Curso de Pré-Cálculo
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Curso de Pré-Cálculo Alexsandro Cristovão Bonatto (Organizador) Eric Robalinho Daniela Haas Diana Vega Marona Fernanda Krüger Tomaschewski Silvane Verch Porto Alegre 2016 1ª edição Curso de Pré-Cálculo Alexsandro C. Bonatto (Organizador) Eric Robalinho Daniela Haas Diana Vega Marona Fernanda Krüger Tomaschewski Silvane Verch Curso de Pré-Cálculo Alexsandro C. Bonatto (Organizador) Eric Robalinho Daniela Haas Diana Vega Marona Fernanda Krüger Tomaschewski Silvane Verch Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Campus Restinga Porto Alegre – RS – Brasil 2016 Copyright © 2016 de Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) – Campus Restinga Todos os direitos reservados 1a Edição, 2016. ISBN 978-85-66309-05-8 Edição: Alexsandro Cristovão Bonatto Revisão: Eric Robalinho e Fernanda Krüger Tomaschewski Capa: Eric Robalinho Endereço: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS) – Campus Restinga Rua Alberto Hoffmann, 285 Bairro Restinga - CEP 91791-508 – Porto Alegre – RS Fone: (51) 3247-8400 C977 Curso de Pré-Cálculo / Alexsandro Cristóvão Bonatto (org.) , Eric Robalinho... [et al.]. Porto Alegre: IFRS Campus Restinga, 2016. 89 p. ISBN: 978-85-66309-05-8 1. Matemática (Ensino Médio). I. Bonatto, Alexsandro Cristóvão. II. Eric Robalinho CDU 51 Responsável: Bibliotecária Paula Porto Pedone – CBR10/1825 SUMÁRIO 1 Operações com Números Reais e Complexos .........................................................9 1.1 CONJUNTOS ....................................................................................... 9 1.2 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS ................................................. 11 1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................... 12 1.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS - FRAÇÕES ................................... 14 1.5 OPERAÇÕES COM RACIONAIS – NÚMEROS DECIMAIS............... 15 1.6 NÚMEROS IRRACIONAIS – I .......................................................... 16 1.7 NÚMEROS REAIS – 1.8 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS ......................................... 17 1.9 RADICIAÇÃO ..................................................................................... 19 1.10 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES ..................................... 21 1.11 MÓDULO DE UM NÚMERO............................................................... 22 1.12 INTERVALOS ..................................................................................... 22 1.13 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................... 23 1.14 Exercícios de Verificação de Aprendizagem....................................... 30 2 R ..................................................................... 16 Equações e Inequações Polinomiais ......................................................................35 2.1 EQUAÇÃO DE 1º GRAU .................................................................... 35 2.2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU .............................................................. 35 2.3 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 1º GRAU ........................................... 36 2.4 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 1º GRAU ........................................ 37 2.5 EQUAÇÃO DO 2º GRAU .................................................................... 37 2.6 DISCRIMINANTE ............................................................................... 39 2.7 PROPRIEDADE DAS RAÍZES ........................................................... 39 2.8 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU .............................................................. 40 2.9 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 2º GRAU ........................................... 41 2.10 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 2º GRAU ........................................ 41 2.11 EQUAÇÕES MODULARES ................................................................ 42 2.12 INEQUAÇÕES MODULARES ............................................................ 42 2.13 Exercícios de verificação de aprendizagem:....................................... 44 3 Funções Reais e Modelagem: Constante, 1º grau, 2º grau, Exponencial e Modular................................................................................................... ................47 3.1 FUNÇÕES REAIS .............................................................................. 47 3.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem .............................................. 53 3.3 POLINÔMIOS ..................................................................................... 56 3.4 FRAÇÕES PARCIAIS ......................................................................... 63 3.5 Exercícios de Fixação e Aprendizagem .............................................. 65 4 Matrizes e Sistemas Lineares .................................................................................71 4.1 MATRIZES.......................................................................................... 71 4.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: ............................................. 74 4.3 SISTEMAS LINEARES ....................................................................... 75 4.4 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: ............................................. 77 5 Trigonometria no Triângulo Retângulo e no Ciclo Trigonométrico ..........................79 5.1 O QUE É TRIGONOMETRIA? ............................................................ 79 5.2 GRAUS X RADIANOS ........................................................................ 80 5.3 TEOREMA DE PITÁGORAS .............................................................. 80 5.4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..... 81 5.5 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................... 83 5.6 NOÇÕES SOBRE O CICLO TRIGONOMÉTRICO ............................. 84 5.7 ARCOS CÔNGRUOS ......................................................................... 86 5.8 PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO ................... 86 5.9 Exercícios de verificação de aprendizagem........................................ 87 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................89 PREFÁCIO Este livro, em sua 1ª edição revisada, foi inicialmente escrito pelos professores da área de matemática do IFRS Campus Restinga com o objetivo de ser utilizado em um curso de nivelamento em matemática do Ensino Médio. Para os Cursos de Tecnologia que têm disciplinas de cálculo, a matemática é uma grande aliada para resolver problemas e aplicações propostos ao longo do curso. O alto índice de reprovação na disciplina de Cálculo I do nosso instituto foi a causa propulsora deste projeto. Para os docentes desta disciplina a maior dificuldade dos alunos encontra-se na matemática básica. O objetivo principal do projeto é resgatar esses alunos, cuidar da evasão, melhorar o índice de aprovação, mantendo o nível e a qualidade da educação deste campus. Esperamos conseguir preencher as lacunas existentes na formação de nossos acadêmicos, em nível básico. Desta forma, acreditamos que conseguiríamos diminuir o desnível existente entre a Matemática do Ensino Médio para a de nível superior, em especial para o Cálculo Diferencial e Integral. Formato do curso: os encontros de Pré-Cálculo ocorrerão nas primeiras semanas de aula, totalizando cinco aulas de 4 horas cada. Recomenda-se, fortemente, que todos os calouros dos cursos de Tecnologia realizem esta atividade. Formato das aulas: exposição de conteúdos feita pelo professor, realização em grupos dos exercícios propostos, e apresentação das soluções no quadro, por representantes dos grupos. Ao término de cada aula, ficará para o acadêmico uma listagem de exercícios denominada “exercícios de verificação de aprendizagem”, é de suma importância sua realização. Este material está organizado em cinco capítulos, que serão trabalhados em cinco aulas: AULA 1: Conjuntos numéricos: operações (reais e complexos). AULA 2: Equações e inequações polinomiais. Fatoração polinomial. AULA 3: Funções reais e modelagem. AULA 4: Matrizes e sistemas lineares. AULA 5: Trigonometria no triângulo retângulo e ciclo trigonométrico. Autores: Daniela Haas ([email protected]) Diana Vega Marona ([email protected]) Eric Robalinho ([email protected]) Fernanda Krüger Tomaschewski ([email protected]) Silvane Verch ([email protected]) Organizador: Alexsandro Cristovão Bonatto ([email protected]) 1 Operações com Números Reais e Complexos Profa. Silvane Verch OBJETIVOS DA AULA: como não poderia deixar de ser, o primeiro encontro no curso destinase a retomar e aprofundar conceitos introdutórios tais como números reais e complexos, suas operações e propriedades. 1.1 CONJUNTOS 1.1.1 Conceito É uma coleção qualquer de objetos. Normalmente usamos letras maiúsculas A, B, X , Y ,... para denotar conjuntos, e letras minúsculas a, b, x, y,... para denotar elementos de conjuntos. Usamos: p A para afirmar que “p é um elemento de A”, ou seja, “p pertence a A”. p A para afirmar que “p não é um elemento de A”, ou seja, “p não pertence a A”. A B se e somente se os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos. Caso contrário A B . Observação: cada elemento de um conjunto deve ser listado apenas uma vez (conjuntos não possuem elementos repetidos). 1.1.2 Representação de Conjuntos Lista dos elementos Entre chaves. Exemplo: A a, e, i, o, u Separado por vírgula. Propriedade ou condição Exemplo: Elementos. A x x é uma vogal (conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal) Diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês, 1834-1923) Exemplo: a u i e o 9 1.1.3 Conjunto Vazio – ou É o conjunto que não possui elementos. Exemplo: A x x N e x 0 1.1.4 Conjunto Unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Exemplo: B 10 . 1.1.5 Conjunto Universo – U É o conjunto de todos os elementos dos conjuntos considerados. 