Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB

Aula 00
Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB - 2015 (com videoaulas)
Professor: Felipe Lessa
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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ ATRFB 2015
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AULA 0:
5. Matrizes.
SUMÁRIO
Cronograma ..................................................................................... 3
I. Matrizes ....................................................................................... 6
II. Mais Questões Comentadas... ...................................................... 19
III. Lista das Questões Apresentadas ................................................ 23
Olá Concurseiro!
Seja muito bem vindo ao nosso Curso! Embarcar neste desafio de estudar
para a Receita Federal não é para qualquer um; é para os fortes! E meus
parabéns por você ter dado este primeiro passo.
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Este ano de 2015, como você deve estar acompanhando na mídia, deve ser
um ano de austeridade, com o Governo querendo arrecadar mais para
equilibrar suas contas. Neste contexto, a Receita Federal ganha uma
importância enorme, pois a sua missão é prover o Estado de recursos.
Com isto, acreditamos na valorização da carreira de Auditoria da RFB mais
do que qualquer outra carreira de Estado. A necessidade de aumentar a
arrecadação requer uma maior quantidade de servidores na ponta. E para
aumentar servidores, eu só conheço uma maneira: CONCURSO PÚBLICO!
O concurso da Receita Federal é, sem dúvida, um dos mais aguardados
entre os concurseiros! E, para você mandar bem nesse concurso, é
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FUNDAMENTAL se preparar com antecedência. Assim, você sai na frente
dos seus concorrentes e não é pego de surpresa quando sair o edital!
Nossas aulas estão bem distribuídas até o AGOSTO para que você possa se
preparar com calma, sem correria! Assim, quando sair o edital, você só
precisará revisar os conceitos aprendidos!
Este Curso está atualizado com todas as provas aplicadas pela ESAF
em 2014: AFRFB 2014, MTUR 2014 e ATA 2014
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Falando um pouquinho de mim e da minha história, me chamo Felipe Lessa,
sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado no concurso de
2009.
Sou engenheiro de telecomunicações formado pelo IME (Instituto Militar de
Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos
números e espero poder passar um pouco desse gosto para vocês. Afinal,
dominar bem o Raciocínio Lógico é pré-requisito para ir bem em qualquer
matéria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formação para os
aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar
que mais de 60% dos aprovados levantaram a mão.
Por que os engenheiros se dão bem em concursos públicos? Porque são
formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei
questões de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando
conceitos de raciocínio lógico. É isso que eu espero passar para você nesse
curso, caro aluno!
Minha experiência em concursos públicos começou bem cedo: aos 14 anos.
O Colégio Militar do RJ, pela primeira vez em sua história, resolveu abrir
concurso para o Ensino Médio e ofereceu apenas 20 vagas...
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Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E
sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu
respondia: “– Dezenove, pois uma já é minha!”. Dito e feito! Fiz as quatro
provas do Colégio Militar e saiu o resultado: 1º LUGAR GERAL!!!!!
A essa hora, você deve estar pensando: “– Ih... Cara metido... Precisava
encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? Só quer saber de contar
vantagem”.
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Mas não, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu
pensamento tem que ser este. Estude como se uma das n vagas já fosse
sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda:
“– (n – 1), porque uma já é minha!”
Por fim, quero dizer mais uma vez que é um imenso prazer poder fazer
parte desta seleta equipe do Estratégia Concursos e que me empenharei
ao máximo para tentar fazer parecer fácil essa matéria da qual muitos
fogem e têm medo: Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática.
***
Voltando aos estudos, uma estratégia que utilizei e recomendo para
aqueles que não têm muito tempo para frequentar aulas, como eu não
tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, é: fujam das aulas presenciais.
Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma
de 80 alunos, você aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado.
Ah, mas é claro: é sempre bom ter um professor com quem você pode tirar
suas dúvidas. Desta forma, você leva ao professor somente a sua dúvida e
ganha tempo! No nosso curso, ainda temos os vídeos para ajudar!
