GUIA DE ESTUDO 2 M¶odulo 2: As Leis do Movimento

1
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F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
GUIA DE ESTUDO 2
¶dulo 2: As Leis do Movimento
Mo
~
1. INTRODUC
» AO
Neste m¶odulo, estudaremos os princ¶³pios da din^amica | a descri»c~ao do movimento de um corpo a partir de suas intera»c~oes. Esta discuss~ao tem por base
as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»ca, massa,
referenciais inerciais, e faremos aplica»c~oes.
Leituras indispens¶aveis
Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 4 (se»c~oes 4.1 a 4.5) e 5
(se»c~oes 5.1 a 5.3), e as se»c~oes 13.1 e 13.2 do cap¶³tulo 13 do livro texto, de H.
M. Nussenzveig.
2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Atividade 1
Discuss~ao
{ da lei da in¶ercia e o conceito de referenciais inerciais (se»c~oes 4.1 e
4.2);
{ do conceito de for»ca e massa, e a segunda lei de Newton (se»c~oes 4.3
e 4.4);
{ da terceira lei de Newton (se»c~ao 4.5);
{ das intera»c~oes fundamentais (se»c~ao 5.1);
{ e dos exemplos 1 a 6 da se»c~ao 4.5 do livro texto (p¶ag. 78 a 80).
Atividade 2
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Din^amica.
Atividades extras 1
1. Leia todo o cap¶³tulo 4 do livro.
2. Resolva os exerc¶³cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 2
3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto.
Atividade 3
Discuss~ao sobre as intera»c~oes fundamentais e as for»cas de contato (se»c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»c~ao 5.3.
Atividade 4
Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 8 e 14 da Lista 6.
Atividades extras 2
1.
2.
3.
4.
Leia todo o cap¶³tulo 5.
Releia o cap¶³tulo 4.
Resolva todos os exerc¶³cios j¶a feitos novamente.
Resolva os exerc¶³cios 16 a 21 da Lista 6.
Atividade 5
Discuss~ao da cinem¶atica da rota»c~ao (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) e
o exemplo 4 da se»c~ao 5.3 do livro texto.
Atividade 6
Resolu»c~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^amica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais).
Atividades extras 3
1.
2.
3.
4.
Leia as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.
Releia o cap¶³tulo 5.
Resolva os exerc¶³cios 18 a 24 do cap¶³tulo 3 do livro texto.
Resolver problemas que ¯caram para tr¶as no Guia de Estudo 1, das listas 1, 2 e 3.
Atividade 7
Resolu»c~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 3
Atividade 8
Discuss~ao dos conceitos de velocidade relativa (se»c~ao 3.9), mudan»ca de
sistema de refer^encia, referenciais inerciais e n~ao inerciais (se»c~oes 13.1,
13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶³cios das Listas 8
e 9.
¶
3. ATIVIDADES FINAIS DO MODULO
2
1. Releia os cap¶³tulos 4 e 5 do livro texto.
2. Termine a lista de exerc¶³cios de 6, sobre Din^amica.
3. Fa»ca os exerc¶³cios do Cap¶³tulo 4 e 5 do livro texto.
4. Releia os cap¶³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶³cios que faltavam
(inclusive os de movimento circular e de movimento relativo).
5. Leia as se»c~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto.
6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶³tulo 13 do livro texto.
7. Resolva todos os exerc¶³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Din^amica), 7 Cinem¶atica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo)
e 9 (Referenciais N~ao Inerciais).
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Lista de exerc¶³cios 5
Vetores Novamente
1. Represente em termos dos unit¶arios ^³, ^´ das dire»c~oes x; y os vetores
representados na ¯gura.
r
c
2
y
r
a
1
−3
−2
−1
1
−1
−2
2
3
x
r
b
2. Considere os vetores:
~a = 3^³ + 2^´
~b = ¡^³ + 2^´
c~ = 2^³ ¡ ^´
d~ = ¡2^³ ¡ 3^´
(a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y).
(b) Represente neste plano os vetores ~a + ~b e ¡ 2 ~c.
(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores
(i) ~a
(ii) ~b
(iii) d~
(iv) ~a + ~b
(v) 3 ~c
(vi) ~a ¡ 2 ~b
(vii) ~c + d~
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5
3. O produto escalar de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois
vetores ~a e ~b um n¶
umero real de valor igual a a b cos µ , onde µ ¶e o
~
^angulo entre ~a e b , medido de ~a para ~b . Usa-se a nota»c~ao ² para
representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que
~a ² ~b = a b cos µ = a ba ;
onde ~ba ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao de¯nida por ~a .
r
b
θ
r
ba
r
a
Demonstre que
(a) ~a ² ~a = a2 .
(b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ² ~b = 0 , ~a?~b.
(c) ^i ² ^´ = 0 ; ^³ ² ^³ = 1 ; ^´ ² ^´ = 1 .
(d) ax = ~a ² ^³
(e) ~a ² ~b = ~b ² ~a
³
´
(f) ~a ² ~b + ~c = ~a ² ~b + ~a ² ~c.
