Movimento de Projeteis

Trabalho de Equações Diferenciais
24 de maio de 2015
Docente: Prof. Dr. Ricardo Miranda
Discentes:Roberto, Eduardo, Fabrício e Altenize
1 Movimento de projéteis
Consideremos o movimento de uma partícula de massa m num plano (x, y)perpendicular ao solo. Vamos supor que no instante t = 0 ela sai da origem com uma velocidade
linear v0 e num ângulo α com a horizontal, chamado de ângulo de tiro. Vamos considerar
por hipótese que a única força atuando na partícula é a da gravidade. Uma partícula que
se move dessa forma é chamada de projétil.
Figura 1: representação do movimento de projétil
O objetivo é analisar o movimento de um projetil desprezando a inuência do ar.
1
Figura 2: Diagrama das componentes do lançamento do projetil
O projetil é lançado com uma velocidade v0 que pode ser descrita da forma:
−
→
−
→
v0 = v0x i + v0y j
As componentes v0x e v0y podem ser descompostas se conhecermos o ângulo α
v0x = v0 cos.α
v0y = v0 sen.α
No decorrer do movimento o vetor posição e a velocidade mudam continuamente, mas
a aceleração permanece constante voltada para baixo.
..
x=0
..
y = −g
(1)
(2)
onde x = x (t)e y = y (t) vetor posição da partícula.
Integrando duas vezes as equações (1)e (2) obtemos:
x = (v0 cosα) t
y=−
gt2
+ (v0 senα) t
2
Podemos vericar através destas equações que:
1. A trajetória é uma parábola, ou seja:
t=
2
x
v0 cos.α
(3)
(4)
substituindo na (4), teremos
g
y=−
x2
v02 cos2 α
2
+ (v0 senα)
2
y = (tgα) x −
x
v0 cosα
g
x2
2
2
2v0 cos α
(5)
2. A altura e a distância horizontal máximas atingidas pelo corpo são respectivamente
A altura máxima do projétil é atingida quando ele tem a velocidade, no eixo y , igual
a zero, ou seja
v0y = v0 sen.α − gt
v0 senα
v0y = 0 → t =
g
Substituindo na equação (4)teremos:
g
y=−
v0 senα
g
2
+ (v0 senα)
2
y=−
v0 senα
g
gv02 sen2 α v02 sen2 α
+
2g 2
g
− (gv02 sen2 α) + 2 (gv02 sen2 α)
y=
2g 2
y = hmax
v02 sen2 α
=
2g
(6)
Da equação (5)fazendo y = 0 e isolando o x,teremos
0 = (tgα) x −
(tgα) x =
sen.α cos.α
x=
g
2v02 cos2 α
g
2v02 cos2 α
x=
x2
x2
g
2v02 cos2 α
x2
2v02 sen.αcosα
g
x = dmax =
v02
sen2α
g
(7)
1. Podemos determinar a duração do trajeto do corpo até colidir com o solo Utilizando
a equação (4), fazendo y = 0 e resolvendo a equação do segundo grau em t
−
gt2
+ (v0 senα) t = 0
2
3
gt
t − + (v0 senα) = 0
2

t
=0
− gt + (v senα) = 0
0
2
Da segunda temos
t=
2v0 senα
g
2. Variando-se αe mantendo v0 constante, a distância horizontal máxima que pode ser
atingida é
Dmax =
v02
g
que corresponde a um ângulo α = 45◦ .Isso decorre trivialmente das equações (6)e
(7)
Vericamos que dada uma velocidade v0 podemos obter alguns pontos (x, y) da trajetória do objeto, utilizando-se da equação (4)
f (x, y, α) ≡ y − (tgα) x +
g
2v02 cos2 α
x2
(8)
Derivando a equação (8)em relação a α que é da forma
f (x, y, α) ≡ y −
sen.α cos.α
x+
g
x2
2
2
2v0 cos α
1
gx2 1
fα (x, y, α) ≡ −
x
+
cos2 α
2v02 cos2 α
1
gx2 2.sen.α
fα (x, y, α) ≡ −
x+ 2
cos2 α
2v0
cos3 α
gx2
fα (x, y, α) ≡ − sec2 α x + sec2 α.tgα 2 = 0
v0
(9)
Eliminando α das equações (8)e(9)obtemos:
y=
v02
g
x − 2 x2
2g
2v0
(10)
que é chamada parábola de segurança. Acima dessa parábola nenhum ponto pode
ser atingido com projéteis de velocidade inicial v0 , abaixo todos os pontos podem ser
atingidos.
