O é construído considerando um primeiro elemento e usando o

INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA
AULA 01: INTRODUÇÃO À LÓGICA E CONJUNTO
TÓPICO 03: CONJUNTOS NUMÉRICOS
O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS é construído considerando
um primeiro elemento e usando o significado da palavra “sucessor” que
quer dizer “vir logo após”, para definir os outros elementos. O conjunto
inicia com o elemento chamado de NÚMERO ZERO, o sucessor de zero é o
NÚMERO UM,
o sucessor de um é o NÚMERO DOIS, etc. Assim tal
conjunto sempre se expande a partir de qualquer um de seus elementos,
devido a isso, diz-se que o conjunto dos números naturais é infinito.
O conjunto dos números naturais é indicado pela letraN e escrito na
forma
LETRA N
A letra “N” se refere a inicial da palavra “natural”, existem
autores que consideram o conjunto dos naturais (isto é, conjunto dos
números que são usados para contagem de objetos da natureza)
iniciando com o número um. Uma das razões em que é conveniente
iniciar N a partir do número um é que o primeiro elemento seja um, o
segundo seja dois, assim por diante.
A forma em que N está definido, estabelece que seus elementos estão
ordenados e que N tem o primeiro elemento, mas não tem o último
elemento. Por sua vez, a ordenação dos elementos de N, permite estabelecer
em N uma relação chamada “menor que ou menor do que” indicada pelo
símbolo “ ”, sendo a e b naturais, diz-se que “a é menor que b”, escrevese “
”, se a antece b na construção de N. Sendo
escreve-se
também
neste caso, lê-se “b é maior que a ou b é maior do que a”.
Então, observe que o zero é menor que qualquer outro número natural, por
ser o primeiro elemento de N.
Existem muitas situações onde é necessário fazer medições em relação a
um referencial, por exemplo: temperaturas abaixo ou acima de zero grau,
neste caso, o zero é o referencial; débito ou crédito numa conta bancária,
onde o saldo igual a zero é o referencial; profundidade ou altitude em relação
ao nível do mar, onde o nível do mar é o referencial. Assim, por exemplo,
quando se deseja indicar uma temparatura de 5 graus abaixo de zero ou uma
de 5 graus acima de zero, é conveniente mencionar que a temperatura
abaixo de zero grau tem medida
graus e a acima de zero grau tem
graus (ou simplesmente, 5 graus). Admitindo que se conheça as operações
fundamentais (operações fundamentais -- São consideradas como operações
fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão.) no conjunto dos
naturais, outro motivador para ampliar o conjunto dos naturais é permitir a
Fonte [1]
subtração entre dois números naturais quaisquer, por exemplo,
não
pertence aos naturais. Em geral, para cada número natural n diferente de
zero, pode-se definir um número chamado MENOS n que é indicado pelo
símbolo “ ”, o número natural n é também chamado de NÚMERO
e o seu correspondente
é dito um NÚMERO
INTEIRO NEGATIVO. Outra forma aplausível de falar em número negativo, é
da seguinte forma: para cada número natural n diferente de zero, define-se
um número “ ” tal que
o número
não pertence a N
pois
não é zero e é positiva a soma de dois números positivos. Assim,
INTEIRO POSITIVO
define-se o CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS formado pelos inteiros
negativos, o zero e os inteiros positivos. O conjunto dos inteiros é indicado
pela letra Z (Z -- A letra “Z” tem origem da palavra do idioma alemão “zahl”
que significa “número”. ) , ou seja,
Embora o conjunto Z não possua o primeiro elemento, herda de N, a
propriedade de ser ordenado e a relação
ou
, neste caso, então: todo
número inteiro negativo é menor que o zero, adotando a propriedade
transitiva para a relação “<” em Z, todo número inteiro negativo é menor
que qualquer número inteiro positivo; sendo
e
números inteiros
negativos, diz-se que
se
Dois subconjuntos importantes de Z são, o conjunto dos números:
A)PARES
Dado por
B) ÍMPARES
dado por
Admitindo também que se conheça as op
erações fundamentais no
conjunto dos inteiros, uma razão para ampliar o conjunto dos inteiros e
permitir a divisão de qualquer número inteiro por outro diferente de zero,
por exemplo, não pertence a Z. Um NÚMERO FRACIONÁRIO ou uma
FRAÇÃO está relacionada com dois números inteiros onde um deles é
diferente de zero, o número que é diferente de zero é dito o DENOMINADOR
da fração e o outro é chamado de NUMERADOR da fração. Sendo p e q
inteiros, a FRAÇÃO DE NUMERADOR P E DENOMINADOR Q, é indicada
pelo símbolo “
ou
” que se lê “p sobre q”. Evidentemente, é
necessário explicar o que é
isto será feito a seguir.
