Lista extra – Matemática fundamental

COLÉGIO RESSURREIÇÃO NOSSA SENHORA
Data:
Série/Turma:
26/05/2016
EM
Disciplina:
Professor(a):
Matemática
Wysner Max
Período:
Valor:
Nota:
Matemática
fundamental
Aluno(a): ___________________________________________
Propriedades da potenciação com expoente inteiro:
2 5 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
9
3 3
3 3
3
3
32
( )2 =
. = . Justamente por isso podemos escrever ( ) 2 = .
= 2
2 2
4
2 2
2
2
2
2 5 . 2 4 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2 . 2) = 2 5 . 2 4 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 9
2 7 2.2.2.2.2 .2 .2
27
4
=
=
2.2.2.2
=
.
Perceba
que
4
=
7
–
3.
Por
isso,
podemos
escrever
= 2 7 3 = 2 4 .
2
2 .2 .2
23
23
(2 3 ) 4 = (2 3 ) . (2 3 ) . (2 3 ) . (2 3 ) = (2 3 ) 4 = 212 .
2
4 3 = 43 x3 = 4 9
(3x4) 2 = 12 2 = 144. Note que (3x4) 2 = (3 . 4).(3 . 4) = 3 . 3 . 4 . 4 = ( 3 2 . 4 2 )
Por definição, x 0 = 1,  x   , x  0. Se certo número está elevado a zero, é sinal que este número não está se
multiplicando nenhuma vez. Logo, obrigatoriamente o resultado é 1, afinal, qual é o único número que não
influencia de maneira alguma em uma multiplicação? O número 1.
Se x = 0, obteremos uma indeterminação, pois zero = nada! Se o zero está elevado a zero, é sinal que coisa
alguma está elevada a zero. Sendo assim, como algo que não existe na multiplicação poderia de repente se
transformar em um? Por isso não existe 0 0 .
Observação extremamente importante:
1
1
(3)  2  ( ) 2  , ou seja, o sinal de menos do expoente não interfere em nada no sinal de menos da base.
3
9
2 1  (2) 2  (2) 1
?
2 2  2 2
3
 0,05
2 – (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão 2
, obtém-se qual valor?
4 1
( )
5
1 – (UECE) qual é o valor da expressão
Potências de base 10 – notação científica
Esse tipo de notação é muito utilizado em física para que os números não contenham muitas casas decimais ou
muitos algarismos zeros.
Exemplos:
1.
12.000.000 = 12.106, pois o número pode ser escrito como 12 vezes 1.000.000.
2.
1905000 = 1905.103
3.
0,0000007 = 7.10-7, pois o número pode ser escrito como
4.
0,00067008 = 67008.10-4 ou simplesmente 67,008.10-7.
7
.
10000000
Observe que nos exemplos 1 e 2 basta contar a quantidade de algarismos zeros à direita do último algarismo
diferente de zero. Já nos exemplos 3 e 4, basta contar a quantidade de casas decimais que o primeiro algarismo
diferente de zero dista.
Tal potência também é utilizada para fragmentar um número em classes. Por exemplo: o número 1.234.567.890
pode ser escrito como 1.109 + 2.108 + 3.107 + 4.106 + 5.105 + 6.104 + 7.103 + 8.102 + 9.10.
Resolva a expressão abaixo reduzindo-a a uma só potência:
10000.210 6.(0,0001) 5 .100 4.0,016
1000 2
0,00017.
.0,0110
0,015
1 – (Vunesp - SP) Calcule o valor de m, sabendo que m =
0,00001.(0,01) 2 .1000
0,001
2
3
2 – (Fuvest-SP) Sendo x = (22)3, y = 2 2 e z = 2 3 , calcule x. y. z
3 – Qual é o valor da expressão
a.b 2 .(a 1 .b 2 ) 4 (a.b 1 ) 2
quando a = 10–3 e b = 10–2?
3
2 1  2
1
1
a b( a b ) ( a b)
5 – (PUC-SP) Calcule o valor da expressão
7 – Considere a expressão numérica x +
(2 x ) x
para x =
x
2: 2 2
x
x2
x3
+
+
. Qual seria o valor dessa expressão se considerássemos
2
2
2
x = 4?
10 – Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se:
a)
b)
c)
d)
236
2-30
2-6
1
11 – Sabendo que y = 5, resolva a expressão
3.( y 2  5)  2 y  4
(7
y 3
y2 1
)(
)
2
.
Raiz quadrada:
É um radical de índice 2, ou seja, iremos procurar um número cujo produto entre dois desses números resulte
no radicando. A raiz quadrada possui algo especial para com as demais raízes: o radical já indica por si só que a
raiz é quadrada, ou seja, não é necessário escrever o algarismo 2 no índice.
49  7 , pois 7 2 = 49
Raiz cúbica:
É um radical de índice 3, ou seja, iremos procurar um número cujo produto entre três desses números resulte no
radicando.
3
27  3 , pois 33  27
Raízes:
Em termos gerais, uma raiz é escrita como a b , onde a indica quantos números iguais multiplicados entre si são
necessários para alcançarmos o valor de b. Exemplos:
16  2 , pois 2 4  2.2.2.2  16
5
100000  10 , pois 10 5  10.10.10.10.10  100000
3
 8  2 , pois (2) 3  (2).( 2).( 2)  8
4
Raízes com índice par (
, 4 , 6 ,... ) e raízes com índice ímpar ( 3 , 5 , 7 ,... ):
Quando desenvolvemos a potência 2 5 , escrevemos 2.2.2.2.2 = 32. Isso nos leva a concluir que 5 32  2 . Note
tratar-se de uma multiplicação de números positivos e iguais. No caso de 2 4  2.2.2.2  16 , podemos concluir
que 4 16  2 . Em ambos os casos, tivemos um produto de números positivos e iguais. No primeiro caso, uma
quantidade ímpar de fatores e no segundo caso uma quantidade par.
Quando desenvolvemos a potência (2) 5 , escrevemos (–2). (–2). (–2). (–2). (–2). = –32. Isso nos leva a
concluir que 5  32  2 . Note tratar-se de uma multiplicação de números negativos e iguais. No caso de
(2) 4  (2).(2).(2).(2)  16 . Multiplicamos números negativos e iguais, porém, que resultaram em um
número positivo. Perceba então o seguinte:
Índice ímpar admite radical positivo ou negativo.
Índice par somente admite radical positivo.
Não existe um produto negativo com quantidade par de números que resulte em número negativo, logo, não
existirá o contrário. Portanto, raízes como 4  16  R , pois não existe um número negativo que multiplicandose 4 vezes resulte em 16.
Potências com expoentes fracionários:
Já aprendemos como calcular potências com expoentes inteiros (positivos ou negativos). Iremos agora ampliar
o leque e estudar potências com expoentes pertencentes racionais (Q).
Primeiro entendamos o seu significado:
(2 5 ) 2  2 5.2 5  2 55  210
(2 4 ) 2  2 4.2 4  2 44  28
(2 3 ) 2  2 3.2 3  2 33  2 6
(2 2 ) 2  2 2.2 2  2 2 2  2 4
(21 ) 2  2 2
1
1
1
1 1