Para preparar este curso de RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO E
MATEMÁTICA P/ ATRFB 2015, tomei por base o EDITAL ESAF n. 23,
de 06 de julho de 2012. Nosso curso apresentará, de um modo bem
interativo, a teoria que cerca a matéria, muitos exercícios resolvidos da
ESAF e Vídeo-Aulas que complementam o material escrito. Quando eu
achar pertinente, trarei exercícios de outras bancas.
*******
Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! Não tenham medo da
Lógica!
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Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, você vai ver que ela pode
ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso.
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Cronograma
O cronograma do curso está baseado nos itens do próprio Edital de 2014,
mais ou menos na ordem em que aparecem, abrangendo todo o conteúdo
cobrado nele.
Faremos assim:
AULA
CONTEÚDO
DATA
Aula 0
5. Matrizes.
23/01
Aula 1
1. Estruturas Lógicas Associação Lógica /
Verdades e Mentiras
03/02
Aula 2
1. Estruturas Lógicas Lógica de Proposições
13/02
Aula 3
1. Estruturas Lógicas Equivalência Lógica
23/02
Aula 4
2. Lógica de Argumentação
03/03
Aula 5
2. Lógica de Argumentação (Exercícios Extras)
13/03
Aula 6
3. Diagramas Lógicos
23/03
10. Compreensão e elaboração da lógica das
Aula 7
situações por meio de: raciocínio sequencial;
orientação espacial e temporal; formação de
03/04
conceitos; discriminação de elementos
6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Aula 8
Matemático parte I: Numeração; Números
Naturais: múltiplos, divisores, divisibilidade e
13/04
restos; MDC e MMC
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6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Aula 9
Matemático parte II: Números Fracionários;
Operações com Frações; Dízimas Periódicas;
23/04
Porcentagem
6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Aula 10
Matemático parte III: Aplicações e Operações
com Inequações; Sequencias e Séries;
03/05
Progressão Aritmética; Progressão Geométrica
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6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Aula 11
Matemático parte IV: Logaritmos; Radiciação e
13/05
Potenciação; Fatoração Algébrica
6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Matemático parte V: Sistemas de Unidade;
Aula 12
Razões e Proporções; Escalas; Divisão
23/05
Proporcional; Regra de Três Simples ou
Composta
6. Álgebra Elementar. 10. Raciocínio
Aula 13
Matemático parte VI: Teoria dos Conjuntos;
03/06
Relações e Funções de primeiro e segundo grau
Aula 14
7. Probabilidade
13/06
Aula 15
7. Estatística Descritiva
23/06
Aula 16
5. Matrizes e Determinantes
03/07
Aula 17
4. Trigonometria.
13/07
Aula 18
8. Geometria Básica
23/07
Aula 19
9. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros,
Desconto
03/08
Agora, chega de enrolação rsrsrs!
Vamos a nossa Aula Demonstrativa?!?
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I. Matrizes
Uma matriz, grosso modo falando, é uma tabela onde armazenamos
números. Ela pode ser representada por parêntesis ou colchetes. Assim,
seja a matriz A. Veja como ela pode ser representada:
Como toda boa tabela, uma matriz possui linhas e colunas. Identifique-as:
COLUNAS
LINHAS
Outro conceito que devemos ter em mente sempre ao trabalharmos com
matrizes é o de ordem da matriz. A ordem de uma matriz nada mais é do
que o seu tamanho, representado pela quantidade de linhas e colunas.
Podemos afirmar que a matriz A do nosso exemplo inicial é de ordem 3x3
(três por três), porque possui 3 linhas e 3 colunas. Representamos assim:
A3x3, onde o primeiro 3 representa as linhas e o segundo 3, as colunas.
Dessa forma, podemos escrever uma matriz na forma geral Amxn, o que
significa que ela tem m linhas e n colunas.