SIGNIFICADO DA FRAÇÃO
Sejam p e q naturais, se:
(a)
e
então
(b)
(b)
e
então
então
é a quantidade p das q partes onde a
unidade é dividida;
(c)
então
(d)
dois casos são considerados, (i) quando p é múltiplo
é natural), então
é o natural n, e (ii)
de q (isto é,
quando p não é múltiplo de q (ou seja,
então
onde
representa n partes inteiras adicionadas da quantidade
r das q partes onde a unidade é dividida. A fração
forma
),
escrita na
é chamada de NÚMERO MISTO.
OBSERVAÇÃO
Observe que os número naturais são frações em virtude que
para todo natural p. Assim, usando dois números naturais definimos as
isto é, a FRAÇÃO NULA (que é o zero) e as
FRAÇÕES POSITIVAS. Evidente que existem situações onde é necessário
fazer medições em relação a um referencial, onde tais medidas não sejam
dadas através de números inteiros, por exemplo, uma temperatura abaixo
FRAÇÕES NÃO NEGATIVAS,
de zero grau que não seja medida precisamente por um número inteiro
negativo.
Em geral, pode-se definir uma FRAÇÃO NEGATIVA tendo como
numerador e denominador valores inteiros com sinais opostos, isto é, se p
e q são naturais diferentes de zero, a fração é
ou
ambas definem a
mesma fração e são indicadas por
diz-se ainda que
e
são
(ou VALORES OPOSTOS) em relação ao zero. Assim,
define-se o CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS formado pelas frações
negativas, nula e positivas, por isso, tais frações são também chamadas de
VALORES SIMÉTRICOS
NÚMEROS RACIONAIS.O
conjunto dos números racionais é indicado pela
letra Qisto é,
A letra Q deriva da palavra inglesa quotient que significa quociente.
É importante dizer que
não é número em qualquer classificação,
muito menos racional; particularmente, o símbolo
. Em Matemática
pode ocorrer na solução de certos problemas se chegar ao símbolo
particularmente em
,
, embora tais expressões não representem
nenhum valor, podem indicar procedimentos a serem seguidos para
concluir a solução desse tipo de problema.
Se as frações
e
são tais que
e
para algum natural n
maior que um, diz-se que as FRAÇÕES SÃO EQUIVALENTES e
simplificada para a forma
escreve-se
é
além disso, se p e q são
primos entre si (isto é, 1 é o único divisor comum de p e q), diz-se que
é
a FORMA IRREDUTÍVEL de
As frações podem ser comparadas, isto é, também é possível estabelecer
em Q a relação “menor que” baseada na relação de Z, da seguinte forma,
sejam as frações:
POSITIVAS COM O MESMO DENOMINADOR
(a) Positivas com o mesmo denominador, então é menor a fração que
tem menor numerador; e positivas com denominadores diferentes,
encontra-se as respectivas frações equivalentes com os mesmos
denominadores e aplica-se a afirmação inicial;
NEGATIVAS
(b) Negativas, suponha que tais
então
frações
sejam
e
se
NEGATIVAS, NULA E POSITIVAS
(c) Negativas, nula e positivas, então o zero é menor que qualquer
fração positiva, toda fração negativa é menor que o zero, admitindo a
transitividade para a relação
em Q, toda fração negativa é menor que
qualquer fração positiva.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Escrever em ordem crescente as frações:
e
SOLUÇÃO
Como
Sendo
e
e
então
(da
condição
(b))
então (da condição (a))
Portanto, da condição (c),
EXEMPLO PROPOSTO 1
Escrever em ordem decrescente as frações:
OBSERVAÇÃO
Embora os conjuntos numéricos tenham sido ampliados dos naturais
aos racionais, existem operações que não podem ser efetuadas com todos
os elementos do conjunto dos racionais ou podem ser efetuadas embora
não tenham respostas no conjunto, por exemplo: a divisão por zero,
e
etc. Não existe nenhuma ampliação do conjunto dos racionais,
onde a divisão por zero seja possível ou mesmo definida; mas existem
conjuntos de números mais amplos onde
e
estão definidos e têm
resultados nesses conjuntos.