1.1.6 Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a outro conjunto, dizemos que A é um subconjunto de B, ou que A está contido em B, ou ainda que B contém A. A B B A Observações: A A (todo conjunto é subconjunto dele mesmo) 2) A (o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos) 1) Exemplo: A x N x 4 B x R xx 1 0 A 0, 1, 2, 3 e B 0, 1 Podemos afirmar que B é um subconjunto de A. ( B A ). Observação: se pelo menos um elemento de A não pertence a B, usamos , ou seja, A B (A não está contido em B). Também podemos usar B A (B não contém A). Exemplos: dados os conjuntos A 0, 1, 2, 3 e B 0, 1, 2, 3, 4, 5 e C 0, 2, 5 , temos: A B , pois todos os elementos de A pertencem a B; C A , pois 5 C e 5 A ; B C , pois todo elemento de C pertence a B; B A , pois 4 B e 4 A , e também 5 B e 5 A ; 10 1.1.7 Relação de Inclusão entre Conjuntos Dados os conjuntos A e B, se todo elemento de A for também elemento de B, Esta relação chama-se relação de inclusão. A B. Propriedades a) Propriedade reflexiva: A A b) Propriedade antissimétrica: se A B e B A , então A B .Usada sempre que se quer provar que dois conjuntos são iguais. c) Propriedade transitiva: se A B e B C , então A C . É fundamental nas deduções. Na lógica é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo. Por exemplo: G: conjunto dos gaúchos S B B: conjunto dos brasileiros G S: conjunto dos sul-americanos Todo gaúcho é brasileiro. Todo brasileiro é sul-americano. Então, todo gaúcho é sul-americano. Se G B e B S , então G S . 1.2 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 1.2.1 União de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B, ao conjunto representado por A B . Este conjunto é formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B. Veja a figura a seguir: A B x x A ou x B Propriedades: sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. Então: a) A B C A B C (associativa) b) A B B A (comutativa) 11 c) d) e) A A A A A (elemento neutro) A U U 1.2.2 Interseção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A B . Este conjunto é formado por todos os elementos pertencentes a A e a B, simultaneamente. Veja a figura abaixo: A B x x A e x B Propriedades: sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. Então: a) b) c) d) e) A B C A B C A B B A A A A A (associativa) (comutativa) A U A 1.2.3 Diferença de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A B . Este conjunto é formado por todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Veja a figura a seguir: A B x x A e x B Observação: A B B A 1.2.4 Complementar de um Conjunto A diferença U A , onde U é o conjunto universo, é chamada de complementar de A e será denotada por AC , ou seja, AC U A 1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.3.1 Números Naturais – N Tem como elementos números inteiros e positivos, incluindo o zero. N 0 , 1, 2, 3, 4 , ... 12 Subconjunto * * Conjunto dos números naturais não nulos: N 1, 2, 3, 4, ... , ou seja, N N 0 1.3.2 Números Inteiros – Z Tem como elementos números inteiros positivos e negativos, ou seja, são todos os números que pertencem ao conjunto mais os seus respectivos opostos (negativos). Z ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... Subconjuntos * Conjunto dos números inteiros não nulos: Z ..., 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, ... , ou seja, Z * Z 0 Conjunto dos números inteiros não negativos: Z 0 , 1, 2, 3, 4 , ...; Z N * * * Conjunto dos números inteiros positivos: Z 1, 2, 3, 4, ... ; Z N Conjunto dos números inteiros não positivos: Z ..., 4 , 3, 2, 1, 0; Z Z Z * * * Conjunto dos números inteiros negativos: Z ..., 4, 3, 2, 1 ; Z Z Z Observação: NZ 1.3.3 Números Racionais – Q Tem como elementos números que podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros. p Q p e q Z , onde q 0 q Exemplos: 3 7 , 0, (números inteiros) 1 1 1 5 3 0 ,5 ; 1,25 ; 0 ,6 b) (números decimais finitos) 2 4 5 7 1 2 c) 1,166... ; 0 ,333... ; 0 ,285714285714... (números decimais infinitos = 6 3 7 a) dízimas periódicas) Subconjuntos * Conjunto dos números racionais não nulos: Q Conjunto dos números racionais não negativos: * Conjunto dos números racionais positivos: Q Conjunto dos números racionais não positivos: * Conjunto dos números racionais negativos: Observação: Q Q Q N Z Q 13 1.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS - FRAÇÕES 1.4.1 Adição e Subtração de Frações Para adicionar ou subtrair frações devemos analisar dois casos: 1º Caso: denominadores iguais Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores iguais, mantemos o denominador em comum e somamos ou subtraímos os numeradores. Exemplo: 5 1 51 6 7 7 7 7 8 3 83 5 12 12 12 12 2º Caso: denominadores diferentes Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações. Como obter as frações equivalentes: - Utilizar o mmc dos denominadores; - Dividir este valor do mmc pelo denominador original da fração; - Multiplicar o resultado pelo numerador original, obtendo assim a fração equivalente. Exemplo: 4 3 3 4 mmc(3, 4) = 12 4 16 3 9 4 3 16 9 25 e 3 12 4 12 3 4 12 12 12 1.4.2 Multiplicação de Frações Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a operação usando o processo de cancelamento. Exemplo: 4 7 5 10 14 Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Exemplo: 2 3 6 5 5 1.4.3 Divisão de Frações Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Exemplo: 3 11 7 5 1.5 OPERAÇÕES COM RACIONAIS – NÚMEROS DECIMAIS 1.5.1 Adição e Subtração de Números Decimais Para adicionar ou subtrair números decimais devemos colocar vírgula embaixo vírgula. de Exemplo: 2,4 1,723 2,4 1,723 2 ,400 1,723 4 ,123 2 ,400 1,723 0 ,677 1.5.2 Multiplicação de Números decimais Para multiplicar números decimais temos dois modos: 1º Modo: transformar em frações decimais Transformar os números decimais em frações e realizar a multiplicação de numerador com numerador e denominador com denominador. Exemplo: 2,25 3,5 15 2 ,25 3,5 225 35 7875 7 ,875 100 10 1000 2º Modo: multiplicar como se fossem números inteiros Multiplicar como se fossem números inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Exemplo: 2,25 3,5 2 ,25 2 casas decimais 3,5 1 casa decimal 1125 675 7 ,875 3 casas decimais 1.5.3 Divisão de Números decimais Para dividir números decimais devemos: - Igualar o número de casas decimais, com o acréscimo de zeros; - Suprimir as vírgulas; - Efetuar a divisão. Exemplo: 0 ,35 7 0,35 7,00 35 700 350 700 0, 3500 700 0,0 3500 -3500 0 700 0,05 1.6 NÚMEROS IRRACIONAIS – I Os números irracionais são aqueles que não admitem uma representação decimal exata nem uma representação na forma de dízima periódica, ou seja, não podem ser expressões como fração. Exemplos: x 1010010001... 3,14159265... 2 1,41421356... 3 1,73205080... e 2,7182818285... Observação: todas as raízes inexatas são números irracionais. 1.7 NÚMEROS REAIS – R O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números racionais e irracionais. RQI 16 Subconjuntos R* x R x 0 R 0 Conjunto dos números reais não nulos: Conjunto dos números reais não negativos: Conjunto dos números reais positivos: Conjunto dos números reais não positivos: Conjunto dos números reais negativos: R x R x 0 R* x R x 0 R x R x 0 R* x R x 0 Observações: N Z Q R I R I RQ Veja o diagrama abaixo: Todo número real pode ser representado por um ponto sobre uma reta, e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta pode ser associado a um número real. 1.8 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS Definição: Dado um número real a qualquer, sendo n um número natural n > 1 , define- n se a elevado a n a , como sendo o produto de n fatores iguais ao número a, ou seja, 1.8.1 Casos Particulares a 0 1 a 0 a1 a 17 1.8.2 Propriedades am an amn 2 3 23 35 243 Exemplo: 3 3 3 I. am am n a 0 e m n an 54 4 2 52 25 Exemplo: 2 5 5 II. a bn a n bn 2 2 2 Exemplo: 3 4 3 4 9 16 144 III. n n a a n b 0 b b IV. 2 Exemplo: a m n V. 52 25 5 2 2 4 2 a m n Exemplo: 2 an VI. 2 3 223 26 64 1 a 0 an Exemplo: 42 1 1 2 4 16 Cuidado!!! 1) a m n am n 2 3 22 26 28 64 256 Exemplo: 2 2) 3 a bn a n bn 2 2 2 Exemplo: 4 3 4 3 7 2 16 9 49 25 3) a bn an bn 3 3 3 Exemplo: 2 3 2 3 13 8 27 1 19 18 1.8.3 Potências de Base 10: 1.9 RADICIAÇÃO Definição: Define-se como raiz de índice n, n 1 , de um número a, a R , ao número b, tal que b elevado a n resulta em a. n a b bn a b 0 Observação: em todo radical cujo índice é um número par, a raiz considerada é sempre positiva. Caso Particular: n a n a , onde n 1 2 52 5 Observações: Se n é par, então a R . Exemplo: Se n é ímpar, então a R . Exemplo: n 3 53 5 1 1 1.9.1 Propriedades I. n am n p am p e n n r n am a r , onde n, p e r 1 , r é divisor comum de n e m. Exemplos: II. n 4 7 3 42 7 32 8 76 4 3 3 2 2 31 2 4 2 2 a b n a n b , onde n 1 Observações: Se n é par, então Exemplo: 2 a e b R . 56 2 5 2 6 19 Se n é ímpar, então a e b R . Exemplo: III. n 43 5 4 5 3 5 a na , onde n 1 b nb Observações: Se n é par, então * a R e b R . 2 2 5 5 Exemplo: Se n é ímpar, então a R e Exemplo: n m IV. a V. 3 1 1 3 -3 3 3 a nm a , onde n e m 1 e a R Exemplo: n b R* . m 3 3 2 3 6 3 3 m n a a , onde n 1 , m R e a R Exemplo: n m 2 3 4 4 2 2 3 3 4 Cuidado!!! 1) n ab n a n b Exemplo: 9 16 9 16 25 3 4 5 7 2) a 2 b2 a 2 b2 Exemplo: 6 2 82 6 2 82 36 64 6 8 100 14 10 14 3) a 2 b2 a 2 b2 Exemplo: 52 4 2 52 4 2 25 16 5 4 20 9 1 31 1.10 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma fração consiste em eliminar, através de propriedades algébricas, o radical ou os radicais do denominador. 