Capítulo 29 - Indução Eletromagnética

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Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: Fı́sica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
28 de fevereiro de 2012
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação de
fluxo magnético através da espira.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação de
fluxo magnético através da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação de
fluxo magnético através da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um
campo magnético.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação de
fluxo magnético através da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um
campo magnético.
I Como uma variação no fluxo magnético gera um campo elétrico que é muito
diferente daquele produzido por uma combinação de cargas.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Sobre a evidência empı́rica de que a variação de um campo magnético induz
uma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação de
fluxo magnético através da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um
campo magnético.
I Como uma variação no fluxo magnético gera um campo elétrico que é muito
diferente daquele produzido por uma combinação de cargas.
I As quatro equações fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversão de energia?
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversão de energia?
I Qual é a fı́sica envolvida na produção de quase toda energia que consumimos?
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversão de energia?
I Qual é a fı́sica envolvida na produção de quase toda energia que consumimos?
A resposta é um fenômeno chamado indução eletromagnética:
I Quando o fluxo magnético varia através de um circuito, ocorre a indução de
uma fem e de uma corrente no circuito.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversão de energia?
I Qual é a fı́sica envolvida na produção de quase toda energia que consumimos?
A resposta é um fenômeno chamado indução eletromagnética:
I Quando o fluxo magnético varia através de um circuito, ocorre a indução de
uma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magnético que varia em função do tempo pode atuar como uma
~
~ (t)].
fonte de campo elétrico [B(t)
→E
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Introdução
Uma usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de
energia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroelétrica.
I Energia quı́mica em uma usina termoelétrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversão de energia?
I Qual é a fı́sica envolvida na produção de quase toda energia que consumimos?
A resposta é um fenômeno chamado indução eletromagnética:
I Quando o fluxo magnético varia através de um circuito, ocorre a indução de
uma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magnético que varia em função do tempo pode atuar como uma
~
~ (t)].
fonte de campo elétrico [B(t)
→E
I Um campo elétrico que varia em função do tempo pode atuar como uma fonte
~ (t) → B(t)].
~
de campo magnético [E
~
~ (t).
I Ou seja, B(t)
E
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
~ 6= 0, induz corrente no galvanômetro.
I Se d B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
~ 6= 0, induz corrente no galvanômetro.
I Se d B
I Se mudamos a área da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
~ 6= 0, induz corrente no galvanômetro.
I Se d B
I Se mudamos a área da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanômetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
~ 6= 0, induz corrente no galvanômetro.
I Se d B
I Se mudamos a área da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanômetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanômetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Experiências de Indução
I Um ı́mã em repouso não induz corrente no
galvanômetro.
I Um ı́mã em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Uma segunda bobina que transporta corrente
em movimento induz corrente no
galvanômetro.
I Variando a corrente na segunda bobina induz
corrente no galvanômetro.
~ = 0 ou B
~ = Constante, não induz
I Se B
corrente no galvanômetro.
~ 6= 0, induz corrente no galvanômetro.
I Se d B
I Se mudamos a área da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanômetro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanômetro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanômetro.
I Quanto mais rápido fazemos os experimentos acima, maior é a indução de
corrente no galvanômetro.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
I O fluxo total em uma determinada área é
R
R
~ · dA
~ = BdA cos φ.
dada por, ΦB = B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
I O fluxo total em uma determinada área é
R
R
~ · dA
~ = BdA cos φ.
dada por, ΦB = B
I A fem induzida em uma espira fechada é
dada pela taxa de variação do fluxo
magnético, com o sinal negativo, através da
área delimitada pela espira.
ε
=
−N
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
I O fluxo total em uma determinada área é
R
R
~ · dA
~ = BdA cos φ.
dada por, ΦB = B
I A fem induzida em uma espira fechada é
dada pela taxa de variação do fluxo
magnético, com o sinal negativo, através da
área delimitada pela espira.
ε
=
−N
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
I O fluxo total em uma determinada área é
R
R
~ · dA
~ = BdA cos φ.
dada por, ΦB = B
I A fem induzida em uma espira fechada é
dada pela taxa de variação do fluxo
magnético, com o sinal negativo, através da
área delimitada pela espira.
ε
=
−N
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Faraday
I O fenômeno comum em todos os efeitos de
indução é a variação do fluxo magnético
através de um circuito.
