1. (Alternativa C). Dois inteiros consecutivos - ORM/SC

TICA
OLIM
PÍA
D
GIONAL DE M
RE
AT
Á
EM
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XVI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET – MATEMÁTICA
A
SA
NT
A
CATARINA - U
FS
C
Gabarito 3 – 1 a fase de 2013
Nível 2
1. (Alternativa C). Dois inteiros consecutivos positivos podem ser representados por n
e n + 1 , sendo n ≥ 1 e a diferença entre seus quadrados é igual a (n + 1)2 − n2 =
n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1 = n + (n + 1). Portanto, o resultado é igual à soma desses
nùmeros.
m
4
4
2. (Alternativa C). Como 15m = 20n ⇔
=
e a fração
é irredutível, m = 4k e
m
3
3
n = 3k, k inteiro positivo. Assim, mn = 12k 2 , que é múltiplo de 12. Tomando k = 1,
verificamos que as demais alternativas são incorretas.
(m + n)(n − m + 1)
= 2007, pois
2
S = m + (m + 1) + (m + 2) + · · · + (n − 1) + n
3. (Alternativa E). A soma dos números de m a n é
S = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + (m + 1) + m
Somando:
2S = (m + n) + (m + n) + (m + n) + · · · · · · + (m + n) + (m + n)
|
{z
}
n − m + 1 parcelas
(m + n)(n − m + 1)
2
A decomposição em fatores primos é 3 · 3 · 223 (e observando que m + n > n − m + 1),
podemos ter os seguintes casos:
n−m+1
a) m + n = 223 e
= 18(que resulta em m = 103 e n = 120)
2
m+n
= 446 e n − m + 1 = 9(que resulta em m = 219 e n = 227)
b)
2
n−m+1
c) m + n = 3 · 223 = 669 e
= 6(que resulta em m = 332 e n = 337)
2
m+n
d)
= 3 · 223 e n − m + 1 = 3(que resulta em m = 668 e n = 670)
2
n−m+1
e) m + n = 2007 e
= 1(que resulta em m = 1003 e n = 1004)
2
Logo S =
4. (Alternativa D). (x + y)2 = 82 ⇔ x2 + 2xy + y 2 = 64. Logo x2 + 6xy + y 2 = x2 + 2xy +
y 2 + 4xy = 64 + 4 · 15 = 124
5. (Alternativa C).
(2 × 52 )50
5050
=
=
2525
(52 )25
250 ×5100
550
= 250 × 550 = (22 × 52 )25 = 10025
6. (Alternativa C). Pela figura abaixo, 5x+(180◦ −7x)+(180◦ −8x) = 180◦ ⇔ 5x−7x−8x =
−180◦ ⇔ 10x = 180◦ ⇔ x = 18◦ .
5x
3x + 4x = 7x
3x
6x + 2x = 8x
2x
6x
180° – 7x
4x
7. (Alternativa D). Em 600 números inteiros consecutivos positivos, há 600
= 200 múltiplos
3
600
de 3 e 4 = 150 múltiplos de 4; entretanto, alguns desses números aparecem duas vezes
nessa contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos de 12. Como
há 600
= 50 desses múltiplos, concluímos que o número de páginas com defeito é 200 +
12
150 − 50 = 300. Portanto 600 − 300 = 300 páginas que estão impressas.