1.10.1 Casos Principais 1º Caso: o denominador contém radical de índice 2 Exemplo: 2 3 2 3 2 3 3 3 3 32 2º Caso: o denominador contém radical de índice diferente de 2 Exemplo: 43 52 3 5 3 52 43 52 3 512 43 52 3 53 43 52 5 3º Caso: o denominador contém soma ou subtração envolvendo raiz quadrada Exemplo: 21 2 34 2 34 3 16 13 1.11 MÓDULO DE UM NÚMERO Módulo ou valor absoluto de um número real x, indicado por relação: x, se x 0 x x, se x 0 x 0 o módulo de um número positivo ou igual a zero é ele próprio x 0 o módulo de um número negativo é igual ao seu oposto Exemplos: 5 5 3 3 3 Geometricamente, o módulo de x é a distância entre x e a origem (0). Observações: Pela definição de módulo, x R, x 0 . O que se comprova geometricamente. Pela definição de módulo podemos concluir que x2 x . Exemplos: 72 7 7 7 62 6 6 1.12 INTERVALOS São subconjuntos dos números reais. Intervalo aberto: exclui-se os extremos. ( ) - , * | + Intervalo Fechado: inclui-se os extremos. , 22 - * | + x, é a Intervalo Aberto à Direita: exclui-se o extremo da direita e inclui-se o extremo da esquerda. , ) , , * | + Intervalo Aberto à Esquerda: inclui-se o extremo da direita e exclui-se o extremo da esquerda. ( | + ) - * , | + - - * - | + ) - , * | + Semi-reta direita, fechada, de origem a , * Semi-reta direita, aberta, de origem a ( - Semi-reta esquerda, fechada, de origem a ( - Intervalo Infinitos: um dos extremos é o infinito positivo ou negativo. Semi-reta esquerda, aberta, de origem a ( - ) , , * | + Reta Real ( ) - , 1.13 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS √ Até o momento, no universo dos números reais, NÃO EXISTIA solução para isto! 1.13.1 Unidade Imaginária Por isso, foi criado um número especial, que representamos algebricamente como i, e denominamos por unidade imaginária. Este número é tal que elevado ao quadrado resulte em – 1 matematicamente: √ 23 Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente. Desse modo: √ ( ) √ Conclusão: Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C. 1.13.2 Relação Fundamental O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a relação fundamental onde: √ Exemplo: √ ( √ ) √ √ 1.13.3 Forma Algébrica O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária conta com a presença do i, sua forma algébrica é Exemplos: número complexo √ número complexo número complexo puro número real número complexo puro ( ) o par ( ( ) é chamado de unidade imaginária; ( ) representam a parte real e a parte imaginária, respectivamente. 24 ) é identificado como o número real ; Exemplo: ( ) 1.13.4 Representação Geométrica O conjunto dos números complexos pode ser compreendido como o conjunto de pares ordenados, ou seja: ( onde e Exemplo: ) são números reais. ( ) Exemplo: Represente no plano de Argand-Gauss o número complexo 1.13.5 Conjugado de um Número Complexo Dado Exemplo: , define-se como conjugado de e representa-se por ̅ . , seu conjugado é ̅ 25 1.13.6 Igualdade entre Números Complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se e , temos que: 1.13.7 Adição de Números Complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se e , temos que: ( ) ( ) 1.13.8 Subtração de Números Complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se e , temos que: ( ) ( ) Exemplos: a) ( b) ( c) ( d) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ) ( ( ) ) ) ) ( ( ) ) 1.13.9 Multiplicação de Números Complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potências de . Assim, se e , temos que: 26 ( ) ( ) Observação: Exemplos: a) ( )( ) ( ( b) )( ) ) ( c) ( )( ) ) ( )( ) 1.13.10 Divisão de Números Complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Sejam e , então: e , calcule : Exemplo: Sejam 1.13.11 Potências de Se, por definição, temos que √ , então: 27 ... Observamos que no desenvolvimento de (n pertencente a N, de modo que os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos basta calcularmos onde r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo: dá resto 3, logo 1.13.12 Módulo de um Número Complexo , chama-se módulo de , o número real calculado por: | | Dado √ . Exemplo: | | √ √ √ 1.13.13 Módulo e Argumento de um Número Complexo 28 1.13.14 Forma Algébrica versus Polar onde ( pode ser escrito como ) Lembrando: √ Exemplo: Dê a forma polar do complexo . 1º) Calculamos o módulo de : | | √ 2º) Calculamos o ângulo polar: √ 3º) Escrevemos nosso complexo: . / 1.13.15 Operações na Forma Trigonométrica , Multiplicação: Divisão: , ( ( ) Potenciação: Fórmula de Moivre: ) ( ( )- ), ( ) ( )- Exemplos: Dados os números complexos abaixo, calcule o que se pede: 29 w 2 cos isen e z 3 cos isen 3 3 6 6 a) w . z ( ) 0 . /1 . / b) w / z 0 . / . 0 /1 . / . /1 [ ( ) ( )] c) z6 0 . / . /1 ( ) 1.14 Exercícios de Verificação de Aprendizagem 1) 1 Indique se cada um dos elementos 4; ; 3 e 0,25 pertence ou não a cada um desses 3 conjuntos: A x x é um número int eiro B x x 1 C x 15x 5 0 1 D x 2 x 4 2) Considerando que F = {x | x é estado do sudeste brasileiro} e G = {x | x é capital de um país sul-americano}, quais das sentenças seguintes são verdadeira? a. Rio de Janeiro F d. Montevideo G b. México G e. Espírito Santo ∉ F c. Lima ∉ G f. São Paulo F 3) Em cada caso, identifique os conjuntos unitários e os vazios. A x x 1 e x 3 B x x é um número primo positivo e par 3x 5 C x0 x5e 4 2 D x x é capital da Bahia E x x é mês cuja letra inicial do nome é p 2 F x 0 x 30 4) Calcule as expressões: a. b. c. d. e. 17,352 15,2 8,3 15 3,25 2,7 4,08 10 20,3 4,75 1,2 2,38 5,1 7,5 3,8 3,5 0,5 2 3,15 2,08 4 2,04 3,05 5) O preço à vista de um automóvel é R$21.335,00 . O mesmo automóvel a prazo custa R$4.740,50 de entrada mais 6 prestações de R$3.567,75 . Qual a diferença entre o valor total da compra à vista e a prazo? 6) Calcule: a. b. c. d. 7) a. b. c. d. 8) Escreva, usando chaves, os subconjuntos de N . M(6): conjunto dos múltiplos de 6. D(6): conjunto dos divisores de 6. A: conjunto dos números primos menores do que 20. C: conjunto dos números naturais quadrados perfeitos. Represente o conjunto formado pelos possíveis valores de x em cada item. a. b. c. 9) 5 0,4 9 0,06 9,81 0,9 0,063 0,09 x N e x 3 d. e. f. x Z e x 2 x N e x 1 Sendo xZ e 2 x 3 xN e x 0 xZ e x 0 M 0 , 3, 5, classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F). a. 5 M b. 3 M c. M d. 0 M e. M f. 0 g. 0 h. 0 M 10) Sendo A 1, 2, B 2, 3 , C 1, 3, 4 e D 1, 2, 3, 4, classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças abaixo: ( ( ( ( )BD ) A B )D A )AC 31 ( )C B ( )C D 11) Julgue a afirmação a seguir: “Quaisquer que sejam os números reais x e y, se x<y então x² < y².” 12) Em cada linha da tabela abaixo, verifique a relação descrita nos blocos é válida: a b c -1 2 ½ -5 0,75 0 4 ½ -5 1,25 2 -3 ¾ -5 1,25 13) Qual o valor de ( abc abc abc abc ) ? 14) Qual a base da potência ? 15) Sem utilizar calculadoras, determine o valor de: a) √ b) . / , ( c) { d) √ e) 0 )- } 1 f) 16) Se , qual o valor das expressões ( ) seguinte igualdade: ( . ) . O que você pode concluir da 17) Uma emissora de TV, durante a transmissão de um evento esportivo, propõe uma enquete aos telespectadores “internautas” a respeito de dois jogadores A e B convocados para a seleção brasileira de futebol. Depois 30 minutos, obteve-se o seguinte resultado: 5000 pessoas preferem o jogador A; 7000 pessoas preferem o jogador B; 2000 pessoas preferem ambos e 1000 pessoas não preferem nenhum deles. Quantas pessoas deram sua opinião? 18) Qual(is) dos números abaixo apresenta(m) maior valor? Por quê? a) b) c) d) |√ | | | | √ | √ | √ | 19) Em cada item, esboce um intervalo real que satisfaça as condições dadas: a) 32 b) c) d) 20) Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes números complexos: a) b) c) d) √ 21) Determine o valor de m, sabendo que a igualdade 22) Dados os números e ( ) seja verdadeira. , calcular: a) b) c) 23) Determine a parte real do complexo . 24) Calcule o valor de . √ . 25) Determine a forma trigonométrica do complexo 26) Calcule √ . , onde ( 27) Sejam os complexos . ( 28) Determine , de modo que ( 29) Qual é o conjugado de 30) Os módulos de ( √ ) ) ) e )( . Determine e de modo que ) seja imaginário puro. ? ( ) 31) Escreva na forma trigonométrica o complexo são iguais, qual o valor de ? ( ) . 33 34 2 Equações e Inequações Polinomiais Profa. Silvane Verch e Profa. Fernanda Krüger Tomaschewski OBJETIVO DA AULA: nesta aula, apresenta-se a parte de manipulação algébrica na resolução de diferentes tipos de equações (1º grau, 2º grau e modular) e de diferentes tipos de inequações (produto e quociente) que envolvam raízes reais e complexas, com o propósito de introduzir a noção de função e sua linguagem. 2.1 EQUAÇÃO DE 1º GRAU Possui uma relação de igualdade da forma , onde: = variável dependente de . = coeficiente angular. = variável independente. = coeficiente linear da equação. Exemplo: Resolva a equação . Nesse caso, devemos passar todos os “ ” para um lado da equação e todos os números para o outro lado. Observe a mudança de sinal quando os elementos mudam de lado da equação. 2.2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). 2 x 1 3 inequação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 2x 3 1 4 x 2 x2 Esse resultado diz que para que essa inequação seja verdadeira o x deverá ser maior que 2, ou seja, poderá assumir qualquer valor, desde que seja maior que 2. 2( x 1) 4x 1 2x 2 4x 1 unindo os termos semelhantes temos: 2 x 4 x 1 2 2 x 1 multiplicando a inequação por -1, temos que inverter o sinal, veja: 2 x 1 x 1 2 Exemplo: -2x + 5 > 0 , a = -2 (decrescente). 35 Objetivo é isolar x. -2x > -5 2x 5 x A inequação é positiva para valores x 2.3 5 2 5 . 2 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 1º GRAU Exemplo: ( )( ) 1º) Estudo do sinal de cada função: 2º) Fazer o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma função: 3º) Analisar os valores possíveis: neste caso a inequação quer valores que sejam menores que 0. Logo o conjunto solução da inequação será: { 36 | } 2.4 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 1º GRAU Exemplo: 3x 9 0 8 2x Objetivo é isolar x . Neste caso, x é a solução possível para que a equação seja zero, ou seja, x é a raiz da equação, valor de x onde y é igual a zero e a partir daí, realizar o estudo do sinal. Mas precisamos analisar separadamente: Para 3x 9 , a = 3 (crescente), raiz x = -3 Para 8 2x , a = -2 (decrescente), raiz x = 4 S = {x R x 3 ou x 4} Observe que x 4 , pois não existe divisão por 0. 