POLINÔMIOS.

 Um polinômio P (x) é divisível por ( x – a ) se, e
somente se, P (a) = 0.
POLINÔMIOS
1. DEFINIÇÃO:
 Polinômio na variável x é toda função do tipo:
P( x)  a . x  a . x
n
n 1
n 1
n
 .....  a1 . x  a0
9. DIVISÃO POR ( x – a ) ( x - b ):
 Se um polinômio P (x) é divisível por ( x – a ) e
( x – b ), sendo a  b , então P (x) é divisível por
(x–a).(x–b).
 Sendo:
TESTES



a ,a
n
n 1
,...., a1 e
a
0
os coeficientes de P(x)
n um número natural
x a variável
1. (FRANCO)
O
valor
de
k
no
Px    x  k  1x  2 x  1
P2  3 é:
3
2
b) 0
c) 4
polinômio
para
que
2. VALOR NUMÉRICO:
 É o valor P(a) que se obtém quando se substitui
x por a em P(x).
a) – 1
 Se P(a) = 0 , dizemos que a é raiz do polinômio.
2. (FRANCO) O valor de m para que - 2 seja raiz
3. GRAU:
 É o maior expoente da variável x, nos termos com
coeficientes não nulos. Indica-se por gr(P).
4. POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
 Dizemos que dois polinômios são idênticos se os
coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.
5. ADIÇÃO E SUTRAÇÃO:
 Devemos somar ou subtrair os coeficientes dos
termos de mesmo grau.
6. MULTIPLICAÇÃO:
 Devemos multiplicar cada termo de um dos
polinômios por todos os termos do outro; depois
disso, somam-se os termos de mesmo grau.
7. DIVISÃO: (MÉTODO DE DESCARTES)
 Consiste na obtenção dos coeficientes do
quociente Q (x) e do resto R (x), a partir da
igualdade:
P( x)  D( x)  Q( x)  R( x)
P (x)
D( x)  0
D (x)
da equação
a) 2
Q (x)
 Temos que:
gr ( R)  gr ( D) ou R( x)  0
gr (Q)  gr ( D)
8. DIVISÃO POR ( x – a) :
8. 1 Teorema do Resto:
 O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo
binômio do tipo ( x – a ) é o valor numérico de
P (x), para x = a.
8. 2 Teorema de D’Alembert :
e) n. d. a
x 3  m  2x 2  m  1x  2  0 é:
b) 3
c) 4
d) 5
e) - 2
3. (FRANCO) Os valores de a e b para que 0
e
–
2
sejam
as
raízes
de
Px   x 3  2 x 2  ax  b
são:
a 0 e b 8
c) a  4 e b  3
a  2 e b  3
d) a  8 e b  0
a)
b)
e) n. d. a
4. (FRANCO) Para qual dos seguintes
de
valores
de
m
o
conjuntos
polinômio
Px   mx 2  2m  2x  m 2 é negativo quando
x 1 
a)
c)
e)
1 m  2
5  m  2
 4  m 1
b)
d)
5. (FRANCO)
Dado
1  m  2
3  m  2
o
polinômio
Px   x  x  .....  x  x  3 , se n for
ímpar, então P 1 vale:
n
R (x)
d) 3
a) – 1
n 1
2
b) 0
6. (FRANCO)
c) 2
Para
d) 1
que
o
e) 3
polinômio
Px   m  4x  2 x  1 tenha grau 2, o valor
3
2
de m deve ser igual a:
a) 0
b)  4
c) – 4
7. (FRANCO)

d) 4
O

e) n. d. a
polinômio
Px   m  4x  m  16 x  m  4x  4 é
3
de grau 2:
2
2
a)
b)
c)
d)
e)
8.
a)
c)
se e somente se m  4 ou m  4
se e somente se m  4
se e somente se m  4
se e somente se m  4 e m  4
para nenhum valor de m
(FRANCO)
Para
e
F ( x)  x 2  4 x  21
F ( x  1)
G ( x)  x  9 , então o quociente
vale
G ( x  1)
14. (FRANCO) Sendo
nos
que
pontos em que é definido:
2x  4
x 3
a)
c)
ser:
15. (FRANCO) Se na divisão
4,3,2
6,2,2
b)
d)
2,2,6
2,3,4
e) n. d. a
ax 3  bx 2  cx  d
x.x  1
. x  2 são idênticos, então:
e
a0
c2
b)
d)
b 1
d 3
c)
d)
e)
12.
c) 2
d) 1
c) 34
d) 35
Escreva
Px   5x  10 x  10
2
na
e) n. d. a
d)
N
N
e)