2
(2 2 ) 2  2 2 .2 2  2 2
1
3 3
1
3
1
3
1
3
(2 )  2 .2 .2  2
 21  2
1 1 1
 
3 3 3
 21  2
De acordo com o que vimos acima, podemos entender a princípio o significado do expoente fracionário.
1
1
1
1
1 1

1
Quando escrevemos que (2 2 ) 2  2 2 .2 2  2 2 2  21  2 , conclui-se que 2 2 .2 2 é o produto de dois números
iguais e de mesmo expoente resultando em 2, ou seja, podemos tratar tal informação como uma raiz quadrada.
1
3 3
1
3
1
3
1
3
1 1 1
 
3 3 3
1
3
1
3
1
3
Quando escrevemos que (2 )  2 .2 .2  2
 2  2 , conclui-se que 2 .2 .2 é o produto de três
números iguais e de mesmo expoente resultando em 2, ou seja, podemos tratar tal informação como uma raiz
cúbica.
1
2
1
1
2
Se (2 )  2 , então 2  2
2
1
1
3 3
Se (2 )  2 , então 2 3  3 2
O expoente fracionário nada mais é do quem uma outra maneira de escrevermos raízes, porém, na forma de
potência.
Todas as propriedades de potências já vistas também são aplicadas à potências com expoentes
fracionários.
O fato de trabalharmos com expoentes fracionários nos permite realizar simplificações entre o índice da raiz e o
expoente do radicando. Entenda como:
4
6
x  6 x 4 . Porém, antes de convertermos o expoente em radical, poderíamos ter simplificado a
4
2
fração. x 6  x 3  3 x 2 . Perceba que os índices e expoente do radicando se alteraram na simplificação. Isso
mostra que podemos simplificar antes ou depois da conversão.
4
6
x  6 x 4  6:2 x 4:2  3 x 2
É claro que a simplificação deverá ser feita com um divisor comum de ambos, assim como é feita em frações.
Propriedades dos radicais:
Os exemplos abaixo mostrarão as propriedades com raízes de índice 2, porém, as mesmas valem para qualquer
índice.
x