~
I Para um elemento de área infinitesimal d A
~ o elemento de
em um campo magnético B,
fluxo magnético é dado por:
~ · dA
~ = B⊥ dA = BdA cos φ
I dΦB = B
I O fluxo total em uma determinada área é
R
R
~ · dA
~ = BdA cos φ.
dada por, ΦB = B
I A fem induzida em uma espira fechada é
dada pela taxa de variação do fluxo
magnético, com o sinal negativo, através da
área delimitada pela espira.
ε
=
−N
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de indução
magnética é tal que ele se opõe à causa que
produz o efeito.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de indução
magnética é tal que ele se opõe à causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magnético varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magnético.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de indução
magnética é tal que ele se opõe à causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magnético varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magnético.
I No interior da área limitada pelo circuito,
esse campo é oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de indução
magnética é tal que ele se opõe à causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magnético varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magnético.
I No interior da área limitada pelo circuito,
esse campo é oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da área limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de indução
magnética é tal que ele se opõe à causa que
produz o efeito.
I Quando o fluxo magnético varia em um
circuito em repouso, a propria corrente
induzida produz um campo magnético.
I No interior da área limitada pelo circuito,
esse campo é oposto ao campo original
quando ele estiver crescendo.
I No interior da área limitada pelo circuito,
esse campo possui o mesmo sentido do
campo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opõe à variação do
fluxo magnético através do circuito (e não ao
proprio fluxo).
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
I Calcule a fem induzida.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB
=
BA cos(φ) = BA cos(ωt)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB
dΦB
dt
=
BA cos(φ) = BA cos(ωt)
=
−BAω sin(ωt)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB
dΦB
dt
=
BA cos(φ) = BA cos(ωt)
=
−BAω sin(ωt)
ε
=
−N
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versão simples de um alternador é uma
bobina quadrada que gira com velocidade
angular ω.
~ é uniforme e
I No instante t = 0 , φ = 0 e B
constante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB
dΦB
dt
=
BA cos(φ) = BA cos(ωt)
=
−BAω sin(ωt)
ε
=
−N
ε
=
dΦB
dt
NBAω sin(ωt)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
|ε|
=
NBAω| sin(ωt)|
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
|ε|
=
NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida média é encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor médio.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
|ε|
=
NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida média é encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor médio.
Z T /2
1
sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =
T /2 0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
|ε|
=
NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida média é encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor médio.
Z T /2
1
sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =
T /2 0
Z π/ω
1
2
(| sin(ωt)|)med =
sin(ωt)dt =
π/ω 0
π
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante ao
alternador construiremos um gerador de
corrente continua(CC) com fem sempre com
o mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida será,
|ε|
=
NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida média é encontrada
substituindo | sin(ωt)| por seu valor médio.
Z T /2
1
(| sin(ωt)|)med =
sin(ωt)dt
T /2 0
Z π/ω
1
2
(| sin(ωt)|)med =
sin(ωt)dt =
π/ω 0
π
2NBAω
πεmed
εmed =
ou ω =
π
2NBA
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
=
BdA = BLvdt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
ε
=
−N
dΦB
= −BLv
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
ε
=
−N
I
=
dΦB
= −BLv
dt
|ε|
BLv
=
R
R
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
ε
=
−N
I
=
Potdiss
=
dΦB
= −BLv
dt
|ε|
BLv
=
R
R
B 2 L2 v 2
2
I R=
R
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
ε
=
I
=
Potdiss
=
~
F
=
dΦB
= −BLv
dt
|ε|
BLv
=
R
R
B 2 L2 v 2
2
I R=
R
~ ⇒ F = ILB
I~L × B
−N
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U está imerso em
~ que é uniforme e constante.
B
I Uma haste de tamanho L é puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB
dΦB
dt
=
BdA = BLvdt
=
BLv
ε
=
−N
I
=
Potdiss
=
~
F
=
Potdiss
=
dΦB
= −BLv
dt
|ε|
BLv
=
R
R
2 L2 v 2
B
I2 R =
R
~ ⇒ F = ILB
I~L × B
BLv
B 2 L2 v 2
Fv = ILBv =
LBv =
R
R
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magnético as cargas sofrem uma força
magnética dada por,
~ M = q~v × B
~ ⇒ FM = qvB.