2.5 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma equação na incógnita x é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na seguinte forma: ax2 + bx + c = 0 Onde a 0 . As raízes (soluções) desta equação são obtidas a partir da Fórmula de Bháskara: - b b2 4ac x= 2a ou x= -b 2a Exemplo: x 2 - 7x + 6 = 0 , onde a = 1,b = -7 e c = 6 - b b2 4ac - - 7 x= 2a 7 2 416 21 37 x= 7 49 24 2 x= 7 25 2 x= 7 5 2 Aqui, deve-se dividir em duas operações: x1 7 5 12 6 2 2 x2 7 5 2 1 2 2 Raízes da equação: +e- x1 6 e x2 1 2.5.1 Equações do 2º grau incompletas 1º Caso: ax2 + c = 0 , onde a 0 , b = 0 e c 0 Resolução por meio de isolamento do x. Exemplo: 2x2 - 32 = 0 (Observe que c < 0 ) 2x2 = 32 32 x2 = 16 2 x 16 4 Raízes da equação: x1 4 e x2 4 Observações: Quando c > 0 , ou seja, Exemplo: ax2 + c = 0 , não existe raiz real. x 2 + 36 = 0 (observe que c > 0 ) x 2 = -36 x 36 (não existe raiz real de número negativo) As raízes, quando existem, são dois números reais distintos e opostos 2º Caso: ax2 + bx = 0 , onde a 0 , b 0 e c 0 Resolução por meio de fatoração colocando x em evidência. Exemplo: x 2 + 12x = 0 xx 12 0 38 x 4 . Aqui, basta separar em duas partes, pois há uma multiplicação de termos, em que pelo menos um deles é igual a 0. x=0 Ou x + 12 = 0 x = -12 Raízes da equação: x1 0 e x2 12 2.6 DISCRIMINANTE Conforme o valor do discriminante à natureza das raízes da equação = b 2 - 4ac , há as seguintes possibilidades quanto 2 ax + bx + c = 0 . 0 Existem duas raízes reais e distintas 0 Existem duas raízes reais e iguais 0 Não existem duas raízes reais (são imaginárias) 2.7 PROPRIEDADE DAS RAÍZES Sempre que 0 podemos utilizar a seguinte propriedade para descobrir as raízes de uma equação do 2º grau. -b a c Produto das raízes: P = x1 x2 = a Soma das raízes: Exemplo: S = x1 + x2 = x 2 + 5x + 6 = 0 A ideia é encontrar números que somados resultam em multiplicados resultem x1 + x2 = -b , e que os mesmos números a c . a -5 5 1 - 1+ - 6 = -5 e x1 x2 = 6 6 1 - 1 - 6 = 6 2.7.1 Equação a partir das raízes Dados os valores da soma e do produto, pode-se encontrar a equação do 2º grau. x 2 - Sx + P = 0 39 2.7.2 Teorema da decomposição ax2 + bx + c = ax - x1 x - x2 2.8 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU Se a 0 0 0 0 Se a 0 0 0 Exemplo: Resolva a inequação 6 x2 5 x 1 0 . Dados: a=6 >0 10 Raízes: Sinal: x1 y 0 x y 0 40 1 1 e x2 2 3 1 1 x 3 2 1 1 ou x 3 2 0 1 1 S = x R x 3 2 2.9 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 2º GRAU Exemplos: 2.10 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 2º GRAU Exemplos: 41 2.11 EQUAÇÕES MODULARES Da definição de módulo, temos que x k x k ou x k , e ainda k 0 . Exemplo: Resolver | | | * | . { + 2.12 INEQUAÇÕES MODULARES O módulo de um número real x, admite as seguintes propriedades para a R e a > 0 : I. x a a x a II. x a x a ou x a Exemplos: 1) 42 Calcule: a) x 7 4 Solução: Pela propriedade II da inequações modulares, temos: x - 7 -4 x -4 7 x3 Ou x -7 4 x 4 7 x 11 S = x R x 3 ou x 11 b) 2x 6 x 4 x Solução: 1º) Analisar separadamente cada termo da inequação: x , se x 0 x x , se x 0 2º) Analisar os intervalos: Conclusão da análise: x 6 , se x 3 2 x 6 x 3 x 6 , se 0 x 3 x 6 , se 0 x 3º) Resolver a inequação: Substituindo 2 x 6 x pelas igualdades analisadas: 1º Caso: x 6 4 x 2 x 10 x5 43 S1 = x R 3 x 5 2º Caso: - 3x + 6 4 - x - 2x -2 x1 S2 = x R 1 x 3 3º Caso: - x + 6 4 - x 6 4 Absurdo! S3 = Conjunto solução: A solução da inequação 2 x 6 x 4 x é S S1 S2 S3 . S x R 3 x 5 x R 1 x 3 Portanto, S x R 1 x 5 2.13 Exercícios de verificação de aprendizagem: 1) Resolva as equações abaixo: a) b) c) ( ) ( ) d) e) √ f) g) h) i) j) k) | l) | | | 44 | | 2) Resolver as inequações: a) b) ( 3 x 3 )( 5 x 3 ) 0 ( 4 2 x )( 5 2 x ) 0 c) 1 2 x4 x3 d) e) f) g) x 1 x 3 x2 x4 2x 2 5x 3 2x 5 0 2x 1 0 x4 x 2x2 254x 0 5x 15 h) 2x2 9x 4 0 i) 3x 2 5 j) 2x 3 4 5 45 46 3 Funções Reais e Modelagem: Constante, 1º grau, 2º grau, Exponencial e Modular Profa. Daniela Haas OBJETIVOS DA AULA: o terceiro encontro é destinado para construção gráfica de funções (constante, 1º grau, 2º grau, exponencial, modular e mista) e resolução de situações-problema que envolvem fenômenos modelados. 3.1 FUNÇÕES REAIS É possível relacionar grandezas por meio de uma equação graficamente representada por uma reta, parábola, etc., dependendo da situação. Vamos fazer alguns exemplos para que a ideia fique mais clara. Exemplo 1: O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma comissão de 10% sobre o valor de suas vendas no mês. Suponha que o vendedor tenha realizado, no mês, R$ 2000,00 em vendas, qual o valor de seu salário? Primeiramente vamos calcular a sua comissão, ou seja, determinar quanto equivale 10% de R$2000,00: Assim, o seu salário, neste mês, será a soma dos R$ 800,00 iniciais mais os R$ 200,00 de comissão. Em um total de R$ 1000,00.Genericamente, se consideramos x como o valor de suas vendas, e y o salário que o vendedor irá receber, podemos descrever o problema da seguinte forma: Assim, para cada valor de x, obteremos um valor de y, ou seja, y depende de x.Note que a menor quantidade possível de vendas a ser realizada é zero. Sendo assim, o menor salário que o vendedor irá receber será de R$ 800,00. Em geral, dizemos que uma variável y é uma função de uma variável x se, para cada valor de x, num conjunto D, estiver associado um único valor de y. Nesse caso, x é denominada variável independente e y variável dependente. O conjunto de soluções possíveis para x é chamado Domínio da função (Notação: Dom( )). E os valores alcançados pela variável dependente formam o conjunto imagem da função (Notação: Im( )). Em outras palavras, é uma função quando cada elemento do domínio associa um único número real. Na notação y = (x), entendemos que y é imagem de x pela função , ou seja: y está associado a x através da função . Reescrevendo a expressão do exemplo1, temos que: ( ) Agora, vamos fazer uma tabela com alguns possíveis valores de vendas, e o salário a ser recebido, para então construir uma projeção que representa essa situação no plano xy. Esta projeção 47 chamaremos de gráfico. Mais precisamente, o gráfico de uma função é a representação, no plano coordenado xy, de todos os pares (x,y) para os quais y = ( ), com x percorrendo Dom( ). x Y 0 800 200 820 800 880 1000 900 1400 940 2000 1000 Assim, o gráfico que representa esta função é uma reta: Exemplo 2: A Comissão de Obras de um condomínio decide construir uma calçada com 1,20m de largura, que deverá contornar um jardim retangular, planejado para ter 50m² de área. A área total a ser construída, que denotaremos por C, dependerá do comprimento x de um dos lados do jardim. Determine C se: a) x = 7,5m b) x = 10m c) Represente este problema em função de x. Para melhor interpretarmos o exercício vamos fazer um esboço da situação apresentada: Denotaremos a área do canteiro por A. Assim, x 48 y Área total a ser construída pode ser calculada através da expressão: ( )( ( ) )( ) Com isso, vamos resolver o exercício: a) x = 7,5m 50 = x.y 50 = 7,5.y y = ⁄ y = 6,67 C = (7,5+2,4).(6,67+2,4) C = 9,9.9,07 C = 89,79 m² Portanto, a área total, quando x = 7,5 m é 89,79m² b) x = 10m 50 = x.y 50 = 10.y ⁄ y = y=5 C = (10+2,4).(5+2,4) C = 12,4.7,4 C = 91,76 m² Portanto, a área total, quando x = 10m é 91,76m². c) Represente este problema em função de x. ( )( Observe que a expressão que representa a área total ) depende de x e y. Então para que esta dependa apenas de x vamos isolar o y na equação da área, isto é: ⁄ Substituindo na expressão original obteremos: ( )( ⁄ ) Mas, observe que existem valores de x que não fazem sentido para o nosso problema. Por exemplo, x = -2. Apesar de ter solução matemática, não existe uma medida negativa. Portanto, para solucionar o nosso problema, x deve assumir qualquer valor acima de zero, ou seja, x > 0; É importante ressaltar que nem sempre o gráfico da função será uma reta, neste caso, temos um x no denominador indicando isso. Além disso, uma função pode estar representada apenas pelo seu gráfico, por exemplo: o resultado de um eletrocardiograma é um gráfico que mostra a atividade de um coração como uma função do tempo. No entanto, nem todos os gráficos representam uma função. Assim, fazendo o teste da “reta vertical”, descobrimos se está, ou não, sendo representada uma função. O teste é bem simples, na verdade: trace uma reta perpendicular ao eixo x, esta reta deve ter no máximo um ponto de intersecção com o gráfico representado. Como seguem os exemplos: 49 Exemplo 3: Um fazendeiro deseja cercar um de seus terrenos (retangulares), com 50 m de arame. Considere AR como sendo a área do terreno demarcada pela cerca. Qual a maior área que o fazendeiro pode cercar, em m², com este arame? O primeiro passo é esquematizar a situação: Assim, temos que o perímetro do terreno pode ser expresso por: P = 2y + 2x E sua área, expressa por: AR = x.y O segundo passo é atribuir o valor de 50 m ao perímetro e encontrar uma relação entre da área do terreno em função de um de seus lados. Ou seja: Se ( Se ) Como a área é uma função do 2º grau com concavidade voltada para baixo possui um máximo. O terceiro passo é calcular esse máximo, tem-se: Ponto Máximo: ( Pmáx( xv , yv) ) O yv fornece o valor máximo para a área do retângulo. ( ) ( ) A área máxima do terreno é 156,25 cm². Existem situações que não podem ser representadas por uma função linear, ou por uma função quadrática. Nestes casos chamamos de função polinomial de grau n, onde n é o valor do maior expoente da variável x. 50 Exemplo 4: Uma caixa aberta é feita a partir de um pedaço retangular de cartolina, removendo em cada canto um quadrado de lado x e dobrando as abas. Sabendo que os lados da cartolina medem 8 e 6cm, expresse o volume da caixa obtida como função de x. V = Abx h ( ) ( ( ) ( ( ) ( )( ) ) ) ( ) Gerando um polinômio de grau 3. Além disso, existem, ainda, situações em que são necessárias mais de uma fórmula para definir a função desejada. Exemplo 5: É comum observarmos em casas de xerox promoções do tipo: "Até 100 cópias: R$0,10 por cópia. Acima de 100 cópias (de um mesmo original): R$ 0,07 por cópia excedente." Suponha que, durante certo mês, a promoção tenha se estendido do seguinte modo: até 100 cópias, R$ 0,10 por cópia; de 100 a 200 cópias de um mesmo original, R$ 0,07 por cópia excedente e, acima de 200 cópias de um mesmo original, R$ 0,05 por cópia excedente. Determine: a) o preço pago por 230 cópias de um mesmo original; Seguindo a tabela, temos que dividir a quantidade de cópias em 3 blocos: 100+100+30. Assim, o total a ser pago é: 100.0,1+100.0,07+30.0,5 = 10+7+1,5 = 18,50. Logo, 230 cópias de um mesmo original custam R$18,50. b) a lei que define o preço (p) em função do número de cópias (x). Assim como as cópias, dividiremos a função em três opções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo 6: Vamos imaginar que em janeiro foi depositado em uma conta poupança R$ 100,00, e em julho verificou-se o seu saldo. Sabendo que a taxa de juros atual da poupança é de 0,5% a.m. Qual o valor obtido? 