O Experimento da Queda de Corpos

O Experimento da Queda de Corpos
Problema
Se dois objetos de massas diferentes são abandonados de umatorre, qual objeto aterrissaria primeiro?
O tamanho do objeto importa?
E quanto à densidade?
Importa se eles caem no vácuo ou no ar (ou na água)? O quão grande é a diferença?
O que acontece se os dois objetos caem no vácuo?
O que afeta a velocidade na qual os objetos caem?
Qual cai mais rápido na água: uma pedra de granito de 15 kg ou um saco grande (800 kg) de areia?
Tente soltá-los de uma altura de 10m e depois de 30 m. A resposta é surpreendente.
Abaixo temos duas visões históricas desse assunto:
Aristóteles, um filósofo grego, um estudante de
Platão e professor de Alexandre o Grego,
afirmou que objetos mais pesados caem mais
rápido que os mais leves, e além disso que sua
taxa de queda era proporcional ao peso e
inversamente proporcional à densidade do meio.
Galileo, um físico, matemático, astrônomo, e
filósofo italino, afirmou que objetos de
diferentes pesos caem a uma mesma velocidade
se desconsiderarmos a resistência do ar.
Use a seguinte demonstração para checar qual das duas esferas cai mais rápido. Defina a altura na
qual as esferas serão abandonadas usando o deslizador. Escolha entre as duas esferas e o fluido ao
redor delas usando o botão rádio. Para cada esfera, escolha o material do qual ela é composta, ou
defina sua densidade manualmente usando o deslizador. Defina seu raio usando também o
deslizador. Para o fluido ao redor delas, escolha de qual substância ele é composto.
Altura =
0,0
10,0
20,0
30,0
Objeto 1
40,0
50,0
Objeto 2
Fluido ao redor
Material = Air
Densidade =
1.204
kg
Soltar
Densidade de materiais comuns ( /
Hidrogêni 0.08988
o
(Hydrogen
)
)
Maçã
(Apple)
Tijolo
(Brick)
Cobre
(Copper)
Concreto 2000
(Concrete)
Prata
(Silver)
8930
Hélio
(Helium)
0.1786
Etanol
(Ethanol)
Ar Seco
(Dry Air)
1.2041
Gelo(Ice)
920
Vidro
(Glass)
2600
Chumbo
(Lead)
Água
(Water)
1000
Granito
(Granite)
2691
Mercúrio 13550
(Mercury)
Penas
16
(Feathers)
11389
Isopor
100
(Styrofoam
)
Madeira
de balsas
(Balsa
wood)
170
Carvão
(Charcoal
)
Água
salgada
(Salted
Water)
1030
Alumínio 2739
(Aluminiu
m)
Ouro
(Gold)
19320
Nylon
1140
Diamante 3520
(Diamond
)
Platina
19770
(Platinium
)
Areia
(Sand)
1522
Ferro
(Iron)
Ósmio
22610
(Osmium)
Nota: A densidade do gás é afetada pela temperatura e pressão. As densidades do hélio, hidrogênio, e
do ar estão a temperatura e pressão padrão (20°C e 101.325 kPa).
Explicação e conclusão
Conceito Principal
Segunda Lei de Newton
A Segunda Lei de Newton afirma que a força resultante atuando em um objeto é igual ao produto
de sua massa e de sua aceleração:
onde
é a força resultante que atua no
objeto
é a massa (inercial) do objeto
é sua aceleração
Gravidade
No vácuo, um objeto na superfície da terra acelera, para baixo, a g = 9.81 / devido à gravidade.
Isso é conhecido como queda livre. A força da gravidade é dada por
onde
é a força gravitacional que atua
no objeto
é a massa (gravitacional) do
objeto
é a aceleração da gravidade
Se a gravidade é a única força atuante (
), o objeto experimenta uma aceleração constante.
Assumindo que o objeto foi solto do repouso, sua velocidade e distância percorridapodem ser
determinadas através da integração:
onde
a é a aceleração
é a velocidade
é a distância
percorrida
é o tempo
decorrido
Note que o movimento do objeto não é afetado pela sua massa, peso, densidade ou qualquer
medida do seu tamanho. De fato, todos os objetos caem a uma mesma razão no vácuo contanto que
a única força que está atuando neles seja a gravidade.
Resistência do Ar
Um objeto que cai na vida real está sujeito à resistência do ar. A resistência do ar é um tipo de
arraste, a força friccional desacelerando um objeto que se move em um meio fluido. A fórmula do
arraste é conhecida como a equação de arraste:
onde
é a densidade do fluido
é a velocidade do objeto no fluido
é o coeficiente de arraste
é a área da seção transversal do
objeto em um plano perpendicular
ao movimento
Note que para um objeto esférico feito de um material com com uma forma dada se movendo com
uma velocidade dada, a força de arraste é proporcional à sua área, enquanto a massa inerte é
proporcional ao seu volume. Pela Segunda Lei de Newton, a aceleração que um objeto
experimenta devido à força de arraste é inversamente proporcional ao seu raio.