F
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magnético as cargas sofrem uma força
magnética dada por,
~ M = q~v × B
~ ⇒ FM = qvB.
F
I Esta força criará uma separação de cargas
criado assim uma força elétrica dada por:
~E = qE
~ ⇒ FE = qE
F
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magnético as cargas sofrem uma força
magnética dada por,
~ M = q~v × B
~ ⇒ FM = qvB.
F
I Esta força criará uma separação de cargas
criado assim uma força elétrica dada por:
~E = qE
~ ⇒ FE = qE
F
I No equilı́brio FM = FE , assim E = vB
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magnético as cargas sofrem uma força
magnética dada por,
~ M = q~v × B
~ ⇒ FM = qvB.
F
I Esta força criará uma separação de cargas
criado assim uma força elétrica dada por:
~E = qE
~ ⇒ FE = qE
F
I No equilı́brio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferença de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campo
magnético as cargas sofrem uma força
magnética dada por,
~ M = q~v × B
~ ⇒ FM = qvB.
F
I Esta força criará uma separação de cargas
criado assim uma força elétrica dada por:
~E = qE
~ ⇒ FE = qE
F
I No equilı́brio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com
~v , aparece uma diferença de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:
Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
~
q~v × B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
qdε
=
~ · d~l
(q~v × B)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
qdε
=
dε
=
~ · d~l
(q~v × B)
~
(~v × B) · d~l
=
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~
~
F · dl
dW
=
qdε
qdε
=
dε
=
ε
=
~ · d~l
(q~v × B)
~
(~v × B) · d~l
I
~ · d~l
(~v × B)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
qdε
=
dε
=
ε
=
~ · d~l
(q~v × B)
~
(~v × B) · d~l
I
~ · d~l
(~v × B)
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
qdε
=
dε
=
ε
=
~ · d~l
(q~v × B)
~
(~v × B) · d~l
I
~ · d~l
(~v × B)
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
dε
=
~ · d~l = vBr̂ · d~l = ωrBdr
(~v × B)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~
F
=
dW
=
~
q~v × B
~ · d~l
F
dW
=
qdε
qdε
=
dε
=
ε
=
~ · d~l
(q~v × B)
~
(~v × B) · d~l
I
~ · d~l
(~v × B)
Considere um disco que gira com velocidade
angular ω contante. Calcule a fem.
dε
=
ε
=
~ · d~l = vBr̂ · d~l = ωrBdr
(~v × B)
Z R
1
ωBrdr = ωBR 2
2
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ gerado por um solenóide com n
O campo B
espiras por unidade de comprimento
transportando uma corrente I é dado por,
B
=
µ0 nI
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ gerado por um solenóide com n
O campo B
espiras por unidade de comprimento
transportando uma corrente I é dado por,
B
=
µ0 nI
~ tomada
O fluxo magnético na espira com área A
~ será,
na mesma direção e sentido de B
ΦB
=
~ ·A
~ = BA = µ0 nIA
B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ tomada
O fluxo magnético na espira com área A
~ será,
na mesma direção e sentido de B
ΦB
=
~ ·A
~ = BA = µ0 nIA
B
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida será,
dI
dΦB
= −µ0 nA
ε = −
dt
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ tomada
O fluxo magnético na espira com área A
~ será,
na mesma direção e sentido de B
ΦB
=
~ ·A
~ = BA = µ0 nIA
B
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida será,
dI
dΦB
= −µ0 nA
ε = −
dt
dt
Dado a resistência R, da bobina então a corrente
0
induzida I , será:
I
0
=
ε
µ0 nA dI
=−
R
R dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ tomada
O fluxo magnético na espira com área A
~ será,
na mesma direção e sentido de B
ΦB
=
~ ·A
~ = BA = µ0 nIA
B
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida será,
dI
dΦB
= −µ0 nA
ε = −
dt
dt
Dado a resistência R, da bobina então a corrente
0
induzida I , será:
I
0
=
ε
µ0 nA dI
=−
R
R dt
I Qual a força que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
~ tomada
O fluxo magnético na espira com área A
~ será,
na mesma direção e sentido de B
ΦB
=
~ ·A
~ = BA = µ0 nIA
B
Quando a corrente variar no tempo a fem
induzida será,
dI
dΦB
= −µ0 nA
ε = −
dt
dt
Dado a resistência R, da bobina então a corrente
0
induzida I , será:
I
0
=
ε
µ0 nA dI
=−
R
R dt
I Qual a força que atua sobre as cargas
obrigando-as a se mover ao longo do
circuito?
