Precess˜ao de Giroscópios: Teoria da Relatividade Geral

Universidade Técnica de Lisboa
Instituto Superior Técnico
Precessão de Giroscópios:
Teoria da Relatividade Geral
versus Teoria de Cordas
Pedro Miguel Montes Martins Matias
Projecto de fim de curso sob a orientação do Prof. José Pizarro
de Sande e Lemos
Lisboa, Agosto de 1998
Aos meus Pais e Avós
Resumo
A teoria da relatividade geral é uma teoria clássica da gravitação. A teoria
de cordas é uma teoria quântica da gravitação. Ambas admitem soluções
de buracos negros. Neste trabalho pretendemos comparar as duas teorias
através do efeito que os seus buracos negros carregados e em rotação, com
propriedades distintas, exercem em giroscópios.
1
Prefácio
Este trabalho é o projecto final de curso da licenciatura em Engenharia Fı́sica
Tecnológica e foi realizado no Departamento de Fı́sica do Instituto Superior
Técnico. O capı́tulo 5 contém trabalho original sobre a comparação da precessão de giroscópios em relatividade geral e em teoria de cordas.
2
Agradecimentos
Aos meus pais, pelo carinho e a educação que me deram ao longo de toda a
minha vida. Aos meus avós pelo apoio e afecto diários dispensados durante
toda a licenciatura, foram uns segundos pais para mim.
Aos meus colegas e amigos Ruben Santos e Nelson Nunes, pelo companheirismo e amizade, assim como pelas discussões muito proveitosas que
tivémos sobre os mais variados temas, em especial fı́sica.
Ao meu professor de fı́sica do 12o ano António Rebolo Bento, pelo gosto
que me incutiu pela disciplina, levando-me a escolher o curso de Engenharia
Fı́sica Tecnológica.
Por fim, um agradecimento muito especial ao meu orientador, Prof. José
Sande Lemos, pelo apoio incondicional ao longo da realização deste trabalho.
Agradeço-lhe a sua disponibilidade para dar sugestões e tirar dúvidas, o
seu profissionalismo e entusiasmo pelo trabalho. A sua colaboração foi preciosa na elaboração deste projecto, incluindo a leitura cuidadosa do mesmo
e muitas valiosas sugestões para que este se tornasse mais compreensı́vel.
3
Índice Geral
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Introdução
1
2
3
6
2 Precessão de giroscópios
2.1 Conceito de tetrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Observador acelerado num espaço-tempo plano. Transporte
de Fermi-Walker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Observador acelerado num espaço-tempo curvo . . . . . . . .
2.4 Giroscópios e pêndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Precessão de giroscópios num campo gravitacional fraco . . .
2.6 Analogias entre gravitomagnetismo, electromagnetismo e arrastamento de fluı́do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Teoria da relatividade geral e seus buracos negros
3.1 Acção e equações do movimento . . . . . . . . . . .
3.2 Buraco negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . .
3.3 Buraco negro de Reissner-Nordström . . . . . . . .
3.4 Buraco negro de Kerr-Newman . . . . . . . . . . .
4 Teoria de cordas e seus buracos negros
4.1 Acção e equações do movimento . . . .
4.2 Buraco negro descarregado . . . . . . .
4.3 Buraco negro carregado . . . . . . . . .
4.4 Buraco negro de Sen . . . . . . . . . .
4
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8
8
. 8
. 13
. 16
. 18
. 22
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25
25
27
28
29
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38
38
40
41
43
5 Comparação da precessão de giroscópios em relatividade geral
e em teoria de cordas
46
A Cálculo da base de tetradas a partir da base de 1-formas
(2.29)
52
B Derivação das equações do movimento para a acção de teoria
de cordas a baixas energias
53
C Rescalamento do escalar de Ricci R
5
56
Capı́tulo 1
Introdução
Uma das previsões da teoria da relatividade geral (TRG) é o arrastamento de
referenciais inerciais quando situados na vizinhança de um objecto massivo
em rotação. Este efeito foi derivado pela primeira vez em 1918 pelos fı́sicos
austrı́acos Joseph Lense e Hans Thirring e por isso ficou conhecido como
efeito de Lense-Thirring. Em concreto, eles previram que um satélite em
órbita polar em torno de um objecto em rotação (e.g. Terra) teria a sua
linha dos nodos (intersecção entre o plano da órbita do satélite e o plano
equatorial do objecto central) a precessar.
O fenómeno de arrastamento de referenciais inerciais é semelhante ao que
acontece se tivérmos uma esfera em rotação mergulhada num fluı́do viscoso.
À medida que a esfera roda, arrasta consigo o fluı́do no sentido da rotação.
Qualquer objecto imerso no fluı́do irá também ser arrastado em torno da
esfera. É claro que o arrastamento será tanto mais significativo quanto mais
próximos da esfera nos encontrármos e quanto maior for a sua velocidade de
rotação.
O arrastamento de referenciais está intimamente relacionado com a existência de um novo tipo de campo previsto pela TRG: o campo gravitomagnético. É interessante vermos como surge este campo a partir de uma
analogia entre a TRG e a electrodinâmica clássica [5, p. 316]. Em electrodinâmica clássica uma esfera em repouso carregada electricamente produz
um campo eléctrico. Se a esfera estiver a rodar surge um campo magnético
cuja intensidade depende da velocidade angular de rotação. Analogamente
em relatividade geral, uma esfera massiva em repouso produz um campo gravitacional dado pela métrica de Schwarzschild. Se a esfera adquirir rotação
é natural que surja um novo campo. A este novo campo dá-se o nome de
6
campo gravitomagnético. Existem inúmeros exemplos no Universo de corpos
capazes de produzir tal campo e de provocar o arrastamento de referenciais:
a Terra, estrelas de neutrões, buracos negros, e todos os corpos massivos
animados de rotação. Têm sido propostas várias experiências para medir o
campo gravitomagnético e respectivo arrastamento de referenciais (ver [5, p.
331]). No inı́cio deste ano de 1998 foi detectado o efeito de Lense-Thirring a
partir da análise da trajectória de dois satélites que orbitam a Terra: o LAGEOS I (LAser GEOdynamics Satellite I) e o LAGEOS II. Verificou-se que o
plano das órbitas do LAGEOS I e II foi desviado de cerca de dois metros por
ano no sentido de rotação da Terra. Isto vem confirmar as previsões da TRG
acerca do arrastamento do espaço-tempo na vizinhança de um objecto em
rotação, feitas há cerca de oitenta anos atrás. Existe ainda um outro tipo de
experiências, baseadas na precessão de giroscópios, capazes de detectar este
efeito. Prevê-se que no ano 2000 seja lançado um satélite Gravity Probe B
transportando consigo quatro giroscópios com o objectivo de medir o campo
gravitomagnético terrestre assim como o arrastamento de referenciais [5, p.
332]. As previsões apontam para uma velocidade angular de precessão de
0.042 arcseg/ano.
Neste trabalho iremos estudar o comportamento de giroscópios na presença de buracos negros. Pretendemos comparar duas teorias de gravitação,
a teoria da relatividade geral e a teoria de cordas, através do efeito que
os seus buracos negros carregados, com propriedades distintas, exercem em
giroscópios.
No capı́tulo 2, após introduzirmos a noção de transporte de Fermi-Walker,
estudaremos a precessão de giroscópios num campo gravitacional fraco. Veremos ainda várias analogias entre gravitomagnetismo, magnetismo e arrastamento de fluı́do.
No capı́tulo 3 estudaremos os diferentes tipos de buracos negros da TRG.
Em particular veremos a precessão de giroscópios na presença do buraco negro de Kerr-Newman (buraco negro carregado e com rotação em relatividade
geral).
No capı́tulo 4 iremos estudar os buracos negros da teoria de cordas no
limite das baixas energias. Será analisado em pormenor a precessão de
giroscópios na presença do buraco negro de Sen (buraco negro carregado
e com rotação em teoria de cordas).
Finalmente, no capı́tulo 5, iremos comparar os buracos negros de KerrNewman e de Sen, nomeadamente os efeitos que ambos exercem em giroscópios
colocados nas suas vizinhanças.
7
Capı́tulo 2
Precessão de giroscópios
2.1
Conceito de tetrada.
Num dado espaço ou num dado espaço-tempo é sempre útil definir um sistema
de coordenadas. Assim, por exemplo, no plano bidimensional definem-se mais
comumente dois sistemas de coordenadas: o cartesiano (x, y) e o polar (r, θ).
Do mesmo modo para o espaço em 3 ou mais dimensões, ou ainda para o
espaço-tempo em 3+1 dimensões. Embora sem significado fı́sico à priori,
escolhe-se um sistema de coordenadas particular dependendo da simetria do
problema ou das simplificações que resultam dessa escolha.
Sabemos também que é conveniente, por vezes, definir vectores base em
cada ponto do espaço. Por exemplo, no plano bidimensional podemos usar
ao longo da trajectória de uma partı́cula os vectores ortonormais êr e êθ .
A estes dois vectores dá-se o nome de diada. Em 3 dimensões espaciais
podemos fornecer, em cada ponto ao longo da trajectória de uma partı́cula,
uma triada. Ao conjunto de vectores que acompanha a trajectória de uma
partı́cula (ou um observador) no espaço-tempo dá-se o nome de tetrada.
2.2
Observador acelerado num espaço-tempo
plano. Transporte de Fermi-Walker.
Para se fazerem observações, um observador tem que ser capaz de decidir
quando, no seu próprio referencial local, um 4-vector unitário ex̂ , por exemplo, no tempo próprio τ tem a mesma direcção espacial que um outro vector
8
unitário e0x̂ no tempo próprio τ 0 . Ou de outra maneira, podemos perguntar
como um observador detecta a existência de rotação no seu referencial próprio
local. Na mecânica de Newton, sabemos que a ausência de rotação pode ser
detectada localmente, sem ser preciso olhar as estrelas distantes. Um eixo de
um giroscópio (ou o pêndulo de Foucault, por exemplo, ver secção 2.4) pode
ser usado para determinar a ausência de rotação.
Na teoria da relatividade o problema é mais complexo, giroscópios não
determinam essa ausência de rotação. Em relatividade, se o observador está
em queda livre, seguindo uma geodésica, podemos dizer que ex̂ e e0x̂ têm a
mesma direcção espacial se, ao longo da linha do universo do observador,
o transporte paralelo de ex̂ é igual a e0µ̂ . Se, por outro lado, o observador
move-se com aceleração, o transporte paralelo de vectores já não implica uma
mesma direção para os vectores unitários ex̂ e e0x̂ . É necessário modificar a
noção de transporte paralelo. A este transporte que fornece a não rotação de
vectores para observadores acelerados dá-se o nome de transporte de FermiWalker.
Mais especificamente, queremos escolher uma tetrada para um observador
que se move com uma aceleração cuja direcção está na direcção do movimento, mas pode variar arbitrariamente com o tempo. (Esta secção é tirada
de [1, p. 170]). Vamos escolher uma tetrada eµ̂ que obedeça às seguintes
condições durante o seu transporte:
(1) os vectores de base eµ̂ devem permanecer ortonormados, i.e.
eµ̂ · eν̂ = ηµν = diag(−1, 1, 1, 1),
(2.1)
onde chapéu sobre os ı́ndices significa que é a tetrada transportada pelo
observador.
(2) os vectores de base devem formar um referencial em repouso para o
observador em cada instante, i.e., e0̂ = u, onde u é o vector 4-velocidade do
observador.
(3) a tetrada não deve girar.
Vamos aprofundar esta última condição. Podemos imaginar que em cada
ponto P do espaço-tempo esteja definido um conjunto de tetradas ou vectores de base {e0 , e1 , e2 , e3 }P ≡ (eP ) de um dado referencial inercial. Os
vectores base da tetrada que acompanha o observador eµ̂ (τ ) estão relacionados como os vectores base (eP ) em cada instante próprio τ através de uma
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transformação de Lorentz
eµ̂ (τ ) = Λνµ (τ )(eP )ν .
(2.2)
Num instante posterior τ 0 os vectores base da tetrada que acompanha
o observador estão também relacionados como os vectores base (eP 0 ) (onde
P 0 é o novo ponto do espaço-tempo onde se encontra a tetrada) por uma
transformação de Lorentz
eµ̂ (τ 0 ) = Λνµ (τ 0 )(eP 0 )ν .
(2.3)
Supondo para simplificar uma base cartesiana para o referencial inercial
temos eP = eP 0 . Logo, invertendo (2.2) para eP e substituindo em (2.3) vem
que
eµ̂ (τ 0 ) = Λνµ (τ 0 )Λσν (τ )eσ̂ (τ ).
(2.4)
Ou seja: os vectores de base em dois instantes sucessivos estão relacionados entre si através de uma transformação de Lorentz. (Note que se o sistema
usado pelo referencial inercial não for cartesiano o resultado mantém-se inalterado.)
