3. Aula 3: Caracteres Na aula de hoje fixamos k = C ou k = R. 3.1

3. Aula 3: Caracteres
Na aula de hoje fixamos k = C ou k = R.
3.1. Definição. Seja ρ : G → GL(V ) uma representação de G. Definimos o carácter de ρ como
a função a 7→ χρ (a) := trV ρ(a).
Ele satisfaz
(a) χ(1) = dim V .
(b) χ(aba−1 ) = χ(b).
(c) χ(a−1 ) = χ(a)
(a) é trivial. (b) segue de
χ(aba−1 ) = tr ρ(aba−1 ) = tr ρ(ab)ρ(a−1 ) = tr ρ(a−1 )ρ(ab) = tr ρ(a−1 ab) = χ(b).
(c) pode ser provado de diferentes maneiras. Utilizando que a representação é unitarizável como
provado na aula anterior segue que todos os autovalores de ρ(a) tem módulo 1. Seja {λi } o
conjunto dos autovalores de ρ(a) contados com multiplicidade. Então temos que
X
X
λi = χρ (a).
χρ (a−1 ) =
λ−1
=
i
Um outro jeito de notar que |λi | = 1 é utilizando que |G| < ∞ temos ρ(an ) = IdV . Por tanto
λni = 1 para algum n e por tanto |λi | = 1.
3.2. Proposição.
(a) Seja
0→V →W →Z→0
uma sequência exata de representações, então χW = χV + χZ .
(b) Sejam V e W duas representações. Então χV ⊗W = χV · χW .
Demonstração.
(a) Sejam ρV (a) e ρW (a) os operadores em V e W que correspondem a a ∈ G. Escolhendo
uma base de V ⊕ W que consiste na união de uma base de V e uma base de W , a forma
do operador ρV ⊕W é por bloques:
ρV (a)
0
ρV ⊕W (a) =
0
ρW (a)
e o traço é a soma dos traços de ρV (a) e ρW (a).
(b) Seja {vi } uma base de V e {wj } uma base de W . Então {vi ⊗ wj } é uma base de V ⊗ W
(o aluno atento pode completar com os conjuntos aonde os ı́ndices i, j vivem). Seja
ρV (a)ik a matriz de ρV (a) na base {vi } e similarmente ρW (a)jl a matriz de ρW (a) na
base {wj }. Então na base {vi ⊗ wj } a matriz de ρV ⊗W (a) tem como entrada (ij, kl) o
valor ρV (a)ik · ρW (a)jl . O traço dessa matriz está dado por
X
X
χV ⊗W (a) = trV ⊗W ρV ⊗W (a) =
ρV ⊗W (a)ij,ij =
ρV (a)ii · ρW (a)jj =
ij
ij
!
X
i
ρV (a)ii

