Teoria dos Grafos - Indução Matemática

Indução Matemática
Teoria dos Grafos
Indução Matemática
Profa. Sheila Morais de Almeida
DAINF-UTFPR-PG
agosto - 2015
Indução Matemática
Indução Matemática
Se desejamos provar que A → B é verdade para números inteiros
maiores ou iguais a um determinado x, podemos executar os seguintes passos:
1
Provar que A(x) → B(x).
2
Mostrar que (A(k) → B(k)) −→ (A(k + 1) → B(k + 1)),
para um inteiro k.
Ou seja, provar que se for verdade que A(k) → B(k), então
também é verdade que A(k + 1) → B(k + 1).
Indução Matemática
Indução Matemática
1
Provar que A(x) → B(x).
2
Mostrar que (A(k) → B(k)) −→ (A(k + 1) → B(k + 1)),
para um inteiro k.
Dessa forma, pelo item (1), a afirmação A(n) → B(n) é verdade
para n = x.
Indução Matemática
Indução Matemática
1
Provar que A(x) → B(x).
2
Mostrar que (A(k) → B(k)) −→ (A(k + 1) → B(k + 1)),
para um inteiro k.
Pelo item (2), se A(x) → B(x) é verdade, então
A(x + 1) → B(x + 1) é verdade.
Como provamos (1), então é verdade que A(x + 1) → B(x + 1).
Indução Matemática
Indução Matemática
1
Provar que A(x) → B(x).
2
Mostrar que (A(k) → B(k)) −→ (A(k + 1) → B(k + 1)),
para um inteiro k.
Já que A(x + 1) → B(x + 1) é verdade, então
A(x + 2) → B(x + 2) é verdade, pois provamos (2).
Já que A(x + 2) → B(x + 2) é verdade, então
A(x + 3) → B(x + 3) é verdade, pois provamos (2).
E assim sucessivamente!
Consequentemente, pelas provas (1) e (2), A(n) → B(n) é verdade
para todo inteiro n ≥ x.
Indução Matemática
Indução Matemática
Passos para uma prova por indução matemática:
1 Base: provar que vale para o menor inteiro considerado no
enunciado.
2
Hipótese de indução: considerar que o enunciado é verdadeiro
para algum inteiro k.
3
Passo da indução: provar que quando o enunciado é verdade
para k, ele também é verdade para k + 1.
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Base: Note que o primeiro número na sequência a ser somada é o
número 1.
Então, precisamos provar que a fórmula vale para n = 1, ou seja:
P1
i=1 i
precisa ser igual ao valor que a fórmula
quando n = 1.
•
n(n+1)
2
apresenta
P1
i=1 i é a soma dos valores de i, variando de 1 até 1, então o
resultado é 1.
• Na fórmula, com n = 1, temos: n(n+1)
= 1(1+1)
= 1.
2
2
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Base: Note que o primeiro número na sequência a ser somada é o
número 1.
•
P1
i=1 i
= 1.
• Na fórmula, com n = 1, temos: n(n+1)
= 1(1+1)
= 1.
2
2
Como
Pn a fórmula responde corretamente qual o valor da soma
i=1 i no caso em que n = 1, então, para esse caso, a fórmula
está correta.
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Hipótese de indução: Suponha que
k
X
i = 1 + 2 + 3...k =
i=1
k(k + 1)
,
2
para algum inteiro k.
Com essa suposição, vamos tentar provar o passo, ou seja, que a
fórmula também vai responder corretamente se somarmos todos os
números de 1 até k + 1.
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Passo: Queremos saber quanto vale
(k+1)
X
i = 1 + 2 + 3 . . . k + (k + 1).
i=1
Precisamos provar que o resultado desse somatório é igual ao que
a fórmula responde quando n = k + 1.
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Passo:
Vamos manipular o somatório
1 + 2 + 3 . . . k + (k + 1)
para tentar chegar à mesma fórmula que nos foi dada no
enunciado.
Vamos usar a suposição de que a hipótese de indução é verdadeira
e tentar provar o passo, ou seja, provar que a fórmula é a mesma
para o somatório de 1 até k + 1.
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Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Passo:
Como a hipótese de indução é verdade, então:
1 + 2 + 3 . . . + k+(k + 1) =
k(k + 1)
+(k + 1) =
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
(k + 2)(k + 1)
=
2
2
Indução Matemática
Exemplo 1
Provar que
Pn
i=1 i
= 1 + 2 + 3...n =
n(n+1)
.
2
Passo:
Veja que o resultado do somatório dos números de 1 até k +1, obtido
no slide anterior, é o mesmo que obtemos quando substituı́mos n
por k + 1 na fórmula do enunciado:
Pn
i=1 i
=
n(n+1)
2
=
(k+1)(k+2)
,
2
quando n = k + 1.
Então a fórmula está correta para o caso n = k + 1.
Como provamos que a fórmula vale para n = 1 e, se for verdade
para um inteiro n = k, então é verdade para n = k + 1, a indução
está completa.
Indução Matemática
Exemplo 2
Encontre uma fórmula para a soma dos n primeiros números
ı́mpares.
n=1
A soma é 1.
n=2
1+3=4
n=3
1+3+5=9
n=4
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Observando, criamos uma conjectura:
1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2
.
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Exemplo 2
Prove que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Base: Já mostramos que a fórmula funciona para os casos n = 1,
n = 2, n = 3 e n = 4 (slide anterior).
Indução Matemática
Exemplo 2
Prove que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Hipótese de indução: Suponha que
1 + 3 + 5 + . . . + 2k − 1 = k 2 ,
para um inteiro k.