y
x
y
x . y  x. y . Para que o produto possa ser realizado dessa maneira, os índices das raízes devem ser iguais.
Produto de raízes com índices diferentes:
x .4 y . A priori, não podemos unir as raízes em um só radical, pois ambas possuem índices diferentes. Sendo
assim, necessita-se uma transformação para que os radicais se tornem os mesmos. Basta calcularmos o MMC
entre os radicais e transformarmos os números no MMC encontrado. Podemos utilizar de simplificação para
alterar o índice da raiz e o expoente do radicando, logo, podemos também reverter o processo:
Os índices são 2 e 4.
O MMC entre 2 e 4 é
4.
x .4 y  2.2 x1.2 .4 y  4 x 2 .4 y  4 x 2 . y (MMC entre 2 e 4 é 4)
( x ) 3  x . x . x  x.x.x  x 3 , ou seja, ( x ) y  x y e também vale a volta.
16  4  2 . Realizamos primeiro o cálculo da raiz inteira para depois trabalharmos com a raiz externa a
ela. Porém, existe uma propriedade dos radicais para tal situação:
x  8 x , ou seja, os índices se multiplicam formando uma outra raiz. Note no exemplo anterior que
16  4 16  2 .
1
Explica-se tal fato observando-se que
x 
1
1
1
1
1
111
. .
1
x 2  ( x 2 ) 2  [( x 2 ) 2 ] 2  x 2 2 2  x 8  8 x .
1 – Calcule:
a)
b)
c)
d)
3
125
5
243
3
 125
11
1
1  4 81
e)
2
f) 8 3  9 0,5
g) 3.3  27  1  2 9
h) ( 0,2 ) 6
i)
5
1
( )15
2
Simplificando-se raízes:
Simplificação nos lembra redução. O ato de simplificar é o ato de reduzir em matemática. Não é toda raiz que é
exata, ou seja, nem toda raiz resulta em números inteiros. A maioria das raízes que encontramos em nosso
caminho não resulta em números racionais.
Fatoração é o ato de transformar em fatores, ou seja, utiliza-se o MMC para transformar o número dentro da
raiz em números menores e primos. Tomemos como exemplo 64 . Fatorando o 64 obteremos 26 = 22.22.22.=
(22)3, ou seja, temos um trio de 22. Isso nos leva a concluir que para cada “22” um “2” sairá da raiz, pois 22 = 4 e
4 = 2.
Segue a explicação abaixo através de uma demonstração matemática.
64 =
2 2.2 2.2 2 =
(2 2 ) 3 =
(2 3 ) 2 =
82 = 8
Podemos seguir uma linha de raciocínio mais rápida.
64 =
2 2.2 2.2 2 = 2.2.2 = 8
Outro exemplo:
360000 . Fatorando 360.000 encontraremos que 360.000 = 42.62.54. Assim, podemos escrever
que
4 2.6 2.54 =
360000 =
4 2.6 2.(5 2 ) 2 = 4.6.52 = 600
Para raízes com índice 3, radicandos com expoente 3 sairão da raiz. Para raízes com índice 4, radicandos com
expoente 4 sairão as raízes e assim por diante.
Observemos agora os exemplos abaixo os quais a simplificação não é suficiente para resolvermos totalmente a
raiz:
4
6480 . Fatorando 6480 encontraremos que 6480 = 34.24.5.
4
6480  4 34.2 4.5  3.2.4 5  64 5 .
Assim como podemos retiras números das raízes a partir da fatoração, podemos também incluí-los nos radicais.
Para que um número saia da raiz é necessário que o expoente do mesmo coincida com o índice da raiz. Logo,
para que o número adentre à raiz, será necessário que o mesmo adquira um expoente que coincida com o índice
da raiz. Exemplo:
x 3 y  3 x 3 .y
Simplifique a raiz abaixo:
3
9261000
1 – Resolva as expressões abaixo:
a) 22 +
b)
500  10 2
40  81
c) 3 +
d)
25 + 3. 4
1200  20 2
2
e) 5  3
8
125
14  3 8
f)
1
g) 5 2 . 20
2 – Calcule cada uma das raízes abaixo:
a)
4a 2 
b)
36a 2 b 6 
c)
4 2 4
a b 
9
d)
x2

100
16a 10

25
e)
f)
5
g)
3
1024 x 5 y 10 
a6

b3
16 x 4
h)

y2z6
5 – Efetue as multiplicações e divisões abaixo:
a)
3
a5 . ab.4 a2b2 
b)
c)
d)
3
4a 2 x . 4a 2 x 2 
10
x3 . x 
xy.3 x 2 y 2 . x3 y 
a 3 a 4 a 
e)
3
f)
a5
a3
g)
4
a2
8
a3
6
a 3b 2
h)
i)

4
a 5b
4
x2 y3
3
j)



xy
2  6 27

4
9
k) 3 b  53 b  1 4 b 
3
6
l)
3. 125

5.4 25
Quadrados de números inteiros.
O quadrado de um numero é um dos inteiros da série 1, 4, 9, 16, 25, etc. Não se torna difícil verificar a relação
entre os membros consecutivos desta série. Verificamos que se somarmos o quadrado de x mais duas vezes x +
1 , o próximo quadrado sucessivo é obtido.
Por exemplo
52 + 2.5 + 1 = 25 + 10 + 1 = 36 = 62
Se soubermos o valor de um determinado número ao quadrado, o próximo numero é facilmente obtido.
Exemplo: Sabendo que o quadrado de 18 é 324 temos:
192 = 182 + 2.18 + 1 = 324 + 36 + 1 = 361
A razão para tal fato verifica-se pela relação algébrica:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
19 = (18 + 1) = 182 + 2.18.1 + 12 = 361
A soma algébrica entre radicais:
a  4 a : nós temos duas raízes idênticas para somar. Logo, resultaria em duas dessas raízes.
. É como somar x + x = 2x.
4
4
a  4 a  24 a
7 3 7  4 7
85 50  55 50  35 50
4 x 3 x  7 x
44
44 5  64 5  24 5
5  24 5 