Podemos agora pensar numa transformação de Lorentz como sendo uma
rotação generalizada, i.e., uma rotação no espaço-tempo. Como o observador
está acelerado na direcção da trajectória sabemos que a 4-velocidade u do
observador muda de direcção ao longo da trajectória. Por essa razão o vector
de base e0̂ = u gira no espaço-tempo. Como devemos então interpretar
a condição (3) de não rotatividade da tetrada? A solução é pensar que a
tetrada eµ̂ (τ ) varia de instante para instante de uma quantidade dada pela
taxa de variação de u e não tem uma rotação adicional. Por outras palavras,
vamos aceitar a inevitável rotação da 4-velocidade u impedindo no entanto
qualquer rotação dos restantes vectores de base {e1̂ , e2̂ , e3̂ }.
Vamos então analisar quantitativamente o problema da rotação. Em fı́sica
não relativista a rotação de um vector v de componentes vi é dada por:
dvi
= (ω × v)i = εijk ωj vk
dt
(2.5)
onde ω é um vector velocidade angular de componentes ωi . Para estendermos
o conceito de rotação ao espaço-tempo 4-dimensional é útil pensarmos que
a rotação explicitada pelo vector ω pode também ser entendida como uma
10
quantidade Ω dada no plano de rotação. Podemos então reescrever (2.5)
como
dvi
= −Ωik vk ,
(2.6)
dt
onde
Ωjk = −Ωkj = ωi εijk
(2.7)
tem componentes não nulas apenas no plano de rotação. Podemos assim
verificar que, em 4D uma rotação no plano (1,2) (ou seja, em torno do eixo
3) deixa não só invariante a componente v3 mas também a componente v0
da 4-velocidade.
A generalização para 4D do conceito de rotação definido em (2.6) é:
dv µ
= −Ωµν vν
dτ
(2.8)
com Ωµν = −Ωνµ , sendo o tensor designado por matriz de rotação (espaçotemporal). Vamos verificar que esta definição deixa invariante o comprimento
de qualquer 4-vector. De facto,
d(v µ vµ )
dv µ
= 2vµ
= −2Ωµν vµ vν = 0
dτ
dτ
(2.9)
onde se utilizou o facto de Ωµν ser anti-simétrico enquanto vµ vν é simétrico.
Notar que como o tensor Ωµν é anti-simétrico tem somente 6 componentes
independentes. Este número está de acordo com o número de componentes
de uma transformação de Lorentz finita (3 parâmetros para rotações e 3
parâmetros para boosts). A condição importante (3) diz que a tetrada
não deve girar. A não-rotatividade significa rotação somente no plano tipo
tempo definido pela 4-velocidade e pela 4-aceleração do observador. Mais
precisamente, para que a tetrada não gire, obedecendo à condição (3) acima,
devemos impor que a transformação de Lorentz Ωµν obedeça às seguintes
condições:
(i) gerar a apropriada transformação de Lorentz finita no plano temporal
definido por u e a, onde a é a 4-aceleração;
(ii) excluir rotação em qualquer outro plano, em particular em planos
espaciais definidos por quaisquer dois vectores espaciais {e1 , e2 , e3 } da base
de tetradas.
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O tensor que verifica estas condições é:
Ωµν = aµ uν − aν uµ .
(2.10)
Vamos mostrar que esta definição é apropriada às condições (i) e (ii):
apliquemos esta rotação a um vector espacial w ortogonal a u e a a (u · w =
a · w = 0). Temos Ωµν wν = 0, o que implica que não há rotação espacial do
vector w. Verifiquemos agora se Ωµν na equação (2.10) está bem normalizado.
Se fizermos v µ = uµ e inserirmos na equação (2.8) obtemos
duµ
≡ aµ = uµ (aν uν ) − aµ (uν uν ) = aµ
(2.11)
dτ
onde se utilizou o facto de u · u = −1 e u · a = 0. Logo, Ωµν em (2.10) já
está normalizado.
Um vector v ao qual se aplica a transformação (2.10), i.e., que sofre uma
rotação espaço-temporal (ver (2.8)) dada por
dv µ
= (uµ aν − uν aµ )vν
(2.12)
dτ
diz-se que sofre um transporte de Fermi-Walker ao longo da linha do universo
do observador. Particularizando para os vectores de base da tetrada podemos
escrever
deµ̂
= −Ω · eµ̂ .
(2.13)
dτ
Uma escolha natural de um referencial móvel associado com um observador acelerado consiste em quatro vectores ortonormados, sendo cada um
deles transportado de Fermi-Walker ao longo da linha do universo do observador e sendo um deles e0̂ = u a 4-velocidade do observador.
Porém, o observador é livre de escolher um outro tipo de transporte para
a tetrada. Por exemplo, vamos admitir que a tetrada gire ao longo da trajectória do observador (mantendo no entanto as outras duas condições que
impusémos à priori: ortonormalidade e referencial em repouso para o observador em cada instante). Neste caso a matriz de rotação Ω escreve-se
µ ν
Ωµν = a
− aν uµ} + uα ωβ εαβµν
| u {z
| {z }
Ωµν
(F W )
(2.14)
Ωµν
(SR)
µν
onde Ωµν
(F W ) é a parte correspondente à rotação de Fermi-Walker, Ω(SR) representa a parte correspondente à rotação espacial (SR ≡ spatial rotation) e
ω é um vector ortogonal à 4-velocidade u. É fácil mostrar que Ωµν
(SR) produz
rotação no plano perpendicular a u e ω, i.e., Ω(SR) · u = Ω(SR) · ω = 0.
12
2.3
Observador acelerado num espaço-tempo
curvo
Até aqui vimos como o referencial móvel de um observador acelerado pode ser
transportado no espaço-tempo plano. Vamos agora abordar o mesmo problema no espaço-tempo curvo. É óbvio que na vizinhança próxima da origem
do nosso sistema de coordenadas (vizinhança do observador), os efeitos da
curvatura são desprezáveis. Então, todo o formalismo utilizado na secção 1.2
permanece válido para o espaço-tempo curvo. No entanto, é de certa forma
instrutivo aprofundar alguns aspectos já aqui mencionados sobre o sistema de
coordenadas a utilizar. Comecemos precisamente por rever alguns conceitos
e estabelecer o nosso sistema de coordenadas:
(1) Seja τ o tempo próprio medido no relógio do observador acelerado e
seja P = P0 (τ ) a sua trajectória no espaço-tempo.
(2) O observador transporta consigo uma tetrada ortonormal {eα̂ } com
0
e0̂ = u = dP
= 4-velocidade do observador e com eα̂ · eβ̂ = ηαβ .
dτ
(3) A tetrada é transportada ao longo da trajectória segundo a lei
deα̂
≡ ∇u eα̂ = −Ω · eα̂
dτ
(2.15)
onde a matriz de rotação Ω é dada pela equação (2.14). Tal como na secção
anterior: a = du
= ∇u u= 4-aceleração do observador, ω = 4-velocidade
dτ
angular de rotação dos vectores de base espaciais eĵ relativamente aos vectores transportados de Fermi-Walker e u · a = u · ω = 0. Notar que se
ω = 0, o observador realiza um transporte de Fermi-Walker. Se a = ω = 0,
o observador está em queda livre, i.e., move-se ao longo de uma geodésica e
transporta paralelamente a sua tetrada, ∇u eα̂ = 0.
(4) O observador constrói o seu próprio sistema de coordenadas local da
seguinte forma: a partir de cada evento P0 (τ ) da sua trajectória vamos lançar
geodésicas puramente espaciais, i.e., geodésicas ortogonais a u (ver Figura
1).
13
Figura 1
Podemos escrever estas geodésicas como funções de 3 parâmetros, P =
G[τ, n, s], onde τ representa o inı́cio da geodésica a partir da trajectória, n é
o vector tangente à geodésica no ponto inicial e s o parâmetro ao longo da
geodésica.
Cada evento na vizinhança da trajectória do observador vai ser intersectado por precisamente uma das geodésicas G[τ, n, s]. (Notar que se estivérmos longe da trajectória isso pode não ser verdade pois as geodésicas
podem cruzar-se devido à curvatura do espaço-tempo).
Tomemos agora um evento P perto da linha do universo do observador.
Consideremos a geodésica que passa por P emanada da trajectória no instante τ e com direcção original n = nĵ eĵ . Se o ponto P é alcançado ao fim
14
do parâmetro s, então uma maneira natural de identificar P será através de
(x0̂ , x1̂ , x2̂ , x3̂ ) ≡ (τ, sn1̂ , sn2̂ , sn3̂ ).
(2.16)
Estas são as coordenadas de P no referencial próprio do observador.
Tendo estabelecido o nosso sistema de coordenadas é conveniente calcular
os coeficientes da métrica e as conexões para uso em aplicações futuras. As
quantidades gα̂β̂ e Γα̂β̂γ̂ são necessárias apenas ao longo da trajectória do
observador o que torna extremamente fácil o seu cálculo.
Ao longo da linha do universo P0 (τ ) os vectores de base do sistema de
coordenadas são idênticos por construção aos vectores de base da tetrada
eα̂ =
∂
.
∂xα̂
(2.17)
Logo, os coeficientes da métrica são dados por
gα̂β̂ =
∂
∂
·
= eα̂ · eβ̂ = ηαβ
α̂
∂x ∂xβ̂
(2.18)
ao longo da trajectória no espaço-tempo P0 (τ ).
Algumas das conexões podem ser calculadas à custa da lei de transporte
da tetrada dada pela equação (2.15)
∇u eα̂ = ∇0 eα̂ = eβ̂ Γβ̂α̂0̂ = −Ω · eα̂ = −eβ̂ Ωβ̂α̂ .
(2.19)
Então temos
Γβ̂α̂0̂ = −Ωβ̂α̂
(2.20)
ao longo de P0 (τ ). Utilizando agora a equação (2.14) e tendo em conta que
u0̂ = −1, uĵ = 0 e a0̂ = 0 no referencial próprio do observador, vem
Γ0̂0̂0̂ = Γ0̂0̂0̂ = 0,
(2.21)
Γ0̂ĵ 0̂ = −Γ0̂ĵ 0̂ = Γĵ 0̂0̂ = Γĵ0̂0̂ = aĵ = aĵ ,
(2.22)
Γĵk̂0̂ = Γĵ k̂0̂ = −ω î ε0̂îĵ k̂ ,
(2.23)
15
ao longo de P0 (τ ). As restantes conexões podem ser calculadas a partir das
equações para as geodésicas espaciais G[τ, n, s]. Da equação (2.16) podemos
escrever
x0̂ (s) = τ = const.,
xĵ (s) = snĵ .
(2.24)
A equação das geodésicas é dada por
β̂
γ̂
d2 xα̂
α̂ dx dx
+
Γ
= 0.
β̂γ̂ ds ds
ds2
(2.25)
Das equações (2.24) vemos que o primeiro termo de (2.25) é nulo. O
segundo termo pode escrever-se
Γα̂ĵ k̂
dxĵ dxk̂
= Γα̂ĵ k̂ nĵ nk̂ = 0,
ds ds
(2.26)
onde os ı́ndices árabes tomam os valores j, k = 1, 2, 3 e o ı́ndice grego α =
0, 1, 2, 3.
Esta última equação é satisfeita para todas as geodésicas espaciais (ou
seja para todos os nĵ ) se e só se
Γα̂ĵ k̂ = Γα̂ĵ k̂ = 0
(2.27)
ao longo de P0 (τ ). Em resumo: (2.21), (2.22), (2.23) e (2.27) são as conexões
que usaremos adiante.
2.4
Giroscópios e pêndulo de Foucault
Nesta secção vamos estudar giroscópios e descrever algumas das suas propriedades. Um giroscópio é um corpo rı́gido, com simetria axial, que gira
em torno do eixo de simetria com um ponto nesse eixo fixo [4]. Como tal,
tem o seu vector momento angular L dirigido segundo o eixo de rotação. Se
aplicármos agora uma força F no eixo do giroscópio (e.g. a força da gravidade) surge um torque N = r × F perpendicular a r e a L. Da equação
N = dL
vemos que dL
tem o mesmo sentido que N (perpendicular a L) e
dt
dt
então o vector L irá precessar devido à acção da força F (ver Figura 2).
16
Figura 2
A importância de um giroscópio como estabilizador direccional advém
do facto do seu momento angular L permanecer constante enquanto não se
aplicar qualquer torque. Além disso, se o torque for muito pequeno e L muito
grande, a variação dL no momento angular será praticamente desprezável e
L não precessa mantendo a sua direcção. É o que acontece com a maioria dos
giroscópios mecânicos cuja velocidade de rotação é da ordem de 6000 rpm.
Estes giroscópios são normalmente montados em três anéis concêntricos que
lhes dão o suporte fı́sico e os três graus de liberdade necessários (ver [5, p.