X

ρW (a)jj  = χV (a) · χW (a)
j
1
2
3.3. Exemplo. Seja G um grupo finito e seja S um conjunto finito com uma ação de G a direita.
Temos a representação associada de G em k[S] = {f : S → k} dada por (a · f )(s) = f (s · a). O
caracter chi de essa representação é simplesmente o número de pontos fixos:
χ(a) = ] {s ∈ S | s · a = s} ,
De fato, escolhemos a base de funções caracterı́sticas:
(
1 s=t
ηt (s) =
.
0 s 6= t
Nessa base temos que a · ηt = ηt·a−1 (verifique isso!) e a entrada diagonal ηt − ηt da matriz ρ(a)
consiste em 1 se t = t · a−1 e 0 caso contrario.
Notar que esse exemplo pode ser simplesmente generalizado para o caso que o grupo G age
pela esquerda em S.
3.1. Exercı́cio.
(a) Seja T o grupo de rotações de R3 que preservam o tetraedro regular. O grupo age no
conjunto de vértices do tetraedro. Pelo exemplo anterior isso produz uma representação
de dimensão 4 de T . Calcule o caracter dessa representação V .
(b) Seja T o grupo de (a) e seja W a representação de dimensão 6 correpondente á ação nas
arestas do tetraedro. Calcule o caracter χW .
(c) Seja C o grupo de rotações em R3 que preservam o cubo. Calcule o caracter da representação de dimensão 8 correspondente á ação nos 8 vértices.
3.4. Exemplo. Seja V uma representação de G com caracter χ e sejam χs e χa os caracteres
das representações Sym2 V e ∧2 V respectivamente. Então temos
1
1
χ(a)2 + χ(a2 ) ,
χa (a) =
χ(a)2 − χ(a2 ) .
χs (a) =
2
2
De fato, se escolhemos uma base {vi } para V tal que a representação ρ é diagonal, ouPseja
ρ(a)vi = λi vi (lembrem
que posso fazer ρ uma representação unitária) então temos χ(a) = λi ,
P
então χ(a2 ) = λ2i . Por um outro lado, na base {vi ⊗ vj }i≤j de Sym2 V temos que
X
X
X
ρSym2 V (a)vi ⊗ vj = λi λj vi ⊗ vj ⇒ χs (a) =
λi λj =
λ2i +
λi λj .
i
i≤j
i<j
2
Similarmente na base {vi ∧ vj }i<j de ∧ V temos
ρ∧2 V (a)vi ∧ vj = λi λj vi ∧ vj
⇒ χa (a) =
X
λi λj .
i<j
Segue que χs + χa = χ2 e χs (a) = χ(a2 ) + χa (a) de onde o problema é fácil de resolver.
Note que tivemos que dividir por 2! tente pensar o que acontece em corpos de caracterı́stica
2.
3.5. Seja agora k[G] o espaço de funções {f : G → k} e seja C[G] o subespaço de funções de
classe, aquelas funções f ∈ k[G] tal que ∀a, b ∈ G temos f (aba−1 ) = f (b). O espaço k[G] tem
um produto interno dado por
1 X
(f, g) =
f (a) · g(a),
|G|
a∈G
E para toda representação V ∈ G-mod, já vimos que χV ∈ C[G]. Demonstraremos que os
caracteres das representações irredutı́veis de G formam uma base ortonormal do espaço C[G].
A ideia principal é que temos T : V V G uma projeção no espaço de invariantes e o Lema de
Schur.
3
Lembramos do Lemma de Schur provado na Aula 1 que se V, W são duas representações
irredutı́veis então
(
k V 'W
HomG (V, W ) =
0 V 6' W
Então sejam V e W duas representações irredutı́veis de G e seja S ∈ Homk (V, W ) um morfismo
linear. Lembrando que Homk (V, W ) é uma representação e que
1 X
TS =
aSa−1 ∈ HomG (V, W ),
(3.1)
|G|
a∈G
obtemos que T S = 0 se V 6' W ou T S = λ IdV para algum λ ∈ k se V = W . No caso V 6' W
obtemos (agora denotamos por ρV e ρW as representações para deixar mais claro o ponto)
X
V 6' W ⇒
ρW (a) ◦ S ◦ ρV (a)−1 = 0, ∀S ∈ Homk (V, W ).
(3.2)
a∈G
Em particular, escolhendo um vector v ∗ ∈ V ∗ , w∗ ∈ W ∗ e w ∈ W podemos escolher S(v) =
v ∗ (v) · w e obtemos
X
V 6' W ⇒
v ∗ (ρV (a)−1 v) · w∗ (ρW (a)w) = 0,
∀v ∗ ∈ V, v ∈ V, w∗ ∈ W ∗ , w ∈ W. (3.3)
a∈G
Em particular, escolhendo uma base {vi } P
de V e seja {vi∗ } a base dual, de tal jeito que para um
operador ρV (a) o traço é calculado como i vi∗ (ρV (a)vi ). Por tanto escolhendo v ∗ = vi∗ , v = vi ,
w∗ = wj∗ e w = wj em (3.3) e fazendo a soma em i, j obtemos:
X
V 6' W ⇒
χV (a−1 ) · χW (a) = 0
a
O que finalmente implica (usando 3.1 (c))
V 6' W ⇒ (χW , χV ) = 0.
(3.4)
Ou seja, caracteres de representações irredutı́veis não isomorfas são perpendiculares.
Voltamos a (3.1) no caso em que V = W , então T S = λ IdV . Por um lado o traço tr T S =
λ dim V . Por um outro lado podemos considerar a representação V sendo unitária e escolher
uma base ortonormal {vi } de V . Neste caso temos
1 X
1 −1
λδij = T Sij =
vi , aSa−1 vj =
a vi , Sa−1 vj .
|G|
|G|
a∈G
De onde o traço:
trV T S =
1 X X
1 X −1
vi , aSa−1 vi =
a vi , Sa−1 vi = trV S
|G| i
|G| i,a
a∈G
E logo:
tr S
.
(3.5)
dim V
Escolhendo S(v) = Skl (v) = (vk , v) · vl obtemos por um lado tr Skl = δkl ⇒ λ = δkl (dim V )−1 e
por um outro:
δkl δij
1 X −1
1 X
=
a vi , vl vk , a−1 vj =
vi , avl vj , avk ,
(3.6)
dim V
|G|
|G|
λ=
a∈G
a∈G
4
Notamos então que (3.6) implica que as funções dadas pelas entradas matriciais das representação
a 7→ ρ(a)ij = (vi , a · vj ) são ortogonais em k[G] (salvo normalização):
δij δkl
(3.7)
dim V
Finalmente somando sobre i = l j = k obtemos (devemos controlar essa conta, a normalização
pode estar errada)
X δij
= 1 = (χV , χV )
(3.8)
dim V
ij
(ρil , ρjk ) =