Mecânica Quântica CE Aguiar, 2014 Lista de Exercícios 4

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Programa de Pós-Graduação em Ensino De Física
Mestrado Profissional em Ensino de Física
Mecânica Quântica
C. E. Aguiar, 2014
Lista de Exercícios 4
1. Uma partícula de massa m e energia E, vinda de x < 0, incide sobre o “degrau de
potencial” V(x) dado por
0, 𝑥 <0
𝑉(𝑥) = {
𝑉0 , 𝑥 > 0
A energia da partícula é maior que a altura do degrau (E > V0), como mostrado no
diagrama da figura abaixo.
a) Descreva o movimento da partícula do ponto de vista da mecânica clássica.
Mostre que ela sempre passa à região com x > 0, ou seja, que é impossível
que ela seja refletida pelo degrau.
b) Mostre que a solução geral da equação de Schroedinger independente do
tempo para esse potencial é
𝐴 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐵 exp(−𝑖𝑘𝑥) , 𝑥 < 0
𝜓(𝑥) = {
𝐶 exp(𝑖𝑞𝑥) + 𝐷 exp(−𝑖𝑞𝑥) , 𝑥 > 0
e determine k e q (supostos positivos).
c) Mostre que D = 0, já que a partícula vem de x < 0.
d) Usando que a função de onda deve ser contínua e ter derivada contínua em
x = 0, calcule B/A e C/A.
e) Calcule a probabilidade de reflexão R = |B/A|2. Esboce um gráfico de R como
função de E. Compare o resultado com a previsão da mecânica clássica.
2. Uma partícula de massa m e energia E, vinda de x < 0, incide sobre o “degrau de
potencial” V(x) dado por
0, 𝑥 <0
𝑉(𝑥) = {
𝑉0 , 𝑥 > 0
A energia da partícula é menor que a altura do degrau (E < V0), como mostrado no
diagrama da figura abaixo.
a) Descreva o movimento da partícula do ponto de vista da mecânica clássica.
Mostre que ela é sempre refletida pelo degrau, e que é impossível que ela
penetre na região com x > 0.
b) Mostre que a solução geral da equação de Schroedinger independente do
tempo para esse potencial é
𝐴 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐵 exp(−𝑖𝑘𝑥) , 𝑥 < 0
𝜓(𝑥) = {
𝐶 exp(−𝑞𝑥) + 𝐷 exp(𝑞𝑥) , 𝑥 > 0
e determine k e q (supostos positivos).
c) Mostre que D = 0, apresentando o motivo para essa conclusão.
d) Usando que a função de onda deve ser contínua e ter derivada contínua em
x = 0, calcule B/A e C/A.
e) Calcule a probabilidade de reflexão R = |B/A|2. Esboce um gráfico de R como
função de E. Compare com a previsão da mecânica clássica.
f) Esboce o gráfico da densidade de probabilidade |𝜓(𝑥)|2 para E = V0/2.
Compare com a previsão da mecânica clássica.
3. Uma partícula de massa m e energia E, vinda de x < 0, incide sobre o “degrau de
potencial” V(x) dado por
0, 𝑥 <0
𝑉(𝑥) = {
−𝑉0 , 𝑥 > 0
A energia da partícula e o potencial V(x) estão mostrados no diagrama abaixo.
a) Descreva o movimento da partícula do ponto de vista da mecânica clássica.
Mostre que ela nunca é refletida pelo degrau, ou seja, sempre passa para a
região com x > 0.
b) Encontre a solução da equação de Schroedinger independente do tempo que
obedece às condições de contorno do problema
c) Calcule o coeficiente de reflexão R pelo degrau de potencial. Esboce um
gráfico de R como função de E. Compare o resultado com a previsão da
mecânica clássica.
4. Uma partícula de massa m e energia E, vinda de x < 0, incide sobre a “barreira de
potencial” V(x) dada por
0, 𝑥 <0
𝑉0 , 0 < 𝑥 < 𝑎
𝑉(𝑥) = {
0, 𝑥 >𝑎
A energia da partícula é menor que a altura da barreira (E < V0), como mostrado no
diagrama da figura abaixo.
a) Descreva o movimento da partícula do ponto de vista da mecânica clássica.
Mostre que ela é sempre refletida pela barreira, ou seja, que é impossível que
alcance a região com x > a.
b) Mostre que a solução geral da equação de Schroedinger independente do
tempo para esse potencial é
𝐴 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐵 exp(−𝑖𝑘𝑥) ,
𝑥<0
𝐹 exp(−𝑞𝑥) + 𝐺 exp(𝑞𝑥) ,
0<𝑥<𝑎
𝜓(𝑥) = {
𝐶 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐷 exp(−𝑖𝑘𝑥) ,
𝑥>𝑎
e determine k e q (supostos positivos).
c) Mostre que D = 0, apresentando o motivo para essa conclusão.
d) Usando que a função de onda deve ser contínua e ter derivada contínua em
x = 0 e x = a, mostre que
2
2
+𝑘
) sinh 𝑞𝑎
−𝑖 (𝑞2𝑞𝑘
𝐵
=
𝐴 cosh 𝑞𝑎 + 𝑖 (𝑞2 −𝑘 2 ) sinh 𝑞𝑎
2𝑞𝑘
e
𝐶
exp(−𝑖𝑘𝑎)
=
𝐴 cosh 𝑞𝑎 + 𝑖 (𝑞2 −𝑘 2 ) sinh 𝑞𝑎
2𝑞𝑘
e) Mostre que a probabilidade de transmissão pela barreira, T = |C/A|2 é dada
por
1
𝑇=
2
2
2
+𝑘
) sinh2 𝑞𝑎
1 + (𝑞2𝑞𝑘
Compare esse resultado com a previsão da mecânica clássica.
5. Uma partícula de massa m está dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
L e paredes impenetráveis. Essa situação pode ser representada pelo potencial
∞, 𝑥 <0
𝑉(𝑥) = { 0 , 0 < 𝑥 < 𝐿
∞, 𝐿 <𝑥
Devido ao confinamento pelas paredes, a função de onda deve ser zero fora da
caixa, ou seja, 𝜓(𝑥) = 0 se x < 0 ou x > L.
a) Resolva a equação de Schroedinger independente do tempo para 0 < x < L,
supondo que a função de onda é contínua em x = 0 e x = L, ou seja, que
𝜓(0) = 𝜓(𝐿) = 0. Encontre os autovalores da energia e as autofunções
(normalizadas) correspondentes.
b) Esboce gráficos das autofunções correspondentes às três primeiras energias e
das respectivas densidades de probabilidade.
c) Calcule os valores médios da posição e do momentum, < x > e < p >, nos
autoestados de energia.