Notação Geral
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Assunto de interesse relevante para provas de concurso é a identificação
dos elementos da matriz. Representaremos por aij, o elemento da linha i
e da coluna j da matriz.
Assim, podemos escrever uma matriz mxn na sua forma genérica:
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Uma coisa que a ESAF adora é dar uma “Lei de
Formação” para os elementos da matriz.
Exemplo: Seja a matriz A2x2, onde aij = i+j.
Vamos praticar?
Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013
Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas
colunas, são dados por:
Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha
i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de
A3X2 é igual a:
a) 17
b) 15
c) 12
d) 19
e) 13
SOLUÇÃO:
A questão quer saber a soma dos elementos da primeira coluna da matriz
A, ou seja: a11 + a21 + a31
00000000000
Pela lei de formação da matriz A:
a11 = (1 + 1)2 = 4
a21 = 22+12 = 5
a31 = 32+12 = 10
Gabarito: Letra D
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Tipos de Matrizes
Passo a apresentar agora algumas “matrizes diferentes” antes de entramos
nas operações com matrizes propriamente ditas.
Matriz Coluna: é a matriz formada por uma única coluna. Exemplo:
Matriz Linha: é a matriz formada por uma única linha. Exemplo:
Matriz Quadrada: é a matriz que tem número de linhas igual ao número
de colunas. Exemplo:
Na matriz quadrada, podemos identificar dois conceitos novos: a diagonal
principal e a diagonal secundária. Os elementos que compõem a diagonal
principal no exemplo abaixo são: 2, 3, 1, 4. Já a diagonal secundária é
composta pelos elementos: 0, 1, 8, 2. Observe:
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DIAGONAL
SECUNDÁRIA
DIAGONAL
PRINCIPAL
Matriz Diagonal: é a matriz quadrada em que todos os elementos fora da
diagonal principal são iguais a zero. Exemplo:
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Matriz Triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima
ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo:
Matriz Identidade: é a matriz onde os elementos da diagonal principal
são iguais a um e os demais iguais a zero. A matriz identidade tem várias
propriedades interessantes. Aguarde e verás...
Exemplo:
Matriz Transposta: a matriz transposta At de uma matriz A é uma nova
matriz onde suas linhas são as colunas de A. Simples assim! Exemplo:
00000000000
Matriz Simétrica: diz-se que uma matriz é simétrica quando ela é igual a
sua transposta (A=At ou aij=aji). Repare que os elementos das linhas e
colunas de mesmo índice são iguais; a linha 1 é igual à coluna 1, e assim
por diante. Exemplo:
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Matriz Antissimétrica: diz-se que uma matriz é antissimétrica quando a
sua transposta coincide com sua oposta (-A=At ou aij=-aji). Repare que os
elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos das linhas
e colunas de mesmo índice são opostos; a linha 1 é igual a “menos” a
coluna 1, e assim por diante. Exemplo:
Questão 2: ESAF - AFRFB/2014
A matriz quadrada A, definida genericamente por A = a ij, é dada
por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y;
a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A
seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32
deverão ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
e) -4; -2; -2; -2.
SOLUÇÃO:
Uma matriz antissimétrica é aquela cuja transposta coincide com sua oposta,
ou seja,
ou
=A matriz do enunciado é:
Para que seja antissimétrica, precisamos ter:
( 4)
00000000000
Logo,
=4
Nossa matriz fica:
Gabarito: Letra C
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Matriz Inversa: a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) é
aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim:
A A-1 = I
Para achar a inversa de uma matriz 2x2, é só:
1. trocar de lugar os elementos da diagonal principal;
2. multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária;
3. Dividir os elementos pelo determinante de A (detA).
Veremos mais adiante o conceito de determinante mas, por ora, saiba
que o determinante de uma matriz 2x2 é o produto dos elementos
da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária.