362, fig. 6.10]). Um exemplo de um giroscópio é o pêndulo de Foucault. O
seu vector momento angular L (normal ao plano de oscilação do pêndulo)
define uma direcção que fica fixa em relação às estrelas longı́nquas. Esta
definição de giroscópio é uma definição clássica. Quando levamos em conta
efeitos relativistas a direcção dos giroscópios pode desviar-se da direcção das
estrelas fixas. A este fenómeno chama-se precessão dos giroscópios. Assim,
se apontármos um telescópio e um giroscópio para uma estrela e se ambos
estiverem num campo gravitacional em rotação, a direcção do momento angular L do giroscópio muda (levemente) em relação ao telescópio (ver [5, p.
332, fig. 6.1]). Existem vários tipos de efeitos de precessão: Lense-Thirring,
De Sitter [5, p. 351] e efeitos clássicos de perturbação [5, p. 336]. É de realçar
ainda que estes efeitos de precessão mencionados acima são os descendentes
relativistas da força clássica de Coriolis.
O efeito que nos irá interessar é o da precessão de Lense-Thirring. Neste
efeito foi previsto por Lense e Thirring que um satélite em órbita polar (um
17
giroscópio gigante) em torno de um objecto em rotação (e.g. Terra) teria
a sua linha dos nodos (intersecção entre o plano da órbita do satélite e o
plano equatorial do objecto central) a precessar. Giroscópios mecânicos em
órbita também sofrem precessão devido a este efeito. O efeito Lense-Thirring
tem o nome genérico de arrastamento de referenciais inerciais ou gravitomagnetismo. Junto com ondas gravitacionais e buracos negros, o fenómeno de
gravitomagnetismo é uma das principais predições da relatividade geral. Recentemente este fenómeno foi detectado (ver Introdução).
2.5
Precessão de giroscópios num campo gravitacional fraco
Nesta secção vamos estudar o comportamento de giroscópios quando colocados na vizinhança de um campo gravitacional fraco criado por uma fonte em
rotação. Para abordármos este problema é necessário termos uma métrica
que nos defina a geometria do espaço-tempo. Vamos utilizar a métrica que
representa o campo de um corpo em rotação, na aproximação de campo fraco
(ver [1, p. 449]):
ds2 = −(1 −
2M 2
xl
2M
)dt − 4εjkl S k 3 dt dxj + (1 +
)δjk dxj dxk
r
r
r
(2.28)
1
2
3
onde M é a massa
p da fonte, S = (S , S , S ) é o momento angular intrı́nseco
da fonte e r = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 representa a distância do ponto x =
(x1 , x2 , x3 ) à origem O onde se encontra localizada a fonte.
Comecemos por resolver o problema 19.2 de [1, p. 451]. Pretende-se
calcular a velocidade angular de precessão de um giroscópio quando colocado
no campo gravitacional dado pela métrica acima. Para resolvermos este
problema vamos começar por colocar uma tetrada no centro de massa do
giroscópio. Assim, escolhe-se a base de 1 formas (dual à base de tetradas
{eα̂ })
r
r
l
2M
2M j
0̂
kx
j
ĵ
ω = 1−
dt + 2εjkl S 3 dx , ω = 1 +
dx .
(2.29)
r
r
r
É fácil verificar que ds2 = −(ω 0̂ )2 + (ω 1̂ )2 + (ω 2̂ )2 + (ω 3̂ )2 = ηα̂β̂ ω α̂ ω β̂ , o que
mostra que a escolha da base dual é apropriada.
18
l
Devido aos termos diagonais da métrica (2.28) g0j = −2εjkl S k rx3 , os vectores de base espaciais da tetrada eĵ vão rodar relativamente ao giroscópio
(arrastamento de referenciais inerciais provocado pela rotação da fonte) com
velocidade angular ω dada por (ver equação (2.23))
−εîĵ k̂ ω k̂ = Γîĵ 0̂ ,
(2.30)
onde Γîĵ 0̂ pode ser calculado da métrica (2.28).
Consequentemente o giroscópio irá precessar relativamente à tetrada1 com
velocidade angular ΩP = −ω
εîĵ k̂ Ωk̂P = Γîĵ 0̂ .
(2.31)
Para calculármos a velocidade angular de precessão do giroscópio bastanos então calcular as conexões Γîĵ 0̂ .
Comecemos por reescrever a métrica numa outra forma
ds2 = −(1 + 2φ)dt2 + (1 − 2φ)[(dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 ] − 4hj dt dxj , (2.32)
2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1
x
x
x
, h2 = S x r−S
e h3 = S x r−S
.
onde φ ≡ − Mr , h1 = S x r−S
3
3
3
A base de tetradas {eα̂ } calcula-se a partir das relações de ortonormalidade com a base dual (ver [2])
hω α̂ , eβ̂ i = δβ̂α̂ .
(2.33)
Usando (2.33) vem (ver Apêndice A) que o vector e0̂ da tetrada é dado por
e0̂ = (1 − φ)
∂
.
∂t
(2.34)
e que os restantes vectores de base da tetrada e1̂ , e2̂ , e3̂ são dados por
e1̂ = −2h1
∂
∂
+ (1 + φ) 1 ,
∂t
∂x
(2.35)
e2̂ = −2h2
∂
∂
+ (1 + φ) 2 ,
∂t
∂x
(2.36)
1
A tetrada está “amarrada” ao sistema de coordenadas, o qual está “amarrado” aos
referenciais de Lorentz no infinito, os quais estão “amarrados” às estrelas longı́nquas. Logo
a precessão é relativa às estrelas longı́nquas.
19
∂
∂
+ (1 + φ) 3 .
∂t
∂x
Vamos agora calcular as conexões. Numa base de tetradas
e3̂ = −2h3
(2.37)
1
Γµ̂ν̂ α̂ = (cµ̂ν̂ α̂ + cµ̂α̂ν̂ − cν̂ α̂µ̂ )
2
(2.38)
cµ̂ν̂ α̂ = [eµ̂ , eν̂ ] · eα̂ .
(2.39)
onde
Das equações (2.31) e (2.38) podemos escrever
1
Ω3̂P = Γ1̂2̂0̂ = (c1̂2̂0̂ + c1̂0̂2̂ − c2̂0̂1̂ ).
2
(2.40)
Resta-nos então calcular c1̂2̂0̂ , c1̂0̂2̂ e c2̂0̂1̂ . Comecemos pelo primeiro:
c1̂2̂0̂ = [e1̂ , e2̂ ] · e0̂
∂
∂
∂
∂
∂
= [−2h1 + (1 + φ) 1 , −2h2 + (1 + φ) 2 ] · (1 − φ) (2.41)
.
∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
Tendo em conta que
superior a r13 obtemos
∂
∂xα
·
∂
∂xβ
= gαβ e desprezando termos de ordem
c1̂2̂0̂ = 2(
∂h2 ∂h1
−
).
∂x1 ∂x2
(2.42)
Calculemos agora c1̂0̂2̂ e c2̂0̂1̂ :
c1̂0̂2̂ = [e1̂ , e0̂ ] · e2̂ =
2x1 S 3 x1 − S 1 x3 M 2
M
1
1
(
)
(1
−
)
∼
−
,
r2
r3
r2
r
r5 r6
(2.43)
2x1 S 2 x3 − S 3 x2 M 2
M
1
1
(
) 2 (1 − ) ∼ 5 − 6 .
(2.44)
2
3
r
r
r
r
r
r
Logo c1̂0̂2̂ e c2̂0̂1̂ podem ser desprezados já que são de ordem superior a r13 .
Então temos para a componente Ω3̂P da velocidade angular de precessão
c2̂0̂1̂ = [e2̂ , e0̂ ] · e1̂ =
1
∂h2 ∂h1
Ω3̂P = c1̂2̂0̂ =
−
.
2
∂x1 ∂x2
(2.45)
Calculando as derivadas parciais acima vem
∂h2
3x1 3 1
S3
1 3
=
−
(S
x
−
S
x
)
+
,
∂x1
r5
r3
20
(2.46)
∂h1
3x2 2 3
S3
3 2
=
−
(S
x
−
S
x
)
−
.
(2.47)
∂x2
r5
r3
Substituindo (2.46) e (2.47) na equação (2.45) e efectuando os cálculos
obtém-se
1
3(S · x)x3
].
(2.48)
Ω3̂P = 3 [−S 3 +
r
r2
Podemos agora repetir os cálculos para Ω1̂P e Ω2̂P :
1
Ω1̂P = Γ2̂3̂0̂ = (c2̂3̂0̂ + c2̂0̂3̂ − c3̂0̂2̂ ),
2
(2.49)
1
Ω2̂P = Γ3̂1̂0̂ = (c3̂1̂0̂ + c3̂0̂1̂ − c1̂0̂3̂ )
2
(2.50)
e obtemos
1
3(S · x)x1
1
[−S
+
],
(2.51)
r3
r2
3(S · x)x2
1
].
(2.52)
Ω2̂P = 3 [−S 2 +
r
r2
Juntando as equações (2.48), (2.51) e (2.52) numa só equação vectorial
temos
1
3(S · x)x
ΩP = 3 [−S +
].
(2.53)
r
r2
Analisemos em mais pormenor a expressão para a velocidade angular de
precessão ΩP a que chegámos. Note que nos polos (onde (S·x)x
= S) o
r2
giroscópio gira no mesmo sentido que a fonte (ΩP paralelo a S) enquanto
que no equador (onde S · x = 0) giram em sentidos opostos (ΩP anti-paralelo
a S). Embora à primeira vista isto possa parecer estranho, podemos compreender melhor o que se está a passar graças a uma analogia dada por Schiff
(ver [1, p. 1119]). Consideremos uma esfera em rotação imersa num fluı́do
viscoso. À medida que roda, a esfera arrasta consigo o fluı́do. Coloquemos
agora pequenas varas em vários pontos do fluı́do. Perto dos polos, o fluı́do
irá claramente rodar as varas no mesmo sentido de rotação da esfera. Porém,
perto do equador as varas vão rodar em sentido contrário. Isso deve-se ao
facto de o fluı́do rodar mais rapidamente em pontos próximos da esfera.
Então, a extremidade da vara mais perto da esfera é arrastada mais rapidamente que a extremidade oposta. Consequentemente, a vara gira no sentido
oposto ao da rotação da esfera.
Ω1̂P =
21
2.6
Analogias entre gravitomagnetismo, electromagnetismo e arrastamento de fluı́do
O arrastamento de referenciais inerciais está intimamente relacionado com a
existência de um novo campo previsto pela TRG: o campo gravitomagnético.
É interessante vermos como surge este campo a partir de uma analogia entre
a TRG e a electrodinâmica clássica [5, p. 316]. Em electrodinâmica clássica
uma esfera em repouso carregada electricamente produz um campo eléctrico.
Se a esfera estiver a rodar surge um campo magnético cuja intensidade depende da velocidade angular de rotação. Analogamente em relatividade geral,
uma esfera massiva em repouso produz um campo gravitacional dado pela
métrica de Schwarzschild. Se a esfera adquirir rotação é natural que surja um
novo campo. A este novo campo dá-se o nome de campo gravitomagnético
em analogia com o campo magnético da electrodinâmica clássica.
Vamos agora derivar uma expressão para o campo gravitomagnético na
aproximação de campo gravitacional fraco. Para tal vamos tomar como
analogia o campo magnético criado por um dipolo magnético de momento
m. Neste caso, o campo magnético B, para pontos suficientemente afastados
do dipolo, é dado por2 (ver [5, p. 318])
B=−
1
3(m · x)x
[m
−
].
r3
r2
(2.54)
Para uma espira ou para um objecto com uma distribuição de corrente com
momento magnético m0 temos da Fı́sica básica que o torque sobre a espira é
N = m0 × B onde B é dado por (2.54) no local onde se encontra a espira.
Para a gravitação, no caso de uma distribuição de matéria a rodar em
torno de um eixo com momento angular intrı́nseco S mostra-se [5, p. 319]
que o campo gravitomagnético H na aproximação de campo gravitacional
fraco é dado por
2
3(S · x)x
H = 3 [S −
].
(2.55)
r
r2
Assim como para o electromagnetismo, também para a relatividade geral, o
torque actuando num giroscópio com momento angular L na aproximação de
2
Note que a velocidade angular de precessão ΩP dada na equação (2.53) é o equivalente
de um campo magnético se substituirmos o momento do dipolo m pelo momento angular
intrı́nseco S do objecto em rotação.
22
campo fraco é
1
dL
N= L×H=
= Ω × L.
(2.56)
2
dt
Logo deduzimos que o giroscópio precessa em relação a um referencial inercial
assimptótico com velocidade angular
1
3(S · x)x
1
Ω = − H = − 3 [S −
]
2
r
r2
(2.57)
que é a equação (2.53). Este fenómeno é o arrastamento do giroscópio ou
arrastamento de um referencial inercial do qual o giroscópio define um eixo.