4
2 Velocidade de escape
Para um dado campo gravitacional e uma dada posição, a velocidade de escape é a
velocidade mínima que um objeto sem propulsão precisa para mover-se indenidamente
da origem do campo, em vez de cair ou car em órbita a uma certa distância da origem.
Segundo a lei da gravitação universal de Newton diz que dois objetos quaisquer se
atraem gravitacionalmente por meio de uma força que depende das massas desses objetos
e da distância que há entre eles.
Dados dois corpos de massa m e m0 , a uma distância r entre si, esses dois corpos se
atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses corpos. Matematicamente,
essa lei pode ser escrita assim:
F1 = F2 = G
m.m0
x2
Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton onde duas partículas de massa m
e m0 colocadas a uma distância d uma da outra se atraem mutuamente, e as forças de
0
atração têm intensidade Gmm
, onde G é a constante de gravitação universal, que tem
d2
valor de 6, 67 × 10−11 N m2 /kg 2 . As forças ao longo da reta que une as duas partículas, de
acordo com a lei da ação e reação.
Figura 3: Lei da ação e reação
v é o vetor unitário da direção OA
F =
Gmm0
v
x2
e
F0 = −
Gmm0
v
x2
Podemos supor que toda a massa M da Terra está concentrada em seu centro, assim
podemos tratar como um problema de atração entre duas partículas, no nosso caso a
atração da Terra sobre qualquer corpo, não levando em consideração a atração entre corpos
5
de pequena massa, então podemos considerar o deslocamento vertical de uma partícula
de massa m sujeita à força gravitacional da Terra desprezando com isso a resistência do
ar e a variação de massa do foguete.
Figura 4: Superfície da Terra
Usando a segunda lei de Newton, escrevemos
ma = −
GmM
GM
→
a
=
−
x2
x2
(11)
onde M é a massa da Terra. Por outro lado, quando x = r, a aceleração do corpo é
−g , e portanto
ma = −
Aplicando a regra da cadeia em
GmM
dv
GM
→
=− 2
2
r
dt
r
dv
dt
, temos
dv dr
GM dr
=− 2 ,
=v
dr dt
r
dt
v
dv
GM
=− 2
dr
r
Integrando ambos os lados, teremos
ˆ
ˆ
v(t)
r(t)
vdv = −
v0
r0
GM
dr
r2
r(t)
v 2 v(t)
1
|v0 = −GM. −
2
r r0
v 2 (t) − v02
1
1
= GM
−
2
r (t) r0
Fazendo t → ∞,r → ∞e v = 0
−
v02
GM
=−
2
r0
6
(12)
v02 =
2GM
r0
r
v0 =
2GM
r0
1. a velocidade decresce com a altura
2. Se v02 ≥ 2gR , a velocidade nunca se anula, e portanto o corpo continua em ascensão
√
para sempre. A velocidade v0 = 2gR é chamada de velocidade de escape.
3 Movimento de um foguete
Um foguete é lançado verticalmente da superfície da Terra com velocidade inicial
v (0) = 0. O movimento se deve a ejeção para baixo dos gases de ignição com velocidade
V , considerando também, por hipótese de que não há resistência do ar e de que a única
força externa atuante no foguete é a gravidade.
Figura 5: Forças atuando no lançamento de um foguete
Seja m (t)a massa do foguete, x (t) e v (t)sua posição e a velocidade ao instante t .
