Física Geral I - F -128 Aula 12 Momento Angular e sua Conservação 2º semestre, 2012 Momento Angular Como vimos anteriormente, as variáveis angulares de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo ẑ têm sempre correspondentes lineares: τ ↔ F; α ↔a e I ↔m Vamos definir mais uma grandeza angular que nos será extremamente útil: o momento angular! Ampliaremos a definição de torque para aplicá-la a uma partícula, que se move em uma trajetória qualquer, em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo). ẑ O torque da força F , que age sobre a partícula, O em relação ao ponto O é definido como: τ = r ×F F128 – 2o Semestre de 2012 τ F r ŷ x̂ 2 Momento Angular Definição: o momento angular de uma partícula de momento p em relação ao ponto O é: =r× p (Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto). Derivando em relação ao tempo: d d dr dp = (r × p) = × p + r × dt dt dt dt =r× p =0 dp Por outro lado: F = res dt Então: r m p d = r × Fres =τ res dt F128 – 2o Semestre de 2012 3 Conservação do momento angular Como para qualquer massa puntiforme em movimento τ res d = dt ẑ , podemos imediatamente dizer que se τ res = 0 ⇒ = constante o p = mv r ŷ x̂ r e p mantêm-se num plano (perpendicular a ) durante o movimento quando o torque é nulo. F128 – 2o Semestre de 2012 4 Exemplo 1 Calcular o momento e o torque do pinguim em relação ao ponto Q O momento é dado por: =r×p Mas o momento do pinguim em função do tempo é dado por: p(t) = m v(t) = mgt Assim: l(t) = Dmgt Como: d , então τ = Dmg. =τ res dt (Verifique que este é o torque calculado quando leva-se em consideração a força peso no cálculo direto do torque.) F128 – 2o Semestre de 2012 5 Momento Angular O momento angular da partícula da figura ao lado é um vetor perpendicular ao plano do movimento e o seu módulo vale p( ⊥ ) = r p( ⊥ ) = r( ⊥ ) p r o r( ⊥ ) Se a força sobre a partícula é nula ela segue uma trajetória retilínea e p φ p r( ||) ( ||) τ = 0 ⇒ = r( ⊥) p = constante o r( ⊥ ) F128 – 2o Semestre de 2012 r p 6 Momento Angular Forças Centrais Há, entretanto, outros casos onde o momento angular se conserva mesmo na presença de forças não nulas. Um exemplo é o de forças centrais, que são forças da forma F (r ) = f (r ) rˆ p Neste caso: d = τ = r × f ( r ) rˆ dt =0 e se τ = 0 ⇒ = const. F128 – 2o Semestre de 2012 o r F (r ) = f (r ) rˆ 7 Exemplo 2 Dados R e vi pede-se: a) vf em função do raio r; b) o trabalho da força F. vi Como a força é central, o momento angular em relação a O se conserva: m vi R = m v f r F Rvi vf = r O trabalho da força é dado por rf 2 1 ⎡ ⎤ 1 1 2 2 2 ⎛R⎞ ∫r F (r )⋅dr = 2 m v f − 2 m vi = 2 m vi ⎢⎢⎜⎝ r ⎟⎠ −1⎥⎥ ⎣ ⎦ i F128 – 2o Semestre de 2012 8 Exemplo 3 Lei das áreas A Força gravitacional entre dois corpos, por exemplo, Sol e Terra é dada por: GMm F (r ) = − 2 rˆ r r + dr dr r Sol p Terra Como a força gravitacional é central, o momento angular da Terra se conserva (Sol estático, centro de atração gravitacional para a Terra) τ = 0 ⇒ = const. * o movimento se dá num plano normal a F128 – 2o Semestre de 2012 . 9 Exemplo 3 Lei das áreas Área do triângulo colorido: ( 1 dA = r × dr 2 Sol r + dr dr r p Terra dA = metade da área do paralelogramo) dA 1 dr = r ×m = dt 2m dt 2m dA = = constante dt 2m 2a Lei de Kepler: “O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”. F128 – 2o Semestre de 2012 10 Q2: Movimento circular vs Força central Existe algum movimento com trajetória circular e o momento angular não constante ? A. Sim B. Não F128 – 2o Semestre de 2012 11 Momento angular de um sistema de partículas O momento angular de um sistema de partículas é dado por: L = ∑ i = ∑ri × pi = ∑mi ri × vi i i ẑ pN = mN vN rN i Lembrando que a posição do CM é mi ri ∑ R= i ∑ mi i ∑ miri′= 0 ⇒ i o , podemos escrever: ∑ mi vi′ = ∑ pi′ = 0 i p2 = m2 v2 r2 R r2′ CM ŷ r1 p1 = m1v1 x̂ i Como ri = ri′ + R segue que vi = vi′ + V , onde V é a velocidade do CM: F128 – 2o Semestre de 2012 12 Momento angular de um sistema de partículas ′ ′ L = ∑ mi (ri + R) × ( vi + V ) = ∑ mi (ri ′× vi′ ) + i i R × ∑ mi vi′ + ∑ mi ri ′ ×V + ∑ mi R ×V i i i =0 =0 =M L = L′ + R × P Ou seja, o momento angular de um sistema de partículas é a soma do momento angular em relação ao CM com o momento angular do CM. Note que o momento linear interno de um sistema de partículas se anula. F128 – 2o Semestre de 2012 13 Momento angular de um sistema de partículas Lei fundamental da dinâmica das rotações A variação do momento angular total de um sistema de partículas é: =0 dL d dpi ⎛ dri dpi ⎞ =∑ (ri × pi )= ∑⎜ × pi + ri × ⎟ = ∑ri × = ∑ri × Fi dt i dt dt ⎠ i dt i i ⎝ dt Aqui Como dp i Fi = dt ∑i (referencial inercial) representa a força total sobre a partícula i. , ri × Fi = ∑ ri × ( Fi ( ext ) + ∑ Fi ← j ) i j ≠i podemos trocar i por j e reescrever: F128 – 2o Semestre de 2012 14 Momento angular de um sistema de partículas 1 [(ri × Fi ← j ) + (rj × F j ←i )] ∑i ri × Fi = ∑i ri × Fi ( ext ) + 2 ∑∑ i≠ j i≠ j Usando a 3a Lei de Newton F j ←i = − Fi ← j temos dL 1 = ∑ ri × Fi ( ext ) + ∑∑[(ri − rj ) × Fi← j ) dt i 2 i≠ j i≠ j τ (ext ) Como o produto vetorial do segundo termo é nulo (ver figura) dL = τ (ext ) dt F128 – 2o Semestre de 2012 ri Fi ← j F j ←i ri − rj rj 15 Energia cinética de um sistema de partículas Como vimos anteriormente: ′ ri =ri + R ⇒ ∑mi ri ′=0 ⇒ i ∑mi vi′=∑ pi′=0 i vi =vi′+V i e ri R ri ′ CM o 1 K =∑ mi vi2 i 2 1 1 1 2 K =∑ mi (vi′+V )⋅ (vi′+V ) =∑ mi vi′ +V ⋅ ∑mi vi′ +∑ miV 2 i 2 i 2 i 2 i =0 1 1 2 ′ K = ∑ mi vi + MV 2 2 i 2 F128 – 2o Semestre de 2012 Ou seja, a energia cinética de um sistema de partículas é a soma da energia cinética do sistema em relação ao CM com a energia cinética do CM. 16 Rotação em torno de um eixo fixo Vamos agora estudar o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Como podemos decompor o vetor posição de qualquer ponto do corpo rígido como ri = ρi + zi , temos: i = ri × pi = ρ i × pi + zi × pi zˆ = ρ i × pi (z) i ẑ zi ⊥ ẑ d (i z ) d zˆ = (ρ i × pi ) =τ i( z ) zˆ dt dt ρi pi = mi vi ri ŷ x̂ ( com o torque definido em relação ao eixo de rotação). F128 – 2o Semestre de 2012 17 Rotação em torno de um eixo fixo Como , pi =mi vi =mi ω ×ρ i (z) 2 i zˆ = ρ i × pi = mi ρ i ω zˆ ω = mi ρ ω zi temos: ou (z) i 2 i Note a analogia: F128 – 2o Semestre de 2012 i ri ŷ L( z ) = ∑ (i z ) = ∑ mi ρi2ω = Iω i ρi pi = mi vi x̂ L = I ω ↔ p = mv (z) 18 Rotação em torno de um eixo fixo Temos também: τ (z) = ∑τ i (z) i (z) d τ i( z ) = i dt ω α zi dli( z ) =∑ = dt i ⎛ ⎞ d ⎜ ∑ li( z ) ⎟ (z) ⎝ i ⎠ = dL = I d ω = I α dt dt dt ρi pi = mi vi ri ŷ x̂ Mas, pela Lei fundamental da dinâmica das rotações: dL =∑ri ×Fi ( ext ) =τ ( ext ) dt i F128 – 2o Semestre de 2012 τ ( z ) =τ ((extz ) ) dL( z ) = =Iα dt 19 Rotação em torno de um eixo fixo Tabela de analogias Rotação em torno de um eixo fixo energia cinética equilíbrio 2a lei de Newton 2a lei de Newton momento conservação potência F128 – 2o Semestre de 2012 1 KR= Iω2 2 ∑τ = 0 τ ∑ =Iα Movimento de translação 1 K = mv 2 2 ∑F =0 ∑F =ma dL τ = ∑ ( ext ) dt dp ∑F = dt Li =L f P =τ ω P= F v L = Iω p =mv p i= p f 20 Exemplo Um projétil de massa m move-se para a direita com velocidade vi. Ele bate e gruda na extremidade de uma haste de massa M e comprimento d que está montada num eixo sem atrito que passa por seu centro. a) calcule a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão; b) determine a porcentagem de energia mecânica perdida por causa da colisão F128 – 2o Semestre de 2012 21