Micro I: Aula 02

Micro I: Aula 02
O Problema do Consumidor
January 24, 2011
Problema do consumidor:
x∗ ∈ B tal que x∗ x para todo x∗ ∈ B
Problema do consumidor:
x∗ ∈ B tal que x∗ x para todo x∗ ∈ B
Pode ser convenientemente representada por:
max u (x) sujeito a y ≥ px
x∈Rn
+
Existência,
I B ≡ x ∈ Rn
+ |y ≥ px conjunto não-vazio, fechado e limitado
(portanto compacto) se y > 0 e p 0
I
Se u (x) contínua, Teorema de Weiertrass garante existência
de solução.
Existência,
I B ≡ x ∈ Rn
+ |y ≥ px conjunto não-vazio, fechado e limitado
(portanto compacto) se y > 0 e p 0
I
Se u (x) contínua, Teorema de Weiertrass garante existência
de solução.
Unicidade
I
Solução, x (p, y) , do problema é uma função (e não uma
correspondência) sob Axioma 5.
Supondo u (x) continuamente diferenciável, e estritamente
quase-côncava com ∇u(x) 6= 0, ∀x:
Supondo u (x) continuamente diferenciável, e estritamente
quase-côncava com ∇u(x) 6= 0, ∀x:
1. Escreva o Lagrangeano,
L (x,λ, µ) = u (x) + λ [y − px] + µx.
2. Tire as condições de primeira ordem (para todo i = 1, ..., n),
∂xi L = ∂xi u (x∗ ) − λ∗ pi + µ∗i = 0.
3. Escreva as restrições de não-negatividade,
y − px∗ ≥ 0
x∗i
e
≥ 0 ∀i.
4. Escreva as condições de “complementary slackness”,
λ∗ [y − px∗ ] = 0
µ∗i x∗i
e
= 0 ∀i.
5. Imponha a não-negatividade dos multiplicadores
λ∗ ≥ 0
µ∗i
e
≥ 0 ∀i.
I
Supondo não-saciedade local, restrição y ≥ px∗ é ativa.
I
Especializando para o caso x∗ 0,
L (x,λ) = u (x) + λ [y − px] .
x∗ é um ponto crítico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Se encontrarmos (x∗ , λ∗ ) com λ∗ 6= 0 que resolvem o sistema.
∂xi L = ∂xi u (x∗ ) − λ∗ pi = 0
∂λ L = y − px∗ = 0
então x∗ é um ponto crítico de f (·) ao longo de y − px = 0.
x∗ é um ponto crítico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Se encontrarmos (x∗ , λ∗ ) com λ∗ 6= 0 que resolvem o sistema.
∂xi L = ∂xi u (x∗ ) − λ∗ pi = 0
∂λ L = y − px∗ = 0
então x∗ é um ponto crítico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Note que y − px = 0 já que ∂L/∂λ = y − px = 0. Neste caso,
pdx = 0.
∂x u (x∗ ) dx − λpdx = ∂x u (x∗ ) dx = dL = 0.
Ou seja, x∗ é um ponto crítico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Se (x∗ , λ∗ ) 0 resolve o sistema acima e u (·) é quase-côncava,
então x∗ resolve o problema de maximização do consumidor.
Se (x∗ , λ∗ ) 0 resolve o sistema acima e u (·) é quase-côncava,
então x∗ resolve o problema de maximização do consumidor.
Demonstração: Suponha que ∂x u (x∗ ) = λp, y = px∗ , mas
exista xo tal que u (xo ) > u (x∗ ) e y ≥ pxo . Por continuidade,
existe α < 1 e x0 = αxo tal que u (x0 ) > u (x∗ ) e y > px0 . Mas,
neste caso, p (x0 − x∗ ) < 0 =⇒ ∂x u (x∗ ) (x0 − x∗ ) < 0, o que
não é possível se u (·) é quase-côncava.
Utilidade Indireta
v(p, y) ≡
maxx∈Rn+ u (x)
.
s.t. y ≥ px
Utilidade Indireta
v(p, y) ≡
maxx∈Rn+ u (x)
.
s.t. y ≥ px
Demanda Marshalliana
Se o problema de maximização tem solução única,
arg maxx∈Rn+ u (x)
x(p, y) ≡
s.t. y ≥ px
Propriedades da Utilidade Indireta
Se u (x) é contínua e estritamente crescente em Rn+ , temos que