(g) Se ~a = ax ^³ + ay ^´ + az k^ e ~b = bx ^³ + by ^´ + bz ^k , ent~ao
~a ² ~b = ax bx + a y by + a z bz
4. Para ~a = ^³ ¡ 2^´ , ~b = 2^³ + 3^´ e ~c = ¡^³ + ^´ calcule
(a) ~a + ~b
(b) ¡ 3~c
(c) 2~a ¡ ~b
³
´
(d) ~a ² ~b + ~c
(e) ~b ² (~a ¡ 2 ~c)
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6
5. Um bloco de massa m est¶a apoiado e em repouso sobre um plano inclinado de um ^angulo ® em rela»c~ao µa horizontal.
y
x
(a) Isole o bloco e indique todas as for»cas que atuam sobre ele.
(b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y
de cada uma das for»cas atuando sobre o corpo.
(c) Calcule o m¶odulo de cada uma das for»cas e o ^angulo entre cada
uma delas e o eixo x.
6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»cas constantes, expressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um
sistema de coordenadas cartesianos como
F~1 = ^³ + 2^´ ¡ 3 ^k
F~2 = ^´ ¡ k^
F~3 = ¡ ^i + ^´
O observador que descreve este sistema ¶e um observador inercial.
(a) Calcule a for»ca resultante sobre este corpo.
(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»cas e da
for»ca resultante.
(c) Calcule o ^angulo que a for»ca F~1 faz com o eixo x.
~2 e F
~3.
(d) Calcule o ^angulo entre as dire»c~oes das for»cas F
(e) Obtenha o ^angulo que a for»ca resultante faz com o eixo z.
(f) Obtenha o vetor unit¶ario da dire»c~ao de¯nida pela for»ca F~1 .
(g) Qual o vetor acelera»c~ao deste corpo?
(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v± = 12^´¡16 ^k,
e sua posi»c~ao em rela»c~ao a um ponto ¯xo para o observador vale
vecr± = 0, qual a trajet¶oria que o corpo descreve?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7
7. Considere o vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 0; 5 kg
medido por um observador ¯xo a um sistema inercial:
~r(t) = 5 t2 ^³ + (10 t ¡ 4) ^´ + 6 exp (¡2 t) ^k.
(a) Obtenha o valor do vetor posi»c~ao desta part¶³cula nos instantes de
tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.
(b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta part¶³cula
como fun»c~ao do tempo, ~v(t).
(c) Obtenha a express~ao que descreve a acelera»c~ao desta part¶³cula
como fun»c~ao do tempo.
(d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»c~ao da part¶³cula nos
instantes t = 1 s e t = 4 s.
(e) Calcule a for»ca resultante sobre a part¶³cula no instante t = 4 s.
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Lista de exerc¶³cios 6
Din^
amica de uma Part¶³cula
1. Quais as for»cas que atuam sobre a ma»c~a da ¯gura? Onde est~ao as
rea»c~oes a essas for»cas? Considere as mesmas perguntas com a ma»c~a
caindo. Despreze a resist^encia do ar.
2. Ao caminhar, a for»ca de atrito ¶e que aparentemente produz o movimento. Qual o sentido desta for»ca? Explique.
3. Um homem de peso PH, de p¶e sobre uma superf¶³cie, empurra um
arm¶ario de peso PA. Considerando a exist^encia de atrito entre a superf¶³cie do sapato do homem e o ch~ao, bem como entre o arm¶ario
e o ch~ao, esquematize claramente as for»cas aplicadas no arm¶ario, no
homem e no ch~ao. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»cas.
4. Uma part¶³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8 m=s2 . (a)
Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula, se ela for para um ponto no
espa»co onde g = 4; 9 m/s2 ? (b) Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula,
se ela for deslocada para um ponto do espa»co onde a acelera»c~ao de queda
livre seja nula?
5. Suponha que no futuro a \ Companhia de Pesquisas Lunares" monte
laborat¶orios na Lua e na Terra, mantendo um servi»co de foguetes entre
eles. Nos dois laborat¶orios s~ao usados quilograma-padr~ao. Um bloco de
masa 10 kg ¶e usado como \carrinho" para experi^encias em uma mesa
sem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o bloco
est¶a na Lua, sua massa ¶e igual µa massa lida na Terra?
Os experimentadores possuem uma balan»ca de mola A, calibrada em
Newtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com uma
for»ca de 4 N. (b) No laborat¶orio da Terra, com uma for»ca de 4 N, qual
ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique. (c) No laborat¶orio da Lua, com
a mesma for»ca de 4 N, qual ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9
Os experimentadores possuem tamb¶em uma balan»ca de mola B, n~ao
graduada. No laborat¶orio da Terra, eles a calibram em \quilogramaspeso", suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~ao. Outra
balan»ca n~ao graduada C est¶a dispon¶³vel. Ela ¶e calibrada no Laborat¶orio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade
¶e \quilograma-peso". (d) No laborat¶orio da Terra, puxa-se o mesmo
bloco com a balan»ca de mola B (calibrada em quilogramas no Laborat¶orio da Terra). Se a leitura da balan»ca for 2,0, qual ¶e a acelera»c~ao
do bloco? (e) No laborat¶orio da Lua, o mesmo bloco ¶e puxado com a
mesma balan»ca B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua).
Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor ou igual
µa encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶orio da Lua,
o mesmo bloco ¶e puxado, agora com o aux¶³lio da balan»ca C (calibrada
na Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor
ou igual µa encontrada no item (e)?
6. Dois blocos, de massas M e m, est~ao em contato apoiados sobre uma
mesa horizontal lisa. Uma for»ca F~ de m¶odulo F e que faz um ^angulo µ
com a horizontal ¶e aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura.
Calcule o valor da for»ca de contato entre os dois blocos em fun»c~ao dos
dados do problema e da acelera»c~ao da gravidade g. Calcule tamb¶em os
valores da normais de contato entre os blocos e a superf¶³cie.
Ex. 6
r
F
r
F
θ
M
m1
Ex. 7
m2
m
7. Dois blocos est~ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»ca
horizontal ¶e aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Se
m1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»ca de contato
entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»ca F for aplicada
a m2, ao inv¶es de m1, a for»ca de contato entre os dois blocos vale 2,1
N, que n~ao ¶e o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»ca.
8. Tr^es blocos s~ao ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os de
massa desprez¶³vel. Os blocos est~ao apoiados sobre uma mesa horizontal
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10
lisa, e s~ao puxados para a direita por uma for»ca horizontal de m¶odulo
T 3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule
(a) a acelera»c~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da ¯gura.
Ex. 8
T2
T1
m1
m2
m3
r
T3
9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶a parado sobre o ch~ao. O coe¯ciente
de atrito est¶atico entre ele e o ch~ao ¶e 0,68 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,56.
Em quatro diferentes tentativas para mov^e-lo, foi empurrado com for»cas
horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine,
para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶odulo da for»ca de
atrito sobre ele. O arquivo est¶a sempre parado antes de cada tentativa.
10. Um bloco de massa 2 kg est¶a apoiado sobre uma mesa plana e lisa.
Voc^e o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo
5,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca
normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?
Ex. 11
Ex. 10
θ
11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre
a mesa plana e lisa. Voc^e passa a empurr¶a-lo com uma for»ca de mesmo
m¶odulo 5,0 N, mas agora fazendo um ^angulo µ = 30± com a horizontal.
Qual a acelera»c~ao do bloco? E qual o valor da for»ca normal de contato
entre o bloco e a superf¶³cie?
12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶e apoiado
sobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coe¯ciente de atrito est¶atico
entre o bloco e a superf¶³cie vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶etico
vale 0,20.
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(a) Voc^e o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de
m¶odulo 4,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da
for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?
(b) Voc^e agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma for»ca
horizontal de m¶odulo 8,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco?
Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie?
(c) Voc^e passa a empurrar o bloco com uma for»ca de m¶odulo 8,0 N que
faz um ^angulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco,
agora? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a
superf¶³cie?
13. Um preso num c¶arcere decide escapar deslizando por uma corda fornecida por um c¶umplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de
massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado
na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um
pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de
60 kg. O gancho pode suportar uma tra»c~ao de 400 N sem quebrar. A
janela est¶a a 15 m do n¶³vel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolve
veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao
descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula.
Qual a velocidade m¶³nima com que o macaco e o preso dever~ao atingir
o solo de modo a n~ao quebrar o gancho?
14. Um bloco de massa m ¶e colocado sobre outro bloco de massa M , e o
conjunto ¶e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior,
~ de m¶odulo F . Observa-se que os dois
aplica-se uma for»ca horizontal F
blocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Os
coe¯cientes de atrito est¶atico e cin¶etico entre os blocos valem respectivamente ¹ E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶³cie de apoio ¶e
desprez¶³vel. Qual o valor m¶aximo F MAX que a for»ca F pode ter para
que o bloco m n~ao se mova em rela»c~ao ao bloco M? Qual o valor,
quando F = FMAX , da for»ca de contato entre os dois blocos?
m
M
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12
15. Um bloco de 4,0 kg ¶e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para
fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶e mantido ¯xo,
uma for»ca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima.
O conjunto de blocos ¶e agora colocado sobre uma mesa horizontal sem
atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»ca horizontal F m¶axima
aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b)
a acelera»c~ao resultante dos blocos.
4,0 kg
5,0 kg
16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao ligados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o t^em massas
desprez¶³veis, e n~ao h¶a atrito entre A e a superf¶³cie horizontal.
(a) Calcule a acelera»c~ao do sistema e a for»ca F exercida pelo ¯o em A.
(b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria
ter a massa de B para que a for»ca F 0 atuando sobre A seja o dobro da
for»ca F calculada no item (a)?
(c) Comente o resultado do item (b)
Ex. 16
A
para os casos em que mA = mB
e mA < mB .
B
17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶a sobre um plano liso com inclina»c~ao de 30± , preso por uma corda que passa por uma polia, de
massa e atrito desprez¶³veis. Na outra extremidade da corda est¶a colocado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado
verticalmente (veja ¯gura). Quais s~ao
Ex. 10
(a) os m¶odulos das acelera»c~oes de cada bloco e
(b) o sentido da acelera»c~ao de m2?
m1
m2
(c) Qual a tens~ao na corda?
