Módulo 3 – FUNÇÕES (3ª Parte)

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Módulo 3 – FUNÇÕES (3ª Parte)
([HUFtFLRV
Esboce os gráficos e determine (se existir) a expressão
2EMHFWLYRV
)XQomRLQYHUVD
analítica das funções inversas de cada uma das funções reais Seja f uma função injectiva de domínio Df e
´'
de variável real, definidas por:
contradomínio ' .
I
1.1)
1.4)
1.6)
\=
1
[;
2
1.2)
\ [;
 π π
\ = sin [, [ ∈ − ,  ;
 2 2
 π π
\ = WJ[, [ ∈ − ,  ;
 2 2
1.3)
\ [+2
1.5) \ = cos [, [ ∈ [0,π ]
I
Se f transforma x em y,
então f -1 transforma de volta y em x.
1
1.7) \ =
[
y=f(x) ⇔ x= f -1(y).
• I pDIXQomRLQYHUVDGHIVVH
) Considere as funções a seguir indicadas:
Seja f(x)=x2, [ ∈ ,5+0 e g(x)= x2, [ ∈ ,5−0
2.1) Defina f -1(x) e represente-a graficamente.
2.2) Defina g -1(x) e represente-a graficamente.
Verifique analiticamente que a função inversa da função
3
definida por f(x)= 2x -1 é a função definida por
f -1(x)=
A sua função inversa f -1 tem domínio '´' e
contradomínio Df
3
[ +1
2
\ I [
Funções – 3ªparte
I I[ [ ∀[ ∈ ' e
´'
II [ [ ∀[ ∈ '
I
I
• 7HRUHPDGDH[LVWrQFLD
Uma função f tem inversa sse I é injectiva
• 3URSULHGDGHJUiILFD
O gráfico de I1 e o gráfico de I são
simétricos relativamente à recta \ [
(simetria axial)
(o gráfico de Icontém o ponto (a,b) sse o
gráfico de I1 contém o ponto (b,a).
1
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• Como determinar aIXQomRLQYHUVD de
uma dada função injectiva:
1. Escreva
y=f(x)
2. Resolva a equação anterior em ordem
a x ( se possível)
y=f(x) ⇔ x= f -1(y).
3. Para determinar f-1 como uma função
de x, troque o papel das variáveis x e
y:
Funções – 3ªparte
y=f-1(x)
2
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[
Determine o domínio e o contradomínio das funções reais )XQomRH[SRQHQFLDO\ D de variável real, definidas por:
•
6HQGRD!
I[ H [
4.1)
f(x)= e 4.2)
f(x)= e-x
4.3)
f(x)= 2x
H0 = 1
1
H = H
4.4)
f(x)= 3 + ex
[ →−∞
4.5)
f(x)= ex - 2
x
4.6)
f(x)= - 1 + 2x
4.7)
I ( [) = H [ − 2
lim H[ = 0
•
6HQGRD
I[ H
[
lim H− [ = 0
[ →+∞
Limite notável:
lim[→0
H[ − 1
=1
[
Recordar novamente as propriedades:
. D[+ \ = D [ . D \
D [− \ =
(D[ ) \ = D [. \
(DE) [ = D [ . E [
Funções – 3ªparte
D[
D\
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
3
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Represente graficamente a função definida por:
)XQomRORJDUtWPLFDcomo inversa da
função exponencial
D \ = [ ⇔ \ = log D [, [ ∈ ,5 + , D > 0 H D ≠ 1.
f(x)=ex .
Represente graficamente a sua função inversa
-1
f (x) =lnx
Então
D log D [ = [, [ ∈ ,5 + ; ln D D [ = [, [ ∈ ,5 Caso particular
chamada função logarítmica.
H \ = [ ⇔ \ = ln [, [ ∈ ,5 + .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Resolva a seguinte equação
H5 − 3 [ = 10
Assim
Hln [ = [.
Calcule
7.1) log 4 (4 − H )
7.2) 2 log 2 8
7.3) Hln 3
7.4) ln(H )
4
I[ OQ[
7.5) log10 (100)
ln1=0
lne=1
Numa cultura de bactérias, o crescimento populacional é
lim+ ln [ = −∞ dado por:
I (W ) = 500 H NW (W ≥ 0)
onde t representa o tempo e f(t) é o número de bactérias
presentes na cultura, no instante t (em minutos).
8.1)
Determine o número inicial de bactérias.
8.2)
Calcule k, sabendo que ao fim de 27 minutos o
número de bactérias na cultura é 858.
8.3)
Determine o tempo necessário para obter 1595
bactérias.
Funções – 3ªparte
[ →0
)yUPXODGHPXGDQoDGHEDVH
log D [ =
log E [ ln [
=
, D ≠ 1 H D > 0
log E D ln D
5HJUDVRSHUDWyULDV
log D ( [. \ ) = log D [ + log D \ log D ( [ N ) = N log D [, N ∈ 4
[
log D ( ) = log D [ − log D \
\
4
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Atendendo à fórmula de mudança de base, escreva
I ( [) = log10 [ na forma I ( [) = D ln [
10.5) ln
10.2) ln( [.] )
[
10.3) ln( )
]
[3
10.4) ln( 2 )
]
Sabendo que OQ[ e lnz=1,2, calcule
10.1) ln [ 2
1
]
10.6) Hln(ln [ )
[
10.7) ln
H
10.8) ln H [
Sabendo que ln 10 ≅ 2,3 H ln 7 ≅ 1,9, FDOFXOH ln 700
³…A recolha de sangue tem aumentado sem quebras
desde 1996, mas não é ainda suficiente para as
necessidades do país…”
Admita que o número de milhares de unidades de sangue
recolhidas em cada ano, desde1996, é dado por:
I (W ) = 100 ln(4,25 + 0,5W )
Sendo t o número de anos decorridos a partir de 1996.
12.1) Quantas unidades de sangue foram recolhidas em
1996?
12.2) O país seria auto-suficiente se, recolhesse 300 mil
unidades de sangue, por ano. Em que ano se prevê
que tal venha a acontecer?
12.3) Cada unidade de sangue contém aproximadamente
meio litro. Quantos litros de sangue foram
recolhidos durante o ano de 1998?
Resolva as seguintes equações:
13.1) log 3 (2 [ − 5) = 2 ,
13.2) log 2 ( [ − 3) − log 2 [ = 0
13.3) ln [ + ln( [ + 3) = 0 ,
13.4). ln 2 [ = ln [ + 12
Funções – 3ªparte
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