v(p, y) é
Propriedades da Utilidade Indireta
Se u (x) é contínua e estritamente crescente em Rn+ , temos que
v(p, y) é
I
Contínua em Rn++ × R+
Demonstração: Teorema do máximo.
Propriedades da Utilidade Indireta
Se u (x) é contínua e estritamente crescente em Rn+ , temos que
v(p, y) é
I
Contínua em Rn++ × R+
Demonstração: Teorema do máximo.
I
Homogênea de grau zero em (p, y)
Demonstração: Note que
maxx∈Rn+ u (x)
maxx∈Rn+ u (x)
⇔
≡ v(αp, αy)
v(p, y) ≡
s.t. αy ≥ αpx
s.t. y ≥ px
I
Estritamente crescente em y
Demonstração: Suporemos que a solução do problema do
consumidor é estritamente positiva e diferenciável. Solução do
lagrangeano, L (x,λ) = u (x) + λ [y − px], ocorre com
∂xi L = ∂xi u (x) − λpi = 0,
o que implica em λ > 0, dado que ∇u (x) ≥ 0, ∇u (x) 6= 0 e
p 0.
Pelo teorema do envelope aplicado a,
v(p, y) ≡ maxn L (x,λ)
x∈R+
temos
∂y v(p, y) = λ > 0.
I
Decrescente em p
Demonstração 1: Considere dois vetores de preços p0 e p1 tais
que p1 < p0 , e seja x0 a escolha ótima aos preços p0 . Supondo
0
x0 0, temos que p1 x0 < p0x0 . Ou seja,
x é factível aos preços
1
1
0
0
p . Portanto v(p , y) ≥ u x = v p , y .
I
Decrescente em p
Demonstração 1: Considere dois vetores de preços p0 e p1 tais
que p1 < p0 , e seja x0 a escolha ótima aos preços p0 . Supondo
0
x0 0, temos que p1 x0 < p0x0 . Ou seja,
x é factível aos preços
1
1
0
0
p . Portanto v(p , y) ≥ u x = v p , y .
Demonstração 2: Pelo teorema do envelope
∂i v(p, y) = −λxi (p, y) < 0.
I
Quase-convexa em (p, y)
Demonstração: Defina os conjuntos orçamentários B1 , B2 e Bt :
B1 ≡ x ∈ Rn+ |p1 x ≤ y 1
B2 ≡ x ∈ Rn+ |p2 x ≤ y 2
Bt ≡ x ∈ Rn+ |pt x ≤ y t ,
onde pt = tp1 + (1 − t) p2 e y t = ty 1 + (1 − t) y 2 . Sejam x1 , x2 e
xt as ecolhas ótimas correspondentes a cada um desses conjuntos
orçamentários.
Neste caso, tp1 + (1 − t) p2 xt ≤ ty 1 + (1 − t) y 2 . Neste caso, ou
p1 xt ≤ y 1 ou p2 xt ≤ y 2 . Portanto, ou x1 ou x2 foram escolhidos
quando xt era viável. Donde u x1 ≥ u xt ou u x2 ≥ u xt .
I
Quase-convexa em (p, y)
Demonstração: Defina os conjuntos orçamentários B1 , B2 e Bt :
B1 ≡ x ∈ Rn+ |p1 x ≤ y 1
B2 ≡ x ∈ Rn+ |p2 x ≤ y 2
Bt ≡ x ∈ Rn+ |pt x ≤ y t ,
onde pt = tp1 + (1 − t) p2 e y t = ty 1 + (1 − t) y 2 . Sejam x1 , x2 e
xt as ecolhas ótimas correspondentes a cada um desses conjuntos
orçamentários.
Neste caso, tp1 + (1 − t) p2 xt ≤ ty 1 + (1 − t) y 2 . Neste caso, ou
p1 xt ≤ y 1 ou p2 xt ≤ y 2 . Portanto, ou x1 ou x2 foram escolhidos
quando xt era viável. Donde u x1 ≥ u xt ou u x2 ≥ u xt .
v tp1 + (1 − t) p2 , ty 1 + (1 − t) y 2 ≤ max v(p1 , y 1 ); v(p2 , y 2 ) .
I
Identidade de Roy: se v(p, y) é diferenciável no ponto (p0 , y 0 )
e ∂v(p0 , y 0 )/∂y 6= 0, então
∂i v(p0 , y 0 )
xi p 0 , y 0 = −
.
∂y v(p0 , y 0 )
Demonstração: Vimos que ∂i v(p, y) = −λxi (p, y) e
∂y v(p, y) = λ. Logo,
∂i v(p, y) = −∂y v(p, y)xi (p, y)
Propriedades da Demanda Marshalliana.
Além das propriedades de adding up e homogeneidade de grau 0
em preços e renda, temos:
I
Simetria e negatividade semi-definida da matriz de Slutsky :