Comparando as equações (2.54) e (2.55) vemos que em relatividade geral o
momento angular S desempenha um papel análogo ao do momento do dipolo
m em electrodinâmica clássica. Além disso existe ainda uma diferença de
sinal entre as duas equações o que se reflecte nas linhas de força dos campos
B e H (ver Figura 3(a) e 3(b)).
Podemos ainda ver na Figura 3 a analogia com o arrastamento de fluı́do.
Tal com já tinhamos mencionado no final da secção 2.5, uma esfera em
rotação imersa num fluı́do viscoso arrasta consigo os elementos de fluı́do
na sua vizinhança. Se colocármos uma outra esfera em repouso no fluı́do ela
irá comecar a rodar de acordo com a Figura 3(c). Note que no equador o
arrastamento é no sentido contrário ao da rotação da esfera maior, enquanto
que nos polos o arrastamento dá-se no mesmo sentido. Vemos da equação
(2.57) que o mesmo fenómeno acontece no gravitomagnetismo. De facto, se
S·x = 0, como é o caso para um giroscópio situado em algum ponto do plano
equatorial, temos ΩP ∝ −S, i.e., o arrastamento dá-se no sentido contrário
a S. Por outro lado, no polo norte temos (S · x)x/r2 ∝ S. Logo ΩP ∝ 2S,
i.e., a precessão tem o mesmo sentido que S.
23
Figura 3
24
Capı́tulo 3
Teoria da relatividade geral e
seus buracos negros
3.1
Acção e equações do movimento
Como qualquer teoria fı́sica, a teoria da relatividade geral pode ser deduzida
a partir de um princı́pio variacional, i.e., dada uma densidade lagrangeana
L como funcional da métrica gµν e das suas primeiras derivadas
L = L(gµν , ∂α gµν , ∂β ∂α gµν , . . .),
(3.1)
é possı́vel formar a acção
Z
S=
Ld4 x.
(3.2)
O princı́pio da acção mı́nima diz-nos que se fizérmos pequenas variações na
métrica gµν então a acção S permanece estacionária, ou seja
gµν → gµν + δgµν ⇒ S → S + δS
onde
Z
δS =
Lµν δgµν d4 x
com δS = 0,
(3.3)
(3.4)
e Lµν é a derivada de Euler-Lagrange
Lµν ≡
δL
.
δgµν
25
(3.5)
As equações de campo são então dadas por
Lµν = 0.
Vamos aplicar este formalismo à densidade lagrangeana de RG:
√
LG = −g R,
(3.6)
(3.7)
onde g é o determinante da métrica, R = g µν Rµν é o escalar de Ricci e o
ı́ndice G significa que esta é a densidade lagrangeana para a gravitação, i.e.,
sem a presença de quaisquer campos de matéria.
Fazendo variações de LG relativamente à métrica gµν (ver [3, p. 149])
obtemos as equações de campo de Einstein para o vácuo:
1
Rµν − Rgµν = 0.
2
(3.8)
Para o caso de termos também campos de matéria (e.g. campos escalares,
campo electromagnético, etc) temos de adicionar a LG uma densidade lagrangeana LM . Assim temos uma nova acção dada por
Z
S = (LG + κLM ) d4 x
(3.9)
onde κ é uma constante de acoplamento. Ambos os lagrangeanos são funcionais da métrica e das suas derivadas e por isso ao fazermos variações
relativamente a gµν obtemos
√
δLG
= − −g Gµν ,
δgµν
(3.10)
onde Gµν ≡ Rµν − 12 Rg µν é o tensor de Einstein e
√
δLM
= −g T µν ,
δgµν
(3.11)
onde a última equação define o tensor energia-momento T µν para os campos
de matéria presentes. Aplicando (3.6) obtemos as equações de campo
Gµν = κT µν .
(3.12)
A constante de acoplamento κ é determinada de acordo com o princı́pio
da correspondência, ou seja, no limite do campo gravitacional fraco e baixas
26
velocidades (comparadas com a velocidade da luz) estas equações devem
reduzir-se à equação de Poisson
∇2 φ = 4πGρ,
(3.13)
onde φ é o potencial gravitacional, G é a constante de gravitação universal e
ρ = ρ(x, y, z, t) é uma distribuição de matéria. Prova-se (ver [3, p. 167]) que
κ=
8πG
c4
(3.14)
onde c é a velocidade da luz. No sistema de unidades habitualmente utilizado
em Relatividade Geral G = c = 1 e assim κ = 8π.
3.2
Buraco negro de Schwarzschild
Uma das previsões da teoria da relatividade geral é a existência de buracos
negros. O primeiro passo para a compreensão de buracos negros surgiu em
1916 quando Karl Schwarzschild obteve a solução das equações de Einstein
no vácuo para o campo gravitacional de um corpo esfericamente simétrico.
A solução encontrada para a geometria do espaço tempo no exterior de um
objecto de massa M é dada por:
ds2 = −(1 −
dr2
2M 2
)dt +
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ),
2M
r
(1 − r )
(3.15)
(G = c = 1). Esta solução descreve, por exemplo, o campo gravitacional no
exterior de uma estrela com simetria esférica. Como surgem então os buracos
negros?
Sabemos que uma estrela é um sistema fı́sico que resulta essencialmente
do equilı́brio entre duas forças: a força de pressão que tende a expandir a
matéria da estrela e a força gravitacional que tende a colapsá-la. A teoria
de evolução estelar diz-nos que estrelas cujas massas são da ordem de uma
massa solar (1 M ) podem atingir um estado final de equilı́brio como anãs
brancas ou estrelas de neutrões. Mas, para massas um pouco maiores tal
equilı́brio não é possı́vel e nesse caso a estrela colapsará irreversivelmente até
toda a matéria estar contida numa singularidade. O buraco negro é formado
a partir do momento em que a superfı́cie da estrela atinge o raio r = 2M
(denominado raio gravitacional ou raio de Schwarzschild). Mostra-se (ver por
27
exemplo [1]) que qualquer sinal luminoso emitido pela superfı́cie da estrela
em raios r < 2M nunca ultrapassam o raio gravitacional. Mostra-se também
que a estrela não brilha para um observador situado no exterior de r = 2M .
Daı́ o nome de buraco negro.
Notar que a métrica (3.15) é singular em r = 2M pois gtt = 0 e grr = ∞
nesse ponto. Coloca-se então a questão se estamos na presença de uma
singularidade intrı́nseca do espaço-tempo ou se se trata simplesmente de uma
singularidade de coordenadas. Por outras palavras: será possı́vel remover
esta singularidade ao escolher outro sistema de coordenadas? A resposta
está em analisarmos um escalar invariante que não depende do sistema de
coordenadas. Um tal escalar é, por exemplo, o escalar de Kretschmann dado
por
48M 2
Rµνρσ Rµνρσ =
,
(3.16)
r6
onde Rµνρσ é o tensor de Riemann. Verifica-se que Rµνρσ Rµνρσ é finito em
r = 2M . Logo r = 2M é simplesmente uma singularidade de coordenadas.
A singularidade em r = 0 é no entanto irremovı́vel e designa-se por singularidade de curvatura.
3.3
Buraco negro de Reissner-Nordström
Após a descoberta da solução de Schwarzschild (caracterizado unicamente
pela massa M ) surgiu uma nova solução das equações de Einstein para um
objecto carregado. Esta solução foi encontrada independentemente por Reissner (1916) e Nordström (1918) e é dada por
ds2 = −(1 −
2M
Q2
dr2
+ 2 )+
r
r
(1 − 2M
+
r
Q2
)
r2
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ),
(3.17)
juntamente com um campo de Maxwell dado por Frt = rQ2 , onde M é a massa
do objecto e Q a sua carga. Note que quando Q = 0 a solução (3.17) reduz-se
à solução de Schwarzschild. É possı́vel mostrar que os buracos negros com
carga magnética têm a mesma métrica, embora o campo de Maxwell seja
dado por Fθφ = Q sin θ.
Consideremos agora os coeficientes
gtt = −(grr )−1 = 1 −
2M
Q2
r2 − 2M r + Q2
ε
+ 2 =
≡ 2.
2
r
r
r
r
28
(3.18)
É fácil de ver que o discriminante da quadrática ε = r2 − 2M r + Q2 é
δ = M 2 − Q2 .
(3.19)
Se δ < 0, i.e, M 2 < Q2 então ε não tem raı́zes e é sempre positivo para
todos os valores de r. Então a métrica (3.17) é não singular no intervalo
0 < r < ∞. Porém a solução possui uma singularidade intrı́nseca em r = 0.
Esta solução fornece uma singularidade nua.
Soluções de buracos negros ocorrem quando δ ≥ 0, i.e, M 2 ≥ Q2 . Neste
caso a métrica anula-se para ε = 0, ou seja em r = r+ e r = r− com
p
r± = M ± M 2 − Q2 .
(3.20)
Estes dois raios correspondem a dois horizontes. O elemento de linha (3.17)
é não singular nas seguintes regiões:
I. r+ < r < ∞,
II. r− < r < r+ ,
III. 0 < r < r− .
(3.21)
Para Q2 = M 2 os dois horizontes coincidem: r+ = r− = M e as únicas
regiões que existem são a I e a III. Neste caso diz-se que o buraco negro é
um buraco negro extremo.
3.4
Buraco negro de Kerr-Newman
Na secção 2.1 vimos que o colapso gravitacional de uma estrela electricamente
neutra com simetria esférica produz um buraco negro descrito pela métrica
de Schwarzschild. Consideremos agora o seguinte modelo estelar: estrela
com simetria não-esférica, com carga e em rotação. Neste caso, cálculos em
teoria de perturbações (ver [1, p. 864]) prevêm para estado final do colapso
um buraco negro caracterizado unicamente pela sua massa M , carga Q e
momento angular intrı́nseco S. A solução das equações de Einstein para um
buraco negro deste tipo é dada pela geometria de Kerr-Newman1 .
1
A versão sem carga (Q = 0) foi encontrada pela primeira vez por Kerr (1963) [6]. A
generalização carregada foi derivada pela primeira vez por Newman, Couch, Chinnapared,
Exton, Prakash e Torrence (1965) [7].
29
Em termos das coordenadas t, r, θ, φ de Boyer-Lindquist [8](generalização
das coordenadas de Schwarzschild) podemos escrever a métrica de KerrNewman como sendo
2
∆
Σ
2
2 sin θ
ds = − [dt−a sin θ dφ] +
[(r2 +a2 )dφ−a dt]2 + dr2 +Σ dθ2 , (3.22)
Σ
Σ
∆
2
onde
a≡
∆ ≡ r2 − 2M r + a2 + Q2 ,
(3.23)
Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ,
(3.24)
S
≡ momento angular intrinseco por unidade de massa.
M
(3.25)
Comecemos por analisar as simetrias da métrica acima (ver [1, p. 892]). É
fácil de ver que os coeficientes gµν são independentes da coordenada temporal
t e da coordenada angular φ. Então
ξ (t) ≡ (
∂
)
∂t
e
ξ (φ) ≡ (
∂
)
∂φ
(3.26)
são vectores de Killing associados com a estacionaridade (invariância translacional no tempo) e a simetria axial do buraco negro. Os produtos escalares
entre estes vectores de Killing são dados por
ξ (t) · ξ (t) = gtt = −(
∆ − a2 sin2 θ
),
Σ
(3.27)
(2M r − Q2 )a sin2 θ
,
(3.28)
Σ
[(r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ] sin2 θ
ξ (φ) · ξ (φ) = gφφ =
.
(3.29)
Σ
Os vectores de Killing descrevem as simetrias do espaço-tempo e existem
independentemente do sistema de coordenadas que se está a usar. Logo
os seus produtos escalares também têm significado independentemente das
coordenadas. Podemos então encarar gtt , gtφ e gφφ como três campos escalares
que contém informação acerca das simetrias do espaço-tempo.
Para estudármos precessão de giroscópios que é assunto deste projecto
vamos primeiro abordar o problema do arrastamento de referenciais devido
à rotação do buraco negro. Qualquer observador que se move ao longo de
uma linha do universo r = θ = const. com velocidade angular uniforme
ξ (t) · ξ (φ) = gtφ = −
30
não detecta, na sua vizinhança, quaisquer variações na geometria do espaçotempo. Tal observador é denominado estacionário em relação à geometria
local. Por outro lado, se a sua velocidade angular for nula, i.e, se ele se mover
ao longo de uma linha do universo r = θ = φ = const. então denomina-se
observador estático em relação ao referencial de Lorentz assimptótico, ou seja,
em relação às estrelas longı́nquas. A definição exacta de velocidade angular
em relação ao referencial de Lorentz assimptótico é
Ω≡
dφ/dτ
uφ
dφ
=
= t,
dt
dt/dτ
u
(3.30)
onde τ é o tempo próprio no referencial do observador. Assim, um observador estacionário é estático se e só se Ω = 0. Podemos agora escrever a
4-velocidade do observador estacionário em função de Ω, dos vectores de
Killing e dos seus produtos escalares:
∂
∂
∂
∂
+ uφ
= ut ( + Ω ) = ut (ξ (t) + Ωξ (φ) )
∂t
∂φ
∂t
∂φ
ξ (t) + Ωξ (φ)
ξ (t) + Ωξ (φ)
=
.