18. Dois blocos s~ao ligados atrav¶es de uma polia, como mostrado na ¯gura.
A massa do bloco A ¶e de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶etico ¶e 0,20.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13
O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante.
Qual a massa de B?
m1
m2
19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) que
n~ao est~ao presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre eles
¶e ¹ E = 0,38, mas na superf¶³cie embaixo de M n~ao h¶a atrito. Qual a
for»ca horizontal m¶³nima F necess¶aria para manter m em contato com
M?
Ex. 19
Ex. 20
r
F
sem atrito
~ , de m¶odulo 50 N, empurra um bloco de peso
20. Uma for»ca horizontal F
20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre
a parede e bloco ¶e 0,40 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,30. Suponha que
inicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»car¶a a se
mover? (b) Qual a for»ca exercida pela parede sobre o bloco?
21. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo com
a equa»c~ao x = 0; 2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶e dado em metros e t em
segundos. Qual a for»ca que age sobre a part¶³cula em t = 0 s? Qual o
valor m¶aximo dessa for»ca?
22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte de
areia, e afunda 5 cm at¶e parar. Se supusermos que a for»ca de resist^encia
que atua no corpo quando ele penetra na areia ¶e constante, quanto ela
vale?
23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~oes desprez¶³veis est¶a caindo
verticalmente em dire»c~ao µa superf¶³cie da Terra. Quando est¶a a 10 m de
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14
altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»c~ao de um forte tuf~ao que lhe
imprime uma for»ca de componente horizontal dada por 3t (em Newtons,
com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima.
Quais a velocidade e a posi»c~ao da part¶³cula em cada instante? Qual
a equa»c~ao da trajet¶oria descrita pela part¶³cula? Esboce a curva desta
trajet¶oria.
24. Um homem de 80 kg pula para um p¶atio, da beirada de uma janela que
est¶a a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos,
quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa dist^ancia de 2,0 cm.
(a) Qual a acelera»c~ao m¶edia do homem, entre o primeiro instante em
que seus p¶es tocaram o ch~ao, ao instante em que ¯cou completamente
parado? (b) Qual a for»ca que o impacto transmitiu µa sua estrutura
¶ossea?
25. Um disco de massa M que est¶a ligado por um ¯o leve a outra massa
m pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶³vel, como mostrado
na ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descreva
um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !?
r
m
M
26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunfer^encia horizontal em torno das paredes verticais de um po»co cil¶³indrico de raio R.
(a) Com que velocidade m¶³nima ele deve andar se o coe¯ciente de atrito
est¶atico entre os pneus e a parede ¶e ¹E ? (b) Calcule esta velocidade
para R = 5 m e ¹ E =0,9.
27. Uma curva circular de auto-estrada ¶e projetada para velocidades de
60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶e 150 m, qual deve ser o ^angulo
de inclina»c~ao da rodovia? (b) Se a curva n~ao fosse inclinada, qual
deveria ser o coe¯ciente de atrito m¶³nimo entre os pneus e a estrada
para permitir o tr¶afego a essa velocidade sem derrapagem?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15
28. Uma crian»ca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um
carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual
a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve
ser o coe¯ciente de atrito est¶atico entre a cesta e o carrossel, para que
a cesta n~ao deslize sobre este?
29. Um p^endulo c^onico ¶e formado por massa de 50 g presa por um cord~ao
de 1,2 m. A massa gira formando um c¶³rculo horizontal de 25 cm de
raio. (a) Qual ¶e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»c~ao? (c) Qual
a tens~ao no cord~ao?
30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante,
tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso
aparente no ponto mais baixo?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 7
¶tica do Movimento Circular
Cinema
1. Um prato girat¶orio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»c~oes por
minuto. Qual a velocidade angular de rota»c~ao deste disco?
2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a
cada 2 segundos. Calcule o m¶odulo da velocidade do objeto se ele
estiver a uma dist^ancia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O.
3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um
ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»c~ao vale 0; 1 ¼ m/s. Em
t = 2 s, sua velocidade ¶e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a
acelera»c~ao angular m¶edia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade
angular est¶a aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶a necess¶ario
para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s?
4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma dist^ancia ` = 10 cm em
torno de um ponto O com per¶³odo de rota»c~ao ¯xo e igual a 4 s. Qual
a for»ca resultante agindo sobre este objeto?
5. O objeto do exerc¶³cio anterior num certo instante passa a descrever um
movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A
acelera»c~ao angular vale 0; 1 ¼ rad/s2. Qual a for»ca resultante agindo
sobre o objeto?