é que:
P ( 2)  0
b)
P ( 2)  0 e P(2)  0
c)
P(2)  0
x  2
18. (FRANCO) O valor de k para o qual o polinômio
6 x 5  11x 4  4 x 3  3x 2  2 x  k é divisível por
3x  4 é:
polinômio
soma
de
dois
2
a) 8
b) 4
19. (FRANCO)
x  2
a b:
d) – 4
c) 0
Um polinômio
P (x )
e) – 8
dividido por
x 1
deixa resto 6 e dividido por
deixa resto 3. Qual o resto da divisão de
1 ou 4
c)  3 ou 2
a)
2 ou 3
d) 4 ou 2
b)
por
e)
5 ou 3
13. (FRANCO) Dividindo-se um polinômio
P (x ) por
Dx   x 2  1, obtém-se quociente 2 x 1
resto x  1. O polinômio P (x ) é:
e
x 3  2 x 2  3x
3
2
c) 2 x  x  3x
e) n. d. a
x  2. x 1?
a) x
d)
4 x
20.
(FRANCO)
b)
x 1
e)
2x 1
Se
x  q.x  x  1
3
a)
o
e) n. d. a
quadrados do tipo  x  a   2 x  b  , ache a e
b e determine o valor de
c) N
d) seja divisível por
o
2
b) 2N
a)
e) n. d. a
Gr f  g   Gr f  Grg 
Gr f   Gr f  g 
Gr f  g   Gr f   Grg 
Gr f  g   Gr f   Grg 
Gr f  g   MAX , Gr f , Grg 
(FRANCO)
polinômio
16. (FRANCO) O resto da divisão de um polinômio de
grau N + 1 por um polinômio de grau N é um
polinômio de grau:
x  2
11. (FRANCO) Seja f e g dois polinômios não
nulos, de coeficientes reais. Assinale a alternativa
correta:
b)
do
17. (FRANCO) Uma condição necessária e suficiente
para que um polinômio P x seja divisível por
e
Qx   5x 4  3x 3  2 x  5 , então o grau do
polinômio Px  Qx  é:
a)
b) 33
a) 1
P( x )  5 x 4  3 x 3  2 x  1
b) 3
x3
e)
e) n. d. a
10. (FRANCO) Dados os polinômios
a) 4
b)
d)
12 x 4  5 x 3  5 x  12 por 3 x 2  2 x  1
quociente é Qx  , então o valor de Q3 é:
a) 32
9. (FRANCO) Se os polinômios
a)
c)
x2
x2
Px   a  bx 3  2a  b  c x  2b  c  10
seja identicamente nulo, o conjunto a.b, c deve
2x 3  x 2  2x 1
3
2
d) x  x  3 x
b)
2
iguais, então
a) 4
b) 5
q
os
por
vale:
c) 6
c)
restos
x 1
da
e
d) 7
P (x )
x2
divisão
x  2
de
são
e) 8
21.
(FRANCO)
O valor de
a
e
b
para que o
P( x)  x  2 x  ax  b
divisível por x  1 e x  2 é:
3
polinômio
a  6 e b  5
c) a  5 e b  6
seja
a  6 e b  5
d) a  5 e b  6
a)
e)
2
b)
a 1 e b  2
22. (FRANCO)
O
resto
da
3
a) – 6
2
b) 4
c) 6
divisão
 x  2
x  8 x  4 x  15 x  6 por
4
d) 17
de
é:
e) 72
23. (FRANCO) O valor de a, para que o resto da
divisão
do polinômio
x  3
a)
2
3
P( x)  ax 3  2 x  1 por
seja 4, é:
b)
1
3
c)
24. (FRANCO)
1
2
O
d)
3
2
e) 1
da
divisão
resto
P( x)  4 x  2 x  mx  5 por
3
2
x  2
é 1.
Então, m é igual a:
a) 22
b) – 20
c) 20
25. (FRANCO)
Para
e) – 10
d) 10
que
o
polinômio
x 3  6 x 2  mx  n
seja divisível por
x 1x  2 , o produto m . n deve ser igual a:
a) 66
b) 0
c) 2
d) – 66
e) - 2


P x   x 3  4 x 2  x  1 , a
diferença entre o termo independente de Px  e
a soma dos coeficientes de Px  vale:
26. (FRANCO) Sendo
a) 0
b) 2
c) 1
20
d) – 1
e) - 2
GABARITO
1. D
6. C
11. C
16. D
21. D
2. A
7. E
12. D
17. C
22. B
3. D
8. B
13. C
18. A
23. B
4. E
9. E
14. B
19. D
24. D
5. C
10. D
15. D
20. A
25. D
26. A