Resolução das questões de cálculo matemático do teste no 2 de

Resolução das questões de cálculo matemático do teste no 2 de Matemática
II - Mestrado em Arquitectura A
2o semestre de 2013
2
2
+y
1. (2 val.) Seja f : R2 ! R de…nida
por f (x; y) = e1+4x
. Calcular todos os extremos, locais e/ou
n
o
y2
2
2
absolutos no domínio D = (x; y) 2 R : x + 4
1 explique bem todos os passos do seu raciocínio.
Resolução:
@f (y; x)
@x
@f (y; x)
@y
@f 1 + 4x2 + y 2 1+4x2 +y2
2
2
e
= 8xe1+4x +y ;
@x
@f y 2 1+4x2 +y2
2
2
e
= 2ye1+4x +y ;
@y
=
=
note-se que as derivadas parciais de primeira ordem só se podem anular em (0; 0) pois a exponencial
nunca se anula. O primeiro candidato a extremo local (não sabemos se será ou não absoluto) será
f (0; 0) = e na origem. Temos de calcular as derivadas de ordem superior para averiguar da natureza
de (0; 0) : Assim
2
@ 2 f (y; x)
@x2
@ 8xe1+4x
=
=
@x
1+4x2 +y 2
8e
+y 2
2
= 8e1+4x
2
+ 64x2 e1+4x
@f 1 + 4x2 + y 2
2
2
8xe1+4x +y
@x
2
2
= 8 + 64x2 e1+4x +y :
+y 2
+y 2
+
Por raciocínios semelhantes obtemos
2
2
@ 2 f (y; x)
= 2 + 4y 2 e1+4x +y :
2
@y
As derivadas cruzadas são
2
@ 2ye1+4x
@ 2 f (y; x)
=
@x@y
@x
+y 2
2
= 16xye1+4x
Para obter obter a matriz hessiana calculamos as derivadas em (0; 0)
@ 2 f (0; 0)
@x2
@ 2 f (0; 0)
@x2
2
@ f (0; 0)
@x@y
=
8e;
=
2e;
=
0:
Assim
H (0; 0) =
8e 0
0 2e
;
+y 2
:
como a matriz é diagonal é evidente que se trata de uma matriz de…nida positiva, logo (0; 0) é um
minimizante e o valor do mínimo vale e. É o único n
mínimo no interior de D. o
2
Calculamos agora a função sobre a fronteira F = (x; y) 2 R2 : x2 + y4 = 1 , tendo em vista obter
eventuais extremos sobre a mesma. Temos assim y 2 = 4 1
2
f (F ) = e1+4x
+4(1 x2 )
x2 e substituindo em f …ca
= e5 ;
valor que é obtido sobre toda a elipse. Como e5 > e o mínimo local em (0; 0) é um mínimo absoluto e
e5 é um máximo absoluto, cujo maximizante é o conjunto F , fronteira de D:
2. (2 val.) Calcule o integral
ZZ
x2 y + xy 2 dxdy;
S
em que S = [0; 2]
[0; 1].
Res.: O integral tem cálculo directo
Z1 Z2
2
x y + xy
2
dxdy
=
0 0
Z1
x2
x3
y + y2
3
2
Z1
8
y + 2y 2 dy
3
x1 =2
dy
x0 =0
0
=
0
y3
8 2
y +2
3:2
3
=
3. (2 val.) Calcule o integral
ZZ
1
= 2:
0
xy + y 2 dxdy;
M
em que M = (x; y) 2 R2 :
1
x
1; 0
x2 .
y
Res.: Neste caso a integração é directa se o integral mais interno for em ordem a y e o mais externo
for em ordem a x
2
Z1 Zx
xy + y
2
dydx =
1 0
Z1
xy 2
y3
+
2
3
Z1
x x2
2
Z1
x5
x6
+
2
3
y1 =x2
dx
y0 =0
1
=
2
x2
+
3
3
1
=
!