3
3
3
Situações do tipo 5  3 (radicandos diferentes) ou 6  3 6 (índices diferentes) não poderão ser operados a
menos que se calcule o valor de cada raiz para depois somarmos ou subtrairmos.
Quando os radicais forem solucionáveis, podemos extrair suas raízes para depois realizarmos a operação:
16  64  4  8  12
16  64  4  8  4
Multiplicando e dividindo radicais:

x

y

x . y  x. y (juntando a multiplicação em um só radical)

x .4 y  2.2 x1.2 .4 y  4 x 2 .4 y  4 x 2 . y (mudança de índice)

x
y
(juntando a divisão em um só radical)
( x ) 3  x . x . x  x.x.x  x 3 , ou seja, ( x ) y  x y e também vale a volta.
Tais propriedades já nos mostram como multiplicar e como dividir radicais.
Multiplicação de radicais:
A multiplicação é feita segundo a propriedade. Para multiplicarmos duas raízes é necessário que ambas
possuam o mesmo índice. Exemplos:
3
4.3 16  3 64  4
y . z  y.z
Caso os radicais sejam diferentes, basta tornar iguais os índices das raízes envolvidas no produto:
3.3 4 possuem índices diferentes (2 e 3). Para torná-los iguais, basta transformar ambos em um mesmo
número assim como fazemos em M.M.C. O MMC entre 2 e 3 é 6. Logo, basta transformarmos os índices 2 e 3
em 6.
3.3 4  2.3 33 .3.2 4 2  6 33 .6 4 2  6 33.4 2
Divisão de radicais:
A divisão é feita unindo-se raízes de índices iguais. Por exemplo:
20
20 : 10 
5
50 : 5 2 
10
5
5
50
2

20
 2
10
5
50 5
 25
2
Dividido radicais com índices diferentes:
Caso haja a necessidade de dividirmos radicais de índices diferentes, basta igualarmos os índices assim como
fizemos na multiplicação com o cálculo do MMC dos índices das raízes.
1 – Simplifique as expressões abaixo resolvendo as somas algébricas:
a)
b)
c)
d)
12 10  6 10  8 10
5 28  3 20  2 63  2 45
8 2  5 8  13 18  15 50  9 72
6 45  12 48  6 108  10 20
e) 3 90  1 250  1 10
2
4
4
2 – Determine as somas algébricas:
a) 7 3 2  23 2  5 3 2
3
4
b) 5  5  5  5
6
2
5
3
c) 53 2  83 3  2  43 2  83 3
d) 85 7  4 6  125 7  104 6
Racionalização:
Quando dividimos um número por 2, por 3, por 4, ... sabemos exatamente em quantas partes iremos dividir o
numerador. Em outras palavras, quando nos deparamos com números inteiros no denominador, sabemos
x
exatamente o valor do número. Quando encontramos frações do tipo
, não sabemos em quantas partes
2
iremos dividir o x, pois 2 é um número racional e, sendo assim, não sabemos seu valor exato. Quando tal fato
ocorre (termos raízes irracionais no denominador) utilizamos a racionalização para que a mesma não permaneça
no denominador. Entenda o processo abaixo:
4 4.5 20
20
4
As raízes
e
são equivalentes pois resultam no mesmo valor. O que fizemos foi apenas


5 5.5 25
25
5
multiplicar e dividir por 5 a fração. Quando se faz isso não se altera seu valor obtendo assim uma fração
equivalente à anterior. Façamos isso agora com raízes:
Exemplos com raízes quadradas no denominador:
5
2
x
10

5. 2
2. 2

5. 2
4
x. 10



10 . 10
5. 2
2
x. 10
100

x. 10
10
Isso sempre irá ocorrer, pois o produto obtido embaixo sempre resultará em uma raiz quadrada possível de ser
resolvida.
Exemplos com raízes com índices maiores do que 2 no denominador:
5

5.3 2

5.3 2
Note que neste caso não foi suficiente multiplicarmos e dividirmos pela mesma raiz, pois
2 3 2.3 2 3 2 2
o 22 não irá sair da raiz de índice 3. Para que o “2” saísse, seria necessário possuir expoente 3. Sendo assim,
para que isso aconteça, devemos prosseguir da seguinte maneira:
3
5.3 2 2
5.3 2 2
5.3 2 2
5.3 2 2
Quando utilizamos a raiz 3 2 2 para racionalizarmos, fazemos isso
3
3
3
2
2
3
3
3
2
2
2. 2
2.2
2
com a intenção de que, ao juntarmos as raízes no denominador, o expoente do radicando coincida com o índice
da raiz para que a mesma possa ser resolvida.
5




Outros exemplos:
4
4
10
2
5
32
4.4 10 3

4

10.4 10 3
2 .5 33
5
3 2 .5 33


4.4 10 3
4
10.10 3
2 .5 33
5
3 2.33

4.4 10 3
4
10 4
2 .5 33

5
35


4.4 10 3
10
2.5 33
3
Exemplos com somas algébricas entre raízes 2 no denominador:
3

3.(1  3 )

33 3

33 3
Neste caso também a raiz não sumiu do
1  3 (1  3 ).(1  3 ) 1  3  3  ( 3 )
1 2 3  3
denominador, ou seja, não bastou multiplicarmos e dividirmos pelo menos valor do denominador. Para que as
raízes não permaneçam mais embaixo da fração seria necessário que na operação 12  3  3  ( 3 ) 2 as
2
2
raízes 3 e 3 se anulassem. Isto ocorrerá quando multiplicarmos e dividirmos pelo conjugado do valor que
está no denominador.
Para encontrarmos o conjugado de uma soma algébrica basta alterar sinais. Por exemplo:
O conjugado de 1  3 é 1  3 ou  1 3 . Basta trocarmos um dos sinais da soma algébrica. O mais usual é
trocar o sinal entre os dois números. Sendo assim, teremos que:
3
1 3
3.(1  3 )