Assim:
ã
O cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 2 é
extremamente complicado e eu nunca vi cair em concurso! Como
este é um curso voltado para o que cai em prova e não um
doutorado em matemática, vou pular essa parte, ok? É suficiente
para sua prova saber a inversa de uma matriz 2x2
Exemplo: Seja a Matriz A, calcule sua inversa:
00000000000
Ora, basta seguir a nossa fórmula mágica:
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Operações com Matrizes
Adição/Subtração de Matrizes: Para somar ou subtrair matrizes, basta
fazer a operação elemento a elemento.
Exemplo: Calcule o soma da matriz A com a matriz B.
Questão de prova que envolve os conceitos de soma de matrizes...
Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij) e
B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos
elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
SOLUÇÃO:
Sabemos que x31 = a31 + b31
Pela lei de formação da matriz A, a31=32=9
Pela lei de formação da matriz B, b31=(3 – 1)2 = 4
Então, x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13
00000000000
Sabemos também que x13 = a13 + b13
Pela lei de formação da matriz A, a13=12=1
Pela lei de formação da matriz B, b13=(1 – 3)2 = 4
Então, x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5
x31 x13 = 13 5 = 65
Gabarito: Letra D
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Multiplicação/Divisão de Matrizes por um número real: Para
multiplicar ou dividir matrizes por um número real, basta fazer a operação
elemento a elemento.
Exemplo: Calcule o valor de 3xA:
Multiplicação de Matrizes: A multiplicação de duas matrizes A e B é um
pouquinho mais complicada, mas nada impossível! Cada elemento (c ij) da
matriz C resultado do produto é formado pela multiplicação ordenada de
cada elemento da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz
B.
- Poxa vida, Professor! Não entendi nada!
- Eu sei, caro Aluno! É meio enrolado mesmo! Mas vamos fazer um exemplo
para clarear as ideias...
Exemplo: Calcule o produto da matriz A pela matriz B.
Seja a matriz C o resultado do produto A B. Cada elemento cij será assim
formado:

c11 = a11b11 + a12b21
c11 = 1x0 + 2x3 = 6
00000000000

c12 = a11b12 + a12b22
c12 = 1x1 + 2x1 = 3

c21 = a21b11 + a22b21
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C21 = 3x0 + 4x3 = 12

c22 = a21b12 + a22b22
C22 = 3x1 + 4x1 = 7
Logo, a nossa matriz C = A B fica assim:
Entendido até aqui????
Nada melhor do que uma questão da ESAF para treinarmos um pouco!
Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004
Sejam as matrizes
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t ,
isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as
matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
a) 2
b) 1/2
c) 3
d) 1/3
e) 1
00000000000
SOLUÇÃO:
A primeira coisa a ser feita é o produto AB:
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Nosso próximo passo é encontrar X, a transposta de AB:
Gabarito: Letra A
***********
Para multiplicar matrizes, existe uma observação importante. Este
produto só será possível quando o número de colunas da primeira
matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo: Sejam as matrizes A3x7 e B7x6. Verifique se o produto A
possível. Se sim, qual a ordem da matriz A B?
B é
Essa é muito fácil: Basta verificar se o número de colunas de A é igual ao
número de linhas de B.
A3x7
B7x6
Como ambos são iguais a 7, o produto é possível sim! Para determinar a
ordem da matriz resultado, tem um macete! Ela terá o mesmo número de
linhas de A e o mesmo número de colunas de B
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A3x7
B7x6
Assim, a ordem da matriz resultado do produto A
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B será 3x6.
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Questão 5: ESAF - TFC/1997
Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3),
(3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
SOLUÇÃO:
Questão fácil, típica de ordem de produto de matrizes!
Vamos por partes, o produto BC tem ordem:
B3x4
C4x2
Assim, a ordem da matriz resultado do produto B
C será 3x2.
Agora, o produto A(BC) tem ordem:
A2x3
BC3x2
Assim, a ordem da matriz resultado do produto A(BC) será 2x2.
