ET2M-4 - Gabarito

Curso de Engenharia de Petróleo
Disciplina:
Nota:
Rubrica
Coordenador
Professor: Rudson R Alves
Aluno:
Turma: ET2M
Semestre: 1 sem/2014
Data: 26/06/2014
Avaliação: 2a Bimestral
Valor: 10,0 ptos
INSTRUÇÕES DA PROVA:
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Leia atentamente as questões antes de respondê-las;
Todas as questões devem ser feitas com caneta Azul;
Provas feitas a lápis, com uso de corretivos ou repassadas a caneta por sobre execução a lápis serão tratadas como
feitas a lápis;
Não é permitido o empréstimo de qualquer material durante a prova;
Somente é permitido o uso de calculadora científica simples (como as Casio fx82), para a realização dos cálculos,
qualquer outro equipamento eletrônico é proibido.
Questão 1. (1,0 pt)
2
O momento de inércia de rodas podem ser representados pela equação I=β M R , onde β
chamamos de fator de forma, ou seja, uma constante que depende da forma do corpo. Uma
definição matemática para este fator de forma seria:
β=
1
I
2
2 ∫ r dm=
2
MR V
MR
onde M é a massa total da roda, R o seu raio em contato com a superfície e a integral deve ser
tomada sobre todo o volume do corpo. A Tabela 01, ao final da avaliação, apresenta os valores
do fator de forma para alguns corpos conhecidos. Esta constante depende da forma como a
massa está distribuída ao redor do eixo de rotação. Baseado nestes resultados, podemos
afirmar:
1. O momento de inércia de um anel é maior que os demais pois neste toda a massa se
encontra mais distante do eixo de rotação;
2. O momento de inércia da casca esférica é maior que o momento de inercia da esfera
sólida pois esta possui mais massa longe do eixo de rotação que a esfera;
3. A melhor forma para uma roda seria a de uma esfera sólida pois por possuir um menor
momento de inércia, necessita de menos energia para girar, sobrando mais energia
para transladar;
4. O pneu de um carro ideal deve possuir o maior momento de inércia para melhorar sua
eficiência de translação;
5. A roda ideal deveria possuir mais massa no extremo do que próximo ao seu eixo de
rotação;
Estão corretas as afirmativas:
(a) 1, 2 e 3
(b) 2, 3 e 4
(c) 3, 4 e 5
(d) 4, 5 e 1
(e) 5, 1 e 2
(a) 1, 2 e 3
Boa Prova
Questão 2. (2,0 pts)
Um veículo de 1200 kg sobe um aclive de 20°, a velocidade constante de 80,0 km/h. Durante a
subida a força de atrito agindo sobre o veículo é de 300 N enquanto o comprimento do aclive é
de 200 m. (a) Determine o trabalho de cada força agindo sobre o veículo e (b) a taxa com que
o motor do veículo realiza trabalho (em cv), enquanto este sobre o aclive.
Solução:
Os dados do problema:
m=1200 kg
θ=20°
f =300 N
d=200 m
Trabalho da força Peso:
W P =F P⋅d=F P⋅d cos(110 °)=−804.431 J
Trabalho da Normal:
W N =F N⋅d =F N⋅d cos(90°)=0
Trabalho da força de Atrito:
W f =F at⋅d =−μ m g d=−60.000 J
O trabalho da força F, do motor do carro, através do Teorema Trabalho-Energia.
v =const . ⇒ Δ K =0=W if =∑ W F
W F +W P +W N +W f =0
W F =864.431J
i
(b) A Potência do Motor:
Primeiro determine a força do motor, F, pelo trabalho acima:
W F =864,431=F⋅d cos(0 °)⇒ F=4.322 N
portando:
P=F⋅v =F⋅v cos(0 °)=96.048 W
Em cv:
P=
96.048
=131 cv
735
Boa Prova
Questão 3. (2,0 pts)
Um bloco de 300 g é lançado por uma mola de constate elástica 1200 N/m contra uma
superfície horizontal com atrito, de comprimento L = 35,0 cm e coeficiente de atrito 0,500. (a)
Qual a menor compressão na mola necessária para fazer o bloco ultrapassar a elevação do
ponto A? (b) Qual a compressão necessário para fazer o bloco atingir o ponto B? (com d =
15,0 cm e h = 10,0 cm)
A
k m
B
h
L
d
Solução:
Os dados do problema:
m=0,30 kg
k =1200 N / m
μ=0,50
L=0,35m
h=0,10 m
(a) Compressão da mola: A energia inicial, quando o bloco é disparado pela mola,
1
2
2
Ei = k x =600 x
2
A energia inicial, quando o bloco sobre a rampa à direita,
E f =m g y f =m g h=0,294 J
O trabalho de força de atrito, ao atravessar o comprimento L,
W f =−μ m g L=−0,5145 J
Aplicando a equação de energia,
E f = Ei + W f
0,294=600 x 2−0,5145
x=0,0367 m=3,67 cm
(b) Para alcançar d:
W f =−μ m g (L+ d)=−0,735 J
A energia final, neste caso será zero, pois o bloco deve parar,
E f =0
A energia inicial continua sendo a mesma anterior.