∂1 x1 + (∂y x1 ) x1 ... ∂n x1 + (∂y x1 ) xn


..
..
..
s(p, y) ≡ 

.
.
.
∂1 xn + (∂y xn ) x1
...
∂n xn + (∂y xn ) xn
Propriedades da Demanda Marshalliana.
Além das propriedades de adding up e homogeneidade de grau 0
em preços e renda, temos:
I
Simetria e negatividade semi-definida da matriz de Slutsky :


∂1 x1 + (∂y x1 ) x1 ... ∂n x1 + (∂y x1 ) xn


..
..
..
s(p, y) ≡ 

.
.
.
∂1 xn + (∂y xn ) x1
...
∂n xn + (∂y xn ) xn
Adiaremos a demonstração até havermos discutido a equação de
Slutsky.
Minimização de despesas
Função Despesa
e(p, u) ≡
minx∈Rn+ px
.
s.t. u (x) ≥ u
Demanda Hicksiana,
χ(p, u) ≡
arg minx∈Rn+ px
.
s.t. u (x) ≥ u
Propriedades
da Função Despesa
Defina U ≡ u (x) | x ∈ Rn+ . Se u (x) é contínua e estritamente
crescente em Rn+ , temos que e(p, u) é:
Propriedades
da Função Despesa
Defina U ≡ u (x) | x ∈ Rn+ . Se u (x) é contínua e estritamente
crescente em Rn+ , temos que e(p, u) é:
I
Igual a zero quando u atinge o seu valor mínimo em U.
Demonstração: Note que o menor valor que atinge a utilidade
ocorre com u (0) , devido à monotonicidade estrita. Mas p0 = 0.
Propriedades
da Função Despesa
Defina U ≡ u (x) | x ∈ Rn+ . Se u (x) é contínua e estritamente
crescente em Rn+ , temos que e(p, u) é:
I
Igual a zero quando u atinge o seu valor mínimo em U.
Demonstração: Note que o menor valor que atinge a utilidade
ocorre com u (0) , devido à monotonicidade estrita. Mas p0 = 0.
I
Contínua em Rn++ × U.
Demonstração: Continuidade decorre, mais uma vez, do teorema
do máximo de Berge.
I
Para todo p 0, estritamente crescente e sem limite superior
em u.
Demonstração: Primeiro, note que a restrição orçamentária é
ativa. Seja x∗ a cesta que minimiza a despesa e suponha que
u (x∗ ) > u. Nesse caso, continuidade e monotonicidade estrita,
garantem que existe α ∈ (0, 1) tal que u (αx∗ ) > u. Como,
u > u (0) , u (x∗ ) > u (0) o que implica em x∗ 6= 0. Neste caso,
pαx∗ < px∗ . Como, u (αx∗ ) > u então x∗ não pode ser a cesta
que minimiza a função objetivo. Uma contradição. Logo,