I Somos forçados a concluir que se trata de
um campo elétrico induzido no condutor
produzido pela variação do fluxo magnético.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
H
~ · d~l = qε.
W =q E
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
H
~ · d~l = qε.
W =q E
I Logo o campo elétrico induzido não é
conservativo, porque a integral de linha do
campo elétrico em um circuito fechada não
é igual a zero.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
H
~ · d~l = qε.
W =q E
I Logo o campo elétrico induzido não é
conservativo, porque a integral de linha do
campo elétrico em um circuito fechada não
é igual a zero.
I No entanto é igual a,
I
~ · d~l
ε =
E
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
H
~ · d~l = qε.
W =q E
I Logo o campo elétrico induzido não é
conservativo, porque a integral de linha do
campo elétrico em um circuito fechada não
é igual a zero.
I No entanto é igual a,
I
~ · d~l
ε =
E
ε
=
−
dΦB
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta o
H
~ · d~l = qε.
W =q E
I Logo o campo elétrico induzido não é
conservativo, porque a integral de linha do
campo elétrico em um circuito fechada não
é igual a zero.
I No entanto é igual a,
I
I
ε
=
ε
=
~ · d~l
E
=
~ · d~l
E
dΦB
dt
dΦB
−
dt
−
Válida somente quando o percurso utilizado na
integração permanece constante.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I
I
ε
=
ε
=
~ · d~l
E
=
~ · d~l
E
dΦB
dt
dΦB
−
dt
−
Válida somente quando o percurso utilizado na
integração permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,
I
Z
~ ) · dA
~
~ · d~l =
E
(∇ × E
S
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I
I
ε
=
ε
=
~ · d~l
E
=
~ · d~l
E
dΦB
dt
dΦB
−
dt
−
Válida somente quando o percurso utilizado na
integração permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,
I
Z
~ · d~l =
~ ) · dA
~
E
(∇ × E
S
dΦB
−
dt
Z
=
(−
S
~
∂B
~
) · dA
∂t
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Campos Elétricos Induzidos
I
I
ε
=
ε
=
~ · d~l
E
=
~ · d~l
E
dΦB
dt
dΦB
−
dt
−
Válida somente quando o percurso utilizado na
integração permanece constante.
• Do teorema de Stokes temos que,
I
Z
~ · d~l =
~ ) · dA
~
E
(∇ × E
S
Z
dΦB
−
dt
=
~
∇×E
=
(−
S
−
~
∂B
∂t
~
∂B
~
) · dA
∂t
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
I Os setores Oa e Oc não estão no campo
magnético.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
I Os setores Oa e Oc não estão no campo
magnético.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
I Os setores Oa e Oc não estão no campo
magnético.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicação:
I Detectores de metais.
I Freios magnéticos.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
I Os setores Oa e Oc não estão no campo
magnético.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicação:
I Detectores de metais.
I Freios magnéticos.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca através do campo
magnético e possui uma fem induzida
através dele.
I Os setores Oa e Oc não estão no campo
magnético.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicação:
I Detectores de metais.
I Freios magnéticos.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de condução ic
de uma placa para outra. A carga Q
~ entre as
aumenta e o campo elétrico E
placas aumenta.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de condução ic
de uma placa para outra. A carga Q
~ entre as
aumenta e o campo elétrico E
placas aumenta.
I Da superfı́cie plana vemos que:
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de condução ic
de uma placa para outra. A carga Q
~ entre as
aumenta e o campo elétrico E
placas aumenta.
I Da superfı́cie plana vemos que:
I
~ · d~l
B
=
µ0 ic
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I A lei de Ampere: equação está incompleta!
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de condução ic
de uma placa para outra. A carga Q
~ entre as
aumenta e o campo elétrico E
placas aumenta.
I Da superfı́cie plana vemos que:
I Da superfı́cie projetada vemos que:
I
I
~ · d~l
B
=
µ0 ic
~ · d~l
B
=
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Generalização da Lei de Ampère
I Considere o processo de carga de um
capacitor.