Utilizando a segunda lei de Newton, que diz que a variação da quantidade de movimento é
igual a força atuante. A quantidade de movimento é a soma da quantidade de movimento
do foguete com a quantidade de movimento dos gases de ignição. Considerando m (t)
como
m (t) = m (t + δt) + [m (t) − m (t + δt)]
onde m (t) − m (t + δt) é a massa consumida na forma de gases no intervalo de tempo
[t, t + δt]e a massa restante m (t + δt), é a massa do foguete nesse intervalo. Essa massa,
m (t + δt)do foguete, é mantida constante durante todo esse intervalo de tempo, portanto
a variação da quantidade de movimento do foguete, no intervalo, é
m (t + δt) v (t + δt) − m (t + δt) v (t)
7
(13)
A massa relativa ao combustível m (t) − m (t + δt), é consumida integralmente na
forma de gases no intervalo de tempo δt , e a velocidade relativa à Terra desses gases é
v + V , portanto a variação da quantidade de movimento dos gases, nesse intervalo, é
O (v (t + δt) + V (t + δt)) − (m (t) − m (t + δt)) (v (t) + V (t))
(14)
Segue-se que a quantidade de movimento é a soma de (13)e (14)e dividindo essa soma
por δt e tomando o limite quando δt → 0, obtemos
[m (t + δt) v (t + δt) − m (t + δt) v (t)]
m (t + δt) [v (t + δt) − v (t)]
= lim
=
δt→0
δt→0
δt
δt
lim
[v (t + δt) − v (t)]
dv
= m (t)
δt→0
δt
dt
m (t) lim
O (v (t + δt) + V (t + δt)) − (m (t) − m (t + δt)) (v (t) + V (t))
=
δt→0
δt
lim
O (v (t + δt) + V (t + δt))
(m (t + δt) − m (t)) (v (t) + V (t))
+ lim
=
δt→0
δt→0
δt
δt
lim
(m (t + δt) − m (t))
dm
= (v (t) + V (t))
δt→0
δt
dt
(v (t) + V (t)) lim
Resultando
m (t)
dv dm
+
(v (t) + V (t))
dt
dt
Colocando u = v + V , obtemos pela segunda lei de Newton. A massa do foguete
diminui em dm
e aumenta a massa do combustível expulso da mesma quantidade.
dt
−mg = m
dv
dm
+u
dt
dt
(15)
que é a equação do movimento de um foguete sem resistência do ar.
Suponha que a quantidade de combustível queimado na unidade de tempo, D, é
constante,D = − dm
. A massa m do foguete no instante t valerá m = m0 − Dt. Onde m0
dt
é a soma da carga útil mais o combustível inicial, e Dt é o combustível queimado ao cabo
de um certo tempo t.
−mg = m
m
dv
− uD
dt
dv
= uD − mg
dt
Um foguete pode ser considerado uma partícula de massa variável m submetida a duas
forças de mesma direção porém de sentidos contrários: o empuxo dos gases uD e o peso
mg .
Vamos supor que no espaço exterior o peso mg vale zero, e sobre o foguete atuaria unicamente a força de empuxo que proporciona a expulsão dos gases ao queimar o
8
combustível.
dv
D
= −g + u
dt
m0 − Dt
Integrando ambos os membros, obtemos a expressão da velocidade em função do tempo
ˆ
ˆ
v
ˆ
t
dv = −g
v0
t
dt + uD
0
0
1
dt
m0 − Dt
m0
v − v0 = −gt + u. ln
m0 − Dt
m0
v = v0 − gt + u. ln
m0 − Dt
(16)
Voltando a integrar (16), obtemos a posição x do móvel em qualquer instante t. Sabendo que v = dx
dt
ˆ
ˆ
x
dt − g
dx = v0
x0
x − x0 = v0 t − g
ˆ
t
0
ˆ
t
tdt + u.
0
t
ln
0
m0
m0 − Dt
dt
t2
u
+ ut ln m0 + [(m0 − Dt) ln (m0 − Dt) + Dt − m0 ln m0 ]
2
D
Se levarmos em conta a resistência do ar teremos
−mg − kv = m
dv
dm
+u
dt
dt
(17)
dv
dm
+u
dt
dt
(18)
ou
−mg − kv 2 = m
Referências
[1] FIGUEIREDO, Djairo G & NEVES, Aloisio F. Equações
Rio de Janeiro: IMPA.
[2] HALLIDY,David et al.
Diferenciais Aplicadas .
Fundamentos de física .v 1.Rio de Janeiro:LTC, 2008.
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