51 Os juros da poupança incidem sempre sobre o valor total no mês anterior. Assim, temos que: Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Saldo Anterior Juros R$ 100,00 R$ 100,50 R$ 101,00 R$ 101,51 R$ 102,02 R$ 102,53 100 x 0,005 = 0,5 100,50 x 0,005 = 0,5025 101,00 x 0,005 = 0,5050 101,51 x 0,005 = 0,5076 102,02 x 0,005 = 0,5101 102,53 x 0,005 = 0,5127 Saldo atual R$ 100,00 R$ 100,50 R$ 101,00 R$ 101,51 R$ 102,02 R$ 102,53 R$ 103,04 Note que podemos escrever o valor final em função dos valores anteriores: R$ 100,05 = 100 . 0,005 + 100 = 100(1+0,005) R$ 100,55 = 100,05 . 0,005 + 100,05 = (100 . 0,005 + 100) . 0,005 + 100 . 0,005 + 100 = (100 . 0,005 . 0,005 + 100 . 0,005) + 100 . 0,005 + 100 = 100 . (0,005² + 2.0,005.1 + 1) = 100 . (0,005 + 1)² Desenvolvendo os produtos notáveis para cada um dos meses, chegaremos a conclusão que: R$ 103,04 = 100 . (1+0,005)6 = 100 . (1,005)6 E podemos continuar fazendo isso para qualquer quantidade de meses. Ou seja, o saldo atual da conta poupança depende da quantidade de meses. E para cada mês obteremos um saldo diferente. Caracterizando que o Saldo Atual está em função da quantidade de meses. Permitindo-nos escrever: ( ) A este tipo de função damos o nome de função exponencial. Genericamente podemos escrever uma função exponencial como: Na situação acima, temos ( ) a = 100 e b = 1,005. Tal que, . Quando b > 1, dizemos que a função é crescente. Quando . Além disso, como podemos observar no gráfico abaixo, a função nunca atingirá o valor zero. b>1 52 0<b<1 3.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem 1) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. a) b) c) d) e) f) Determine: O valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 3 quilômetros. O valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 6 quilômetros. A quilometragem percorrida com um valor de R$ 25,00. A quilometragem percorrida com um valor de R$ 40,00. A equação matemática que relaciona a quilometragem com o valor a ser pago ao taxista. (Lembre-se de expressar, também, o domínio da função) Esboce o gráfico desta função. 2) Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante de 80km/h. Sabendo disso responda: Qual a distância percorrida em 1 hora? Qual a distância percorrida em 1,5 hora? Em quanto tempo o automóvel percorrerá 1000km? Qual a equação matemática que representa este problema?(Lembre-se de expressar, também, o domínio da função) e) Esboce o gráfico desta função. a) b) c) d) 3) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma a) b) c) d) e) parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Qual o seu salário se ele não fizer nenhuma venda? Qual o seu salário caso ele consiga vender R$ 450,00? Quanto ele conseguiu vender sabendo que seu salário foi de R$ 2500,00 Qual a equação matemática que representa este problema?(Lembre-se de expressar, também, o domínio da função) Esboce o gráfico desta função. 4) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré-estabelecido. Determine: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; c) Em qual situação o plano B é mais econômico; d) Em qual situação os dois se equivalem. 5) Uma companhia de telefones celulares oferece aos seus clientes duas opções: na primeira opção, cobra R$38,00 pela assinatura mensal e R$0,60 por minuto de conversação; na segunda, não há taxa de assinatura, mas o minuto de conversação custa R$1,10. a) Qual a opção mais vantajosa para 1 hora de conversação mensal? b) A partir de quanto tempo a outra opção torna-se mais vantajosa? 53 6) Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as informações recebidas na tabela seguinte. Opções Locadora 1 Locadora 2 Locadora 3 Diária R$ 50,00 R$ 30,00 R$ 65,00 Preço por km rodado R$ 0,20 R$ 0,40 R$ 0,00 (km livre) a) Obtenha uma função que defina o preço y da locação por um dia, em termos do número x de quilômetros rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. b) Represente no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas funções. c) A partir de quantos quilômetros rodados num dia o cliente deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2? d) A partir de quantos quilômetros o cliente deve optar pela Locadora 3? 7) Uma caixa sem tampa, com base quadrada, deve ter um volume de 600 cm³. O material usado para confeccionar a base da caixa custa 3 reais por cm² e o material usado nas laterais custa 5 reais por cm². Determine a função que expressa o custo C para fabricar a caixa, em termos da medida x de um dos lados da base dessa caixa. 8) Em uma praça, deseja-se construir um canteiro de 15 m² circundado por um gramado, conforme mostra a figura. Sabendo que cada m² da grama custa 20 reais, expresse o custo total do gramado em termos da medida x de um dos lados do canteiro. (A figura é meramente ilustrativa, não está em escala). 9) Num jardim retangular com lados de 10 e 15 metros, será colocada uma cerca, fixando-a nos pontos A, B e C indicados na figura, para demarcar dois canteiros triangulares, que aparecem hachurados na figura dada. Sabendo que o ponto A está exatamente no meio do lado menor, expresse L da cerca, como função da medida x do cateto indicado na figura. Não se esqueça de indicar o domínio da função. (A figura é meramente ilustrativa, não está em escala). 10) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. 11) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80. 54 55 3.3 POLINÔMIOS Vamos iniciar relembrando a sessão anterior, na qual vimos que é possível modelar problemas matemáticos do cotidiano, através de uma equação matemática. Exemplo: Digamos que um fabricante necessite construir uma embalagem em forma de uma caixa sem tampa, de base quadrada, de tal maneira que tenha 1 unidade de volume. Para tal fim será utilizada uma superfície quadrada de papelão de lado a: deste, devemos retirar quatro quadrados iguais de lado x, como mostra a figura. Para calcular o volume desta caixa, basta multiplicarmos suas medidas, de comprimento, largura e altura. Desta forma temos que: x V(x) = x.(a-2x)² = 1 Pois, conforme o enunciado, queremos que o volume seja igual a 1. Que pode ser reescrito, tal que: 4x³ - 4ax² + a²x – 1 = 0 a a O que constitui um exemplo de equação polinomial de grau 3. Um polinômio sempre será da forma: a nxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0, com n ϵ N, onde x é variável, e an, an-1,..., a1 e a0 são os coeficientes do polinômio. Neste capítulo, daremos atenção especial aos coeficientes reais. Dois polinômios serão iguais se tiverem o mesmo grau e os termos de mesmo grau forem iguais. Exemplo: p(x) = 4x2 + 2x + 2 e q(x) = 2x2 + x + 1. p(x) = q(x)? Não, pois p(x) = 2q(x) 3.3.1 Função polinomial Podemos interpretar um polinômio como uma função polinomial, com p: R→R, representando por p(x) = anxn+ an-1xn-1 +...+a1x + a0. Voltando ao exemplo da caixa, se não tivéssemos fixado um valor para o volume, teríamos uma função polinomial, V(x) = 4ax³ - 4ax² + a²x, de grau 3. 3.3.2 Valor Numérico Seja C e o polinômio p definido por p(x) =anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0. O valor numérico de um polinômio p(x) para x = , é o número que se obtém substituindo-se x por , e efetuando-se todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Seja o polinômio p(x) =2x3 + x2 - x+1. Se x = 3, então p(3) = 2(3)3 + (3)2 – (3) +1 p(3) = 61 56 3.3.3 Grau de um polinômio O grau de um polinômio p(x) = anxn+ an-1xn-1 +...+a1x + a0 (Notação: ∂(p) é n, se an ≠ 0. O polinômio nulo não possui grau. Por exemplo, p(x) = 0 pode ser escrito como p(x) = 0xn. O polinômio constante, p(x) = k tem grau zero, para k ≠ 0. Exemplo: p(x) = 4 = 4x0 3.3.4 Equações algébricas Chamamos de EQUAÇÃO POLINOMIAL ou ALGÉBRICA de grau n toda equação do tipo: p(x) = 0. Onde p(x) é um polinômio de grau n na variável x. Exemplo: x3 – 5x2 – 2x + 24 = 0; o conjunto solução é S = {-2, 3, 4} Observação: O número de raízes de uma equação é sempre igual ao maior expoente da variável e estas raízes serão reais ou complexas. O número real a é a raiz da equação p(x) = 0 se e somente se p(a) = 0. Toda equação algébrica admite ao menos uma raiz. Se o número complexo z a bi é raiz da equação p(x) = 0, de coeficientes reais, então seu conjugado z a bi também é raiz desta equação. 3.3.5 Informações sobre as raízes Para determinarmos as raízes (x1, x2, x3, ..., xn) das equações de grau n 3, devemos achar uma das raízes e para reduzir o grau da equação algébrica utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini. Caso a equação obtida seja de grau 2, resolvendo-a encontramos as demais raízes. Caso seja de grau maior que 2 utilizamos novamente Briot-Ruffini tantas vezes forem necessárias até chegarmos a uma equação de grau 2. 3.3.5.1 Como Determinar a Primeira Raiz: a) Se a equação não possui termo independente, uma das raízes é ZERO. Exemplo: x3 – 5x2 + 6x = 0; o conjunto solução é S = {0, 2, 3} b) Se a soma dos coeficientes da equação for nula, uma das raízes é UM. Exemplo: x3 – 6x2 + 11x - 6 = 0; o conjunto solução é S = {1, 2, 3} Soma dos coeficientes = 1 – 6 + 11 – 6 = 0, logo x1 = 1. c) Se a primeira raiz não for UM ou ZERO as únicas possibilidades de raízes inteiras de uma equação são os divisores do termo independente que denominares de candidatos à raiz. Exemplo: x3 – 7x2 + 16x -12 = 0; o conjunto solução é S = {2, 3} Termo independente = -12 57 Soma dos coeficientes = 1 – 7 + 16 – 12 = - 2 Candidatos à raiz = 1, 2, 3, , 4, 6, 12 p(2) = 23 – 7(2)2 + 16.2 – 12 = 8 – 28 + 32 – 12 = 0, logo x1 = 2. 3.3.6 Raiz de um polinômio Chamamos de raiz de um polinômio p(x) toda solução da equação p(x) = 0. Exemplo: 1 e -1 são raízes do polinômio p(x) = x² - 1. 