=
|ξ (t) + Ωξ (φ) |
(−gtt − 2Ωgtφ − Ω2 gφφ )1/2
u = ut
(3.31)
Porém, os observadores estacionários num dado r, θ não podem ter qualquer
velocidade angular. Apenas serão permitidos os valores de Ω tais que a 4velocidade u esteja dentro do cone de luz, u · u < 0, i.e.
(ξ (t) + Ωξ (φ) ) · (ξ (t) + Ωξ (φ) ) = gtt + 2Ωgtφ + Ω2 gφφ < 0.
(3.32)
De (3.32) vemos que as velocidades angulares dos observadores estacionários
estão restringidas a
Ωmin < Ω < Ωmax ,
(3.33)
onde
r
gtt
Ωmin = ω − ω 2 −
,
gφφ
r
gtt
Ωmax = ω + ω 2 −
,
gφφ
ω ≡= −
gtφ
(2M r − Q2 )a
= 2
,
gφφ
(r + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ
31
(3.34)
(3.35)
(3.36)
e onde se assume que a > 0. De (3.34) e (3.35) tiramos ω = 12 (Ωmin + Ωmax ).
Note também que:
(1) Quando r → ∞, temos rΩmin = −1 e rΩmax = 1 o que corresponde
aos limites impostos pela velocidade da luz no espaço-tempo plano.
(2) À medida que r diminui, Ωmin aumenta. Finalmente quando gtt = 0,
i.e., em
p
r = r0 (θ) ≡ M + M 2 − Q2 − a2 cos2 θ,
(3.37)
Ωmin anula-se. Para r ≤ r0 (θ) temos Ωmin > 0 e assim todos os observadores
estacionários orbitam o buraco negro com Ω > 0. Observadores estáticos
(Ω = 0) existem apenas para r > r0 (θ). Por esta razão r = r0 (θ) é denominado limite estático. Ou seja, para r ≤ r0 (θ) o arrastamento torna-se
tão intenso que nenhum observador consegue permanecer em repouso (i.e.
estático) relativamente às estrelas lonqı́nquas.
(3) À medida que avançamos pela ergosfera (região do espaço-tempo entre
o horizonte e o limite estático) os valores permitidos para Ω aumentam (cada
vez maior arrastamento). Ao mesmo tempo, o intervalo [Ωmin , Ωmax ] estreitase até que finalmente no horizonte de eventos
p
r = r+ ≡ M + M 2 − Q2 − a2 ,
(3.38)
tt
os limites Ωmin e Ωmax coalescem (ω 2 = ggφφ
). Então, abaixo do horizonte
r+ deixam de existir observadores estacionários. Todas as linhas do universo
temporais apontam para a singularidade e não há escapatória possı́vel do
buraco negro.
Interessa-nos agora definir uma classe priveligiada de observadores. Para
tal vamos resolver o exercı́cio 33.3 de [1]. Imaginemos a seguinte experiência:
coloca-se um espelho circular em torno de um buraco negro de Kerr-Newman
para (r, θ) fixos. Consideremos um observador estacionário em (r, θ) com velocidade angular Ω a emitir flashes de luz. Alguns dos fotões serão capturados
pelo espelho e deslizarão ao longo da sua superfı́cie circum-navegando o buraco negro no sentido positivo +φ. Outros fotões deslocar-se-ão no sentido
negativo −φ. Interessa-nos determinar a velocidade Ω para a qual o observador recebe simultâneamente os fotões vindos de ambas as direcções, pois só
nesse caso é que ele pode encarar os sentidos +φ e −φ como equivalentes em
termos de geometria local. Dito de outra forma, só nestas condições é que o
32
observador não roda relativamente à geometria do espaço-tempo. Este tipo
de observadores designam-se por observadores sem rotação local (LNRO, do
inglês locally nonrotating observers).
Como (r, θ) são constantes ⇒ dr = dθ = 0. Além disso os fotões
deslocam-se ao longo de geodésicas nulas, logo ds2 = 0. Então, a partir
da métrica (3.22) podemos escrever
0 = gtt dt2 + 2gtφ dt dφ + gφφ dφ2 .
(3.39)
Dividindo tudo por dt2 e resolvendo a equação quadrática obtemos duas
soluções:
q
q
2
2
g
−
g
g
gtφ
− gφφ gtt
−g
+
−g
−
tφ
φφ
tt
tφ
tφ
dφ
dφ
( )+ =
e
( )− =
,
dt
gφφ
dt
gφφ
(3.40)
que correspondem às duas velocidades angulares possı́veis para os fotões.
Para que o observador estacionário com velocidade angular Ω receba simultâneamente os fotões é necessário que
dφ
dφ
)+ − Ω = Ω − ( )− .
dt
dt
Resolvendo em ordem a Ω vem que
(
1 dφ
dφ
gtφ
Ω = [( )+ + ( )− ] = −
= ω(r, θ)
2 dt
dt
gφφ
(3.41)
(3.42)
onde ω(r, θ) é dado pela equação (3.36). Temos então que um LNRO é um
observador estacionário particular que se desloca com velocidade angular
Ω=
(2M r − Q2 )a
.
(r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ
(3.43)
Vamos agora fornecer um sistema de coordenadas local para cada LNRO,
i.e, uma tetrada. Assim (ver exercı́cio 33.4 de [1]), escolhe-se a base ortonormada de 1-formas (dual à base de tetradas {eα̂ }
ω t̂ = |gtt − ω 2 gφφ |1/2 dt,
ω φ̂ = (gφφ )1/2 (dφ − ω dt),
Σ
ω r̂ = ( )1/2 dr,
√∆
θ̂
ω =
Σ dθ.
33
(3.44)
De facto a métrica (3.22) fica escrita como ds2 = −(ω t̂ )2 + (ω r̂ )2 + (ω θ̂ )2 +
(ω φ̂ )2 o que mostra que a escolha da base dual é apropriada. É fácil de
mostrar que a base dual {ω α̂ } é de facto ortonormada, i.e., ω α̂ · ω β̂ = η α̂β̂ =
diag (−1 1 1 1). Por exemplo
ω t̂ · ω t̂ = |gtt − ω 2 gφφ |dt · dt = −(gtt − ω 2 gφφ ) g tt
(3.45)
onde se utilizou dxα · dxβ = g αβ e o facto de gtt − ω 2 gφφ < 0. Temos então de
calcular o tensor da métrica com os ı́ndices em cima. Tendo em conta que


gtt 0
0 gtφ
 0 grr 0
0 
,
(3.46)
[gµν ] = 
 0
0 gθθ 0 
gtφ 0
0 gφφ
basta invertermos esta matriz para obtermos os coeficientes g µν . Assim,


1
ω
0
0
2
2
gtt −ω gφφ
gtt −ω gφφ


∆
0
0
0


Σ
[g µν ] = 
(3.47)
.
1
0
0
0


Σ
g /g
ω
0 0 gtttt−ω2φφ
gtt −ω 2 gφφ
gφφ
Substituindo g tt =
1
gtt −ω 2 gφφ
na equação (3.45) obtém-se imediatamente ω t̂ ·
ω t̂ = −1. Podemos agora mostrar que ω r̂ · ω r̂ = ω θ̂ · ω θ̂ = ω φ̂ · ω φ̂ = 1.
A base de tetradas {eα̂ } pode ser calculada utilizando a relação de ortonormalidade
hω α̂ , eβ̂ i = δβ̂α̂
(3.48)
tal como já tinhamos feito na secção 1.4 (ver Apêndice A). Obtém-se então
1
∂
∂
( + ω ),
2
1/2
|gtt − ω gφφ |
∂t
∂φ
∆
∂
= ( )1/2 ,
Σ
∂r
1 ∂
,
= √
Σ ∂θ
∂
= (gφφ )−1/2 .
∂φ
et̂ =
er̂
eθ̂
eφ̂
34
(3.49)
Podemos mostrar agora que a 4-velocidade de um LNRO é dada por u = et̂ .
Recordemos que um LNRO é um observador estacionário que se move com
velocidade angular Ω dada pela equação (3.43). A 4-velocidade é então (ver
equação (3.31))
u=
1
(−gtt − 2ωgtφ −
ω 2 gφφ )1/2
(
∂
∂
+ ω ).
∂t
∂φ
(3.50)
g
tφ
Sabendo que ω = − gφφ
obtém-se
u=
1
∂
∂
1
∂
∂
( +ω ) =
( +ω ) = et̂ . (3.51)
2
1/2
2
1/2
(−gtt + ω gφφ )
∂t
∂φ
|gtt − ω gφφ |
∂t
∂φ
onde usámos (3.49). A definição de LNRO pode levar-nos a pensar que este
tipo de observador é localmente inercial. Porém, vamos mostrar que um
LNRO tem 4-aceleração não-nula. Vimos em (3.51) que a 4-velocidade é
dada por
1
u = et̂ =
(et + ωeφ ),
(3.52)
|gtt − ω 2 gφφ |1/2
∂
∂
onde et ≡ ∂t
e eφ ≡ ∂φ
. Os vectores et e eφ são vectores de Killing. O campo
et + ωeφ não é vector de Killing pois ω = ω(r, θ) não é constante. Contudo,
qualquer LNRO particular move-se ao longo do vector de Killing et + ω0 eφ ,
onde ω0 é uma constante fixa de acordo com o raio r e a orientação θ do
LNRO. Então podemos aplicar o resultado do problema 10.14 de [2] que nos
diz o seguinte: se ξ é um vector de Killing temporal e u = |ξ·ξ|ξ1/2 é uma
4-velocidade então a 4-aceleração a é dada por
1
a ≡ ∇u u = ∇ ln |ξ · ξ|.
2
Seja agora ξ = et + ωeφ com ω = ω0 = const.. Então
ξ·ξ =
=
=
=
(et + ωeφ ) · (et + ωeφ )
et · et + 2ωet · eφ + ω 2 eφ · eφ
gtt + 2ωgtφ + ω 2 gφφ
gtt − ω 2 gφφ < 0,
(3.53)
(3.54)
pois ξ é um vector temporal de Killing. Substituindo (3.54) na equação (3.52)
obtemos para a 4-velocidade
u=
ξ
.
|ξ · ξ|1/2
35
(3.55)
Aplicando o resultado extraido de [2] temos que a 4-aceleração vem dada por
1
a = ∇ ln |gtt − ω 2 gφφ |,
2
(3.56)
e por isso um LNRO é um observador não inercial.
Suponhamos agora que um dado LNRO transporta consigo um giroscópio.
Apliquemos uma aceleração no centro de massa do giroscópio. Então o
LNRO verá o giroscópio precessar relativamente ao seu referencial ortonormado {eα̂ }. Vamos calcular a velocidade angular de precessão ΩP utilizando
o mesmo formalismo da secção 1.4. A velocidade angular ΩP será dada pela
equação (2.31)
εîĵ k̂ Ωk̂P = Γîĵ 0̂ .
(3.57)
Desenvolvendo a equação acima temos
Ωr̂P = Γθ̂φ̂0̂ ,
Ωθ̂P = Γφ̂r̂0̂ ,
Ωφ̂P = Γr̂θ̂0̂ .
(3.58)
Resta-nos então calcular as conexões tal como fizémos em 1.4. Aplicando
(2.38) vem
1
Ωr̂P = Γθ̂φ̂0̂ = (cθ̂φ̂0̂ + cθ̂0̂φ̂ − cφ̂0̂θ̂ ),
(3.59)
2
1
Ωθ̂P = Γφ̂r̂0̂ = (cφ̂r̂0̂ + cφ̂0̂r̂ − cr̂0̂φ̂ ),
(3.60)
2
1
Ωφ̂P = Γr̂θ̂0̂ = (cr̂θ̂0̂ + cr̂0̂θ̂ − cθ̂0̂r̂ ),
(3.61)
2
onde os cµ̂ν̂ α̂ são dados pela equação (2.39). Comecemos por calcular Ωr̂P .
Utilizando as equações (3.49) para a base de tetradas e substituindo em
(2.39) vem
cθ̂φ̂0̂ = [eθ̂ , eφ̂ ] · e0̂ = 0,
(3.62)
1/2
cθ̂0̂φ̂
gφφ
ω
√,θ ,
= [eθ̂ , e0̂ ] · eφ̂ =
2
1/2
|gtt − ω gφφ |
Σ
cφ̂0̂θ̂ = [eφ̂ , e0̂ ] · eθ̂ = 0.