Coeficiente de arraste
O coeficiente de arraste é um número adimensional definido pela equação de arraste. Ele depende
da forma do objeto e da natureza do fluido ao redor do objeto, em outras palavras, se o fluido flui
suavemente ou turbulentamente. Em várias velocidades comuns, o coeficiente de arraste só
depende do formato de um objeto:
Formato
Coeficiente de
Arraste ( )
Esfera
0.47
Meia-Esfera
0.42
Cubo
1.05
Cilindro
0.82
Em velocidades pequenas com um fluxo suave, a viscosidade do fluido é mais importante e tende a
criar mais arraste do que em velocidades maiores. A natureza do fluido e a velocidade do fluxo são
capturadas por outro número adimensional, o número de Reynolds :
onde
é a densidade do fluido
é a velocidade do objeto através
do fluido
é a dimensão característica linear
(diâmetro do objeto)
é a viscosidade (dinânima) do
fluido.
Para uma dada forma do objeto, o coeficiente de arraste pode ser escrito como uma função do
número de Reynolds. Particularmente para esferas, para pequenos valores de R,
, o fluxo
é aproximadamente suave (laminar);
é grosseiramente
. Para valores de R entre
e
,o
fluxo é turbulento, e é grosseiramente constante em 0.47. Para valores de entre 10 e
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está entre
e 0.47. Para o essa demonstração, assum a seguinte função para
:
Lei de Stokes
A Lei de Stokes, aplicável para fluxos laminares, expressa a força de arraste em uma esfera em
termos da velocidade. Substituindo
na equação de arraste e usando
e
,
temos:
Velocidade Terminal
Enquanto um objeto cai, sua velocidade aumenta, e também a quantidade de arraste que ele
experimenta. No limite, em uma certa velocidade chamada velocidade terminal, a força total de
gravidade é balanceada exatamente com o arraste. A velocidade terminal pode ser determinada
equacionando a força de arraste àa força gravitacional e solucionando para a velocidade. Se o fluxo
é laminar, a velocidade terminal é :
Se o fluxo é turbulento, a velocidade terminal é :
Equações de movimento
As equações de movimento são encontradas estabelecendo
e integrando:
Fluxo Laminar:
Fluxo turbulento:
Empuxo
Empuxo é a força, igual ao peso do fluido deslocado, que o fluido ao redor exerce em um objeto
em virtude da diferença de pressão em vários pontos da superfície do objeto. O efeito do empuxo
é equivalente ao aumento da massa inercial do objeto
pela massa do fluido deslocado
,
e a diminuição da massa gravitacional do objeto pelo mesmo motivo. Para levar em conta o
empuxo, na fórmula para a velocidade terminal, substitua por
, e nas equações de
movimento, substitua por
Note que, se
(flutua).
.
, o objeto não se move, enquanto que se
, o objeto move-se para cima
Conclusão
Em um vácuo na superfície da Terra, todos os objetos caem à mesma razão, sob a aceleração
constante da gravidade, igual a 9.81 / . A afirmação de Galileo era correta, e em particular, a
afirmação de Aristóteles de que a razão da queda de um objeto era proporcional ao peso era
incorreta.
Entretanto, no ar ou em qualquer outro meio fluido denso, objetos caem mais devagar por dois
efeitos: a força de arraste exercida pelo meio no objeto, e o efeito do empuxo do meio. Devido à
esses efeitos, objetos mais pesados realmente caem de algum modo mais rápido em um meio
denso.
Dados dois objetos de mesmo tamanho mas de diferentes materiais, o mais pesado (mais denso)
cairá mais rápido porque as forças de arraste e empuxo serão a mesma para ambos, mas a força
gravitacional será maior para o objeto mais pesado.
Além disso, dados dois objetos de mesmo formato e material, o mais pesado (maior) cairá mais
rápido porque a razão da força de arraste devido à força gravitacional diminui com o aumento do
tamanho do objeto.
No ar, entretanto, essas diferenças são bem pequenas para a maioria dos objetos, tornando
notável somente para objetos de densidade relativamente baixa.
Aristóteles estava correto em afirmar que objetos mais pesados caem mais rápidos (no ar ou em
qualquer meio denso), mas sua afirmação de que a razão da queda de um objeto é proporcional
ao seu peso era incorreta. Futuramente ele acertou em sugerir que a razão de queda era menor
em um meio denso, mas sua afirmação de que a taxa de queda era inversamente proporcional à
densidade do meio não era correta.
Finalmente, se dois objetos possuem massas similares mas diferentes densidades e tamanhos, é
possível que no início o mais denso cairá mais rápido, mas se ele é pequeno o suficiente, sua
velocidade terminal será menor, permitindo ao objeto menos denso alcançá-lo.