dx
dx
1
=
x6
x7
+
12 21
1
=
1
2
:
21
4. (2 val.) Determine o volume do sólido de…nido pelas condições
V = (x; y; z) 2 R3 : 0
z
4
x2
y2 ; 0
y
x; 0
x
2 :
Res.: O volume corresponde ao integral triplo
V
2
ZZZ
=
1 dxdydz =
0 0
V
Z2 Zx
=
Z2 Zx 4 Zx
2
4
x
y
2
=
1 dzdydx
0
dydx =
0 0
Z2
y2
Z2
4y
y1 =x
y3
3
x2 y
dx
y0 =0
0
4x3
3
4x
x4
3
dx = 2x2
0
2
16
8
= :
3
3
=8
0
5. (2 val.) Com uma mudança de variáveis adequada, calcule o integral seguinte
ZZ
x2 + y 2 x dxdy;
D
2
2
em que D = (x; y) 2 R : x + y
2
9; x
0; y
0 .
Res.: Usamos coordenadas polares x = r cos e y = r sin , a região é um sector circular com um
quarto de círculo. Logo 0
< 2 e 0 r 3: O jacobiano é r, …camos com
ZZ
2
x +y
2
x dxdy
=
D
Z2 Z3
Z2
2
r :r cos :rdrd =
0 0
0
5 3
=
cos d
[sin ]02 :
r
5
Z3
r4 dr
0
5
=
0
3
.
5
6. (2 val.) Calcule a massa da semi-esfera de raio 3, com z
0 e densidade de massa (x; y; z) =
9 x2 y 2 z 2 . Sem fazer cálculos explique quais são as coordenadas x e y do centro de massa.
Res.: Temos de usar coordenadas esféricas
8
< x =
y =
:
z =
cos sin
sin sin
cos ;
como estamos numa semi-esfera de raio 3, a região …ca dada pelas condições 0
0
< 2 . O jacobiano será 2 sin . Ficamos então com
ZZZ
9
2
x
y
2
z
2
dxdydz
=
Z2 Z2 Z3
=
Z2
9
2
2
3, 0
<
2,
sin drd d
0 0 0
S
0
=
=
d
Z2
sin d
0
Z3
9
2
4
d
0
5 3
2 : [ cos ]02
9 3
3
5
2 (0
35
3
35
5
( 1))
0
=
22 34
:
5
Como a geometria do problema é axial tanto em termos funcionais como em termos da região de
integração, o centro de gravidade da semi-esfera situa-se sobre o eixo do zz, terá de ser sobre a parte
positiva, uma vez que a massa se encontra na parte superior do plano xOy:
7. (2 val.) Usando como unidade um segmento com 6cm desenhe segmentos cujos comprimentos são
as raízes quadradas de 2 e 5. Pode usar apenas compasso, régua e esquadro e deve mostrar como
desenvolveu o seu desenho.
8. (2 val.) Desenhe uma cabana numa ilha tropical onde duas pessoas possam passar uns dias tranquilos,
utilize apenas unidades do Modulor de Le Corbusier. Utilize apenas compasso, régua e esquadro.
9. (2 val.) Apresente o desenho de um cadeirão para uma pessoa, com braços, em que utilize exclusivamente medidas das duas séries do "Modulor de Le Corbusier" explique detalhadamente a razão das
suas escolhas.
10. (2 val.) Demonstre que o volume do elipsóide E
(x; y; z) 2 R3 :
E=
y2
z2
x2
+ 2 + 2
2
a
b
c
1
é dado pela expressão
4
abc:
3
Sugestão: use um sistema de coordenadas adaptado a partir das coordenadas esféricas que permita
o cálculo do integral de volume de forma simpli…cada. Note-se que com as coordenadas esféricas
modi…cadas
8 x
cos sin
< a =
y
=
sin sin
: zb
=
cos ;
c
V ol =
ou seja, com
8
< x = a cos sin
y = b sin sin
:
z =
c cos ;
a região vem dada pelas relações
0
1; 0
< ;0
<2
o resultado obtém-se calculando o jacobiano, substituindo no integral
ZZZ
1 dxdydz
E
e calculando o mesmo. O jacobiano é igual ao das coordenadas esféricas se pusermos a; b e c em
evidência por cada linha da matriz jacobiana, logo vale J = abc 2 sin . Temos assim
Z2 Z Z1
0 0 0
abc
2
sin drd d
Z2 Z Z1
= abc
2
sin drd d
0 0 0
= abc V ol (esfera de raio 1)
4
=
abc
3
que é o resultado …nal.