I Fios conduzem uma corrente de condução ic
de uma placa para outra. A carga Q
~ entre as
aumenta e o campo elétrico E
placas aumenta.
I Da superfı́cie plana vemos que:
I Da superfı́cie projetada vemos que:
I Algo está errado, pois o caminho fechado é
o mesmo!I
I
~ · d~l
B
=
µ0 ic
~ · d~l
B
=
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
Cv (t)
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
C
=
Cv (t)
0 A
d
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
C
=
v (t)
=
Cv (t)
0 A
d
E (t)d
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
C
=
v (t)
=
q(t)
=
Cv (t)
0 A
d
E (t)d
0 A
dE (t) = 0 AE (t)
d
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
C
=
v (t)
=
q(t)
=
q(t)
=
ic (t)
=
Cv (t)
0 A
d
E (t)d
0 A
dE (t) = 0 AE (t)
d
0 ΦE (t)
dq(t)
dΦE (t)
= 0
dt
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Na superfı́cie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo elétrico ΦE que
atravessa essa superfı́cie aumenta.
q(t)
=
C
=
v (t)
=
q(t)
=
q(t)
=
ic (t)
=
Cv (t)
0 A
d
E (t)d
0 A
dE (t) = 0 AE (t)
d
0 ΦE (t)
dq(t)
dΦE (t)
= 0
dt
dt
I Definiremos que existe uma corrente na
região entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
dΦE (t)
iD (t) = 0
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
região entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
dΦE (t)
iD (t) = 0
dt
I A lei de Ampere se tornará:
I
~ · d~l = µ0 (ic + iD )lig
B
I
~ · d~l = µ0 ic + 0 dΦE
B
dt
liq
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
região entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
dΦE (t)
iD (t) = 0
dt
I A lei de Ampere se tornará:
I
~ · d~l = µ0 (ic + iD )lig
B
I
~ · d~l = µ0 ic + 0 dΦE
B
dt
liq
I Podemos definir uma densidade de corrente
de deslocamento ~JD por:
!
Z
Z
~
dE
~ =
~
~JD · d A
iD =
0
· dA
dt
~JD
=
0
~
dE
dt
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 jD A
B
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 jD A
B
2πrB
=
µ0
ic
πr 2
πR 2
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 jD A
B
2πrB
=
B
=
ic
πr 2
πR 2
µ0 r
ic , se
2π R 2
µ0
r <R
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 jD A
B
2πrB
=
B
=
B
=
ic
πr 2
πR 2
µ0 r
ic , se r < R
2π R 2
µ0 ic
, se r ≥ R
2π R
µ0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulo
de raio r < R dentro do capacitor termos:
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 jD A
B
2πrB
=
B
=
B
=
ic
πr 2
πR 2
µ0 r
ic , se r < R
2π R 2
µ0 ic
, se r ≥ R
2π R
µ0
I Esse resultado é confirmado
experimentalmente.