36
(3.63)
(3.64)
Então
1/2
Ωr̂P
gφφ
ω
1
√,θ .
=
2
1/2
2 |gtt − ω gφφ |
Σ
(3.65)
Repetindo os cálculos para Ωθ̂P e Ωφ̂P temos que
1/2
Ωθ̂P
gφφ
∆
1
=−
( )1/2 ω,r ,
2
1/2
2 |gtt − ω gφφ |
Σ
Ωφ̂P = 0.
(3.66)
(3.67)
Então a velocidade angular de precessão é dada por
ΩP = Ωr̂P er̂ + Ωθ̂P eθ̂
1/2
gφφ
1
ω,θ
∆
=
[ √ er̂ − ( )1/2 ω,r eθ̂ ].
2
1/2
2 |gtt − ω gφφ |
Σ
Σ
(3.68)
Note que nos polos (θ = 0, π) e no equador (θ = π2 ) o termo ω,θ anula-se (ver
equação (3.43)) e portanto não há precessão segundo er̂ .
37
Capı́tulo 4
Teoria de cordas e seus buracos
negros
4.1
Acção e equações do movimento
Vimos no capı́tulo anterior que a teoria da relatividade geral prevê a existência de buracos negros. Actualmente existem vários tipos de candidatos
a buracos negros. Podemos ter buracos negros estelares de algumas massas
solares (mais facilmente observáveis) até buracos negros gigantes de milhões
de massas solares que se encontram no centro de galáxias e quasares. Para
estes buracos negros a TRG fornece uma descrição adequada. Contudo, foi
sugerida a existência de buracos negros com massas muito inferiores à massa
do sol (por exemplo, massas de 10−15 M , ou seja a massa de uma montanha)
e que poderão ter sido formados nos primórdios do Universo. Estes buracos
negros tendem a evaporar-se, i.e., a tornarem-se cada vez mais pequenos devido a um efeito quântico denominado radiação de Hawking. Nos estados
finais de evaporação, a TRG deixa de ser válida uma vez que se atingem escalas da ordem do comprimento de Planck (∼ 10−33 cm). É então necessário
introduzir uma teoria quântica para a gravitação. A teoria de cordas é actualmente uma das mais fortes candidatas. Por essa razão é extremamente
interessante estudar os buracos negros nesta teoria.
Comecemos por escrever a acção para teoria de cordas a baixas energias
(energias menores que a energia de Planck, 1019 Gev) [9]:
Z
√
1
S = dD x −ge−2φ [Λ + R + 4∂µ φ∂ µ φ − Fµν F µν − Hµνρ H µνρ ], (4.1)
12
38
onde g é o determinante da métrica, φ é um campo escalar denominado
dilatão, R é o escalar de Ricci, Fµν é um campo de Maxwell, Hµνρ é uma
3-forma e Λ é uma constante relacionada com a dimensão do espaço-tempo
D. A 3-forma Hµνρ está relacionada com uma 2-forma Bµν e com o campo
de gauge Aµ através de H = dB − A ∧ F onde F = dA. Vemos que a teoria
de cordas fornece uma grande variedade de campos fı́sicos.
Aplicando o princı́pio variacional a esta acção obtêm-se as seguintes equações
do movimento (ver Apêndice B):
1
Rµν + 2∇µ ∇ν φ − 2Fµλ Fνλ − Hµλσ Hνλσ = 0,
4
1
∇ν (e−2φ Fµν ) + e−2φ Hµνρ F νρ = 0,
12
∇µ (e−2φ Hµνρ ) = 0,
1
4∇µ ∇µ φ − 4∂µ φ∂ µ φ + Λ + R − Fµν F µν − Hµνρ H µνρ = 0.
12
(4.2)
À primeira vista é difı́cil encontrar soluções exactas para as equações acima.
A presença da exponencial no dilatão torna-as bastante complicadas. Porém,
se considerármos espaços-tempo com uma dada simetria podemos gerar novas soluções a partir de soluções já conhecidas através de uma simples transformação [9]. Para ilustrar o tipo de transformação que iremos usar vamos
considerar a teoria de Kaluza-Klein. A acção de Einstein para o vácuo em 5
dimensões
Z
p
S = d5 x −g (5) R(5)
(4.3)
quando restringida a espaços-tempo independentes de uma coordenada x é
equivalente à seguinte acção em 4D:
Z
√
√
S = d4 x −g(R − 2∂µ φ∂ µ φ − e−2 3φ Fµν F µν ).
(4.4)
À priori esta teoria também parece de difı́cil resolução. Contudo, a partir do
momento em que se consegue entender a ligação com a teoria em 5 dimensões,
é fácil gerar solucões em 4 dimensões partindo de uma dada solução estática
de vácuo. De facto, dada uma métrica estática de vácuo em 4 dimensões,
podemos tomar o seu produto com o eixo dos reais IR para obter uma solução
em 5 dimensões com invariância translacional na coordenada x5 . Podemos
agora efectuar um boost desta solução na direcção x5 . Esta nova solução satisfaz evidentemente as equações de campo em 5 dimensões. Porém, quando
39
reinterpretada em 4D, obtemos uma solução com um campo de Maxwell Aµ
e um dilatão φ diferentes de zero. Em particular podemos encontrar soluções
de buracos negros carregados a partir da solução de Schwarzschild.
Existe um procedimento análogo em teoria de cordas [9]. Começamos com
uma solução estática (gµν , Bµν , φ) das equações (4.2) com Aµ = 0. Como a
solução é estática, os coeficientes gti são nulos. Para simplificar assumiremos
também que Bti = 0. Então pode-se obter uma nova famı́lia de soluções,
com Bµν e gij inalteráveis, dada por (ver [10],[11],[12])
gtt
g˜tt =
,
[1 + (1 + gtt ) sinh2 α]2
(1 + gtt ) sinh 2α
Ãt = − √
,
2 2[1 + (1 + gtt ) sinh2 α]
e−2φ̃ = e−2φ [1 + (1 + gtt ) sinh2 α],
(4.5)
onde α é um parâmetro arbitrário. Notar que quando α = 0 a transformação
reduz-se à identidade. Nas secções seguintes iremos utilizar estas transformações para gerar soluções de buracos negros carregados e com rotação.
4.2
Buraco negro descarregado
Podemos agora discutir as soluções de buracos negros das equações (4.2) da
teoria de cordas. Iremos considerar um espaço-tempo com D = 4. Fixemos
condições de fronteira tais que o espaço-tempo seja assimptoticamente plano
e o dilatão no infinito tome o valor zero. Estas condições implicam que a
constante Λ = 0. Além disso, vamos simplificar o problema fazendo H = 0,
i.e., não há campo 3-forma. A métrica usada em (4.1) é a métrica que surge
naturalmente em teoria de cordas. Contudo, de forma a podermos comparar
esta teoria com a TRG é conveniente rescalar a métrica gµν de um factor
e−2φ . Assim, se fizermos
E
gµν
= e−2φ gµν ,
(4.6)
a acção (4.1) rescreve-se
Z
√
S = d4 x −gE (RE − 2∂µ φ∂ µ φ − e−2φ F 2 ),
(4.7)
E µ
E E
E
onde ∂µ φ∂ µ φ = gµν
∂ φ∂ ν φ e F 2 = gµα
gνβ F αβ F µν . A métrica gµν
é usualmente designada métrica de Einstein enquanto gµν designa-se por métrica de
cordas.
40
Para obter (4.7) utilizámos vários resultados. Por exemplo, uma transformação na métrica do tipo (4.6) altera o escalar de Ricci da seguinte forma
(ver Apêndice C):
RE = e2φ (R + 6∇µ ∇µ φ − 6∂µ φ∂ µ φ).
(4.8)
O novo determinante gE escreve-se
gE = e−8φ g ⇒
√
√
−gE = e−4φ −g.
(4.9)
Substituindo (4.8) e (4.9) em (4.1) e efectuando alguns cálculos (ver Apêncice
C) obtém-se (4.7). Analisemos agora em mais detalhe a acção (4.7). Se
Fµν = 0, (4.7) reduz-se à acção de Einstein com um campo escalar φ. Os
teoremas “no hair” [13], [14] mostram que a única solução de buraco negro
desta teoria é o buraco negro de Schwarzschild com φ = 0 em toda a parte.
Então, os buracos negros descarregados em teoria de cordas a baixas energias
são idênticos aos da TRG.
4.3
Buraco negro carregado
O buraco negro carregado é caracterizado por um tensor de Maxwell Fµν
diferente de zero. Como o dilatão φ acopla com F 2 em (4.7), os buracos negros
carregados em teoria de cordas não são idênticos aos de relatividade geral
(Reissner-Nordström) com φ = 0. Podemos encontrar tais soluções usando a
transformação (4.5). Assim, se partirmos de uma solução de Schwarzschild
com massa m e coordenada radial r̂, ao aplicármos a transformação (4.5)
obtemos
ds2 = −(1 −
2m
2m sinh2 α −2 2
2m −1 2
)(1 +
) dt + (1 −
) dr̂ + r̂2 dΩ,
r̂
r̂
r̂
At = − √
m sinh 2α
,
2[r̂ + 2m sinh2 α]
(4.10)
(4.11)
2m
sinh2 α.
(4.12)
r̂
A estrutura causal desta solução é idêntica à de Schwarzschild. Existe um
horizonte de eventos em r̂ = 2m e uma singularidade de curvatura em r̂ =
0. Interessa-nos agora relacionar a massa M e a carga Q em função dos
e−2φ = 1 +
41
parãmetros m e α. A maneira mais simples é rescalarmos a métrica (4.10)
para a métrica de Einstein (ver equação (4.18)) e comparar com a solução
de Schwarzschild assimptoticamente. Então M e Q são dados por
√
M = m cosh2 α,
Q = 2m cosh α sinh α.
(4.13)
Note que o quociente entre Q e M depende somente de α e é dado por
Q2
= 2 tanh2 α.
2
M
(4.14)
Para facilitar a comparação com os buracos negros da TRG, é conveniente
rescalar a solução (4.10) para a métrica de Einstein. Vamos ainda introduzir
uma nova coordenada radial
r = r̂ + 2m sinh2 α.
(4.15)
Substituindo m em (4.15) usando a equação (4.13) vem
r̂ = r −
Q2
.
M
(4.16)
Substituindo m e r̂ em (4.12)usando as equações (4.13) e (4.16) obtemos
e−2φ =
Mr
.
M r − Q2
(4.17)
O rescalamento fica sendo:
Mr
2m
2m sinh2 α −2
2M
(1
−
)(1
+
) = −(1 −
),
2
Mr − Q
r̂
r̂
r
Mr
r̂
2M −1
= e−2φ grr =
= (1 −
) ,
2
M r − Q r̂ − 2m
r
Mr
Q2
2
2
= e−2φ gθθ = e−2φ r̂2 =
(r
−
2m
sinh
α)
=
r(r
−
), (4.18)
M r − Q2
M
gttE = e−2φ gtt = −
E
grr
E
gθθ
e obtemos a solução para o buraco negro carregado em teoria de cordas no
quadro de Einstein
ds2E
2M 2
2M
Q2
2
= −(1 −
)dt + (1 −
)dr + r(r −
)dΩ.
r
r
M
42
(4.19)
Note que no plano r−t a métrica é idêntica a Schwarzschild! A única diferença
está no coeficiente de dΩ, o que implica que a área das superfı́cies esféricas
2
seja menor. De facto, esta área tende para zero quando r = QM , onde a
superfı́cie torna-se singular (no buraco negro de Schwarzschild da relatividade
geral torna-se singular em r = 0). Fica claro que os buracos negros carregados
da teoria de cordas (ver (4.19)) são diferentes dos buracos negros carregados
de relatividade geral, os buracos negros de Reissner-Nordström (ver (3.17)).
É possı́vel também mostrar que os buracos negros com carga magnética em
teoria de cordas são totalmente diferentes dos de relatividade geral [9].
4.4
Buraco negro de Sen
Até agora considerámos apenas buracos negros sem rotação. Quando a carga
é nula o buraco negro com rotação em teoria de cordas é o mesmo que em
relatividade geral e é dado pela solução de Kerr:
2mr 2 Σ 2
4mra sin2 θ
)dt + dr + Σdθ2 −
dt dφ
Σ
∆
Σ
(r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ
+ [
] sin2 θdφ2
(4.20)
Σ
ds2E = − (1 −
onde
Σ = r2 + a2 cos2 θ,
(4.21)
∆ = r2 + a2 − 2mr.
(4.22)
Notar que esta solução se obtém do buraco negro de Kerr-Newman (3.22)
fazendo Q = 0.