u (x∗ ) = u, se x∗ resolve o problema de minimização. Neste caso,
como
e(p, u) ≡ minn L (x,µ)
x∈R+
onde L (x,µ) = px + µ [u − u (x)] ,
∂u e(p, u) = ∂u minn L (x,µ) = µ > 0.
x∈R+
I
Não-decrescente em p
Demonstração: Considere dois vetores p0 e p1 tais que p0j ≥ p1j e
p0k = p1k ∀k 6= j. Seja, então x0 a escolha ótima
aos preços p0 ,
0
0
0
1
0
1
então, e p , u = p x ≥ p x ≥ e p , u .
I
Não-decrescente em p
Demonstração: Considere dois vetores p0 e p1 tais que p0j ≥ p1j e
p0k = p1k ∀k 6= j. Seja, então x0 a escolha ótima
aos preços p0 ,
0
0
0
1
0
1
então, e p , u = p x ≥ p x ≥ e p , u .
I
Homogênea de grau 1 em p
Demonstração: Note que
minx∈Rn+ αpx
α minx∈Rn+ px
=
≡ αe(p, u)
e(αp, u) ≡
s.t. u (x) ≥ u
s.t. u (x) ≥ u
I
Côncava em p
Demonstração: Para p1 e p2 e defina
arg minx∈Rn+ p1 x
arg minx∈Rn+ p2 x
1
2
x ≡
ex ≡
.
s.t. u (x) ≥ u
s.t. u (x) ≥ u
Seja pt = tp1 + (1 − t) p2 , e
arg minx∈Rn+ pt x
t
x ≡
.
s.t. u (x) ≥ u
Então p1 x1 ≤ p1 xt e p2 x2 ≤ p2 xt . Donde,
t p1 x1 + (1 − t) p2 x2 ≤ pt xt .
| {z }
| {z }
|{z}
e(p1 ,u)
e(p2 ,u)
e(pt ,u)
I
Lema de Shephard: se e(p, u) é diferenciável no ponto (p0 , u0 )
e p0 0, então
∂i e(p0 , u0 ) = χi (p0 , u0 )
Demonstração: Pelo teorema do envelope,
∂i e(p, u) = ∂i max L (x,µ) = χi (p, u).
Propriedades da Demanda Hicksiana
I A curva de demanda de Hicks é não-positivamente inclinada;
i.e.,
0 ≥ ∂i χi (p, u)
Demonstração 1: Pelo lema de Shephard, ∂i e(p, u) = χi (p, u).
Diferenciando mais uma vez, tem-se
∂ii2 e(p, u) = ∂i χi (p, u).
Mas ∂ii2 e(p, u) é não-positiva devido à concavidade da função
gasto.
Demonstração 2: Considere duas cestas, x1 e x2 que minimizam
os gastos para preços p1 e p2 , respectivamente
e que geram a
1
2
mesma utilidade, i.e. u x = u x . Neste caso, tem-se:
p1 x1 ≤ p1 x2
p1 x1 − x2 ≤ 0
⇒ 2 1
p2 x2 ≤ p2 x1
p x − x2 ≥ 0
Logo,
p1 − p2
Ou, dxdp ≤ 0.
x1 − x2 ≤ 0
I
A matriz de substituição (de Hicks) é negativa semi-definida.
Demonstração: σ(p, u) é igual
definição, σ(p, u) ≡