(1  3 ).(1  3 )

33 3
1  3  3  ( 3)
2
2

33 3 33 3
33 3


1 3
2
2
Outros exemplos:
1
2 5

1.(2  5 )
(2  5 ).( 2  5 )
3

32 5

2 5
2  2 5  2 5  ( 5)
2
3.( 3  2 5 )
( 3  2 5 ).( 3  2 5 )

2

2 5 2 5

 (2  5 )
45
1
3. 3  6 5
( 3 )  2 5 3  2 5 3  (2 5 )
2
2

3. 3  6 5
=
3  2 2.5
3. 3  6 5 3. 3  6 5

3  4.5
23
3 – Resolva as somas algébricas abaixo:
96  4 486  24 6  94 243
2
8
b) 53 32  3 256  3 16  23 2  3 4
5
5
a)
4
c)
5
64  5 486  5 2
d) 43 81  813 375  103 24
64
729
125
3 – Racionalize as frações:
a)
1
x
2
x 4
3
c)
1 x
4
d) 3
x
23
e)
4 5
5
f)
6  21
b)
4 – (FUVEST) Racionalizando a expressão
22 6  3
3
52 6
b)
3
2 6
c)
6
a)
2 3
3
obteremos qual resultado?
d)
3 6
3
5 – Resolva as expressões abaixo:
3
a)
b)
c)
27 . 8
3 5
8
9
3
1
3. 5 . 6
81.6 25
d) ( 7 .3 2 ) 2 .3 2
e)
(
9 )4. 2
3
27
6
f) (3 4 . 5 ) 4 .
4
24
Equações de segundo grau:
Equação do segundo grau nada mais é do que uma equação que possui uma de suas incógnitas (ou variáveis)
elevadas ao quadrado. Exemplos:
x2 + 2 = 0
4x2 + 3x = 9
8y – 4y2 = 2
m2 = 5
De uma maneira geral, podemos escrever que uma equação do 2° grau é escrita da seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0
onde a, b e c são números reais com a ≠ 0, pois se a = 0 o fator ax2 desaparece e a equação se torna uma
equação do 1° grau. a, b e c são chamados de coeficientes, sendo c o termo independente de x justamente por
não estar multiplicando x.
Voltando aos nossos primeiros exemplos, poderíamos então enxergá-los da seguinte maneira:
x2 + 0x + 2 = 0
4x2 + 3x – 9 = 0
– 4y2 + 8y – 2 = 0
m2 – 0m – 5 = 0
Resolução de equações do segundo grau:
Resolver uma equação do segundo grau é encontrar os valores de x que a satisfazem como equação. Uma
equação do segundo grau possuirá até 2 valores de x de forma que a equação permaneça verdadeira. O grau de
uma equação determina a quantidade solução que a mesma poderá admitir. Se a equação for do 4° grau, a
mesma poderá apresentar até mesmo 4 valores de x que a satisfazem.
A solução de uma equação é chamada de raiz. Portanto, podemos dizer que uma equação do segundo grau
possui até duas raízes.
Equações incompletas:
Uma equação do segundo grau é incompleta se a mesma não apresentar todos os coeficientes a, b e c diferentes
de zero. Exemplos:
4x2 – 16 = 0
4x2 = 16
16
x2 =
4
2
x =4
x=±2
A solução da equação acima é {-2, 2}, pois tanto -2 como 2 ao quadrado resultam em 4. Quando escrevemos x2
= 4 podemos perguntar quais os números que elevados ao quadrado resultam em 4, por isso a solução {-2, 2} e
não somente 2.
2x2 – 4x = 0
x(2x – 4) = 0
Para que o produto x(2x – 4) resulte em zero, ou x é zero ou (2x – 4) é 0. Sendo assim, podemos escrever que
x = 0 ou (2x – 4) = 0
x = 0 ou 2x = 4
x = 0 ou x = 2
Portanto, a solução da equação é {0, 2}.
Equações completas:
Para resolvermos uma equação do segundo grau sem pistas de suas raízes, utilizaremos 3 processos:
A fatoração:
Este processo funciona apenas em equações que podem ser fatoradas, ou seja, que são quadrados perfeitos ((x ±
y)2 = x2 ± 2xy + y2). Exemplo:
x2 + 8x + 16 = 0
O primeiro passo é descobrir se a equação acima é um quadrado perfeito, ou seja, se existem dois membros que
estão elevados ao quadrado e se existe um outro membro que é o dobro do produto entre o primeiro e o segundo
termo. Vejamos:
x2 + 8x + 16 = 0
→
x2 + 8x + 42 = 0
Perceba que escrevemos
16 como sendo 42. Logo,
já temos dois fatores ao
quadrado: o x e o 4.
→
x2 + 2.4.x + 42 = 0
Observe que o fator 8x pode
ser escrito como 2.4.x (ou
seja, duas vezes alguma
coisa). Note que 4 e x são os
fatores que estão ao quadrado.
Portanto trata-se de um quadrado perfeito. Basta então reescrevê-la na forma fatorada:
x2 + 8x + 16 = 0 → x2 + 2.4.x + 42 = 0 → (x + 4)2 = 0
Tendo feito isso, encontra-se a (s) raiz (es) facilmente.
(x + 4)2 = 0
x+4=0
x=–4
Completando quadrados:
Este já é um método que complementa o método da fatoração, pois grande parte das equações do segundo grau
(para não citarmos a maioria) não é quadrado perfeito.
Completar quadrado é justamente transformar uma equação do segundo grau em um quadrado perfeito.
Exemplo:
Considere a equação x2 + 10x + 9 = 0. Fatorando a equação, encontraremos que
x2 + 10x + 9 = 0 → x2 + 2.5.x + 32 = 0
Ou seja, a equação não é um quadrado perfeito, pois o segundo termo não é 5. Sendo assim, iremos transformar
o segundo termo em 5. O ato de completar quadrados fica em função da parte inicial da equação, ou seja, x2 +
2.5.x. Note que temos o primeiro termo ao quadrado e em seguida o “duas vezes o primeiro vezes o segundo”.
Sendo o segundo o número 5, logo, o quadrado do segundo será 52.
x2 + 10x + 9 = 0 → x2 + 2.5.x + 32 = 0 → x2 + 2.5.x + 52 – 52 + 32 = 0
Ao adicionarmos o 52, alteramos a equação. Para que isto não ocorra, o valor acrescentado será imediatamente
retirado, como fizemos acima.
x2 + 2.5.x + 52 – 52 + 32 = 0
x2 + 2.5.x + 52 = 52 – 32
Ou seja, deixamos o quadrado perfeito sozinho do lado esquerdo da equação. Agora, basta fatorá-lo como
vimos no processo anterior de fatoração:
x2 + 2.5.x + 52 = 52 – 32
(x + 5)2 = 25 – 9
(x + 5)2 = 16
Quando, ao resolver soluções quadráticas, nos deparamos com algo do tipo y2 = 4, perguntamos
inconscientemente “que números que elevados ao quadrado resultam em 4?”. Sabemos que 2 e –2 são soluções,
pois ambos os números ao quadrado resultam em 4. Sendo assim, voltando ao nosso exemplo:
(x + 5)2 = 16
x+5=4
ou
x+5=–4
x=4–5
ou
x=–4–5
x=–1
ou
x=–9
Solução: {– 9, – 1}
Nem sempre conseguiremos completar quadrados de uma maneira simples. Para casos mais complicados,
iremos utilizar um outro processo. Tal processo pode ser aplicado em qualquer equação do seguindo grau.
Considere uma equação do segundo grau genérica ax2 + bx + c = 0 com as devidas condições de existência. As
raízes serão calculadas utilizando
x
 b  b 2  4ac
.
2a
Chamando o interior da raiz de ∆ (Delta), teremos que x 
b 
, com ∆ = b 2  4ac .
2a
Exemplo da aplicação:
Determinar as raízes da equação x2 – 4x – 5 = 0
∆ = b 2  4ac
∆ = (– 4)2 – 4.1.( –5)
∆ = 16 + 20
∆ = 36
b 
2a
 4  36
x
2 .1
46
x
2
x
Teremos então duas soluções, pois usaremos o sinal de “+” e depois o sinal de “–”.
x' 
 4  6  10
46 2