Agora, o produto [A(BC)]2 = [A(BC)] [A(BC)] tem ordem:
A(BC)2x2
A(BC)2x2
Assim, a ordem da matriz resultado do produto [A(BC)]2 será 2x2.
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Gabarito: Letra A
***********
Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
1. Associativa: (A B) C = A (B C)
2. Distributiva: A (B+C) = A B + A C / (A + B) C = A C + B C
3. Elemento Neutro: A I = I A = A, onde I é a matriz identidade.
4. (A.B)t = Bt At
5. A A-1 = I
6. (A.B)-1 = B-1 A-1
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Vamos ver como essas propriedades foram cobradas pela ESAF?
Questão 6: ESAF - AFTN/1998
Sejam as matrizes:
E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz
transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o
valor de x é:
a) -7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
SOLUÇÃO:
A primeira coisa que devemos fazer é o produto AB. Se você reparar bem,
antes de cair dentro das contas, perceba que a matriz A é a matriz
identidade, ou seja, o produto dela por qualquer outra é igual a esta última.
Assim, AB = B.
Logo, Y = B + C:
Nosso próximo passo é calcular a transposta de Y (Yt). O que era linha vira
coluna!
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A soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y é:
1 + (– 1) = 0
Gabarito: Letra C
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Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005
A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares
e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto
A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto,
é igual a:
a) A-1 B C
b) A C-1 B-1
c) A-1 C B-1
d) A B C-1
e) C-1 B-1 A-1
SOLUÇÃO:
Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, ou seja,
a ordem em que são multiplicadas importa.
Sabemos que C = A Z B.
Temos que isolar a matriz Z. Para tanto, nessas questões, procuramos
multiplicar sempre pela matriz inversa de outras matrizes. Você verá o
porquê.
Vamos multiplicar à direita, em ambos os lados da igualdade, por B-1.
C B-1 = A Z B B-1
Ora, sabemos que o produto B B-1 é igual à matriz identidade:
C B-1 = A Z I
Como a matriz identidade é o elemento neutro desta multiplicação de
matrizes, podemos escrever:
00000000000
C B-1 = A Z
Para isolar a matriz Z na igualdade, multiplicamos à esquerda por A-1
A-1C B-1 = A-1A Z
Ora, sabemos que o produto A-1A é igual à matriz identidade:
A-1C B-1 = I Z = Z
Logo, Z =
A-1C
B-1
Gabarito: Letra C
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II. Mais Questões Comentadas...
Questão 8: ESAF - MPOG/2003
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e
B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então a
soma dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
SOLUÇÃO:
Sabemos que x31 = a31 + b31
Pela lei de formação da matriz A, a31 = 32 - 12 = 8
Pela lei de formação da matriz B, b31 = (3 + 1)2 = 16
Então, x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24
Sabemos também que x13 = a13 + b13
Pela lei de formação da matriz A, a13 = 12 - 32 = - 8
Pela lei de formação da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16
Então, x13 = a13 + b13 = -8 + 16 = 8
x31 + x13 = 24 + 8 = 32
Gabarito: Letra C
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Questão 9: ESAF – Técnico/MPU/Administrativa/2004
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma
das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que
bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual
a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
e) 6
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SOLUÇÃO:
Sabemos que s22 = a22 + b22
Pela lei de formação da matriz A, a22 = 22 + 22 = 8
Pela lei de formação da matriz B, b22 =22 = 4
Então, s22 = a22 + b22 = 8 + 4 = 12
Sabemos também que s12 = a12 + b12
Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12 + 22 = 5
Pela lei de formação da matriz B, b12 =12 = 1
Então, s12 = a12 + b12 = 5 + 1 = 6
Gabarito: Letra D
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Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma
das matrizes A = (aij) e B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos
elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
SOLUÇÃO:
Sabemos que s31 = a31 + b31
Pela lei de formação da matriz A, a31=32+12=10
Pela lei de formação da matriz B, b31 =2 3 1 = 6
Então, s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16
00000000000
Sabemos também que s13 = a13 + b13
Pela lei de formação da matriz A, a13=12+32=10
Pela lei de formação da matriz B, b13=2 1 3 = 6
Então, s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16
s31+ s13 = 16 + 16 = 32
Gabarito: Letra E
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Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002
De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode
ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e
B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij
= (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz
S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
SOLUÇÃO:
A questão quer saber a soma dos elementos da primeira linha da matriz S,
ou seja: s11 + s12 + s13
Sabemos que s11 = a11 + b11
Pela lei de formação da matriz A, a11 = 12+12 = 2
Pela lei de formação da matriz B, b11 = (1 + 1)2 = 4
Então, s11 = a11 + b11 = 2 + 4 = 6
Sabemos que s12 = a12 + b12
Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12+22 = 5
Pela lei de formação da matriz B, b12 = (1 + 2)2 = 9
Então, s12 = a12 + b12 = 5 + 9 = 14
Sabemos que s13 = a13 + b13
Pela lei de formação da matriz A, a13 = 12+32 = 10
Pela lei de formação da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16
Então, s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26
s11 + s12 + s13 = 6 + 14 + 26 = 46
Gabarito: Letra D
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00000000000
Questão 12: ESAF -TFC/1995
, assinale os valores
Dadas as matrizes
de a e b, de modo que AX = B.
a) a=0 e b=1;
b) a=1 e b=0;
c) a=0 e b=0;
d) a=1 e b=1;
e) a=0 e b=-1;
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SOLUÇÃO:
A primeira coisa a ser feita é o produto AX. Perceba que A é 2x2 e X é 2x1.
Logo, a ordem do produto AX será 2x1
Igualando AX a B, temos:
Se as matrizes são iguais, é porque os elementos são iguais um a um.
Logo, b = 1;
a+2b=2;
Substituindo o valor de b na equação acima, temos:
a + 2x1 = 2
a=0
Gabarito: Letra A
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III. Lista das Questões Apresentadas
Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos)
Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas
colunas, são dados por:
Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha
i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2
é igual a:
a) 17
b) 15
c) 12
d) 19
e) 13
Questão 2: ESAF - AFRFB/2014
A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por
a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32
= 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja
uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão
ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
e) -4; -2; -2; -2.
Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e
B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos
elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
00000000000
Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004
Sejam as matrizes
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e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t ,
isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes
A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
a) 2
b) 1/2
c) 3
d) 1/3
e) 1
Questão 5: ESAF - TFC/1997
Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3),
(3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
Questão 6: ESAF - AFTN/1998
Sejam as matrizes:
E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz
transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o
valor de x é:
a) -7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
00000000000
Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005
A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares
e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto
A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto,
é igual a:
a) A-1 B C
b) A C-1 B-1
c) A-1 C B-1
d) A B C-1
e) C-1 B-1 A-1
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Questão 8: ESAF - MPOG/2003
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e
B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então a
soma dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
Questão 9: ESAF – Técnico/MPU/Administrativa/2004
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma
das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que
bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual
a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
e) 6
Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma
das matrizes A = (aij) e B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos
elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
00000000000
Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002
De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode
ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e
B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij
= (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz
S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
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e) 58
Questão 12: ESAF -TFC/1995
, assinale os valores
Dadas as matrizes
de a e b, de modo que AX = B.
a) a=0 e b=1;
b) a=1 e b=0;
c) a=0 e b=0;
d) a=1 e b=1;
e) a=0 e b=-1;
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
D
A
A
C
C
C
9
10
11
12
D
E
D
A
É isso aí, Pessoal! Espero que tenham gostado de nossa Aula
Demonstrativa! Não se acostumem com a pouca quantidade de
exercícios, rsrsrs. Hoje foi só um aperitivo!!
Bons Estudos! Contem comigo!
Qualquer
dúvida,
estou
à
disposição
[email protected]
no
e-mail:
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