∂1 χ1 (p, u) ... ∂n χ1 (p, u)

..

.
...
....
∂1 χn (p, u)
...
∂n χn (p, u)
à Hessiana da função gasto. Por

2 e(p, u)
∂11
 
=
...
2 e(p, u)
∂n1

...
..
.
...
2 e(p, u)
∂1n


.
....
2
∂nn e(p, u)
Simetria: σ(p, u) é simétrica, i.e.,
∂j χi (p, u) = ∂i χj (p, u)
Demonstração: Pelo lema de Shephard,
2
2
∂j χi (p, u) = ∂ij
e(p, u) = ∂ji
e(p, u) = ∂i χj (p, u),
onde a segunda igualdade é devida ao teorema de Young.
Simetria: σ(p, u) é simétrica, i.e.,
∂j χi (p, u) = ∂i χj (p, u)
Demonstração: Pelo lema de Shephard,
2
2
∂j χi (p, u) = ∂ij
e(p, u) = ∂ji
e(p, u) = ∂i χj (p, u),
onde a segunda igualdade é devida ao teorema de Young.
Homogeneidade: Para todo (p, u) e todo t > 0,
χi (tp, u) = χi (p, u)
Demonstração: Trivial.
Problemas Duais
problema A
maxx∈Rn+ u (x)
sujeito à y ≥ px
e
problema B
minx∈Rn+ px
sujeito à u (x) ≥ u
Problemas Duais
problema A
maxx∈Rn+ u (x)
sujeito à y ≥ px
e
problema B
minx∈Rn+ px
sujeito à u (x) ≥ u
Se u (x) é contínua e estritamente crescente em Rn+ , p 0,
y > 0, u ∈ U, então
e(p, v(p, y)) = y, e
v(p, e(p, u)) = u.
Além disso, se u (x) é contínua, estritamente crescente e
estritamente quase-côncava em Rn+ , então para p 0, y > 0,
u ∈ U,
xi (p, y) = χi (p, v(p, y)) ∀i
χi (p, u) = xi (p, e(p, u)) ∀i.
Equação de Slutsky
∂j xi (p, y) = ∂j χi (p, u∗ ) − ∂y xi (p, y)xj (p, y)
{z
}
| {z }
|
| {z }
efeito-preço
efeito-substituição
efeito-renda
Demonstração: Vimos que
χi (p, u) ≡ xi (p, e(p, u))
Como identidade, podemos diferenciar com relação a pj ,
∂j χi (p, u) = ∂j xi (p, e(p, u)) + ∂y xi (p, e(p, u))∂j e(p, u)
= ∂j xi (p, e(p, u)) + ∂y xi (p, e(p, u))xj (p, y),
onde a última igualdade é conseqüência do lema de Shephard.
Demonstração da última propriedade da demanda
marshalliana:
É suficiente notar que s(p, y) = σ(p, u), ou seja a matriz cujas
entradas são dadas por ∂xi /∂pj + xj (∂xi /∂y) é a matriz
jacobiana das demandas compensadas que é simétrica e negativa
semi-definida por ser igual à matriz hessiana da função despesa.
Equação de Slutsky usando Elasticidades
∂j xi (p, y) = ∂j χi (p, u∗ ) − xj (p, y)∂y xi (p, y),
o que implica em
pj
pj
y xj (p, y)pj
∂j xi (p, y) = ∂j χi (p, u∗ ) − ∂y xi (p, y)
xi
xi
xi
y
|
{z
} |
{z
} |
{z
} | {z }
εij
ε̂ij
εij = ε̂ij − ηi wj
ηi
wj
Medidas de Variação de Bem-estar
A variação da utilidade quando os preços passam de p0 para p1 é
v p1 , y − v p0 , y .
Medidas de Variação de Bem-estar
A variação da utilidade quando os preços passam de p0 para p1 é
v p1 , y − v p0 , y .
Caso 1: Somente um preço variou; o preço do bem i, pi .
ˆ
p1
v p1 , y − v p0 , y =
∂i v (p, y) dpi .
p0
ˆ
p1
v p1 , y − v p0 , y = −
∂y v (p, y) xi (p, y) dpi
p0
Suponhamos, ∂v (p, y) /∂y constante. Neste caso,
−
1
∂y v (p, y)
ˆ
ˆ
p1
p1
∂i v (p, y) dpi =
p0
xi (p, y) dpi
p0
Ou seja, a variação no bem estar é proporcional à variação na área
abaixo da curva de demanda que chamamos de excedente do
consumidor.
A variação compensatória CV dessa mudança de preço é definida
por
v p1 , y + CV = v p0 , y
Podemos expressar CV também através das funções gasto:
e p1 , v p0 , y = e p1 , v p1 , y + CV =⇒ CV = e p1 , v p0 , y −y
Também é verdade que y = e p0 , v p0 , y , portanto temos que
CV = e p1 , v 0 − e p0 , v 0
Pelo lema de Shephard,
CV = e p1 , v 0 − e p0 , v 0
ˆ p1
ˆ p1
dp
dp
=
∂p e p, v 0
dt =
χ p, v 0
dt
dt
dt
p0
p0
CV é igual à integral de linha debaixo da demanda hicksiana entre
p0 e p1 .
A variação equivalente , EV é
v p1 , y = v p0 , y − EV
Ou seja,
e p0 , v p1 , y
=⇒ EV = y−e p0 , v p1 , y
Analogamente à variação compensatória, sendo v 1 ≡ v p1 , y ,
temos
EV = e p1 , v 1 − e p0 , v 1 .
= e p0 , v p0 , y − EV
.
Em função das demandas hicksianas,
EV = e p1 , v 1 − e p0 , v 1
ˆ p1
ˆ p1
dp
dp
=
∂p e p, v 1
dt =
χ p, v 1
dt
dt
dt
p0
p0
EV é igual à integral de linha em baixo da demanda hicksiana
entre p0 e p1 .