Física Teórica II

Física Teórica II
Lista de Exercícios 5 - Vibrações e Ondas
Prof. Neemias Alves de Lima
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• Nota: As questões com ***, embora resolvidas em grupo, deverão ser entregues individualmente até a
realização da última prova.
1. Um objeto oscila com um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento a partir
da origem varia com o tempo de acordo com a equação
π
x = (4, 00 m) cos πt +
4
onde t está é segundos e os ângulos entre parênteses estão em radianos. (a) Determine a amplitude,
frequência, e o período do movimento. (b) Calcule a velocidade e aceleração do objeto em qualquer
tempo t. (c) Usando os resultados da parte (b), determine a posição, velocidade, e aceleração do objeto
em t = 1, 00 s. (d) Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima do objeto. (e) Encontre o
deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 1, 00 s. (R: (a) A = 4, 00 m, f = 0, 500 Hz e T = 2, 00 s. (c)
v = 8, 89 m/s. (d) a = 27, 9 m/s2 . (d) vmax = 12, 6 m/s. (d) amax = 39, 5 m/s2 . (e) −5, 66 m.)
2. Muitas molas reais podem ser esticadas mais facilmente do que comprimidas. Podemos representar este
efeito usando valores diferentes para a constante da mola para x > 0 e para x < 0. Como exemplo,
considere uma certa mola com a seguinte força restauradora:
−kx
para x > 0,
F =
−2kx para x < 0.
Uma massa m é ligada a esta mola sobre uma superfície horizontal sem atrito. Deslocamos a massa
esticando a mola até uma distância x = A e a libertamos. (a) Ache o período do movimento. O período
depende de A? (b) Qual é o maior valor negativo de x atingido pela massa m? A oscilação é simétrica em
relação ao ponto x = 0?
3. *** Oscilação Amortecida. Os movimento oscilatórios que consideramos em sala de aula são para sistemas
ideais - isto é, que oscilam indefinitivamente sobre a ação de uma força elástica linear. Em sistemas reais,
forças dissipativas, tais como atrito, retardam o movimento. Consequentemente, a energia mecânica do
sistema diminue com o tempo, e o movimento é chamado de amortecido. Investigue este movimento na
literatura (ver bibliografia da disciplina). (a) Verifique, por substituição direta, que a solução da equação
ay = −
k
b
y − vy ,
m
m
no caso do oscilador superamortecido, é dada por:
y = e−γt (Aept + Be−pt )
onde γ = b/2m e p =
(b/2m)2 − k/m, e A e B são constantes.
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4. *** Oscilação Forçada. É possível compensar a perda de energia em um sistema amortecido aplicando
uma força externa que realize trabalho positivo no sistema. Investigue este movimento na literatura. (a)
Escreva a equação de movimento de um movimento harmônico simples não-amortecido ao qual se aplica
uma força F = F0 cos ωt. (b) Verifique que sua solução é
F0
x=
cos ωt.
m(ω 20 − ω 2 )
(c) Discuta a ressonância nesse caso.
5. Um pulso que se move ao longo do eixo x é representado pela função de onda
y(x, t) =
2
(x − 3, 0t)2 + 1
onde x e y são medidos em centímetros e t em segundos. (a) Faça um esboço da função de onda em t = 0,
t = 1.0 s e t = 2.0 s. (b) Qual o valor máximo de y. (c) Esta função de onda se move em que direção,
para a esquerda ou para a direita? (d) Qual a sua velocidade? (R: (a) 2.0 cm. (c) direita. (d) 3.0 cm/s.)
6. Uma onda senoidal viajando na direção positiva de x tem uma amplitude de 15.0 cm, um comprimento
de onda de 40.0 cm, e uma frequência de 8.00 Hz. A posição vertical de um elemento do meio em t = 0 e
x = 0 é também 15.0 cm. (a) Encontre o número de onda k, período T , frequência angular ω, e velocidade
v da onda. (b) Determine a constante de fase φ, e escreva uma expressão geral para a função de onda.
(R: k = 0.157 rad/cm, T = 0.125 s, ω = 50.3 rad/s, v = 320 cm/s. (b) y = (15.0 cm) cos(0.157x − 50.3t).)
7. Uma corda uniforme tem uma massa de 0.300 kg e um comprimento de 6.00 m. A corda é presa por uma
estremidade a um suporte, passa então sobre uma roldana e suporta um objeto de 2.00 kg. (a) Encontre
a velocidade de um pulso viajando ao longo desta corda. (b) Se o bloco é posto para oscilar para frente e
para trás entre ângulos máximos de ±20o com respeito à vertical, que faixa de velocidade de onda poderia
ser criada na corda horizontal? (R: (a) v = 19.8 m/s. (b) Uma faixa de velocidade entre vmin = 19.2 m/s
e vmax = 21.0 m/s.)
8. *** Uma barra de aço de 30.0 m e uma barra de cobre de 20.0 m, ambas com 1.00 mm de diâmetro, estão
ligadas e esticadas sob uma tensão de 150 N. Quanto tempo leva uma onda transversal para viajar ao
longo de todo o comprimento das duas barras? (R: 0.329 s)
9. *** Um alpinista de 80.0 kg está preso em uma montanha devido a uma tempestade. Um helicóptero
resgata o alpinista baixando até ele um cabo de 8.00 kg, com 15 m de comprimento, e uma cadeira de
70.0 kg presa no fim do cabo. O alpinista se atraca a cadeira, e então o helicóptero acelera para cima.
Assustado por estar seguro por apenas um cabo em pleno ar, o alpinista envia sinais para o piloto pelo
cabo na forma de pulsos transversais. Um pulso leva 0.250 s para viajar pelo comprimento do cabo. Qual
é a aceleração do helicóptero? (R: 3.00 m/s2 )
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