3.3.7 Operações com polinômio Soma e subtração: Exemplo: p(x) = x4 + 3x3 + 2x – 1 e g(x) = x3 – 2x2 – x + 4. Para calcular p(x) + g(x), somamos ou subtraímos os coeficientes dos termos de mesmo grau. p(x) + g(x) = x4 + 4x3 – 2x2 + x + 3. Questionaremos sobre o grau do novo polinômio, mostrando que será no máximo o grau do maior entre eles. Exemplo: p(x) = -x5+1 e q(x) = x5 + x³ p(x) + q(x) = x³ + 1 e o grau será 3 p(x) – q(x) = -2x5 – x³ + 1 e o grau será 5. Multiplicação: Propriedade distributiva. O que acontecerá com o grau? Será a soma dos graus. Exemplo: p(x) = x² - 2x + 1 e q(x) = x – 2 p(x).q(x) = x³ - 2x² + x – 2x² + 4x – 2 = x³ - 4x² + 5x – 2 Divisão: Estamos habituados a resolver divisões envolvendo números, por exemplo: Que pode ser escrito como 3275 = 218 x 15 + 5 Da mesma forma, podemos efetuar divisões entre polinômios com coeficientes reais. Por exemplo: 58 Que pode ser escrito como x³ + 5x² - 20x + 4 = (x² - 4x + 5).(x + 9) + (11x – 41) Teorema (divisão de polinômios): Sejam f(x) e g(x) dois polinômios com coeficientes reais, sendo g(x) ≠ 0. Existem polinômios q(x) e r(x) com coeficientes reais, tais que, f(x) = g(x). q(x) + r(x). E r(x) = 0 ou ∂(r) < ∂(g). Além disso, esses polinômios são únicos. No exemplo dado, para f(x) = x³ + 5x² - 20x + 4, e g(x) = (x² - 4x + 5), temos que q(x) = (x + 9) e r(x) = (11x – 41). E ∂(r) = 1 < 2 = ∂(g). Observe que, se o divisor g(x) tem grau 1, o resto será um polinômio constante. Exemplo: Divisão de x4 – 5x³ + 7x² - 5x + 9 por x – 2 Observação: DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI. Este dispositivo serve para efetuar a divisão de um polinômio f(x) por um polinômio de primeiro grau da forma (x – a) ou (x + a). Neste dispositivo podemos encontrar o quociente q(x) e o resto r(x). Exemplo: Seja f(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2 divido por g(x) = x - 3. Obter q(x) e r(x). 1º) Calculamos a raiz de g(x) = x – 3 e encontramos x = 3. 2º) Agora, montamos a seguinte estrutura: 3º) Baixar o primeiro coeficiente do dividendo (na mesma coluna), depois multiplicar pela raiz de g(x) e somar com o segundo coeficiente de f(x). 4º) Repete-se o procedimento até o último coeficiente de f(x). 59 Assim, o último dos números obtidos é o valor do resto, então r(x) = 4. Os demais números compõem o quociente, então q(x) = x2 – x + 2. Existe um modo mais simples de determinar o resto de uma divisão de um p(x) por um polinômio do tipo (x - α). Proposição 3.3.4.1 (Teorema do Resto): Sejam f(x) um polinômio de grau n, e α um número qualquer (que pode ser complexo). O resto da divisão de f(x) por (x-α) é f(α). Demonstração: Podemos representar a divisão de f(x) por (x- α) na forma: f(x) = q(x)(x – α) + r. Então f(α) = q(α)( α- α) + r, ou seja, f(α) = r. Se r=0, α é raiz do polinômio, e se r≠ 0, α não é raiz do polinômio. Voltando ao exemplo acima, f(2) = 3, que é justamente o resto da divisão que efetuamos. Proposição 3.3.4.2 (Decomposição): Sejam p(x) um polinômio de grau n e α um número qualquer (que pode ser complexo). Então, α é raiz de p(x) se, e somente se, existe um polinômio q(x) de grau n-1, tal que, p(x) = q(x).(x – α). Exemplo: Vamos fatorar o polinômio p(x) = x³ + x² - 5x + 3. Podemos ver que 1 é raiz, pois p(1) = 1³ + 1² - 5.1 + 3 = 0. Dividindo p(x) por (x-1) obtemos: p(x) = (x² + 2x – 3).(x – 1). Mas 1 também é raiz de x² + 2x – 3. Então, temos que: p(x) = (x-1)².(x+3). Decorre desta proposição que, se α é raiz de p(x) e também é raiz de q(x), então p(x) = q1(x).(x- α)². Dessa forma, dizemos que α é raiz de multiplicidade 2. Tantas vezes quanto α for raiz, será sua multiplicidade. Portanto, se α for k vezes raiz de p(x), sua multiplicidade será k, e podemos dizer que p(x) = qk(x- α)k. Assim, constatamos, no exemplo anterior que 1 e -3 são as raízes de p(x), sendo que 1 é raiz de multiplicidade 2 e -3 tem multiplicidade 1. Veremos mais alguns exemplos de fatoração de polinômios: Exemplo: p(x) = x5 – 3x4 – x³ + 11x² - 12x + 4. Notamos que 1 é raiz de p(x). Então, 60 Assim, podemos reescrever esse polinômio na forma: p(x) = (x-1)(x4 – 2x³ - 3x² + 8x – 4). Percebemos que 1 também é raiz do polinômio q(x) = x 4 – 2x³ - 3x² + 8x – 4, e, portanto, é divisível por (x – 1). Efetuando a divisão, obtemos: p(x) = (x-1)(x-1)(x³ - x² - 4x + 4) = (x-1)²(x³ - x² - 4x + 4). Só que 1 também é raiz do polinômio t(x) = x³ - x² - 4x + 4. Logo, ao realizar uma nova divisão por x-1, temos que: ou seja, p(x) = (x-1)³(x²-4) Mas x²-4 pode ser escrito na forma (x-2)(x+2) (diferença de quadrados). Concluímos dessa forma que: p(x) = (x-1)³(x-2)(x+2), sendo que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 e 2 e -2 são raízes de multiplicidade 1. Assim, conseguimos fatorar completamente o polinômio p(x). Será que todo polinômio pode ser completamente fatorado? Exemplo: Fatorar o polinômio p(x) = 2x³ + 2. É fácil ver que -1 é raiz de p(x). Dividindo por x+1, temos: 61 p(x) = (2x² - 2x + 1)(x+1) Mas o polinômio 2x² - 2x + 1 não admite raízes reais, pois ao calcularmos o Δ na fórmula de Báskara, teremos um valor negativo. Portanto, este polinômio não pode ser completamente fatorado, já que possui apenas uma raiz real, embora tenha grau 3, não estamos admitindo raízes complexas. Proposição 3.3.4.3: Um polinômio p(x) de grau n, com coeficientes reais, possui, no máximo, n raízes reais. Se α1, α2,..., αk são todas as raízes reais distintas de p(x) e n 1,n2,...,nk suas respectivas multiplicidades, então podemos escrever: p(x) = (x – α1)n1.(x – α2)n2...(x – αk)nk.t(x), onde t é um polinômio sem raízes reais e com grau n – (n1 + n2 + ... + nk). Assim, vimos que, para fatorarmos um polinômio é necessário determinar suas raízes. No entanto, ao nos depararmos com polinômios de graus maiores, pode não ser tão simples determinar suas raízes. Para fazê-lo, podemos utilizar alguns métodos que restringem os candidatos a raízes. 3.3.8 Sinal de um polinômio Já sabemos fatorar um polinômio. Agora podemos analisar o sinal deste verificando o sinal de cada um dos fatores. Exemplo: P(x) = x4 + 2x³ - 5x² - 6x Fatorando, obtemos x(x+3)(x-2)(x+1). Como obtemos fatores de grau um, fica mais fácil constatar o comportamento do polinômio em termos de sinais. Então, p(x) > 0 para x ϵ (-∞,-3)U(-1,0)U(2,+∞), p(x) < 0 para x ϵ (-3,-1)U(0,2) e p(x) = 0 para x ϵ {-3,-1,0,2}. Podemos observar que o polinômio troca de sinal em suas raízes. 62 Proposição 3.3.5.1: Uma função polinomial só pode trocar de sinal em suas raízes. Observação: Em y=x², a função não altera de sinal em x=0, que é a raiz deste polinômio. Exemplo: Estudar o sinal de p(x): Fatoramos 2x – 5 = 2(x-5/2) e x² - 2x + 1 = (x-1)² (produto notável). Como (x-1)² é sempre positivo, temos que o sinal dependerá somente do fator (x-5/2). Assim, p(x) > 0 para x > 5/2 e p(x) < 0 para x < 5/2, com x ≠ 1. 3.4 FRAÇÕES PARCIAIS Sabemos reduzir frações em um mesmo denominador: Exemplo: A ideia agora é inverter esse processo, ou seja, escrever uma fração como uma soma de frações. Esse procedimento é denominado decomposição em frações parciais. Exemplo: Podemos determinar os valores de A e B através de um sistema de equações ou pela substituição d raízes. 1) Sistema: Segue que 8x -1 = Ax – 2A + Bx + B => 8x – 1 = (A+B)x – 2A + B.Então 8 = A+B e -2A + B = -1. Resolvendo este sistema, encontramos A = 3 e B = 5. 2) Substituição de raízes: É fácil notarmos que -1 e 2 são as raízes do polinômio no denominador. Dessa forma, temos que: Se 8x – 1 = (x-2)A + (x+1)B, substituindo por estas raízes encontramos A=3 e B=5. Logo, podemos escrever: Esse método vale para um número qualquer de fatores lineares distintos: 63 E se os fatores não forem lineares distintos? Exemplo: Determinemos A, B, C e D tais que Os denominadores são iguais, então para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter os numeradores iguais. Assim, -4x³ + 10x² - 3x + 3 = A(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)²(x+2) + D(x-1)³ -4x³ + 10x² - 3x + 3 = (C+D)x³ + (B – 3D)x² + (A + B – 3C + 3D)x + (2A – 2B + 2C – D) que nos leva ao sistema: C+D = -4 B – 3D = 10 A+B -3C + 3D = -3 2A – 2B + 2C – D = 3 Resolvendo o sistema, obtemos A=2, B=1, C=-1 e D=-3. Também poderíamos utilizar o método da substituição pelas raízes. Temos que as raízes são 1, de multiplicidade 3, e -2 de multiplicidade 1. Ao substituirmos x por -2, obtemos D = -3. E se tomarmos x = 1, 3A=6 => A=2. Agora, basta tomarmos um valor de x diferente das raízes para determinarmos os demais valores. Assim, se assumirmos x = 0 e x = -1 temos: = 2A – 2B + 2C - D => 3 = 4 – 2B + 2C + 3 => -4 = 2C – 2B, e 20 = A – 2B + 4C -8D => 20 = 2 – 2B + 4C + 24 => 4C – 2B = -6 Resolvendo este sistema mais simples, teremos C= -1 e B = 1+18x³ Logo, 64 3.5 Exercícios de Fixação e Aprendizagem 1) a) b) Determine o quociente e o resto da divisão de ( ) por ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) 2) a) b) Determine o resto da divisão de ( ) por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) a) b) c) Fatore completamente os polinômios dados a seguir: ( ) ( ) ( ) 4) a) b) c) Determine todos os valores reais que satisfazem as desigualdades dadas: 5) Estude o sinal das funções racionais seguintes: ( )( ) ⁄ a) ⁄ b) 6) UFRGS – O polinômio( a) m=-2 b) m=2 c) m=2 d) m≠2 e) m≠-2 7) UFRGS – Se ( ) a) -16 b) -7 c) 0 d) 3 e) 24 ) ( ) , então ( ( ) é de grau 2 se, e somente se, ) vale: 65 8) UCS – Se ( ) e ( ) , então vale: a) - 2 b) - 4 c) - 7 d) 2 e) 7 9) O polinômio ( ) é: é idêntico a ( ) . O valor de a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) – 3 10) UFRGS – Se x2 A B , o valor de A – B é: 2 x x x 1 x a) 5 b) 3 c) - 1 d) - 3 e) – 5 11) Dividindo por encontramos como quociente: a) x + 3 b) x + 4 c) x + 5 d) x – 1 e) x – 3 12) O resto da divisão do polinômio ( ) a: a) 0 b) x+2 c) x–2 d) –x + 2 e) –x – 2 66 pelo polinômio ( ) é igual 13) UFRGS – A divisão de ( ) por e resto . O polinômio ( ) é: tem quociente a) b) c) d) e) 14) O quociente da divisão de por é: a) b) c) d) e) n.r.a. 15) O resto da divisão de por é: a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7 16) O resto da divisão de por é: a) - 2 b) - 1 c) 1 d) 2 e) 3 17) 14. O polinômio ( ) a: é divisível por . Então o valor de é igual a) - 9 b) - 6 c) 0 d) 2 e) 12 67 18) PUCRS – O resto na divisão de por é 17. O valor de é: a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 13 19) Sendo 1 uma das raízes da equação duas raízes é: . O valor da soma das outras a) -6 b) -5 c) 5 d) 6 e) 11 20) A soma dos quadrados das raízes de é: a) 45 b) 35 c) 25 d) 15 e) 5 21) O conjunto solução da equação é: a) {-2, -1, 6} b) {-2, 2, 3} c) {-2, 3, 4} d) {-2, 1, 6} e) {-1, 2, 6} 22) Faça a decomposição em frações parciais das seguintes funções racionais: ⁄ a) ⁄ b) 23) Um terreno retangular deverá ser cercado de modo que dois lados opostos recebam uma cerca reforçada, que custa R$ 5,00 por metro, enquanto que os outros dois lados receberão uma cerca padrão que custa R$ 3,00 por metro. Determine as medidas dos lados do terreno de maior área com estas características, sabendo que custo total para cercá-lo será de R$ 8.000,00. 