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Exemplo 2
Prove que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Passo: Vamos provar que se a hipótese é verdadeira, então o
resultado do somatório quando n = k + 1:
1 + 3 + 5 + . . . + 2(k + 1) − 1
também é igual ao da fórmula n2 quando n = k + 1.
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Exemplo 2
Prove que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Passo:
1 + 3 + 5 + . . . + 2k − 1+2(k + 1) − 1
pela hipótese de indução, é igual a: k 2 + 2(k + 1) − 1
= k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2
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Exemplo 2
Prove que 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 .
Passo:
Veja que o resultado obtido no slide anterior é o mesmo que obtemos
quando substituı́mos n por k + 1 na fórmula do enunciado:
1 + 3 + . . . + 2(k + 1) − 1 = (k + 1)2 .
Então a fórmula está correta para o caso n = k + 1.
Como provamos que a fórmula vale para n = 1 e, se for verdade
para um inteiro n = k, então é verdade para n = k + 1, a indução
está completa.
Indução Matemática
Exemplo 3
Prove que 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1.
Base: Observe que a sequência é a soma das potências 2i para i
variando de 0 até n.
Quando a soma contém apenas 1 número, trata-se da potência 20 .
Portanto, consideremos o caso n = 0 e vejamos se a fórmula
funciona.
A sequência é 20 = 1.
A fórmula para n = 0 é 20+1 − 1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1.
A soma da sequência e o valor dado pela fórmula são iguais. Então
a fórmula está correta quando n = 0.
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Exemplo 3
Prove que 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1.
Hipótese de indução: Suponha que é verdade que
1 + 2 + 22 + . . . + 2k = 2k+1 − 1,
para algum inteiro k.
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Exemplo 3
Prove que 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1.
Passo: Vamos provar que, se a hipótese é verdadeira, podemos
obter a mesma fórmula para a soma até 2k+1 .
Pela hipótese de indução:
1 + 2 + 22 + . . . + 2k + 2k+1 = 2k+1 − 1 + 2k+1
2k+1 − 1 + 2k+1 = 2(2k+1 ) − 1 = 2(k+1)+1 − 1.
Como a fórmula dada no enunciado é igual à que encontramos
para o caso n = k + 1, a mesma está correta.
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Exemplo 4
Prove que
Pn
j=0 ar
j
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
ar n+1 −a
r −1 .
Base: Observe que trata-se da soma dos termos de uma
Progressão Geométrica na qual:
• o primeiro termo é a;
• a razão é r ;
• a quantidade de termos que serão somados é n.
O enunciado apresenta uma fórmula para calcular o valor da soma
dos termos ar j , com j variando de 0 a n.
Indução Matemática
Exemplo 4
Prove que
Pn
j=0 ar
j
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
ar n+1 −a
r −1 .
Base: Vamos verificar se a fórmula está correta quando n = 0:
Como n = 0, a sequência tem apenas o elemento ar 0 = a. Então a
soma é a.
A fórmula diz que o resultado dessa soma é
por zero:
ar n+1 −a
r −1 ,
substituindo n
ar 1 − a
ar − a
a(r − 1)
ar 0+1 − a
=
=
=
=a
r −1
r −1
r −1
r −1
Então a fórmula está correta para o caso n = 0.
Indução Matemática
Exemplo 4
Prove que
Pn
j=0 ar
j
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
ar n+1 −a
r −1 .
Hipótese de indução: Suponha que
k
X
ar j = a + ar + ar 2 + . . . + ar k =
j=0
para algum inteiro k ≥ 0.
ar k+1 − a
,
r −1
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Exemplo 4
Prove que
Pn
j=0 ar
j
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
ar n+1 −a
r −1 .
Passo: Vamos verificar se o valor da soma
a + ar + ar 2 + . . . + ar k + ar k+1 é como descrito pela fórmula do
enunciado, quando n = k + 1.
Pela hipótese de indução:
a + ar + ar 2 + . . . + ar k + ar k+1 =
ar k+1 − a
+ ar k+1
r −1
ar k+1 − a + (r − 1)ar k+1
ar k+1 − a
+ ar k+1 =
=
r −1
r −1
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Exemplo 4
Prove que
=
Pn
j=0 ar
j
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n =
ar n+1 −a
r −1 .
r (ar k+1 ) − a
ar k+2 − a
ar k+1 − a + (r − 1)ar k+1
=
=
.
r −1
r −1
r −1
Note que se substituirmos o valor de n pelo valor de k + 1 na
n+1
k+2
fórmula ar r −1−a , obtemos o mesmo resultado: ar r −1−a . Portanto, a
fórmula está correta.
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Exemplo 5
Prove que n < 2n , para n inteiro positivo.
Base: Note que n deve ser inteiro e positivo. Então vamos provar
que o mesmo vale quando n = 1.
1 < 21
1<2
Verifica-se que é verdade para base.
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Exemplo 5
Prove que n < 2n , para n inteiro positivo.
Hipótese de indução: Suponha que k < 2k , para algum valor
inteiro positivo k.
Passo: Pela hipótese de indução, k < 2k . Podemos somar 1 em
ambos os lados da inequação que a desigualdade permanece a
mesma: k + 1 < 2k + 1.
Como k é positivo, sabemos que k ≥ 1. Portanto, 1 < 2k . Então
2k + 1 < 2k + 2k = 2(2k ) = 2k+1 .
Portanto, k + 1 < 2k + 1 < 2k+1 .
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Referências
Kenneth ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications.
McGraw-Hill Education, 6th edition (July 26, 2006).
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Agradecimentos
Agradecimento ao aluno Bruno Matheus C. Cardoso, pela
colaboração na revisão desse conteúdo.