OBSERVAÇÃO
Em relação a observação anterior, trantando-se de
nada será
comentado, devido a exclusão de tal raiz na definição da radiciação nos
racionais. Em relação a
em Q, merece atenção, se existir tal valor, ele
será positivo, entretanto não é inteiro, pois:
e
isto é,
mas não existe inteiro entre 1 e 2.
Será que
é uma fração
(não inteira) positiva e irredutível?
RESPOSTA E JUSTIFICATIVA
Suponha que a resposta é afirmativa, então (considerando que
assim
é par, logo p é par, isto é,
Sendo
tem-se
para algum
ou seja,
par. Sendo p e q pares, a fração
é par, logo q é
é redutível, o que uma
contradição pois a fração foi considerada irredutível.
OBSERVAÇÃO
A mesma situação ocorrida com a
e
, acontece também com
entretanto, pode ser provado que existem segmentos de reta que
são medidos por tais valores, isto será feito posteriormente, portanto é
natural que
,
e
sejam considerados como números.
Tais números, provavelmente, foram descobertos pelos
pitagóricos (veja o texto complementar 3 indicado no final deste
tópico) e passaram a chamar a atenção já na época de Pitágoras, pelo
fato de existirem grandezas que são medidas por tais valores.
Existem números na mesma categoria de tais valores, que não são
obtidos da raiz quadrada de nenhum valor positivo e são muito comuns, por
exemplo: os números simbolizados pela letra “ ” (usado pela primeira vez
para indicar a razão do comprimento da circunferência para o seu diâmetro)
e pela letra “e” que aparece na teoria dos logaritmos. Já foi provado que os
números " " e "e"não são racionais
NÃO SÃO RACIONAIS
A irracionalidade de “e” e “ ” têm demonstrações de níveis mais
alto do que a raiz de dois. A demonstraçao que o número “e” é irracional
foi obtida pelo matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783) em 1737.
O uso da letra “e” foi idealizado por Euler e impresso pela primeira vez
em sua obra “Mechanica” de 1736, embora o seu conceito já fosse
conhecido a mais de um século. A letra “ ” é a inicial da palavra
“perímetro” em grego e foi também adotada por Euler; porém foi o
matemático suiço Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quem
primeiro apresentou a prova de que
é irracional, na Academia de
Berlin em 1761. O conceito de data da época dos antigos babilônios e
egípcios, que já usavam com precisão bastante satisfatória, isto é,
consideravam =3,16. "
Os números
,
e
“e”
são chamados de NÚMEROS
IRRACIONAIS.
Tais valores são exemplos de números irracionais, mas existe
um conceito para número irracional (como será comentado no texto
complementar 3 indicado no fim deste tópico) que está além do nível deste
texto. A partir deste momento, será admitido a existência do CONJUNTO
DOS NÚMEROS IRRACIONAIS que será indicado por I; nesse conjunto não
há número racional, isto significa que está excluído de ser número irracional,
as frações e os números que podem ser transformados em frações (como os
números decimais e as dízimas periódicas (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.)). Não se pode dizer que número irracional é todo
número que não é racional, pois existem números que não são racionais e
nem irracionais, chamados denúmeros complexos.