68 69 70 4 Matrizes e Sistemas Lineares Prof. Eric Robalinho OBJETIVOS DA AULA: nesta aula, o acadêmico terá a oportunidade de retomar e aprofundar conceitos que envolvem dados tabulados (matrizes) tais como a representação simbólica, algébrica, operações. E também, retomar resolução de equações interdependentes (sistemas lineares). Esta aula é fundamental para a disciplina de Álgebra Linear. 4.1 MATRIZES Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz m x n de números reais é uma dupla sequência de números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, na forma de uma tabela: ( ) Podemos abreviar a notação, usando( ) , ou apenas ( ). Cada número que compõe a matriz chama-se termo da matriz. Logo, chamamos ( ) de termo geral da matriz. 4.1.1 Notações e propriedades: a) ( ) é o conjunto das matrizes reais m x n. b) Se m = 1 e n > 1, então a matriz 1 x n é chamada matriz linha. Exemplo: , - é uma matriz linha 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) c) Se m > 1 e n = 1, então a matriz m x 1 é chamada matriz coluna. Exemplo: 0 1 é uma matriz coluna 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) d) Se m = n, então a matriz m x n é chamada matriz quadrada de ordem m. Exemplos: 0 1 é uma matriz quadrada de ordem 2. é uma matriz quadrada de ordem 4. [ ] e) Matriz diagonal é uma matriz quadrada, na qual para , isto é, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. Exemplo: [ ] é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são: . 71 f) Matriz nula é a matriz na qual todos os elementos são nulos. Exemplo: [ ] é uma matriz nula (quadrada de ordem 3). g) Matriz identidade é a matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Notação: In Exemplo: [ ]é a matriz identidade de ordem 3. h) Duas matrizes reais m x n, A = ( ( somente se, Exemplo: seja [ ] [ ) e B = ( ) ), são iguais, isto é, A = B, se, e ] , então x = 4, y = 2 e z = -3. i) Sejam duas matrizes reais m x n, A = ( matriz soma de A com B, cujo termo geral é )eB=( . ), então indicamos por A + B a Propriedades da adição de matrizes: ( ) ( ) 1) 2) ( ) 3) Existe uma matriz ( ) tal que 4) Seja ( ), existe uma matriz ( oposta) Exemplo: Sejam [ ]e [ ( ) ) ] , então (associativa) (comutativa) (elemento neutro) ( ) (matriz ( ) ( ) , tal que [ ] ( [ ] ) j) Sejam duas matrizes reais m x n, A = ( ) e B = ( ), então indicamos por a matriz diferença de A com B, cujo termo geral é , isto é, a matriz soma de A com a ( ) oposta de B: k) Seja uma matriz A = ( ), m x n, e um número real r (ou escalar), o produto de r por A é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por r, ou seja, é a matriz real m x n dada por: ( ) Propriedades da multiplicação por escalar (matrizes quaisquer A e B, e números reais quaisquer r e s): 1) 2) 3) 4) (rs) A = r (sA); (r + s) A = rA + sA; r(A + B) = rA + rB; 1 A = A. 72 [ Exemplo: Sejam l) Seja a matriz A = ( n x m, tal que ] [ , então ] [ ] ), m x n; chamamos de matriz transposta de A a matriz B = ( Notação: At . ), Propriedades da matriz transposta: 1) 2) 3) 4) (A + B)t = At+ Bt (kA)t = k At , k (At)t = A (A.B)t = Bt . At [ Exemplo: seja ] , então a transposta de 0 m) A matriz A é chamada matriz simétrica se for quadrada e 1 . n) A matriz A é chamada matriz anti-simétrica se for quadrada e o) Multiplicação de matrizes: sejam as matrizes A = ( produto , ou . ), m x n, e B = ( ), n x p;o , é a matriz m x p cujo termo geral é dado por: ∑ Propriedades da multiplicação de matrizes: 1) Sejam A = ( ), m x n; B = ( ), n x p; C = ( ), p x q. Então A(BC) = (AB) C. 2) Sejam A = ( ), m x n; B = ( (associativa) ), n x p; C = ( ), n x p. Então A (B+ C) = AB + AC. Exemplo: sejam 0 (distributiva da adição) 1 , 2 x 2, e 0 1 , 2 x 3, então o produto AB é determinado como: [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 , que é uma matriz 2 x 3. p) A matriz identidade de ordem n é representada por: ( ) (elemento neutro da multiplicação) q) A matriz identidade In verifica as condições: A.In = In.A = A, para toda matriz A de ordem n. 73 r) Uma matriz A de ordem n é chamada matriz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que: A.B = B.A = In A matriz B, caso exista, é única e é chamada de matriz inversa de A, e indica-se por A-1. Uma matriz não inversível é chamada de matriz singular. Observação: existe um método prático para a determinação da matriz inversa, que veremos mais adiante, no curso de Álgebra Linear. s) Uma matriz quadrada A é chamada matriz ortogonal se A é inversível e A-1 = At . 4.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: 0 1) Sejam 1 , 2 x 2, e 0 1 , 2 x 3, é possível calcular o produto BA ? Justifique. 2)Sejam 0 1 , 2 x 3, e [ ] , 3 x 3, calcule o produto AB. 4.2.1 Respostas: 1) Não, pois o número de colunas da 1ª. matriz deve ser igual o número de linhas da 2ª. matriz para podermos aplicar a definição de multiplicação de matrizes. 2) 0 74 1 4.3 SISTEMAS LINEARES Uma equação linear sobre na qual nas incógnitas é uma equação na forma: são números reais. Chamamos de solução desta equação a sequência de n números reais (não necessariamente distintos entre si), , tal que fica satisfeita a afirmação: Definição: Um sistema de m equações lineares com n incógnitas ( ) é um conjunto de m equações lineares simultâneas, cada uma delas com n incógnitas. Em geral, escrevemos tal sistema de equações do seguinte modo: S: { Se no sistema S, , então chamamos o sistema S de homogêneo. A solução (0,0,...,0) é chamada solução trivial do sistema. Soluções: se S não admitir nenhuma solução, dizemos que o sistema linear é incompatível (ou impossível); caso o sistema linear S admita uma única solução, dizemos que o sistema é compatível (ou possível) determinado; se o sistema linear S admitir mais do que uma solução, então dizemos que o sistema é compatível indeterminado. 4.3.1 Sistemas de Cramer Seja S um sistema linear de m equações e n incógnitas sobre . Então podemos formar as matrizes abaixo, de tipos m x n, n x 1 e m x 1, escrevendo S na forma matricial: ( ), ( )e ( ) A.X = B onde A é a matriz dos coeficientes de S. Definição: Um sistema de Cramer é um sistema linear de n equações com n incógnitas cuja matriz dos coeficientes é inversível. Logo, num sistema de Cramer teremos a solução dada por A-1 B, e esse sistema é compatível determinado: A.X = B A-1 (AX) = A-1 B X = A-1 B Observação: um sistema quadrado e homogêneo cuja matriz dos coeficientes é inversível só admite a solução trivial. Exemplo 1. Resolver o sistema { . É claro que neste caso podemos usar métodos mais simples, como a adição ou a substituição, conforme mostrados a seguir, além da Regra de Cramer. ADIÇÃO: multiplicamos a 1ª. linha por 3, e somamos as duas linhas, determinando o valor de x e em seguida, o valor de y. 75 ( ) { { SUBSTITUIÇÃO: isolamos y na 1ª. linha, e substituímos este valor na 2ª. linha, obtendo o valor de x e, em seguida, o valor de y. ( { ) Para resolver usando determinantes (REGRA DE CRAMER), calculamos inicialmente o determinante da matriz dos coeficientes do sistema: ( ( ) ) | ( | ) Como este determinante é diferente de zero, então o sistema é compatível determinado (para o caso do determinante ser igual a zero, o sistema pode ser incompatível ou compatível indeterminado). Calculamos então os determinantes obtidos substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita procurada pelos termos independentes conhecidos e, em seguida, os valores de x e de y: | | | | Portanto, . Exemplo 2: Resolver o sistema{ . Pela Regra de Cramer, temos: ( ( ) ) ( | | ) Logo, temos um sistema compatível determinado. Calculamos então os demais determinantes e, em seguida, os valores das incógnitas: | | ( | | ( 76 ) ) | | ( ) Portanto, x=1/6, y=5/6 e z=1/3. 4.4 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: 1) Verifique se (-1, 2, 3) é solução da equação . 2) Verifique se (2, -3, 1) é solução do sistema { . 3) Verifique se (0, 1, -2) é solução do sistema { . 4) Resolva os sistemas usando a Regra de Cramer: a){ b){ c) { 77 4.4.1 Respostas: 1) Sim. 2) Sim. 3) Não é solução. 4) a) (0, 1, 0); b) (9/2, -1, -3/2); c) (1/4, 1/8, 3/8) 78 5 Trigonometria no Trigonométrico Triângulo Retângulo e no Ciclo Profa. Diana Vega Marona OBJETIVOS DA AULA: para encerrar a programação deste curso, nesta aula são abordados dados curvilíneos e angulares. Para isto, o acadêmico irá trabalhar com as medidas de graus e radianos, teorema de Pitágoras, relações trigonométricas no triângulo retângulo, noções de ciclo trigonométrico. Esta aula é fundamental para as disciplinas de Álgebra Linear e Física I. 5.1 O QUE É TRIGONOMETRIA? A trigonometria é uma subárea da matemática no qual se estuda as relações entre ângulos e distancias, usando triângulos retângulos. A palavra trigonometria foi criada em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus e tem origem nos termos gregos tri (que significa três), gono (que significa ângulo) e metron (que significa medida), ou seja, em sua origem a palavra trigonometria significa: “o estudo das medidas de um triângulo”. Um triângulo é dito retângulo, quando possui um ângulo que meça 90º, denominado ângulo reto. Os lados do triângulo retângulo recebem nomes específicos dependendo de sua posição com relação ao ângulo reto. O lado que fica “na frente” do ângulo reto denomina-se hipotenusa e os demais catetos. Cada um dos catetos receberá um “sobrenome” de acordo com o ângulo de referência, por exemplo, considerando o ângulo α da figura abaixo: O mesmo ocorre ao considerarmos o ângulo β: 79 Em resumo, ao fixarmos um ângulo de referência, o cateto que fica em frente a este ângulo receberá o sobrenome “oposto” e o que fica ao lado, “adjacente”. 