  1 e x' ' 
 5
2
2
2
2
Portanto, temos que a solução da equação x2 – 4x – 5 = 0 é {-5, 1}
Essa fórmula matemática é erroneamente chamada de Fórmula de Bháskara, pois não foi Bháskara quem a
descobriu. Os gregos já utilizavam tal procedimento muito antes de Bháskara nascer (aproximadamente 400
anos antes de sua morte).
1 – Resolva as equações abaixo:
x2 – 2x = 0
x2 + 5x = 0
–2x2 – 7x = 0
3x2 + 7x = 0
x 2 2x

0
e)
4
3
f) 3x2 – 27 = 0
g) x2 – 225 = 0
a)
b)
c)
d)
2 – Resolva as equações abaixo fatorando-as ou completando quadrados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x2 + 20x + 100 = 0
x2 + 10x + 24 = 0
x2 + 8x + 15 = 0
x2 – 16x + 64 = 0
x2 – 14x + 49 = 0
x2 + 4x + 1 = 0
x2 + 2x – 3 = 0
x2 – 2x + 1 = 0
3x2 – 7x + 2 = 0
Resolução por soma e produto:
Em algumas equações, conseguiremos aplicar um método rápido e bastante eficaz que o método da soma e
produto. Considere a equação ax2 + bx + c = 0 com as devidas condições de existência.
b 
, podemos obter até duas raízes. Chamemo-nas de x’ e x’’.
2a
Sendo assim, obteremos tais raízes da seguinte maneira:
Quando resolvemos uma equação por x 
x' 
b 
b 
e x' ' 
2a
2a
A ideia agora é somar as raízes e multiplicá-las, pois o processo denomina-se soma e produto.
Realizando o produto x’.x’’, obteremos que
x'.x' '  (
[
b  b 
(b   ).( b   )
(b 2  b   b   (  ) 2
).(
) [
]