6. Na lista de exerc¶³cios 2, sobre Vetores, voc^e demonstrou no exerc¶³cio
9 uma rela»c~ao entre os vetores unit¶arios na representa»c~ao polar e os
vetores unit¶arios na representa»c~ao cartesiana,
r^ = cos µ^³ + sen µ ^´
µ^ = ¡ sen µ ^³ + cos µ^´
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17
Observando que a dire»c~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule
d ^r
d µ^
e
dt
dt
A partir destas express~oes, e usando que o movimento ¶e circular (r ¶e
constante)
~r = r ^r
demonstre que
~v = ! r µ^
~a = ¡ !2 r r^ + ® r µ^
onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 8
Movimento Relativo
1. Um piloto de ultraleve est¶a voando, e quer ir de um ponto A a um
ponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶a soprando a seu
favor, na dire»c~ao A-B. A velocidade do vento em rela»c~ao ao ch~ao ¶e de
20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidade
de 40 km/h em rela»c~ao ao ar. Qual a velocidade que um observador no
ch~ao mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶e
B? Se as condi»c~oes do vento continuarem iguais, e ele resolver voltar
de B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade,
observada do ch~ao, na volta?
2. A dist^ancia entre dois pontos A e B ¶e L. Um avi~ao voa de A at¶e B e
volta, com velocidade de m¶odulo v constante em rela»c~ao ao ar. Calcule
o tempo total que gastar¶a para realizar o percurso, se o vento sopra
com uma velocidade de m¶odulo u:
(a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B;
(b) na dire»c~ao perpendicular µa linha que une A e B.
Demonstre que a dura»c~ao da viagem sempre ¶e maior quando h¶a vento.
3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶agua move-se com velocidade de m¶odulo u em rela»c~ao µas margens. Um barco parte de um
ponto A em uma das margens, para alcan»car um ponto B na outra,
desenvolvendo uma velocidade de m¶odulo v em rela»c~ao µa ¶agua. Qual
a orienta»c~ao que ele deve tomar, e que tempo levar¶a para atravessar o
rio, se
(a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A?
(b) o ponto B ¶e tal que o tempo de travessia ¶e o menor poss¶³vel?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19
4. Um navio a vapor navega em dire»c~ao ao Sul a 25 km/h em uma regi~ao
onde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o ^angulo que a fuma»ca
saindo da chamin¶e forma com a dire»c~ao Norte?
5. Um navio est¶a navegando paralelamente a uma linha costeira reta com
velocidade de m¶odulo v. No instante que ele passa por um porto, um
barco da guarda-costeira sai para intercept¶a-lo com uma velocidade de
m¶odulo u (u > v). Que dire»c~ao o barco da guarda costeira deve seguir
para alcan»car o navio no menor tempo poss¶³vel?
6. Um b^ebado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante.
Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»ca quase
vazia. Ele somente nota o fato ap¶os ter remado meio hora. Nesse
instante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶e encontrar
a garrafa, que se encontrava a um quil^ometro da ponte, rio abaixo.
Ache a velocidade do rio. (Sugest~ao: utilize um sistema de refer^encia
parado em rela»c~ao µa ¶agua.)
7. Duas part¶³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com velocidades constantes ~v1 = 2^³ cm/s e ~v2 = 3^´ cm/s. No instante t = 0 elas
est~ao nas posi»c~oes dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm.
Obtenha o vetor ~r2 ¡ ~r1 que representa a posi»c~ao da part¶³cula 2 com
respeito µa part¶³cula 1, como fun»c~ao do tempo. Determine em que instante de tempo elas estar~ao com a menor separa»c~ao poss¶³vel, e qual ¶e
esta dist^ancia de m¶axima aproxima»c~ao.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 9
~o Inerciais
Referenciais Na
1. Um homem entra numa farm¶acia e pesa-se em uma balan»ca calibrada
em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador
que possui uma balan»ca tamb¶em calibrada em Newtons. O que ler¶a se
repetir a pesagem dentro do elevador
(a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»c~ao constante de 2 m/s2 ?
(b) subindo entre o terceiro e o d¶ecimo andares com velocidade constante de 7 m/s?
(c) subindo entre o d¶ecimo e o d¶ecimo segundo andares com desacelera»c~ao de 2 m/s 2?
(d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando
µa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante
de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µa raz~ao de 2 m/s 2?
2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave possui acelera»c~ao ~a e est¶a num local do espa»co onde n~ao existe campo
gravitacional algum. O alvo est¶a na mesma altura das m~aos do observador, e a uma dist^ancia L deste. A velocidade inicial do proj¶etil
tem m¶odulo v0. Fa»ca um desenho mostrando a trajet¶oria seguida pelo
proj¶etil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados
do problema, ache o ^angulo que o proj¶etil deve fazer com a horizontal
ao ser arremessado para que ele atinja o alvo.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21
~a 6
¾
t
-
L
t
3. Um garoto est¶a sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre o
solo plano com acelera»c~ao ~a na dire»c~ao de seu movimento. Com que
^angulo com a vertical o garoto deve lan»car uma bola de massa m para
que, quando a bola cair, ele possa apanh¶a-la sem se mover?
4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata e
deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante
a corrida para al»car v^oo, que dura 30 s, a gravata faz um ^angulo de
150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e
quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e
horizontal, e que a acelera»c~ao do motor ¶e constante.
5. Um objeto de massa m est¶a preso por uma corda de massa desprez¶³vel
ao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao ¶e colocado
em movimento, com uma acelera»c~ao ~a horizontal de m¶odulo constante,
para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na ¯gura). O
^angulo que o ¯o faz com o teto ¶e µ. O atrito entre o objeto e a parede
¶e desprez¶³vel.