Fazendo a conservação,
E f = Ei + W f
0=600 x 2−0,735
x=0,0414 m=3,50cm
Boa Prova
Questão 4. (2,0 pts)
Um disco rígido de 12 cm de diâmetro gira com a posição de um ponto sobre a sua superfície
dada pela equação:
θ(t )=3,25 t 3 −12,3t 2 −6,26t
com θ dado em radianos, t em segundos e maior que zero. (a) Em que instante este disco
atinge a velocidade de 7200 rpm? (b) Quantas revoluções terá dado, quando este para
momentaneamente?
Solução:
Os dados do problema:
θ(t )=3,25 t 3 −12,3t 2 −6,26t
ω(t)=
d θ(t)
=9,75t 2 − 24,6t −6,26
dt
α(t )=
d ω(t)
=19,5t −24,6
dt
(a) A velocidade angular de 7200rpm?
2π
ω=7200 rpm=7200⋅
=753,982 rad / s
60 s
aplicando na equação da velocidade angular:
ω0 =ω(t )
2
753,982=9,75 t − 24,6 t −6,26
2
9,75t − 24,6t −760,24=0
t= −7,66 s
10,2 s
{
como apenas t>0 é de interesse neste problema (veja enunciado), o instante será 10,2s.
(b) Revoluções até parar:
ω(t)=0
2
9,75t − 24,6t −6,26 =0
t= −0,233
2,756 s
{
pegue o instante 2,756s e encontre a posição:
θ(2,756 s)=−42,64 rad
transforme em revoluções:
−42,64
=−6,79 rev
2π
ou 6,79 revoluções no sentido horário.
Boa Prova
Questão 5. (3,0 pts)
Uma criança de 5,0 kg brinca em um pátio em seu triciclo de 3,0 kg. O triciclo é composto de
duas rodas de raio 15 cm e massa 500 g e a terceira de 20 cm de massa 800 g, a massa
restante compõe a estrutura do triciclo. O pátio em questão fica em uma baixada, rodeada por
um aclive suave de 50 cm de altura. Quando em movimento, desconsiderando a tração
mecânica transmitida pela criança através dos pedais, calcule: (a) a energia cinética de
translação do triciclo mais criança; (b) a energia cinética de rotação das rodas traseiras do
triciclo; (c) a energia cinética de rotação da roda dianteira do triciclo. (d) Qual a velocidade
mínima deve ter o triciclo para consegui subir o aclive?
ATENÇÃO: as letras (a), (b) e (c) devem ser expressadas em função da velocidade do triciclo.
Solução:
Os dados do problema:
M c =5,0 kg (massa dacriança)
M t =3,0 kg (massa dotricilo com as rodas)
M rt =0,50 kg (massadas rodastraseiras)
Rt =0,15m (raio daroda traseira )
M rd =0,80 kg (massa daroda dianteira)
Rd =0,20 m (raio daroda dianteira)
h=0,50m
Primeiro cálculo das Inércias:
I d =M rd . R2d =0,032 kg.m2 , inércia da roda dianteira
I t =M rt . R2t =0,01125 kg. m 2 , inércia da roda traseira
M =M c + M t =8,0 kg , massa da criança mais triciclo, massa total de translação.
(a) Energia de translação:
1
2
2
K T = M v =4,0 v
2
(b) Energia de rotação das rodas traseiras:
1
v2
2
2
K Rt =2× I t ω =I t 2 =0,50v
2
Rt
(c) Energia de rotação da roda dianteira:
1
v2
2
2
K Rd = I d ω =I d 2 =0,40 v
2
Rd
(d) Velocidade:
Ei =E f
K T + K Rd +K Rt =( M c + M t ) g h
2
4,9 v =39,2
v =2,83m/ s
Boa Prova