NÚMEROS COMPLEXOS
São números da forma a+bi onde i=
a e b são reais, chamados
de números complexos, surgiram antes dos números negativos e os
irracionais estarem solidamente estabelecidos, a grande contribuição
foi do italiano Raplael Bombelli (1526-1572) em sua “ Algebra” de
1573. Entretanto o símbolo “
” foi introduzido em 1629 por Girard
(veja o texto complementar 3 indicado no final deste tópico) e “i” foi
usado pela primeira vez para indicar
em 1777 pelo matemático suiço
Leonhard Euler (1707-1783); foi impresso pela primeira vez em 1794 e o
termo “número complexo” foi introduzido pelo matemático alemão Carl
Friederich Gauss (1777-1855) em 1832."
Embora os números irracionais não sejam racionais, eles podem ser
aproximados, por exemplo, através de números decimais com qualquer
quantidade de algarismos decimais. A seguir estão aproximações com quatro
algarismos decimais para os irracionais exemplificados:
e
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS é indicado por R e definido como
a união dos conjuntos dos números racionais com o dos irracionais, isto
é,
É importante observar que
PONTOS DE UMA RETA (VISITE A AULA ONLINE PARA REALIZAR
DOWNLOAD DESTE ARQUIVO.) podem ser associados aos números reais, da
seguinte forma: incialmente, considere uma reta r na posição horizontal,
escolhendo um ponto qualquer de r, designando esse ponto pela letra
“O”, faça-o corresponder ao “número zero”; em seguida, escolha outro
ponto qualquer à direita do ponto “O”, chamando esse ponto de “P”,
identifique P com o “número um”. Adotando a distância unitária de O a P,
essa unidade de comprimento é usada para associar o restante dos números
naturais a pontos da reta. O número dois corresponde ao ponto que está à
direita e a uma unidade de distância de P, o número três correspondente ao
ponto que está à direita e a uma unidade de distância do ponto
representando o número dois, assim sucessivamente.
Com o objetivo de simplificação, é conveniente que não se dê nome aos
pontos da reta associados aos números e tais pontos sejam indicados apenas
pelos valores numéricos associados, assim é comum se mencionar: o ponto
zero, os pontos 1 e 2, etc.
Para associar pontos da reta aos números inteiros em geral, basta fazer a
correspondência dos inteiros negativos com os pontos à esquerda de O (de
forma análoga a que foi efetuada com os naturais a partir de um), ou ainda,
cada número inteiro negativo -n é associado ao ponto oposto ao ponto
associado a n em relação ao ponto O. Como o ponto zero serve de referência,
ele chamado de ORIGEM.
Pontos da reta também podem ser associados aos racionais em geral,
basta seguir o princípio da ordem estabelecida e da distância unitária.
Observe que entre dois números inteiros, pode não existir outro inteiro;
entretanto, entre dois racionais, sempre existe outro racional, por exemplo,
se a e b são números racionais onde a é menor que b, então
.
OBSERVAÇÃO
Pode-se identificar um racional que não é inteiro a um ponto de R,
por exemplo, para achar o ponto associado a:
(a)
como
o segmento de 0 a 1 é dividido em três partes
iguais por dois pontos, o segundo desses pontos está associado a
e
(b)
, como
(um inteiro acrescido de
), isto é,
o
segmento de 1 a 2 é dividido em cinco partes iguais por quatro pontos, o
terceiro desses pontos está associado a ;
(c) -
, como -
o ponto associado a
associado a
e
ão valores opostos em relação a zero, localizando
, o ponto associado a -
é o oposto do ponto
em relação ao ponto associado a zero.
DÚVIDA
Feita a identificação do conjunto dos racionais com pontos da reta,
cabe a pergunta, será que existe ponto nessa reta que não é identificado
com nenhum número racional? Antes de responder tal pergunda, é
importante lembrar que entre dois números racionais, tem sempre outro
racional; esta propriedade dos racionais, siginifica dizer que Q é DENSO
em R.