µ¶
¶
¶u
¶
~a
-
(a) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um
observador ¯xo numa esta»c~ao,
(b) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um observador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas rea»c~oes.
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22
(c) Calcule o valor da for»ca de contato entre o objeto e a parede do
vag~ao.
6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶³cie
sem atrito inclinada de 300 em rela»c~ao µa horizontal. Suponha que esta
superf¶³cie seja acelerada para a esquerda com acelera»c~ao ~a constante.
A magnitude da acelera»c~ao ¶e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenhe
um diagrama que mostre as for»cas que atuam sobre o objeto, em um
sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»c~ao para
que o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto
de vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o plano
inclinado.
© ©
©
©
© © 300
©
©
© ©
© ©m A© ©
AA © ©©©
© ©
¾
©
~a
7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de
mesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidades
opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶e girado com
velocidade angular - num c¶³rculo vertical em torno do ponto m¶edio da
barra, O. Cada cabine possui uma balan»ca, e os astronautas se pesam
sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na vertical, (a) fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre cada um dos
astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item
para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a medida da balan»ca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que
velocidade de rota»c~ao ¶e necess¶aria para produzir a sensa»c~ao de imponderabilidade na cabine de cima? Nesta situa»c~ao, qual a leitura feita na
balan»ca da outra cabine?
F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23
Â
Á
¿
À
-O
Â
Á
¿
À
8. Um corpo de massa m est¶a apoiado em um suporte dentro de um
cilindro de raio R que gira com velocidade angular constante - em
torno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ o
coe¯ciente de atrito est¶atico entre o corpo e a parede interna do cilindro,
pergunta-se: (a) Qual o menor valor de - para que o qual se pode retirar
o suporte sem que o corpo deslize em rela»c~ao µa parede do cilindro? (b)
O que acontece com o valor da for»ca de atrito se - for maior do que o
valor m¶³nimo encontrado no item anterior?
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
TEXTO COMPLEMENTAR 1
Vetores
Muitas das grandezas usadas na F¶³sica n~ao podem ser representadas por
um u¶nico n¶
umero. Grandezas como a posi»c~ao de um objeto, sua velocidade,
a for»ca aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»c~ao
precisa, n~ao s¶o de um valor num¶erico { a dist^ancia a um ponto de refer^encia, o
valor medido no od^ometro de um carro, a intensidade da for»ca { mas tamb¶em
de dire»c~ao e sentido.
De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶e uma grandeza que pode ser
representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento
¶e o m¶odulo do vetor, sua dire»c~ao ¶e fornecida pela dire»c~ao da reta que suporta
o semento, e o sentido ¶e dado pela orienta»c~ao do segmento. Um vetor em
geral ¶e representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como
~a ; seu m¶odulo ¶e representado por j~aj = a.
r
a
Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶e, um
vetor ¶e um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo
de diferentes pontos do espa»co. Um vetor tamb¶em ¶e um elemento de um
conjunto { chamado espa»co vetorial { que associado a duas opera»c~oes, a
adi»c~ao e a multiplica»c~ao por escalar, tem algumas propriedades: ¶e fechado
em rela»c~ao a estas duas opera»c~oes (a soma de dois vetores ¶e um vetor,...),
o elemento neutro da adi»c~ao (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os
vetores possuem elemento inverso em rela»c~ao µa adi»c~ao, ....
Um exemplo de vetor bem conhecido ¶e o vetor deslocamento de um objeto
pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser representado por um vetor d~ com m¶odulo igual µa dist^ancia entre os pontos A e B,
dire»c~ao de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.
r
d
A
B
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25
Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que corresponde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.
Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do
ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C.
r
d1
B
r
d
A
r
d2
C
A opera»c~ao de adi»c~ao de dois vetores ¶e de¯nida de forma an¶aloga µa soma
de dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outros
vetores ~a e ~b, ~c = ~a+~b, ¶e o vetor correspondente ao segmento de reta orientado
obtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma tem
este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que
pode ser formado com lados ~a e ~b.
r r r
c = a+b
r
a
r
b
A adi»c~ao de vetores ¶e comutativa
~a + ~b = ~b + ~a
e ¶e distributiva:
³
´
³
´
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.
Um deslocamento d~ de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»c~ao,
a dire»c~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a
mesma dire»c~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento d~ por
um n¶
umero real ®, de forma tal que a dist^ancia percorrida seja ® d. Se ® ¶e
positivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B at¶e A, o deslocamento
pode ser representado por um vetor com a mesma dire»c~ao, mesmo m¶odulo e
~
sentido oposto, ¡ d.
r
−d
A
r
d
r
2d
B
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26
A opera»c~ao de multiplica»c~ao de um vetor ~b por um escalar ® (um n¶umero
real) ¶e de¯nida como sendo uma opera»c~ao cujo resultado ¶e um vetor ® ~b
{ cujo m¶odulo ¶e dado por j®j b,
{ cuja dire»c~ao ¶e a mesma dire»c~ao do vetor ~b,
{ e cujo sentido ¶e o de ~b no caso em que ® > 0, e contr¶ario se ® < 0.
