Matemática Básica

Matemática Básica
Introdução / Operações matemáticas básicas
01
1. Softwares que podem ser úteis no estudo da disciplina:
Geogebra– gratuito, possui versões para windows e linux – disponível
em http://www.geogebra.org
wxMaxima – gratuito, possui versões para windows e linux – disponível em wxmaxima.sourceforge.net
Maple – http://www.maplesoft.com/
Graphmatica – possui versão gratuita para windows e para Mac.
http://www.graphmatica.com/
2. Bibliografia
BÁSICA:
1. IEZZI, Gelson (Et Al) - Fundamentos de Matemática Elementar Vol. I, Conjuntos e Funções e Trigonometria Vol. III, São Paulo. Ed. Atual, 1985
2. BONJORNO & GIOVANI – Matemática Fundamental Vol. I, São Paulo, Ed. FTD - 1994
COMPLEMENTAR:
1. NETO, Aref Antar - Matemática Básica, São Paulo, Ed. Atual, 1995
2. FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, Cálculo A, Ed. Makron Books, São Paulo, 1992.
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3. Números importantes
O valor de π (Pi)
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1b.html
Pi, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante
matemática que se conhece. Apesar dessa antiguidade, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas;
com efeito, Pi é um dos poucos objetos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, que ainda continua sendo pesquisado. A maior parte dessas pesquisas centram-se no estudo das propriedades
de Pi e na invenção de novos métodos para calcular seu valor.
Pi é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
O valor de π determinado no software Maple (maplesoft.com):
> evalf(Pi, 75);
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640629
O valor de e
Na matemática, número de Euler, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler,
é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência
à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John
Napier. É definido como:
1
e = lim ( 1 + h) h
h→0
ou
1
e = lim 1 +
h
h→∞
(
h
)
O valor de e determinado no software Maple (maplesoft.com):
> evalf(exp(1), 75);
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724077
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4. As operações fundamentais
Operação
Descrição
Propriedades
Associativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro:
Adição
a +0=a
Comutativa:
(a + b) = (b + a)
Associativa: não possui !
(a − b) − c ≠ a − (b − c)
Elemento neutro:
a−0=a
Subtração
Comutativa: não possui !
(a − b) ≠ (b − a)
Associativa:
(a × b) × c = a × (b × c)
Elemento neutro:
a×1= a
Multiplicação
Comutativa:
(a × b) = (b × a)
Distributiva:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Associativa: não possui !
(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)
Elemento neutro:
Divisão
a÷ 1= a
Comutativa: não possui !
(a ÷ b) ≠ (b ÷ a)
Nota importante:
A divisão por zero é indeterminada (não existe)! - a divisão por zero é uma indeterminação.
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5. Operações básicas – ordem de prioridade
Ordem de realização de operações matemáticas:
1. Em expressões nas quais aparecem sinais de reunião: ( ): parênteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é,
dos sinais interiores para os exteriores;
2. Operações potenciação e radiciação, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda
para a direita);
3. Operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda
para a direita);
4. e depois adições e subtrações, na ordem em que estas estiverem indicadas (da esquerda para a
direita);
Quando à frente do sinal da reunião (parênteses, colchetes ou chaves) eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Somas e subtrações algébricas:
•
Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
•
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior valor.
Multiplicação e divisão algébricas:
•
Sinais iguais: a resposta terá sinal positivo.
•
Sinais diferentes: a resposta terá sinal negativo.
6. Números primos
Um número natural ( n ∈ ℕ ) é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo.
Notas importantes:
•
O número 1, por definição, não é primo.
•
O número 2 é o único número primo que é par.
•
No conjunto dos números inteiros ( n ∈ ℤ ), n é um primo se ele tem exatamente quatro divisores distintos: ±1 e ±n .
(a) Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado no exemplo a seguir:
Exemplo:
Determinação dos fatores primos do número 150:
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1. Escrever o número a ser decomposto;
2. Traçar uma linha vertical ao lado do número;
3. Determinar o menor número primo divisor do número à esquerda.
4. Escrever este divisor ao lado direito da linha vertical.
5. Efetuar a divisão (o número da esquerda dividido pelo divisor primo, à direita).
6. Anotar o quociente da divisão ao lado direito da linha vertical, abaixo do número
inicial.