5.2 GRAUS X RADIANOS É comum a utilização de graus ou radianos para medição de ângulos. O grau é representado pelo símbolo ° e é o ângulo cuja medida é 1/360 de um círculo, portanto, um círculo quando medido em graus, corresponde ao ângulo de 360°. Já o radiano, cujo símbolo é rad, é o ângulo central quando um arco de comprimento r tem a mesma medida do raio do círculo, no qual está inserido. A metade da circunferência corresponde a π radianos e uma circunferência completa a 2π. Uma explicação bastante detalhada pode https://pt.wikipedia.org/wiki/Radianoe sugerimos sua leitura. ser encontrada em Exemplo: quantos radianos existem em 90°? Por uma simples regra de três podemos realizar as mudanças entre esses dois sistemas de medidas de ângulos. Basta observarmos que meio círculo mede em graus 180° e em radianos π rad. Vejamos: Resolvendo este cálculo, temos: Exercícios: a) Quantos graus existem em radianos? b) Quantos radianos existem em 60°? 5.3 TEOREMA DE PITÁGORAS Além das relações entre os ângulos de um triângulo retângulo, também existe, uma relação entre as medidas dos lados, denominada teorema de Pitágoras. Em triângulos retângulos vale a relação: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Em símbolos temos: 80 Exemplo: determinar a medida do perímetro de um triângulo retângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm. Sabemos que perímetro é a soma das medidas de todos os lados de um polígono. Precisamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo dado no enunciado, para após calcular seu perímetro. (hipotenusa)² = 5² + 12² (hipotenusa)² = 25 + 144 (hipotenusa)² = 169 hipotenusa = 13 Segue que o perímetro solicitado é a soma dos seguintes valores: 12 + 5 + 13 = 30 cm. Exercício: calcule o perímetro de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Exercício: determine uma expressão para o cálculo da altura de um triângulo equilátero (todos os lados de mesma medida) em função da medida do lado, sabendo que sua altura divide o lado oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. 5.4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO As principais razões trigonométricas são o seno, o cosseno e a tangente. Além destas, existem as razões inversas, cossecante, secante e cotangente, respectivamente. Considerando a figura acima temos as seguintes expressões para os cálculos destas razões: 81 medida do cateto oposto medida da hipotenusa medida do cateto adjacente medida da hipotenusa medida do cateto oposto medida do cateto adjacente Para o entendimento das razões trigonométricas em um triângulo retângulo é necessário notar que todos os triângulos que apresentam os ângulos internos com as mesmas medidas são semelhantes. Por exemplo, vamos analisar o valor do seno para o ângulo de 30º: Exemplo: consideremos um triângulo equilátero (todos os lados de mesma medida) de lado medindo , e consequentemente, todos os ângulos internos de medida 60º. A altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em duas partes de mesma medida, conforme mostra a figura. Ao considerarmos o ângulo de referência de 30º, teremos o seguinte valor para o seno: medida do cateto oposto medida da hipotenusa Exercício: partindo de um quadrado de lado cuja medida é 1 centímetro, calcule as razões trigonométricas para o ângulo de 45°. Ao realizarmos estes tipos de exercícios, verificamos que os valores encontrados para as razões trigonométricas são constantes, de onde surge a famosa tabela de valores de ângulos notáveis: 30° Seno 82 45° 60° √ √ Cosseno √ √ Tangente √ 1 √ No Youtube o vídeo cujo endereço é http://www.youtube.com/watch?v=AllG-nig6qQ, faz a demonstração matemática de todos estes valores. Vale a pena conferir! 5.5 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Conhecendo estas três razões trigonométricas e o Teorema de Pitágoras surgem outras relações, tais como: E principalmente, a relação fundamental da trigonometria: ( ) ( ) Faz-se importante observarmos que ao conhecermos uma das razões trigonométricas, podemos calcular quaisquer outras. Exemplo: um triângulo retângulo com hipotenusa de medida 8 possui um ângulo interno de 37°. Calcule a medida dos outros dois ângulos e dos catetos, sabendo que . Pelo enunciado, o triângulo é retângulo (possui um ângulo de medida 90°) e possui um ângulo de medida 37°, o que faz com que seu terceiro ângulo tenha medida de 53°, pois sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Ainda nos é solicitado o cálculo da medida dos catetos e nos informado o valor do sen37°, já que este ângulo não é notável: Resta calcularmos a medida do outro cateto. Utilizaremos a relação fundamental: 83 ( ) ( ) ( ) Exercício: determine os valores de tgx, cotgx, secx e cosse x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x é agudo (um ângulo é dito agudo quando sua medida encontra-se entre 0° e 90°). O cálculo dos valores das razões trigonométricas de arcos não notáveis é um tanto quanto complicado, não sendo nosso foco neste curso de pré-cálculo. No entanto com o auxilio de uma calculadora científica, você os obtém facilmente. 5.6 NOÇÕES SOBRE O CICLO TRIGONOMÉTRICO A circunferência orientada de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas, de raio unitário r 1 e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica. y r 1 x O ponto de coordenadas A(1,0) é chamado origem dos arcos. As retas x e y dividem a circunferência em quatro quadrantes. 2 rad 90 0 360 2rad rad 180 3 rad 270 2 84 No ciclo trigonométrico, o eixo horizontal x fornece à medida do cosseno do ângulo formado partindo do ponto A no sentido anti-horário; e o eixo vertical y fornece a medida do seno do mesmo ângulo. (Fonte: https://bevilaqua.files.wordpress.com/2008/03/circtri3.jpg) Exercício: na figura abaixo calcule β, γ e θ, dados: a) α=30° b) Exemplo: com base nos dados do ciclo acima, determine o valor de tg150°. Pela figura vemos que 150° é um ângulo do 2° quadrante, correspondente ao ângulo notável de 30°. Temos: √ e De onde vem que: √ . 85 Exercícios: calcule o valor de: a) cossec225° b) sec315° 5.7 ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando tem a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras ao redor do ciclo. Por exemplo: ao considerarmos um ângulo de medida 60° e realizarmos uma volta completa teremos o ângulo de medida 60 1 360 420 . Ao realizarmos uma segunda volta completa, teremos 60 2.360 780 . Ou seja, 60°, 420° e 780°, são ditos côngruos. De forma geral, se um arco mede α graus, a expressão dos arcos côngruos a ele é dada por: k 360 onde k Z Exercício: determine o arco que é côngruo a 45° após a realização de 5 voltas completas no ciclo. 5.8 PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO Se um ângulo mede determinação positiva, se graus, dizemos que um ângulo de 0 360 e for côngruo a . graus é a sua primeira Exemplos: calcule a primeira determinação positiva dos arcos abaixo e determine a expressão geral dos arcos côngruos a eles: a) 1940° 1940 360 140 5voltas 1ª det.positiva de 1940° é 140° Expressão geral dos arcos côngruos a 1940 : 140 k 360 b) 2710 2710 360 190 7voltas 360 190 170 1ª det.positiva de 2710 é 170° Expressão geral dos arcos côngruos a 2710 : 170 k 360 c) 86 15 rad 4 Transformando em graus: 15 180 2700 675 4 4 675 360 315 1volta 1ª det.positiva de 15 rad é 315° 4 Expressão geral dos arcos côngruos a 15 rad : 315 k 360 4 Exercícios: calcule a primeira determinação positiva dos arcos: a) 1550° b) 2165 c) 17 rad 3 5.9 Exercícios de verificação de aprendizagem 1. Expresse os arcos abaixo, em radianos: a) 450° R: c) 12° R: 5 rad 2 15 b) 150° R: 5 rad 6 rad 2. Expresse os arcos abaixo, em graus: a) 2rad c) R: 360° 2 rad 3 b) 3 rad 5 R: 108° R: 120° 3. Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine o valor de x nos triângulos retângulos: a) 4x 6 b) x 3x 3 5 20 4. Uma escada está apoiada em um muro de 2 metros de altura, formando um ângulo de 45°. A que distância do muro encontra-se o pé da escada? 87 5. Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que subiu totalmente esta rampa elevou-se quantos metros verticalmente? 6. Um guarda florestal, postado numa torre de 20m no topo de uma colina de 500m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17º. A que distância aproximada da Colin a está o fogo? Dados tg17º=0,30. 7. Calcule a primeira determinação positiva dos arcos: a) 930° R:210° c) 3190 R: 50° b) 15 rad 2 R:270° 8. Verifique as são côngruos os seguintes pares de arcos: a) 1490° e -1030° R:sim, 50° e 50° b) 19 27 rad e rad R:não, 20° e 180° 9 9 c) 14 19 rad e rad R:não, 120° e 60° 3 3 cos x 9. Dado 10. Sendo 11. Se 3 1 R: x 2 , com 2 2 , calcule o valor de sen x . 1 sen x , com 0 x , determine cot g x . 3 2 cot g x 1 , com 0 x 12. Sendo 88 2 , calcule sen x e cosec x . sen x a 2 e cos x a 1 , determine a. R:2 2 R: 2 e 2 R:2 2 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra Linear e Aplicações, 6a.edição, Editora Atual, São Paulo, 1990. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações, Vol. 3. São Paulo: Ática, 2010. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações, Vol. 1. São Paulo: Ática, 2010. DOERING, C. I.; NÁCUL, L. B. C.; DOERING, L. R.. Pré-calculo. 2ª Edição. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2009.140p. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Complexos, Polinôminos, Equações, Vol. 6. São Paulo. Atual, Ed. 1977. MEDEIROS, V. Z. (COORD.); CALDEIRA, A. M.; SILVA, L. M. O. DA; MACHADO, M. A. S., Pré-Cálculo. Editora Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2006. http://www.brasilescola.com http://www.mundoeducacao.com 89