[
]
2a
2a
4a 2
4a 2
(b 2  b   b   ( b 2  4ac ) 2
(b 2  (b 2  4ac)
(b 2  b 2  4ac)
]

[
]

[
]
4a 2
4a 2
4a 2
[
(b 2  b 2  4ac)
4ac 4 a c c
]  2  2 
2
a
4a
4a
4 a
Ou seja, o produto entre as raízes pode ser determinado por
A soma das raízes pode ser determinada por 
c
.
a
b
, fato que pode ser descoberto por um processo análogo ao
a
descrito acima.
Exemplo na aplicação:
x2 + 8x + 16 = 0
8
b
=  =–8
1
a
16
c
produto =
=
= 16
a
1
soma = 
Logo, devemos pensar em dois números cuja soma é – 8 e cujo produto é 16. Estes números são – 4 e –
4.Portanto, a raiz da equação é – 4.
1 – Resolva as equação abaixo pelo método que você achar mais conveniente
a) (x + 3)2 = 4
b) (x – 4)2 = 0
3y 2 y 2

c)
5
3
d) y(y + 1) = 3y
e) (x – 4)2 = 8(x + 2)
f) x2 – 10x + 9 = 0
g)
h)
i)
j)
x2 – 11x + 30 = 0
5x2 + 20x = 0
x2 – 2x – 3 = 0
x2 – 3 2 x + 4 = 0
2 – Determine a soma e o produto das raízes de cada uma das seguintes equações, sem resolver cada equação:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3x2 + x – 3 = 0
6x2 – 9x = 0
6x2 –10x + 3 = 0
9x2 + 6x + 1 = 0
x2 + 2x – 8 = 0
8x2 – 2x – 3 = 0
3 – Calcule as raízes das equações abaixo através de soma e produto:
a)
b)
c)
d)
x2 – x – 6 = 0
x2 – 11x + 28 = 0
x2 – 4x – 32 = 0
x2 – 8x + 16 = 0
4 – Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m2 de parede. Qual é a medida do lado
de cada azulejo?
5 – Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é
o número?
6 – Se você adicionar a cada uma das seguintes expressões um determinado número, elas se transformarão em
um trinômio quadrado perfeito. Nessas condições, escreva um número para cada expressão:
a) x2 + 4x
b) x2 – 20x
c) x2 –16x
d) x2 + 14x
e) x2 + 3x
f) x2 – 7x:
Podemos então calcular as raízes de uma equação do segundo grau por três processos: fatorando, completando
quadrados ou utilizando a fórmula do ∆. Vimos também que uma equação do segundo grau possui até duas
raízes, o que significa que elas podem possuir duas, uma ou nenhuma. Já vimos casos em que equações de
segundo grau produziam apenas uma raiz. Veremos agora alguns casos em que equações quadráticas não
apresentam raízes reais:
3x 2  4 x  8  0
∆ = b 2  4ac
∆ = 42 – 4.3.8
∆ = 16 – 96
∆ = – 80
Como o ∆ resultou em um número negativo, a equação não possui soluções raiz, pois o ∆ é um valor que será
colocado dentro de uma raiz quadrada e não existem raízes quadradas de números negativos.
Esse ∆ também é chamado de discriminante. Note então que quando o discriminante for menor que zero, ou
seja, negativo, a equação não possui soluções reais.
Observemos outro exemplo:
x 2  4x  4  0
∆ = b 2  4ac
∆ = (– 4)2 – 4.1.4
∆ = 16 – 16
∆=0
b 
2a
 (4)  0 4
x
 2
2.1
2
x
Como raiz de zero é zero, o sinal de ± se tornou desnecessário, pois o fator que continha a raiz sumiu. Sendo
assim, a equação apresentou apenas uma raiz. Em outras palavras, quando o discriminante for igual a zero, a
equação terá apenas uma raiz.
Pelos exercícios feitos anteriormente, você já pode notar que quando o discriminante for maior que zero, ou
seja, for positivo, a equação apresentará duas raízes reais e distintas.
Equações biquadradas:
Equações biquadradas não deixam de ser equações quadradas. O termo “biquadrado” se refere à dois
quadradas. Observe o exemplo abaixo:
4x4 + 6x2 + 2 = 0
Note que a equação apresenta grau 4 (x4), porém, apesar de tal termo, essa equação recebe o nome de
biquadrada pois a mesma pode ser transformada em quadrática.
4x4 + 6x2 + 2 = 0
4(x2)2+ 6(x2)1 + 2 = 0
Considere x2 como sendo y. Daí temos que:
4(x2)2+ 6(x2)1 + 2 = 0
4y2+ 6y + 2 = 0
Agora temos uma equação do tipo ay2 + by + c = 0 que pode ser resolvida pelos métodos aprendidos no capítulo
anterior, com a ressalva de que, ao encontrar as raízes da equação cuja incógnita é y, retornar-se-á tais raízes em
x, pois a equação inicial é na incógnita x.
Exercício resolvido:
Calcule a raízes da equação x4 – 13x2 + 36 = 0
Primeiro vamos transformar a equação biquadrada em uma equação quadrática:
x4 – 13x2 + 36 = 0 → (x2)2 – 13(x2) + 36 = 0 →
∆ = b 2  4ac
∆ = (–13)2 – 4.1.36
∆ = 169 – 144