7. Repetir o processo, desde o passo 3, até que o quociente da divisão seja igual a 1.
Com isso, determinamos que o número 150 é igual a:
2 × 3 × 52
(b) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Uma das formas para a determinação do m.m.c. de um conjunto de números dados, estes números são simultaneamente decompostos em seus fatores primos – o exemplo a seguir demonstra o processo.
O m.m.c. é usado para a homogenização dos denominadores de frações ordinárias (é uma forma de realizarmos operações de soma e subtração com estas frações).
Exemplo:
Determinar o m.m.c. entre 12, 16 e 45:
1. Escrever os números para os quais se quer determinar o
m.m.c., separados por vírgula.
2. Traçar uma reta vertical à direita do último número.
3. Determinar o menor número primo que seja divisor de
pelo menos um dos números iniciais.
4. Anotar este número primo ao lado direito da reta vertical.
5. Efetuar a divisão do(s) número(s) divisíveis pelo número
primo, indicando o resultado na linha inferior. Os números
não divisíveis pelo número primo são repetidos na linha
inferior.
6. Repetir o processo desde o passo 3 até que os números em
todas as colunas sejam iguais a 1.
7. Efetuar a multiplicação de todos os fatores determinados
(na coluna da direita).
O resultado desta multiplicação é o m.m.c. entre os número dados. No exemplo:
2 4 × 3 2 × 5 = 720
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(c) Máximo divisor comum (m.d.c.)
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos
divisores dos números. Uma das formas de cálculo do m.d.c. entre números dados é o uso da decomposição dos números em seus fatores primos:
Exemplo:
Determinar o m.d.c. entre 12, 18 e 36:
Fatorar os números dados:
12=2 × 2 × 3
18=2 × 3 × 3
36=2 × 2 × 3 × 3
Identificar os fatores comuns a todos os números dados:
2×3
Assim, o m.d.c. entre 12, 18 e 36 é (2 × 3) = 6
7. Operações com frações ordinárias
Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.
Uma fração é dita própria quando o numerador é menor do que o denominador:
Exemplos:
1 4 4
,
,
2 7 64
Uma fração é dita imprópria quando o numerador é MAIOR do que o denominador, sendo possível
representá-la como um número misto
Exemplos:
10
3
= 1
→ 10 ÷ 7 possui resto 3;
7
7
2
(2 × 2)+1
1
5
5
=
= 2,5 →
=
2
2
2
2
o uso de números mistos é muito comum quando são aplicadas unidades de medidas de comprimento do sistema inglês (polegadas).
IMPORTANTE: Quando se multiplica o numerador e o denominador de
uma fração pelo mesmo número, a fração não se altera.
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Soma algébrica de frações
Para se efetuar a soma algébrica de frações, as diversas parcelas devem ser reduzidas ao mesmo denominador (o m.m.c. entre os denominadores das parcelas) e os numeradores são somados. Para cada
parcela, o denominador e o numerador serão multiplicados pelo mesmo valor, o que mantém a fração
inalterada.
Exemplo:
para efetuar a soma algébrica
1 5
+ −1:
2 6
1) determinar o m.m.c. entre 2, 6 e 1 (calculando o m.m.c. conforme descrito acima): 6
2) reduzir todas as frações ao denominador comum:
3 5 6
+ −
6 6 6
=
3+5−6
6
( 12 )
Notar que: na primeira fração
=
2
6
=
1
3
, quando reduzimos ao denominador comum (que é
6), multiplicamos o denominador original (que é 2) por 3 – logo, o numerador (1) também
3
foi multiplicado por 3, assim, a fração passou a ser representada como . O mesmo pro6
cedimento foi usado na última parcela.
Após determinarmos o resultado
( 26 ) , calculamos o m.d.c. entre o numerador e o deno-
minador (encontramos 3) e dividimos numerador e denominador pelo m.d.c., encontrando
1
.
3
()
Multiplicação de frações
Para realizar a multiplicação de frações, multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre
si – a fração resultante é o produto procurado.
Exemplo:
( 2 × 7)
2
7
14
7
× =−
= −
= −
5
8
40
20
(5 × 8)
( )
−
Divisão de frações
Para realizar a divisão de frações, multiplicar a fração dividenda pelo inverso da fração divisora. Ver
exemplo.
Exemplo:
7
8
1
4
=
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(7 × 4)
7
1
7 4
28
7
÷
= × =
=
=
8
4
8 1
8
2
(8 × 1)
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8. Cálculo da área de algumas figuras planas
b×h
A =
2
h
A= (a+ b)
2
1 2
A= r θ
2
A = bh
s=r θ
θ em radianos
V =alp
Área superf =2al+ 2ap+ 2lp
π×d²
4
C = 2πr = πd
A = π r2 =
9. Exercícios
1. Colocar os valores em ordem crescente:
(a)
7
3 4 2
6 0 1
,− , , , − , , , 1
3
3 3 3
3 3 3
(b)
1 2 7
1
1
,
,
, − , − , −1, 1
3 5 4
3
2
2. Calcular o valor das expressões a seguir:
(a) 32 −24 ÷ 4 ÷ 2
(e) 100 −(40 −100 ÷ 4)+1
(b) 32 −24 ÷(4 ÷ 2)
(f) 100 −40 − 100 ÷(4+1)
(c) (32 − 24)÷ 4 ÷ 2
(g) 100 − 40−(100 ÷ 4)+1
(d) 100 −40 − 100 ÷ 4+1
(h) (100 − 40− 100)÷( 4+1)
3. Posicionar os parênteses de forma que as igualdades sejam verdadeiras:
(a) 33 −10 + 16 = 7
(c) 2 + 3 + 4 × 4 = 36
(b) 35 −22 − 20 −13 = 46
(d) 2 + 3 + 4 × 5 = 37
4. Decompor os números a seguir nos seus fatores primos:
(a) 125
(d) 2012
(b) 3150
(e) 1024
(c) 800
(f) 2187
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(g) 3125
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5. Calcular o valor das expressões a seguir (expressar os resultados em forma de frações simplificadas):
(a)
1 2
−
2 4
(e)
3 7 6
+ −
(b)
2 5 4
(c)
(d)
(1 − 12 ) +
1
3
1
2
3
4
1
5
(
1−
4
5
)
2
1 1 1
+ +
2 3 4
9
÷
+1
2 3
17
+
3 4
(
(f)
)
( 13 + 24 )÷ 12
6. Determinar o valor de y:
(a) 5(2 (7+ y )−8) = 100
(b) [(3,1 × 5, 2 −9, 12) ÷ 2+ y] × 4 − 2 = 18
7. Determinar o valor das expressões a seguir (onde possível, simplificar antes de usar a calculadora!):
(3,1)2 + 0,39
(a) 2
4 − 2 × 5,5
[( ) ]
1
1 2 1
−
÷
5
5
5
(f)
3
1−
2
( 14 ) −(− 1,1)
(b) (−8) −
2
(c) −3, 8 + (−6)5 ÷ 100 ÷ 4,8 + 20, 1
(d) [100,1 ÷ (− 0, 7)]3 ÷ 100 + 29200
(h) 0,310 × 0,3−5 × 0,37 ÷ 0,310
3
(e)
(7 × 5)20
719 ⋅(59 )2
(g)
( − 23 ) − ( − 12 ) + 35 ÷ 103
(i)
(j)
√ 3−2
√4 10−4
(k) −
√
16 2
1
+ +
25 5
2
3
( ) −8
8. Resolver os problemas envolvendo o cálculo de áreas:
(a) Um círculo dado possui área A e diâmetro d. Se dobrarmos o diâmetro deste
círculo, qual será a sua área.
(b) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do
comprimento (ver figura). A parte sombreada representa um jardim retangular
cuja largura é, também, 3/5 do comprimento. Determinar a razão entre a área
do jardim e a área total do terreno.
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(c) Dois lados opostos de um quadrilátero têm um aumento de 40% e os outros
dois lados opostos têm um decréscimo de 40%. Qual a variação percentual da
área deste quadrilátero?
(d) Deseja-se construir um recipiente fechado em forma de cilindro reto com área
lateral igual a 144 π m2 e altura de 12,0 m .
◦ Calcule o volume do recipiente.
◦ Supondo que o metro quadrado do material utilizado custa R $ 10,00 , calcule o valor gasto na construção do recipiente.
(e) Determinar a área correspondente à parte sombreada de cada uma das figuras a seguir (os arcos indicados são circunferências):
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