A solução para um buraco negro carregado e com rotação em teoria de
cordas foi encontrada por Sen [15] aplicando uma generalização da transformação (4.5) à solução de Kerr. A métrica no quadro de Einstein escreve-se
como
2mr cosh2 α 2 Υ 2
4mra cosh2 α sin2 θ
)dt + dr + Υdθ2 −
dt dφ
Υ
∆
Υ
(r2 + a2 + 2mr sinh2 α)2 − ∆a2 sin2 θ
+ [
] sin2 θdφ2 ,
(4.23)
Υ
ds2E = − (1 −
onde
Υ = r2 + a2 cos2 θ + 2mr sinh2 α,
43
(4.24)
∆ = r2 + a2 − 2mr.
(4.25)
A massa M e a carga Q estão relacionadas com m e α através das transformações (4.13). Podemos então rescrever a métrica de Sen em função de
M e Q:
2M r 2 Υ 2
4M ra sin2 θ
)dt + dr + Υdθ2 −
dt dφ
Υ
∆
Υ
2
(r2 + a2 + r QM )2 − ∆a2 sin2 θ
+ [
] sin2 θdφ2
(4.26)
Υ
ds2E = − (1 −
onde
Q2
,
M
Q2
∆ = r2 + a2 − 2M r + r .
M
Υ = r2 + a2 cos2 θ + r
(4.27)
(4.28)
Podemos agora repetir a experiência do espelho circular tal como já tinhamos feito na secção 2.4 para a solução de Kerr-Newman. Recordemos os
vários passos que seguimos: coloca-se um espelho circular em (r, θ) fixos em
torno de um buraco negro de Sen. Seja um observador em (r, θ) com velocidade angular Ω a emitir flashes de luz. Alguns dos fotões serão capturados
pelo espelho e deslizarão ao longo da sua superfı́cie no sentido +φ. Outros
fotões deslocar-se-ão no sentido −φ. Pretende-se determinar a velocidade Ω
para a qual o observador recebe simultâneamente os fotões provenientes de
ambas as direcções. A este observador particular chamámos locally nonrotating observer (LNRO). Como a métrica de Sen tem os mesmos coeficientes não
nulos que a métrica de Kerr-Newman (gtt , grr , gθθ , gφφ , gtφ ) então os cálculos
para Ω serão idênticos e Ω será dado por:
Ω=−
gtφ
2M ra
=
≡ ω(r, θ).
2
2
2
gφφ
(r + a + r QM )2 − ∆a2 sin2 θ
(4.29)
Suponhamos agora que o nosso LNRO transporta consigo uma tetrada. Escolhendo a base de 1-formas (dual à base de tetradas {eα̂ }) como sendo
ω t̂ = |gtt − ω 2 gφφ |1/2 dt,
ω φ̂ = (gφφ )1/2 (dφ − ω dt),
Υ
ω r̂ = ( )1/2 dr,
√∆
θ̂
ω =
Υ dθ.
44
(4.30)
é fácil de ver que ds2E = −(ω t̂ )2 + (ω r̂ )2 + (ω θ̂ )2 + (ω φ̂ )2 o que mostra que a
escolha da base dual é apropriada.
Tendo em conta a condição de ortonormalidade hω α̂ , eβ̂ i = δβ̂α̂ conseguimos
calcular a base de tetradas {eα̂ }:
1
∂
∂
(
+
ω
),
|gtt − ω 2 gφφ |1/2 ∂t
∂φ
∆
∂
= ( )1/2 ,
Υ
∂r
1 ∂
= √
,
Υ ∂θ
∂
= (gφφ )−1/2 .
∂φ
et̂ =
er̂
eθ̂
eφ̂
(4.31)
Se um LNRO transportar consigo um giroscópio, ao aplicármos um aceleração
no seu centro de massa, ele verá o giroscópio precessar relativamente ao seu
referencial ortonormado {eα̂ } e por isso em relação às estrelas longı́nquas. A
velocidade angular de precessão do giroscópio já foi calculada para a métrica
de Kerr-Newman. Para o buraco negro de Sen será dada analogamente por
1/2
gφφ
1
ω,θ
∆
ΩP =
[ √ er̂ − ( )1/2 ω,r eθ̂ ].
2
1/2
2 |gtt − ω gφφ |
Υ
Υ
(4.32)
onde os coeficientes gtt e gφφ são agora da métrica de Sen, ω é dado por (4.29)
e ∆ e Υ são dados pelas equações (4.27) e (4.28) respectivamente.
Comparando a equação (4.32) com a equação (3.68) verificamos que o
comportamento de giroscópios transportados por observadores sem rotação
local (LNRO) é análogo nos dois casos: Kerr-Newman e Sen. Inclusivamente
podemos verificar que nos polos (θ = 0, π) e no equador (θ = π2 ) a velocidade
angular de precessão no buraco negro de Sen só tem componente segundo eθ̂ ,
tal como já tinhamos visto para o buraco negro de Kerr-Newman.
45
Capı́tulo 5
Comparação da precessão de
giroscópios em relatividade
geral e em teoria de cordas
Nas secções 2.4 e 3.4 calculámos em detalhe a velocidade angular de precessão
de giroscópios transportados por observadores sem rotação local (LNRO)
quando colocados na vizinhança do buraco negro de Kerr-Newman (KN) de
relatividade geral e do buraco negro de Sen (S) de teoria de cordas respectivamente (ver equações (3.68) e (4.32)). Interessa-nos agora comparar os
resultados obtidos. Para tal vamos considerar que o LNRO se encontra suficientemente longe do buraco negro de forma a podermos expandir as equações
(3.68) e (4.32) usando a fórmula de Taylor. Além disso, para simplificar, assumiremos que o LNRO se encontra numa órbita equatorial (θ = π2 ) de tal
forma que ω,θKN = ω,θS = 0 (recordar que ω representa a velocidade angular
de um LNRO). Nesse caso as equações (3.68) e (4.32) reduzem-se a:
1/2
ΩKN
P
gφφ
1
∆KN 1/2
(
) (ωKN ),r eθ̂ ,
=−
2 |gtt − ω 2 gφφ |1/2 Σ
(5.1)
1/2
ΩSP
gφφ
1
∆S
=−
(
)(ωS ),r eθ̂ ,
2
1/2
2 |gtt − ω gφφ |
Υ
46
(5.2)
2
onde ∆KN = r2 − 2M r + a2 + Q2 e ∆S = r2 − 2M r + a2 + QMr . Comecemos
por expandir os vários termos de ΩKN
guardando termos até r16
P
1/2
gφφ
(r2 + a2 )2 − ∆KN a2
p
=
|gtt − ω 2 gφφ |1/2
|(−r2 + 2M r − Q2 )((r2 + a2 )2 − ∆KN a2 ) − (2M r − Q2 )2 a2 |
A1
β
a2
' r(1 + 2 )(1 −
+ 2 ),
(5.3)
r
2r
r
2
2
2
onde A1 ≡ −2M e β ≡ 3M −a2 −Q .
r
r
∆KN 1/2
r2 − 2M r + a2 + Q2
2M
a2 + Q2
(
)
=
=
1
−
+
Σ
r2
r
r2
M
α
' 1−
+ 2,
(5.4)
r
r
onde α ≡
a2 +Q2 −M 2
.
2
ωKN
(2M a −
(2M r − Q2 )a
= 2
'
(r + a2 )2 − ∆KN a2
r3
Q2 a
)
r
(1 −
a2
).
r2
(5.5)
Então
6M a
5a2
4Q2 a
3a2
(1
−
)
+
(1
−
).
r4
3r2
r5
2r2
Substituindo agora as equações (5.3), (5.4) e (5.6) em (5.1) obtemos
(ωKN ),r ' −
(5.6)
3M a
2a2
2Q2 a
a2
' 3 (1 − 2 ) − 4 (1 − 2 ).
r
3r
r
2r
S
Repetindo os mesmos passos para ΩP temos:
ΩKN
P
1/2
(5.7)
2
gφφ
(r2 + a2 + rQ
)2 − ∆S a2
M
q
=
2
|gtt − ω 2 gφφ |1/2
| − (Υ − 2M r)((r2 + a2 + rQ
)2 − ∆S a2 ) − 4M 2 r2 a2 |
M
0
0
c1 c2
A
β
' r(1 + + 2 )(1 − 1 + 2 )
r
r
2r
r
onde c1 ≡
(
2Q2
,
M
∆S 1/2
)
Υ
4
0
2
0
(5.8)
4
2
2
Q
3Q
15Q
5Q
c 2 ≡ a2 + M
+ 3M2 −
2 , A1 ≡ M − 2M e β ≡ 8M 2 −
2
v
v
u
u
u r2 + a2 − 2M r + rQ2
u 1 + a22 + ( Q2 − 2M ) 1
M
r
M
r
t
=
=t
rQ2
Q2
2
r + M
1 + Mr
a2
.
2
0
M
α
' 1−
+ 2
r
r
(5.9)
47
0
onde α ≡
a2 +2Q2 −M 2
.
2
ωS =
2M ra
2
+ + rQ
)2 − ∆S a2
M
2M ra
=
r4 [(1 + a22 + Q2 )2 −
(r2
a2
r
'
onde D1 ≡
2Q2
M
Mr
1
1
(1
r2
+
a2
r2
−
2M
r
+
Q2
)a2 ]
Mr
2M a
D1 D2
(1 −
− 2 ),
3
r
r
r
e D2 ≡ a2 +
(ωS ),r ' −
Q4
.
M2
(5.10)
Então
6M a
4D1 5(D2 − D12 )
(1
−
−
).
r4
3r
3r2
(5.11)
Substituindo agora (5.8), (5.9) e (5.11) em (5.2) obtemos
3M a
13Q2 1
2a2 203Q4 1
[1
−
−
(
+
) ].
r3
6M r
3
24M 2 r2
ΩSP =
(5.12)
As equações (5.7) e (5.12) dão-nos as velocidades angulares de precessão ΩKN
P
e ΩSP em função da coordenada radial r. Esta coordenada não tem significado
fı́sico à priori. A distância com um significado fı́sico intrı́nseco é dada pela
métrica ds2 . Assim, se fizérmos dt = dθ = dφ = 0, vem a métrica de KN
ds2KN ≡ drP2 KN =
∆KN 2
dr ,
Σ
(5.13)
onde rP é a distância própria medida pelo observador. Para a métrica de Sen
temos
∆S 2
ds2S ≡ drP2 S =
dr .
(5.14)
Υ
O próximo objectivo é escrever r em função de rP de forma a termos ΩKN
e
P
S
ΩP em função da distância própria, a qual é medı́vel pelo nosso observador.
Expandindo as equações (5.13) e (5.14) obtemos
1
drPKN = q
1−
drPS
v
u
u
=t
2M
r
1+
Q2
dr ' [1 −
+
a2 +Q2
r2
Q2
Mr
1 + ( M − 2M ) 1r +
a2
r2
M
3M 2 − a2 − Q2
+
] dr,
r
2r2
dr ' [1 +
48
(5.15)
M 3M 2 − a2 − 2Q2
+
] dr. (5.16)
r
2r2
Integrando as duas últimas equações vem
rPKN (r) ' r + M ln r −
3M 2 − a2 − Q2
,
2r
(5.17)
3M 2 − a2 − 2Q2
.
(5.18)
2r
Temos então rP em função de r. Mas o que nós queremos é precisamente o
inverso, ou seja, r em função de rP . Notar que rPKN e rPS têm uma expressão
análoga, i.e
c
(5.19)
rP ' r + M ln r +
r
onde c = − 12 (3M 2 − a2 − Q2 ) para KN e c = − 12 (3M 2 − a2 − 2Q2 ) para Sen.
Invertendo então a equação (5.19) tendo em conta que em primeira ordem
r = rP , vem
rPS (r) ' r + M ln r −
r ' rP − M ln rP − M ln(1 −
Desprezando termos em
1
2
rP
M ln rP
c
M ln rP
) − (1 +
).
rP
rP
rP
(5.20)
podemos escrever finalmente
r ' rP − M ln rP +
M 2 ln rP − c
.
rP
(5.21)
Podemos agora substituir a equação (5.21) nas equações (5.1) e (5.2) para
ΩKN
e ΩSP . Escrevendo explicitamente cada termo de ΩKN
e expandindo em
P
P
rP temos1
3M a
= 3
r3
rP (1 −
3M a
M ln rP
rP
+
M 2 ln rP −c 3
)
2
rP
3M a
3M ln rP
6M 2 ln2 rP − 3M 2 ln rP + 3c
'
(1 +
+
), (5.22)
rP3
rP
rP2
1−
2 a2
2
= 1− 2
2
3r
3 rP (1 −
' 1−
1
a2
M ln rP
rP
+
M 2 ln rP −c 2
)
2
rP
2
2
2 a2
2M ln rP
3M ln rP − 2M 2 ln rP + 2c
(1
+
+
(5.23)
),
3 rP2
rP
rP2
Onde aparece rP para ΩKN
está subentendido que é rPKN .