Desta maneira, a diferen»ca de dois vetores ¶e a soma de dois vetores, o
primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶
umero real ¡1:
³
´
~a ¡ ~b = ~a + ¡ ~b :
r
a
r r r
d = a −b
r r r
c =a +b
r
b
Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)
na dire»c~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores que
t^em a dire»c~ao AB.
Da mesma maneira que ¶e necess¶aria uma unidade de medida, um padr~ao,
para a descri»c~ao de grandezas escalares (como temperatura, massa), precisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi¯ca»c~ao de um
vetor exige m¶odulo, dire»c~ao e sentido; um padr~ao para descrev^e-lo n~ao pode
ser um simples n¶umero, tem que ter tamb¶em dire»c~ao e sentido. Ou seja, ¶e
tamb¶em um vetor.
Um vetor cujo m¶odulo vale 1 unidade ¶e chamado de vetor unit¶ario. A sua
representa»c~ao ¶e feita usuamente por um \chap¶eu" (acento circun°exo) sobre
uma letra: ^a. Da opera»c~ao de multiplica»c~ao por escalar, podemos escrever
imediatamente
d~ = a d^ :
r
d
A
d̂
B
E para obter-se o vetor unit¶ario associado a um vetor qualquer basta divid¶³-lo
pelo seu m¶odulo:
1
d^ = d~ :
d
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27
Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coordenadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»co, s~ao necess¶arias tr^es
coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, portanto, precisamos de suas tr^es componentes ao longo de tr^es eixos { ou de
tr^es unit¶arios de dire»c~oes independentes. O sistema de tr^es vetores unit¶arios
mais comum ¶e um sistema constitu¶³do de tr^es unit¶arios mutuamente perpendiculares, com a conven»c~ao de ordem indicada na ¯gura abaixo.
k̂
z
y
)
j
î
x
Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como
sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento
atrav¶es das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»c~ao ¯ca como
na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixos
x e y: A = (xA; yA ).
y
yA
A
O
xA
A = ( xA , yA )
x
~ = d~ pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao
O vetor OA
eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»c~ao ¯ca
~rA = ~xA + ~yA
como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶arios das dire»c~oes x e y como
sendo ^³ e ^´, temos
~rA = xA ^³ + yA ^´
y
yA
O
A = ( xA, yA )
A
xA
x
r
rA = x A î + y A ˆj
O vetor componente de ~rA na dire»c~ao x, ~xA, tem m¶odulo igual a jxAj, pois
xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28
coincidir ou n~ao com o sentido do unit¶ario ^³. O mesmo ocorre para o vetor
componente de ~rA na dire»c~ao de y, yA. Assim,
~xA = xA ^³ ; ~yA = yA ^´ :
y
r r r
rA = xA + yA =
A
r
yA
r
xA
O
x
= xA î + y A ĵ
Os valores xA e yA s~ao chamadas de componentes do vetor ~rA segundo os
eixos x e y, ou segundo as dire»c~oes dos unit¶arios ^³ e ^´.
y
y
r
A
θ
x
x = r cos θ
y = r senθ
x
Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde r
corresponde µa dist^ancia µa origem de coordenadas e µ o ^angulo que a dire»c~ao
OA faz com um eixo arbitr¶ario { no caso o eixo x. As duas descri»c~oes
A = (r; µ) = (x; y) est~ao relacionadas atrav¶es das express~oes
x = r cos µ ; y = r sen µ
q
y
x
e ¶e imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais ou
menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶odulo
~
do vetor OA.
As opera»c~oes de adi»c~ao de vetores e multiplica»c~ao por escalar podem ser
feitas em termos de componentes.
r=
x2 + y2 ; µ = arctg
r
a
r
b
r r r
c = a+b
r
c
bx
cx = a x + b x
x
a x cx
Da ¯gura, para a adi»c~ao de vetores
³
cx = ~a + ~b
´
x
= ax + bx
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29
e de forma an¶aloga
³
´
cy = ~a + ~b
y
= ay + by
Para a multiplica»c~ao de um vetor por um escalar,
r
r
b=αa
r
b
r
a
bx = α a x
ax
bx = (® ~a)x = ® ax ;
x
bx
by = (® ~a)y = ® ay :
Duas outras opera»c~oes com vetores s~ao usadas para a de¯ni»c~ao de conceitos f¶³sicos.
A primeira opera»c~ao ¶e o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta
opera»c~ao, a um par de vetores ~a e ~b associa-se um n¶
umero real ~a ¢ ~b de¯nido
como
~a ¢ ~b = a b cos µ
onde µ ¶e o ^angulo entre as dire»c~oes de ~a e ~b.
r
a
ab = a cos θ
θ
ab
r
b
Esta de¯ni»c~ao ¶e equivalente a dizer que o produto escalar de ~a por ~b ¶e o
produto do m¶odulo de ~b pela proje»c~ao de ~a na dire»c~ao de ~b. Geometricamente,
veri¯ca-se trivialmente que
~a ¢ ~b = ~b ¢ ~a
~a ¢~a = a2
~a ¢ ~b = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~a ? ~b
³
´
~a ¢ ~b + ~c = ~a ¢ ~b + ~a ¢ ~c
Se os vetores ~a e ~b s~ao paralelos, ~a ¢ ~b = a b. Se s~ao anti-paralelos (seus
sentidos s~ao opostos) ~a ¢ ~b = ¡ a b.
Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as propriedades anteriores. Se ~a = ax ^³ + ay ^´ + az ^k e ~b = bx ^³ + by ^´ + bz k^ , ent~ao
³
~a ¢ ~b = ax ^³ + ay ^´ + az ^k
´
³
´
¢ bx^³ + by ^´ + bz k^ = ax bx + a y by + az bz
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30
Da de¯ni»c~ao do produto escalar, tamb¶em, pode-se demonstrar que
a x = ~a ¢ ^³ ; ay = ~a ¢ ^´ ; az = ~a ¢ ^k
~a ¢ ~b
ab
O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em F¶³sica com
~ num deslocamento:
a de¯ni»c~ao de trabalho realizado por uma for»ca F
cos µ =
F
WAB
=
Z
~ ¢ d~r :
F
A outra opera»c~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois
vetores ~a e ~b um terceiro vetor c
~c = ~a £ ~b
com o m¶odulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶e o (menor) ^angulo entre ~a e ~b,
com dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em ~a e ~b, e sentido dado pela
chamada \regra da m~ao direita". Esta de¯ni»c~ao est¶a ilustrada na ¯gura a
seguir.
r
c
r
a
r r r
c = a× b
r
c
r
b
c = área
r
b
b senθ
r
a
O produto vetorial de dois vetores n~ao ¶e comutativo { a ordem dos fatores
troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶em podem ser veri¯cadas
facilmente da de¯ni»c~ao,
~a £ ~b = ¡ ~b £ ~a
³
´
~a £ ~b + ~c = ~a £ ~b + ~a £ ~c
³
´
~a £ ®~b = ®~a £ ~b
a~a = 0
O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶e nulo.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31
Em componentes,
~a £ ~b = (ay bz ¡ az by ) ^³ + (az bx ¡ ax bz ) ^´ + (a x by ¡ ay bx) k^
O produto vetorial aparece em F¶³sica na de¯ni»c~ao de torque de uma for»ca
em rela»c~ao a um ponto, e momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao a
um ponto:
~
¿ = ~r £ F
~ O = ~r £ p~ = m ~r £ ~v
L
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32
IF { UFRJ { 2004/1
F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)
Lista de exerc¶³cios 6 { Respostas
1. Peso (rea»c~ao sobre a Terra) e sustenta»c~ao (rea»c~ao sobre a ponta do
cabo). Quando a ma»c~a est¶a caindo, atua apenas o peso.
2. No sentido do movimento do corpo.
3. No arm¶ario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem:
peso, normal, atrito, rea»c~ao ao empurr~ao.
4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg.
5. (Discutir com o professor.)
6. For»ca de contato entre os blocos: de m¶odulo F cos µ m=(M + m), horizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»ca de
contato entre m e a superf¶³cie: mg, vertical e para cima. For»ca de
contato entre M e a superf¶³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima.
7. (a) 1; 1 N.
8. (a) 0; 97 m/s2 ; (b) T1 = 11; 6 N, T 2 = 34; 8 N.
9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d)
Sim, fat = 311 N.
10. a = 2; 5 m/s2 , N = 20 N.
11. a = 2; 2 m/s2 , N = 22 N.
12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2,
N = 24 N, caso a for»ca tenha dire»c~ao e sentido como na ¯gura do
exerc¶³cio 11.
13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s 2.
14. F MAX = ¹E (M + m) g; f = ¹E mg e n = mg s~ao as duas componentes
da for»ca de contato entre os dois blocos.
F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33
15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.
16. (a) a = mB g=(mA + mB), F = mAmBg=(mA + mB ).
(b) m0B = 2mAmB =(mA ¡ mB).
17. (a) 0; 75 m/s2 ; (b) para baixo; (c) 21; 3 N.
18. Supondo que o ^angulo de inclina»c~ao do plano ¶e de 30±, mB = 3; 3 kg.
19. 421 N.
20. (a) N~ao. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente horizontal: 50 N para a esquerda.
21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N.
22. 1000 N.
23. Sistema de coordenadas: unit¶arios ^³ na dire»c~ao horizontal, com o sentido do tuf~ao, ^´ para cima; a origem est¶a no ch~ao, bem embaixo do ponto
inicial do corpo. ~v(t) = 3t2 ^³ + 10 (t ¡ 1) ^´, ~r(t) = t3 ^³ + 5 (t2 ¡ 2t + 2)^´.
24. (a) 250 m/s2 ; (b) 2; 0 £ 104 N.
25. m = M g=(!2r).
26. (a) vMIN =
q
gR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h.
27. (a) 10± ; (b) 0,19.
28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02.
29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶³rculo; (b) 2,1 m/s2 , apontando para o centro
do c¶³rculo; (d) 0,5 N.
30. 192 kg.