y2 – 13y + 36 = 0
∆ = 25
b 
2a
 (13)  25
y
2.1
13  5
y
2
y’ = 9 e y’’ = 4
y
Agora iremos retornar para a incógnita x. Como x2 = y, segue que:
x2 = y
para y = 9, segue que x2 = 9 → x = ± 3
para y = 4, segue que x2 = 4 → x = ± 2
Portanto, a solução da equação x4 – 13x2 + 36 = 0 é S = { –3, –2, 2, 3}
Equações com radicais:
Quando nos depararmos com uma equação cuja incógnita esteja dentro de um radical, essa equação será
chamada de equação irracional. Exemplos:
x4 3
x  1  5x  7
Iremos agora relembrar uma propriedade importante de radicais:
( x )2  x2  x
Diante de tal propriedade, para eliminarmos o radical de uma equação, basta elevarmos os dois lados da mesma
ao quadrado.
x  4  3  ( x  4 ) 2  32  x  4  9
x  1  5 x  7  ( x  1) 2  (5 x  7) 2  x  1  (5 x  7) 2
Forma fatorada de uma equação do segundo grau:
Para escrever uma equação na forma fatorada é necessário conhecer as raízes de tal equação. Exemplo:
Seja a equação x2 – 5x + 6 = 0
Calculando suas raízes, encontraremos que as mesmas são 2 e 3. Assim, podemos representar a equação x2 – 5x
+ 6 = 0 por (x – 2) . (x – 3) = 0, ou seja, a forma fatorada de tal equação é (x – x’) . (x – x’’).
Perceba que na equação do nosso exemplo o valor que acompanha o x2 é 1. Se a ≠ 1, a forma fatorada da
equação segue como a . (x – x’) . (x – x’’).
Observação: a quantidade de fatores coincide com a quantidade de raízes, ou seja, a equação tendo duas raízes
possuirá forma fatorada como a . (x – x’) . (x – x’’); a equação tendo três raízes possuirá forma fatorada como a
. (x – x’) . (x – x’’).(x – x’’’) e assim por diante.
2 – Escreva as equações abaixo em sua forma fatorada:
a)
b)
c)
d)
e)
x² + 2x + 1 = 0
x4 – 5x2 + 4 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 3x – 4 = 0
Você sabe o que são produtos notáveis?
Analisando a expressão “produtos notáveis”, podemos observar que se tratam de produtos fáceis de se notar, ou
seja, que chamam a atenção. Por conta disso, merecem uma atenção especial.
Quadrado da soma (Quadrado perfeito):
Quadrado perfeito é todo quadrado bem construído e que possui os 4 lados e os 4 ângulos iguais. Associando tal
conceito à álgebra, observemos o que será feito a seguir:
Temos acima um quadrado de lado x + y que foi dividido em 4 partes. Iremos agora calcular a área de cada
subdivisão desse quadrado.
Somando a área de cada subdivisão do quadrado iremos encontrar a área do próprio quadrado de lado x + y. A
área do mesmo é (x + y)2. Somando as 4 áreas do interior do quadrado teremos a seguinte igualdade:
(x + y)2 = xy + x2 + y2 + xy = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Quadrado da diferença:
Já temos que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Porém, queremos agora (x – y)2. Sendo assim, iremos substituir y por – y.
[x + (–y)]2 = x2 + 2x(–y) + (–y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + –y)2 = x2 – 2xy + y2
Diferença de quadrados:
Diferença de quadrados, ou seja, são dois números ao quadrado que se subtraem, ou seja, x2 – y2. Observe o
que ocorre abaixo:
(x + y)(x – y) = x2 – xy + xy – y2 = x 2 - xy  x y  y 2 = x2 – y2
(x + y)(x – y) = x2 – y2
1 – Vamos determinar a equação do 2° grau, na incógnita x, cujas raízes são os números reais seguintes:
a) 7 e 12
b) –10 e –3
4
c)
e–3
7
d) 9 e - 6
e) – 8 e 8
4
f) 0 e 
9
2 – Resolva as equações irracionais abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
x2 7
3x  10  4
x 2 5  0
5 x  10  3x  2
4
x4  2
2 x 3  0
x2 3 7
3
5 x  8  3 3x  2  0
3 x  8  20
x3  2 5
3
1  3x  1
3 3x  2  2 5 x  1
x  6 x
3x  6  2  x
xx2
3
3
x2  x  4  2
3 – Resolva, se possível, as equações biquadradas abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
x4 – 17x2 + 16 = 0
4x4 – 37x2 + 9 = 0
x4 + 3x2 + 7 = 0
x4 + 25 = 26x2
x4 – x2 = 12
x4 – 16x2 = 0
x 4  32 x 2  256  0
x 4  12  7 x 2
x
2
2

2
1
x  x x 4  2x 1


2
4
4
1 1
5
3



3 x 2 3x 2 x 4
x4 – 13 x2 + 36 = 0
x4 + 4x2 – 60 = 0
2
j)
k)
l)
m)
5 – Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a) ( 2  1) 2
b) ( 3  1) 2
c)
d)
e)
f)
g)
(3  5 ) 2
(x – 5)2
(x4 + 2)(x4 – 2)
(x2 – 1)2
(3 2  1) 2
h) ( 7  2)( 7  2)