
i i
i
(2.a lei de Newton da rotação)
16 O Trabalho no deslocamento angular

Seja uma força externa Fi aplicada a uma partícula no ponto P. O
trabalho infinitesimal num deslocamento ds i = ri dθ é:
 
dWi = Fi ⋅ dsi = ( Fi senϕ ) ri dθ = τ i dθ

Fi

( Fi senϕ é a componente tangencial de Fi ;
a componente radial não trabalha). Então:
W =∑∫τ i dθ = ∫τ dθ

ds i
ϕ

ri
i
Como τ = Iα :
dω
W = ∫ I α dθ =∫ I
ω dt
dt
ωf
1
2 1
2
W = ∫ Iω dω = I ω f − I ωi = ΔK (teorema do trabalho-energia cinética
2
2
na rotação)
ωi
F128 – 2o Semestre de 2012 17 Momento Angular


O momento angular  de uma partícula de momento p
em relação ao ponto O é:
  
=r× p
(Note que a partícula não precisa estar girando em torno
de O para ter momento angular em relação a este ponto).
d d     
 = (r × p) = r × F = τ
dt
dt


dL
Para um sistema de partículas, τ ext =
dt


Para um corpo rígido em torno de um eixo fixo, L = Iω
F128 – 2o Semestre de 2012 18 Rotação em torno de um eixo fixo
 


pi =mi vi =mi ω ×ρ i ,
Como


2
temos:  zˆ = ρ i × pi = mi ρ i ω zˆ
(z)
i
ou

ω
 (i z ) = mi ρ i2ω

zi
L( z ) = ∑  (i z ) = ∑ mi ρi2ω = Iω
i
Se
F128 – 2o Semestre de 2012 
ri
ŷ
i

τ res = 0 ⇒ I iω i = I f ω f


ρi


pi = mi vi
x̂
19 Rotação vs. Translação
Tabela de analogias
Rotação em torno
de um eixo fixo
energia cinética
equilíbrio
2a lei de Newton
2a lei de Newton
momento
conservação
potência
F128 – 2o Semestre de 2012 1
KR= Iω2
2 

∑τ = 0
 
τ
∑ =Iα 
Movimento de
translação
1
K = mv 2
2 
∑F =0


∑F =ma
dL
τ
=
∑ ( ext ) dt
 dp
∑F = dt
 
Li =L f
P =τ ω
P= F v

L = Iω


p =mv
 
p i= p f
20 Rolamento (sem deslizamento)
Decomposição do rolamento em rotação + translação
Rotação
pura
Translação
pura

vCM

vCM

vCM
v = vCM = Rω
F128 – 2o Semestre de 2012 Translação
+ Rotação

2 vCM
v =ω R
+
v =0
=
v=−ω R
v = rω (acima do centro)
v = −rω (abaixo do centro)

vCM
v =0
O ponto de contato está
sempre em repouso.
21 Questão 3
Uma barra de comprimento L e massa M repousa sobre uma mesa
horizontal sem atrito. Um pequeno objeto de massa m, movendo-se com
velocidade v, como mostra a figura ao lado, colide elasticamente com a
barra.
a)  Que grandezas são conservadas na colisão?
b)  Qual deve ser a massa do objeto para que ele fique em repouso após a
colisão?
F128 – 2o Semestre de 2012 22 Questão 4
Um carretel de massa m e raio externo R rola sem deslizar, para a
esquerda, ao ser puxado por uma força F aplicada ao seu raio interno r
como mostra a figura. Sabe-se que o momento de inércia do carretel em
relação ao seu centro de massa é Icm .
a)  Qual a aceleração do centro de massa do carretel?
b)  Determine o módulo da força de atrito que atua no carretel e mostre
que ela aponta para a direita.
c)  Se o coeficiente de atrito entre o carretel e a superfície é µ, qual a
máxima força que pode ser aplicada ao carretel para que ele continue a
rolar sem deslizar.
F(R 2 − Rr)
a) acm =
I c + mR 2
b)
⎛ I + mRr ⎞⎟
⎟⎟
f at = F ⎜⎜⎜ c
⎜⎝ I c + mR 2 ⎟⎠
⎛ I + mR 2 ⎞⎟
⎜
⎟⎟
c) Fmax = µmg ⎜⎜ c
⎜⎝ I c + mRr ⎟⎠
Questão 5 – Extra
Um disco uniforme de massa m gira numa taxa de 120 revoluções por
minuto em torno de um eixo sem atrito passando pelo seu centro. Uma
barra fina de mesma massa que o disco, cujo comprimento é igual ao
diâmetro do disco, cai sobre o disco em rotação de modo que uma de suas
pontas fica sobre o centro do disco. Os dois passam então a girar juntos em
torno do eixo de rotação do disco.
a)  Calcule a velocidade angular final do sistema em unidades de rad/seg.
b)  Calcule o porcentagem de energia cinética que é transformada em
outras formas de energia neste processo.
a) Li = I i ωi = L f = I f ω f
2
1
1
1
11
12
I i = mR 2 ; I f = mR 2 + m(2R) = mR 2 ;⇒ ω f = π rad/s
2
2
3
6
11
1
1
I i ωi2 ; K f = I f ω 2f ;
2
2
b)
K
ΔK
3
= 1− f = 1− ≈ 72%
Ki
Ki
11
Ki =
F128 – 2o Semestre de 2012 24 Questão 6 – Extra
Uma fita leve está enrolada em volta de um disco circular de massa m e
raio r, que rola sem deslizar sobre um plano inclinado áspero de inclinação
θ. A fita passa por uma roldana fixa de massa desprezível e está presa a um
bloco suspenso de massa m’, como mostra a figura. Calcule:
a) a aceleração a da massa m’;
b) a tração T na fita.
c) Discuta o movimento do disco em função de m, m’ e θ .
Resp:
8m ′− 4m senθ
g
3m +8m ′
b) T = m′(g −a )
a) a =
m
2
c) se m′ > sen θ ⇒
o disco sobe o plano, etc
F128 – 2o Semestre de 2012 25