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Equações de Maxwell para o Eletromagnetismo
I
~f · d A
~
Z
=
(∇ · ~f )dV
I
;
Z
Q
I
~ · dA
~
E
=
=
Z
ρdV
QLig
0
;
I=
~f · d~l =
~
~J · d A
;
Z
~
(∇ × ~f ) · d A
Z
~
Φf = ~f · d A
~
∇·E
=
ρ
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Equações de Maxwell para o Eletromagnetismo
I
~f · d A
~
Z
=
(∇ · ~f )dV
I
;
Z
Q
I
I
=
Z
ρdV
~ · dA
~
E
=
QLig
0
~ · dA
~
B
=
0
;
I=
~f · d~l =
~
~J · d A
;
Z
~
(∇ × ~f ) · d A
Z
~
Φf = ~f · d A
~
∇·E
=
ρ
0
~
∇·B
=
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Equações de Maxwell para o Eletromagnetismo
I
Z
~f · d A
~
=
(∇ · ~f )dV
I
;
Z
Q
I
I
I
=
Z
ρdV
~ · dA
~
E
=
QLig
0
~ · dA
~
B
=
0
=
dΦB
−
dt
~ · d~l
E
;
I=
~f · d~l =
~
~J · d A
;
Z
~
(∇ × ~f ) · d A
Z
~
Φf = ~f · d A
~
∇·E
=
ρ
0
~
∇·B
=
0
~
∇×E
=
−
~
∂B
∂t
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
Equações de Maxwell para o Eletromagnetismo
I
~f · d A
~
Z
=
(∇ · ~f )dV
I
;
Z
Q
I
I
I
I
~ · dA
~
E
=
QLig
0
~ · dA
~
B
=
0
~ · d~l
E
~ · d~l
B
=
=
=
Z
ρdV
;
dΦB
−
dt
dΦE
µ0 Ic + 0
dt
liq
I=
~f · d~l =
~
~J · d A
;
Z
~
(∇ × ~f ) · d A
Z
~
Φf = ~f · d A
~
∇·E
=
ρ
0
~
∇·B
=
0
~
∇×E
=
−
~
∇×B
=
µ0~Jc + µ0 0
~
∂B
∂t
~
∂E
∂t
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnética
I No vácuo, não existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
~
∇·E
=
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnética
I No vácuo, não existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
~)
∇ × (∇ × E
~
∇ × (∇ × B)
=
=
~ ) − ∇2 E
~ = −∇2 E
~
∇(∇ · E
2~
2~
~
∇(∇ · B) − ∇ B = −∇ B
~
∇·E
=
0
~
∇·B
=
0
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnética
I No vácuo, não existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
~)
∇ × (∇ × E
~
∇ × (∇ × B)
=
~)
∇ × (∇ × E
=
~
∇ × (∇ × B)
=
=
~ ) − ∇2 E
~ = −∇2 E
~
∇(∇ · E
2
2
~ −∇ B
~ = −∇ B
~
∇(∇ · B)
~
~
∂B
∂(∇ × B)
∇ × (−
)=−
∂t
∂t
~
~)
∂E
∂(∇ × E
∇ × (µ0 0
) = µ0 0
∂t
∂t
~
∇·E
~
∇·B
=
0
=
0
~
∇×E
=
−
~
∂B
∂t
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnética
I No vácuo, não existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
~)
∇ × (∇ × E
~
∇ × (∇ × B)
=
~)
∇ × (∇ × E
=
~
∇ × (∇ × B)
=
~)
∇ × (∇ × E
=
~
∇ × (∇ × B)
=
=
~ ) − ∇2 E
~ = −∇2 E
~
∇(∇ · E
2~
2~
~
∇(∇ · B) − ∇ B = −∇ B
~
~
∂(∇ × B)
∂B
∇ × (−
)=−
∂t
∂t
~
~)
∂E
∂(∇ × E
∇ × (µ0 0
) = µ0 0
∂t
∂t
~
∂2E
−µ0 0 2
∂t
~
∂2B
−µ0 0 2
∂t
~
∇·E
=
0
~
∇·B
=
0
~
∇×E
=
~
∇×B
=
~
∂B
∂t
~
∂E
µ0 0
∂t
−
Capı́tulo 29 - Indução Eletromagnética
Corrente de deslocamento e equações de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnética
I No vácuo, não existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
~)
∇ × (∇ × E
~
∇ × (∇ × B)
=
~)
∇ × (∇ × E
=
~
∇ × (∇ × B)
=
~)
∇ × (∇ × E
=
=
~
∇ × (∇ × B)
=
~
− ∇2 E
=
~
− ∇2 B
=
~ ) − ∇2 E
~ = −∇2 E
~
∇(∇ · E
2
2
~ −∇ B
~ = −∇ B
~
∇(∇ · B)
~
~
∂B
∂(∇ × B)
∇ × (−
)=−
∂t
∂t
~
~)
∂E
∂(∇ × E
∇ × (µ0 0
) = µ0 0
∂t
∂t
~
∂2E
−µ0 0 2
∂t
~
∂2B
−µ0 0 2
∂t
~
∂2E
−µ0 0 2
∂t
~
∂2B
−µ0 0 2
∂t
~
∇·E
~
∇·B
=
0
=
0
~
∇×E
=
~
∇×B
=
~
∂B
∂t
~
∂E
µ0 0
∂t
−
1 ∂ 2 y (x, t)
∂ 2 y (x, t)
= 2
2
∂x
v
∂t 2
Equação de Onda