P
49
2Q2 a
= 4
r4
rP (1 −
'
1−
2Q2 a
M ln rP
rP
+
M 2 ln rP −c 4
)
2
rP
2Q2 a
4M ln rP
10M 2 ln2 rP − 4M 2 ln rP + 4c
(1
+
+
),(5.24)
rP4
rP
rP2
1 a2
1 a2
2M ln rP
3M 2 ln2 rP − 2M 2 ln rP + 2c
'
1
−
(1
+
+
). (5.25)
2 r2
2 rP2
rP
rP2
Substituindo (5.22), (5.23), (5.24) e (5.25) na equação (5.7) e guardando
termos até r14 obtemos ΩKN
em função de rP :
P
P
ΩKN
=
P
3M a 9M 2 a ln rP
2Q2 a
+
−
.
rP3
rP4
rP4
(5.26)
Realizando cálculos análogos para os termos de ΩSP obtemos ΩSP em função
de rP :
3M a 9M 2 a ln rP
13 Q2 a
ΩSP = 3 +
−
.
(5.27)
rP
rP4
2 rP4
As equações a que chegámos para ΩKN
e ΩSP permitem-nos distinguir o buraco
P
negro de Kerr-Newman do buraco negro de Sen. Tal diferença surge no termo
em r14 . De facto, para um mesmo conjunto M , a, Q, rP temos
P
ΩKN
− ΩSP =
P
9 Q2 a
.
2 rP4
(5.28)
Podemos inferir que o resultado só será diferente se os buracos negros tiverem
carga. Isto era esperado já que tanto relatividade geral como teoria de cordas
têm o mesmo buraco negro descarregado, dado pela solução de Kerr.
Suponhamos então que o nosso LNRO se encontra na sua aeronave a
descrever uma órbita equatorial em torno de um buraco negro, o qual ele desconhece se é de Kerr-Newman ou de Sen. Suponhamos ainda que é possı́vel
conhecer (de alguma forma) os parâmetros M , Q e a. Num dado instante
o observador pode medir experimentalmente o seu raio próprio rP e a velocidade angular de precessão do giroscópio que transporta consigo. Substituindo o valor de rP medido, nas equações acima obtemos valores teóricos
S
para ΩKN
Pteo e ΩPteo . Comparando estes valores com ΩP medido experimentalmente é então possı́vel distinguir o tipo de buraco negro em cuja vizinhança
50
está a orbitar. Se a órbita não for equatorial é possı́vel calcular também a
diferença entre a precessão das duas teorias (ver equações (3.68) e (4.32)).
Concluindo, a teoria da relatividade geral e a teoria de cordas admitem
soluções distintas de buracos negros carregados e com rotação. Essas diferenças
reflectem-se na precessão de giroscópios transportados por observadores sem
rotação local quando colocados na vizinhança dos respectivos buracos negros
(Kerr-Newman e Sen). Assim, se fizérmos medições da velocidade angular
de precessão é possı́vel descobrir o tipo de buraco negro em que nos encontramos.
51
Apêndice A
Cálculo da base de tetradas a
partir da base de 1-formas
(2.29)
A base de tetradas {eα̂ } calcula-se a partir das relações de ortonormalidade
com a base dual
hω α̂ , eβ̂ i = δβ̂α̂ .
(A.1)
Assim, por exemplo
hω 0̂ , e0̂ i = 1 ⇔ h(1 + φ)dt + 2hj dxj , e00̂
∂
∂
+ ek0̂ k i = 1
∂t
∂x
⇔ (1 + φ)e00̂ + 2hj ej0̂ = 1,
hω 1̂ , e0̂ i = 0 ⇔ h(1 − φ)dx1 , e00̂
∂
∂
+ ek0̂ k i = 0
∂t
∂x
⇔ e10̂ = 0,
hω 2̂ , e0̂ i = 0 ⇔ h(1 − φ)dx2 , e00̂
(A.2)
(A.3)
∂
∂
+ ek0̂ k i = 0
∂t
∂x
⇔ e20̂ = 0,
(A.4)
hω 3̂ , e0̂ i = 0 ⇔ e30̂ = 0.
(A.5)
Substituindo (A.3),(A.4) e (A.5) em (A.2) vem que
1
e00̂ (1 + φ) = 1 ⇔ e00̂ =
' 1 − φ.
1+φ
52
(A.6)
Apêndice B
Derivação das equações do
movimento para a acção de
teoria de cordas a baixas
energias
A densidade lagrangeana para teoria de cordas a baixas energias é dada por
(ver (4.1))
√
1 2
H ].
(B.1)
12
Comecemos por aplicar o princı́pio variacional ao campo φ. Como L só
depende de φ e ∂µ φ a equação do movimento é dada pela equação de EulerLagrange
δL
δL
− ∂µ (
) = 0.
(B.2)
δφ
δ(∂µ φ)
Aplicando a equação (B.2) à densidade lagrangeana (B.1) obtemos
L=
−g e−2φ [Λ + R + 4φ,α φ,α − F 2 −
√
√
1
−2 −g e−2φ [Λ + R + 4φ,α φ,α − F 2 − H 2 ] = 8∂α [e−2φ −gφ,α ].
12
O segundo membro de (B.3) pode escrever-se
√
√
√
8∂α [e−2φ −gφ,α ] = −16e−2φ −g φ,α φ,α + 8e−2φ ∂α [ −g φ,α ].
Aplicando a identidade (ver [2, p. 43])
√
√
√
−g φ,α;α ≡ −g∇α ∇α φ = ∂α [ −g φ,α ]
53
(B.3)
(B.4)
(B.5)
a (B.4) obtemos para (B.3)
∇α ∇α φ − 4φ,α φ,α + Λ + R − F 2 −
1 2
H = 0.
12
(B.6)
Esta é a equação do movimento deduzida a partir de variações no campo φ.
Façamos agora variações na métrica gαβ . Temos de calcular a derivada de
Euler-Lagrange Lαβ = δgδLαβ (ver equação (3.5)). As equações do movimento
serão dadas por Lαβ = 0 (ver equação (3.6)). Comecemos por calcular as
variações em ordem à métrica com os ı́ndices em cima g αβ para os diferentes
termos de (B.1). Assim, temos
√
√
√
1
δ[ −g e−2φ Λ] = e−2φ Λδ −g = − e−2φ Λ −g gαβ δg αβ
(B.7)
2
√
√
onde se aplicou o resultado δ −g = − 12 −ggαβ δg αβ (ver [2, p. 578]).
Os restantes termos vêm
√
√
δ[− −g e−2φ F 2 ] = δ[− −g e−2φ gµα gνβ F αβ F µν ]
√
1
= −e−2φ −g [− gαβ F 2 + 2Fαν Fβ ν ]δg αβ , (B.8)
2
√
H2
1 √
δ[− −g e−2φ
] = − δ[ −g e−2φ gµα gνβ gργ H αβγ H µνρ ]
12
12
√
1
H2 1
= −e−2φ −g[− gαβ
+ Hαµν Hβ µν ]δg αβ ,(B.9)
2
12
4
onde se utilizou o resultado δgµν = −gαµ gβν δg αβ (ver [2, p. 575]).
Resta-nos ainda calcular as variações para os termos com R e φ,α φ,α . Os
cálculos estão feitos em [2, p. 583] e o resultado final é
√
√
δ[ −g e−2φ (R + 4φ,α φ,α )] =
−g e−2φ (Gαβ + 2gαβ φ,µ φ,µ
− 2gαβ ∇µ ∇µ φ + 2∇β ∇α φ)δg αβ . (B.10)
onde Gαβ é o tensor de Einstein dado por Gαβ = Rαβ − 21 R gαβ .
Juntando as equações (B.7), (B.8), (B.9), (B.10) e aplicando Lαβ = 0
obtemos
1
1
Rαβ − R gαβ + 2gαβ φ,µ φ,µ − 2gαβ ∇µ ∇µ φ + 2∇β ∇α φ − Λgαβ +
2
2
2
1
H
1
− 2Fαν Fβ ν + gαβ
− Hαµν Hβ µν = 0.
2
12
4
54
1
gαβ F 2
2
(B.11)
Substituindo R dado pela equação (B.6) na equação (B.11) obtém-se facilmente a equação do movimento resultante de variações na métrica g αβ
1
Rαβ + 2∇β ∇α φ + 2Fαν Fβ ν + Hαµν Hβ µν = 0
4
55
(B.12)
Apêndice C
Rescalamento do escalar de
Ricci R
Uma transformação na métrica do tipo
g̃µν = e−2φ gµν
(C.1)
irá alterar todas as quantidades geométricas que dependem dela, em particular o escalar de Ricci. O novo escalar de Ricci escreve-se
R̃ = g̃ µν R̃µν .
(C.2)
Tendo em conta que g̃ µν = e2φ g µν resta-nos calcular o tensor de Ricci R̃µν .
A sua definição é dada por
R̃µν ≡ R̃α µαν = ∂α Γ̃αµν − ∂ν Γ̃αµα + Γ̃βµν Γ̃αβα − Γ̃βµα Γ̃αβν ,
(C.3)
onde R̃α βγδ é o tensor de Riemann. Comecemos por calcular as conexões
1
Γ̃αβγ = g̃ αδ (∂β g̃δγ + ∂γ g̃δβ − ∂δ g̃βγ ).
2
(C.4)
Substituindo (C.1) na equação (C.4) vem
Γ̃αβγ = Γαβγ − (φ,β δγα + φ,γ δβα − φ,α gβγ ).
(C.5)
Substituindo agora (C.5) em (C.3) obtemos
R̃µν = Rµν + 2φ,µ,ν + ∂α ∂ α φgµν + φ,α (Γµνα + Γνµα ) − 2Γαµν φ,α
+ Γαβα φ,β gµν − Γαµβ φ,β gαν − Γαβν φ,β gµα + 2φ,µ φ,ν − 2φ,α φ,α gµν(C.6)
.
56
Sabemos ainda que
φ;α;α = ∇α ∇α φ = ∂α ∂ α φ + Γαβα φ,β ⇒ ∂α ∂ α φ = ∇α ∇α φ − Γαβα φ,β .
(C.7)
Substituindo (C.7) em (C.6) vem
R̃µν = Rµν + 2φ,µ,ν + ∇α ∇α φgµν − 2Γαµν φ,α + 2φ,µ φ,ν − 2φ,α φ,α gµν . (C.8)
Tendo em conta que
φ,µ;ν = φ,µ,ν − Γαµν φ,α ⇒ φ,µ,ν = ∇ν ∇µ φ + Γαµν φ,α
(C.9)
podemos substituir (C.9) e (C.8) e obter
R̃µν = Rµν + 2∇ν ∇µ φ + ∇α ∇α φgµν + 2φ,µ φ,ν − 2φ,α φ,α gµν .
(C.10)
Substituindo (C.10) em (C.2) obtém-se finalmente o escalar de Ricci rescalado
R̃ = g̃ µν R̃µν = e2φ (R + 6∇α ∇α φ − 6φ,α φ,α ).
57
(C.11)
Bibliografia
[1] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman and Company (1970).
[2] A. P. Lightman, W. H. Press, R. H. Price, S. A. Teukolski, Problem
book in relativity and gravitation, Princeton University Press (1975).
[3] Ray d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University
Press (1992).
[4] Keith Symon, Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company (1971)
[5] I. Ciufolini, J. A. Wheeler, Gravitation and Inertia, Princeton University Press (1995).
[6] R. P. Kerr, 1963, “Gravitational field of a spinning mass as an example
of algebraically special metrics”, Phys. Rev. Lett. 11, 237-238.
[7] E. T. Newman, E. Couch, K. Chinnapared, A. Exton, A. Prakash, and
R. Torrence, 1965, “Metric of a rotating charged mass”, J. Math. Phys.
6, 918-919.
[8] R. H. Boyer, and R. W. Lindquist, 1967, “Maximal analytic extension
of the Kerr metric”, J. Math. Phys. 8, 265-281.
[9] Gary T. Horowitz, “The Dark Side of String Theory: Black Holes and
Black Strings”, hep-th/9210119.
[10] A. Sen, “O(d) ⊗ O(d) Symmetry of the Space of Cosmological Solutions
in String Theory, Scale Factor Duality, and Two Dimensional Black
Holes,” Phys. Lett. B271, 295 (1991).
58
[11] A.Sen, “Twisted Black p-brane Solutions in String Theory,” Phys. Lett.
B274, 34 (1992).
[12] S. Hassan and A. Sen, “Twisting Classical Solutions in Heterotic String
Theory,” Nucl. Phys. B375, 103 (1992).
[13] J. Chase, Commun. Math. Phys. 19, 276 (1970).
[14] J. Bekenstein, “Non-existence of baryon number for static black holes”,
Phys. Rev. D5, 1239 (1972).
[15] A. Sen, “Rotating Charged Black Hole in String Theory”, Phys. Rev.
Lett. 69, 1006 (1992) hep-th/9204046.
59