Com tantos números racionais, seria intuitivo responder
negativamente a pergunta efetuada; entretanto, a resposta é afirmativa,
isto significa que existem pontos da reta que não estão associados a
nenhum número racional, isto é, a reta também tem pontos associados a
irracionais, como por exemplo,
e
isto será provado posteriormente
no tópico 1 da aula 4. O certo é que o conjunto dos irracionais
não
é vazio, mais do que isso, uma teoria mais avançada permite mostrar que
ele também é denso em R; além disso, existem critérios que classificam I
mais amplo do que Q.
OLHANDO DE PERTO
Resta perguntar, será que existe algum ponto da reta que não esteja
associado a algum número real? O axioma de Cantor-Dedekind (veja o
texto complementar 3 indicado no final deste tópico) responde de forma
negativa, mas do que isso, cada número real corresponde a um único
ponto da reta e cada ponto da reta está associado a um único número real.
O conjunto do reais, com as considerações explanadas em relação a uma
reta, é dito um SISTEMA DE COORDENADAS DA RETA e a reta é chamada
de RETA REAL ou EIXO REAL.
Em conjuntos numéricos, quando se usa o símbolo: * (estrela),
indica que o zero foi excluído do conjunto; + (sinal de adição), significa
que foram excluídos todos os números negativos; -(sinal de subtração),
quer dizer que foram excluídos todos os números positivos. Por
(ii)
(iii)
O
exemplos:
(i)
conjunto
é dito o conjunto dos reais estritamente positivos e os outros
conjuntos análogos têm nomes semelhantes.
Se uma reta está na posição horizontal, por exemplo, dados os números
reais a e b, diz-se que a é MENOR QUE b (ou b é maior que a), indicase
(ou
se a está à esquerda de b na reta; além disso,
(lêse, a menor do que b ou igual a b) se
ou
analogamente
No tópico 3 da aula 2, será dada uma definição não geométrica para “ < ”.
Outros conjuntos numéricos importantes, são os INTERVALOS de
números reais, se a e b R com a < b, tais intervalos são definidos a seguir,
onde nas figuras, os eixos na cor “azul” representam o conjunto dos reais e
intervalos estão ilustrados na cor “laranja”:
Intervalos (Clique aqui)
INTERVALO FECHADO
INTERVALOS ABERTOS
INTERVALOS SEMIFECHADOS OU SEMI-ABERTOS
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Os intervalos [-1,2) e
figuras a seguir.
são representados pelas respectivas
EXEMPLO PROPOSTO 2
Representar com a outra notação e geometricamente: (a) [0, 4); (b)
(c)
(d)
LEITURA COMPLEMENTAR
Texto Complementar 1 (Aula 1)
Fatos Históricos sobre a Álgebra Moderna. No texto “Fatos Históricos
sobre a Álgebra Moderna (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.)”, estão alguns comentários a respeito dessa álgebra e
reunimos os nomes dos principais matemáticos envolvidos com o seu
desenvolvimento inicial.
Texto Complementar 2 (Aula 1)
Número, numeral e algarismo. No estudo dos números, alguns termos
fazem muita confusão neste tema, o texto “Número, Numeral e Algarismo
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)” tem o objetivo
de ajudar a compreensão.
Texto Complementar 3 (Aula 1)
Fatos históricos sobre números e suas operações. No texto “Fatos
Históricos sobre os Números e suas Operações (Visite a aula online para
realizar download deste arquivo.)”, reunimos uma boa parte da História
dos números, suas operações e surgimento dos símbolos operacionais
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Os exemplos propostos 1 e 2 deste tópico são as respectivas
3 E 4 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO
individual do ambiente SOLAR. A QUESTÃO 5 do trabalho é composta de
QUESTÕES
três itens, onde cada item é um breve comentário sobre os assuntos dos
respectivos textos complementares indicados no final deste tópico. É
exigido que o trabalho composto pelas cinco questões, seja postado no
Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num ÚNICO
ARQUIVO DIGITADO NO
WORD OU EM PDF ou ainda MANUSCRITO E
ESCANEADO.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.olivetocitraic.it/web%20ricerca%20azione1/matematica.jpg
Responsável: Prof. José Othon Dantas Lopes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual