a estatística e a probabilidade através das atividades

A ESTATÍSTICA E A PROBABILIDADE ATRAVÉS DAS ATIVIDADES
PROPOSTAS EM ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS BRASILEIROS
RECOMENDADOS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL1
Celi Aparecida Espasandin Lopes2
Universidade Estadual de Campinas
[email protected]
Regina Célia Carvalho Pinto Moran3
Universidade Estadual de Campinas
[email protected]
ABSTRACT: In this paper we present a synthesis of the analysis of books indicated for adoption
in Brazilian middle school (7 to 14 years) .Our aim is helping in the perception of the probability
and statistics that predominantly permeates ,via didactic textbooks, in basic schooling. The focus
of the analysis was on the divergence of the conceptions in the national proposal and that of the
textbooks. The most frequent misconceptions were pointed out. Also the lack of proper statistical
language. Furthermore, the stochastic intended abilities are not in general contemplated since the
activities emphasize calculus abilities. Though no specific activities are proposed, some conceptual
issues to be treated are rised.
KEY WORDS: didatic textbooks, stochastics, middle school.
1. INTRODUÇÃO
Embora saibamos que a problemática do livro didático no Brasil seja complexa, uma vez que
envolve a formação de professores, propostas curriculares (regionais) bastante distintas, questões
comerciais das editoras e mais recentemente as avaliações do Ministério de Educação e Cultura
(MEC), pensamos que um olhar cuidadoso sobre os livros didáticos recomendados para o ensino
fundamental, auxilia na percepção da concepção de ensino de probabilidade e estatística que
predomina em nossa escola básica.
Assim, procuramos sintetizar neste artigo um pouco da análise que realizamos em alguns desses
livros que foram indicados para adoção. Nosso objetivo foi observar as atividades propostas para o
ensino de probabilidade e estatística da 1ª a 8ª série do ensino fundamental (7 a 14 anos).
1
Artigo publicado nos anais da Conferência Internacional: Experiências e Perspectivas do Ensino da
Estatística – Desafios para o século XXI. (p. 167-174) Florianópolis, 20,21 e 22 de setembro de 1999.
2
Doutoranda da Área Temática “Educação Matemática” e membro do grupo de pesquisa PRAPEM – Prática
Pedagógica em Matemática da Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas.
3
Docente do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática , Estatística e Computação Científica da
Universidade Estadual de Campinas. Colaboradora na Área de “Educação Matemática”, FE/UNICAMP.
2
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais elaborados e publicados pela SEF/MEC,
esses temas estão recomendados no bloco de conteúdo “Tratamento da Informação” do currículo de
Matemática. Nesse bloco, além da probabilidade e da estatística inclui-se a combinatória,
considerando que tais assuntos possibilitam “o desenvolvimento de formas particulares de
pensamento e raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras,
fazendo
inferências e comunicando resultados por meio da linguagem estatística”. (BRASIL,1998:134)
Além dessa visão de ensino apontada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, consideramos
importante destacar os argumentos que têm sido evidenciados nas recentes pesquisas sobre o
ensino da Estocástica na Escola Básica, como os destacados por Cardeñoso e Azcárate (1995:41)
justificando a inclusão desse tema:
“- Seu interesse para a resolução de problemas relacionados com o mundo real e com
outras matérias do currículo.
Sua influência na tomada de decisões das pessoas quando dispõem somente de dados
afetados pela incerteza.
Seu domínio facilita a análise crítica da informação recebida através, por exemplo, dos
meios de comunicação.
Sua compreensão proporciona uma filosofia do azar de grande repercussão para a
compreensão do mundo atual.”
Assim, procuramos ao longo de nossa análise perceber as divergências de concepções de ensino de
probabilidade e de estatística existentes entre a proposta nacional e os livros didáticos, buscando
evidenciar questões mais preocupantes que levem os estudantes desse nível de ensino a adquirir
conceitos errôneos a respeito desses temas ou mesmo não acrescentar ao seu desenvolvimento mais
do que habilidades de cálculo.
2. A PROBABILIDADE E A ESTATÍSTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Os Parâmetros Curriculares Nacionais recomendam o trabalho com Estatística com a finalidade
de que o estudante construa procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados,
utilizando tabelas, gráficos e representações, e que seja capaz de descrever e interpretar sua
realidade, usando conhecimentos matemáticos.
Em relação à Probabilidade, consideram que esta pode promover a compreensão de grande parte
dos acontecimentos do cotidiano que são de natureza aleatória, possibilitando a identificação de
resultados possíveis desses acontecimentos. Destacam o acaso e a incerteza que se manifestam
intuitivamente, portanto cabendo à escola propor situações em que as crianças possam realizar
experimentos e fazer observações dos eventos.
3
Quanto à Combinatória, o objetivo é possibilitar ao aluno lidar com situações-problema que
envolvam diferentes tipos de agrupamentos e possibilitem a compreensão do princípio
multiplicativo da contagem.
Com esses objetivos, os PCN elencam seus conteúdos, destacando-se a leitura e interpretação de
informações contidas em imagens; a coleta e organização de informações; a interpretação e
elaboração de listas, tabelas simples, tabelas de dupla entrada e gráficos
para comunicar a
informação obtida; a produção de textos escritos a partir da interpretação de gráficos e tabelas; a
construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas em textos jornalísticos,
científicos ou outros; a obtenção e interpretação de média aritmética; a exploração da idéia de
probabilidade em situações-problema, identificando sucessos possíveis, sucessos certos e as
situações de “sorte”; a utilização de informações dadas para avaliar probabilidades; a identificação
das possíveis maneiras de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las, usando
estratégias pessoais.
Os Parâmetros indicam que a coleta, a organização e descrição de dados são procedimentos
utilizados com muita freqüência na resolução de problemas e estimulam as crianças a fazer
perguntas, estabelecer relações, construir justificativas e desenvolver o espírito de investigação.
Sugerem que, nos dois primeiros ciclos, desenvolvam-se atividades relacionadas a assuntos de
interesse dos estudantes, que se proponha observação de acontecimentos, que se promovam
situações para se fazer previsões, que algumas noções de probabilidade sejam desenvolvidas.
Ressaltam que se desenvolva o raciocínio estatístico e probabilístico através da exploração de
situações de aprendizagem que levem o aluno a coletar, organizar e analisar informações, formular
argumentos e fazer inferências convincentes, tendo por base a análise de dados organizados em
representações matemáticas diversas. Enfatizam, dessa forma, a realização de investigações, a
resolução de problemas, a criação de estratégias com argumentos e justificativas.
Dessa forma, os Parâmetros Curriculares Nacionais justificam o ensino da probabilidade e da
estatística acenando para a necessidade do indivíduo compreender as informações veiculadas,
tomar decisões e fazer previsões que influenciam sua vida pessoal e em comunidade. Porém, ao
descreverem as noções de estatística, probabilidade e combinatória, não o fazem de forma
integrada, podendo deixar ao professor a idéia de compartimentalização desses temas. Ressaltam a
necessidade de
calcular
medidas estatísticas, sem preocupar-se em enfatizar que o mais
importante é saber o que cada medida significa e não simplesmente efetuar seus cálculos.
Destacamos essas questões dado o fato de que as atividades propostas nos livros didáticos serem
permeadas
por
uma
concepção
de
ensino
de
estatística
e
probabilidade
bastante
compartimentalizada, como se os conceitos probabilísticos e estatísticos não se relacionassem. Essa
4
forma de olhar o ensino desses temas se contrapõe ao trabalho que recomenda o ensino da
probabilidade inseparável da estatística, ou seja, da Estocástica.
A Estocástica possibilita a ruptura com uma visão linear de currículo por sua própria natureza
interdisciplinar, pois ao explorarmos uma determinada situação-problema, envolvemos diferentes
conceitos matemáticos e estabelecemos distintas relações, sem nos prendermos à limitação do
conteúdo proposto para cada série (LOPES,1998).
Acreditamos que o trabalho com Estocástica deva ser baseado em processos de investigações e na
resolução de problemas, subsidiando o estudante para que ele compreenda e lide bem com sua
realidade (LOPES,1998).
De acordo com essa visão de ensino de probabilidade e estatística, realizamos a análise das
atividades propostas.
3. AS ATIVIDADES PROPOSTAS NOS LIVROS DIDÁTICOS E A CONSTRUÇÃO DE
CONCEITOS PROBABILÍSTICOS E ESTATÍSTICOS
Percebe-se um descompasso claramente perceptível entre os objetivos a serem alcançados pela
inclusão do ensino da estatística e probabilidade no ensino fundamental e a forma como se dá nos
textos examinados.
Nota-se a presença de uma super-simplificação de conteúdo e o uso da estatística como fim em
exercícios de matemática. A estatística não aparece como estratégia da solução de problemas de
pesquisa, como deveria ser trabalhada em todos os níveis de ensino.
Atingir estes objetivos passa por trabalhar situações-problema nas quais o conteúdo estatístico
compareça como estratégia de obter respostas a perguntas de interesse. O que observamos é que a
concepção de estatística que permeia os livros da 1ª à 8ª série, é de um fazer empobrecido, por não
inserir a construção dos conceitos estatísticos e probabilísticos na metodologia da resolução de
problemas.
No manual para o professor apresentado em algumas coleções, a estatística é apresentada como um
meio para organizar e interpretar informações numéricas, tabelas e gráficos. Nas séries iniciais
introduz-se algum fazer através das, inadequadamente chamadas, pesquisas estatísticas, como se a
estatística fornecesse o problema substantivo de pesquisa, no qual ela apenas oferece estratégia de
solução. Confunde-se aí o problema com sua solução.
A dita pesquisa, então, especializa-se em geral em pesquisa de opinião, e as perguntas limitam-se,
nas categorias observadas. Há uma preocupação em nomear apenas o mais freqüente, deixando-se
de considerar a informação coletada, como a 2ª ou 3ª preferência ou mesmo o menos preferido. O
5
que nos chama a atenção, é que nesse ciclo existe a proposta de trabalhar os números ordinais, e
não aproveitam para integrar a aquisição desses conhecimentos.
Em relação às medidas estatísticas, o mais freqüente não recebe o nome de moda ou categoria
modal, anunciando uma regularidade em evitar-se toda fidelidade à linguagem própria deste
domínio do conhecimento, e que será encontrada independentemente do conteúdo, da matéria ou
situação a que se aplicam. Embora isso se justifique nas séries iniciais, pensamos que nas séries de
3º e 4º ciclos não haveria inconvenientes.
Desenvolver esta linguagem formal é uma etapa a ser cumprida. Ela ajuda a promover o nível de
conhecimento e a relação do aluno com o conjunto de dados, permitindo generalizações para
futuras aplicações a situações concretas.
Nas séries do 2º ciclo, usando a estatística como um fazer que enseja a utilização de conteúdos
matemáticos, encontramos menção às possibilidades em abordagens lúdicas, sem função outra que
sua listagem por si mesma. É preciso perceber que, ao listar possibilidades, estamos apenas
trabalhando conceitos matemáticos. Se avaliássemos essas possibilidades através de experimentos,
aí sim, estaríamos atribuindo um valor estatístico a essas atividades uma vez que a construção das
possibilidades deveria estar motivada por uma necessidade de avaliação de chance.
Ao longo da aprendizagem com números, deveria ser trabalhado a organização dos dados através
do ramo-e-folhas, que é uma representação gráfica fácil, simples, elegante e que requer menos
conhecimentos anteriores. Esse tipo de representação permite a ordenação de um conjunto de dados
com maior facilidade, assim como a introdução de moda e mediana. Dessa forma, o trabalho com o
ramo-e-folhas deveria preceder o uso dos histogramas, reproduzindo à semelhança com o diagrama
de pontos e, portanto, precedendo às distribuições de freqüências e respectivas representações
gráficas.
A questão acima é elucidada pela nossa preocupação com o erro mais freqüente encontrado nos
livros didáticos do ensino fundamental, que é a representação gráfica por barras não adjacentes no
tratamento das variáveis contínuas.
Uma outra questão é por que não chamarmos os acontecimentos de eventos elementares que seria o
termo mais adequado para referir-se a cada uma das possibilidades, ou mesmo de evento, quando
nos referirmos a qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, ao perguntar “como se
mede a chance de um acontecimento ocorrer?”, na linguagem estocástica, a pergunta estaria melhor
formulada “como obter a probabilidade de um evento ocorrer?”.
O uso de porcentagem e estimativa ocorre a partir do 2º ciclo e percebem-se atividades que podem
possibilitar a aquisição de concepções equivocadas e difíceis de serem alteradas posteriormente,
como temos observado em nossa experiência no terceiro grau. A estimativa é encontrada como
6
aproximação de magnitudes a serem lidas em representações gráficas e falta da precisão numérica.
Como exemplo, podemos verificar que ao apresentar um gráfico de barras, representando a
população de diferentes municípios e solicitar a leitura da população de um deles através desse
gráfico, chamou-se esse resultado de estimativa. No sentido matemático isso está correto, porém,
no sentido estatístico, estimativa é o valor de um estimador calculado a partir de uma amostra.
Trabalhar esse conceito demanda no mínimo uma problematização que recaia sobre algum
estimador e, então, que se observe sua variação na experimentação da retirada de várias amostras.
Outro conceito que gostaríamos de destacar é a porcentagem por ser uma ferramenta matemática
necessária à construção do conceito de probabilidade e às experiências probabilísticas. Em nossa
análise observamos que o trabalho com porcentagem não apareceu em nenhum momento vinculado
ao raciocínio estatístico. Por exemplo, se fizermos uma proposta de “lançamentos de uma moeda”
onze vezes e ocorrer “Cara”, 4 vezes; e, “Coroa”, 7 vezes, é provável que ao transformarmos esses
resultados em porcentagem e compararmos com a definição clássica de probabilidade, o estudante
tenha uma percepção equivocada de que a probabilidade observada na experimentação é suficiente
para concluir que os eventos não são equiprováveis.
Trabalhar esse conceito com os estudantes não seria uma tarefa tão difícil se deixarmos que o
alunos experimentem e convivam com a variabilidade. Consideremos que se tivermos em 100
bolas, 50 pretas e 50 brancas, e perguntarmos ao aluno em uma amostra de 10 bolas quantas se teria
de cada cor, muito provavelmente, no contexto de aprendizagem de porcentagem, ele responderá
que em 10 bolas amostradas ocorreriam 5 de cada cor. Esse é um conceito que urge ser trabalhado,
para que seja aplicado, corretamente, na resolução de problemas estatísticos.
É necessário percebermos que o significado estatístico, muitas vezes, difere do significado
matemático, ou seja, a mesma razão observada entre número de ocorrência de um evento e o
número total de experimentos tem significado estatístico distinto dependendo da magnitude desse
número total. Por exemplo, ao observarmos o lançamento de uma moeda 10 vezes, 100 vezes ou
1000 vezes, em cada caso, a ocorrência de metade de caras tem significado distinto. Em 1000
vezes, a indicação de que a moeda não é viciada é maior do que em 10 vezes. Isso desenvolve o
espírito crítico da grandeza dos denominadores que pode ser desenvolvida desde o início do ensino
fundamental, contribuindo para diferenciar determinismo de aleatoriedade.
No 3º ciclo, continua a ênfase em porcentagem como domínio exclusivo do cálculo e também
representações gráficas. Estas, apesar de paralelas ao ensino das grandezas e medidas, incluindo o
trabalho com áreas, têm pouca ligação com as representações gráficas. Os diagramas de barras,
setoriais, e histogramas são ricos para explorar as relações com áreas. Observa-se mais uma vez a
não integração entre os conceitos estatísticos e matemáticos.
7
Nesse sentido, também poderíamos considerar o trabalho de geometria envolvendo o estudo da
simetria interligado a algumas das representações estatísticas.
Ainda nesse ciclo, encontramos a média quase como para checar habilidades de soma, divisão, ou
resolução de equações. Quando apresentada a partir de tabelas de freqüências, a média aparece,
inadequadamente, chamada de ponderada. Se feita a partir dos dados em rol bruto é média, se feita
a partir dos dados agrupados então é ponderada. Esse é outro problema comum de erro conceitual,
pois a simples aplicação da propriedade associativa da adição não muda o peso de cada valor
correspondente a cada indivíduo. No caso da média aritmética, cada indivíduo ou cada valor tem o
mesmo peso, enquanto que em média ponderada, esses pesos devem diferir e ser conhecidos a
priori.
Talvez a média chame mais a atenção do que a moda e a mediana devido ao paradigma da
distribuição gaussiana e de todos os enganos e mal entendidos do teorema central do limite que
parece magicamente transformar tudo em normal, o sonho de todo pesquisador para seus dados.
Cabe citar, o físico francês Lippman, prêmio Nobel em 1908 (citado no clássico Cramer (1946)) :
“todos acreditam na distribuição normal: os matemáticos pensam que é um fato experimental, os
experimentadores porque pensam que é um teorema matemático...’’ Sob este modelo firma-se o
uso da média, que permanece resumindo e representando mesmo quando o modelo não se aplica.
Assim, o ensino conjunto da média, mediana e moda, bem como explorar suas posições relativas no
ensino de formas gráficas deve ser utilizado sob pena de repetirmos o erro de tratar tudo sob a
perspectiva de distribuições de erros...
Chamou-nos a atenção que, ao introduzir o conceito de chance, a linguagem estocástica mais uma
vez esteve ausente por não se utilizar a palavra probabilidade. O conceito de probabilidade vem
em sua definição clássica, favoráveis sobre possíveis, sem menção às restrições de
equiprobabilidade, e conjunto finito dos possíveis. A probabilidade de que um aluno tenha peso
entre 50kg e 55kg não pode ser calculada, pois o conjunto dos pesos possíveis é infinito e não
enumerável. Assim como a probabilidade de cada uma das faces de uma ficha telefônica seria
obtida como ½ pela aplicação do conceito clássico. A assimetria da ficha não cumpre a restrição de
equiprobabilidade.
A definição freqüentista, número de ocorrências do evento sobre número total de repetições,
deveria ser dada, pois possibilitaria remover as duas restrições. Os eventos não precisam ser
equiprováveis e o espaço amostral não precisa ser finito.
Gostaríamos de ressaltar que não se sugere a definição axiomática, mas muita experimentação e
observação, evidenciando-se as idéias probabilísticas. Dessa forma,
os conceitos terão mais
8
significados, e poderemos trabalhar os eventos: possível, impossível, provável, muito provável,
pouco provável e certo.
Os conceitos básicos de amostra probabilística e não probabilística, não são abordados. Deveriam
ser trabalhados, através de vivência, os conceitos de amostra aleatória simples, no qual cada
possível amostra de um determinado tamanho tem a mesma chance de ser selecionada.
Nota-se que alguns autores utilizam-se de adjetivação para amostra como “representativas” e
“reprodução da população”, sem utilizar o termo amostra probabilística, o que deveria ser evitado
ou atribuído a essas qualidades uma chance.
A experiência com amostragem pode ser feita em população finita, por exemplo, os alunos da
classe e retiradas de amostras casuais simples, sua organização, representação e análise. Neste
processo, pode-se inserir operacionalizações que gerem vícios por intencionalidade ou casualidade
em sub-populações. Nesse contexto, a noção de estimativa ganha sentido, pois ao trabalhar
amostragem, o objeto de estudo é a variação de estimativas.
Durante o processo de análise dessas atividades propostas por alguns livros didáticos
recomendados pelo MEC, para o ensino fundamental,
destacamos a urgência de se pensar
cuidadosamente o ensino da estocástica em nossa escola básica, tanto no que se refere à formação
dos professores quanto à elaboração dos livros didáticos.
Necessitamos de que o cenário da pesquisa em ensino da estocástica, no Brasil, seja ampliado
rapidamente para que possamos alcançar os objetivos ressaltados pela proposta curricular brasileira
e, assim, possamos formar, de fato, cidadãos mais aptos a tomadas de decisão, especialmente em
situações envolvendo a presença do acaso. Consideramos que não basta verificar as análises de
avaliações realizadas, seja nos cursos ou nos livros didáticos, pensamos que seja necessário o
incentivo e apoio à pesquisas que alterem o atual estado da arte desta área do conhecimento.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL,SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemáticas (1o e 2o ciclos do Ensino Fundamental). Brasília:SEF/MEC,1997.
BRASIL,SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemáticas (3o e 4o ciclos do Ensino Fundamental). Brasília:SEF/MEC,1998.
CRAMER, H. Mathemathical Methods of Statistics.USA: Princeton University Press,1946.
CARDEÑOSO, J.M. & AZCÁRATE, P. Tratamiento del conocimiento probabilístico en los proyectos y
materiales curriculares. Revista sobre La Enseñanza y Aprendizaje de Las Matematicas (Revista
SUMA), Zaragoza, v.20, p.41-51, nov/1995.
LOPES, Celi Aparecida Espasandin. A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamental: uma análise
curricular. Campinas, SP: Faculdade de Educação da UNICAMP,1998. 125p. (Dissertação, Mestrado em
Educação).