Índice - PPGFIS

Índice
1 Introdução
9
1.1
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Motivações e apresentação deste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Teoria de Campo Efetivo Correlacionado
9
22
2.1
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2
Técnica do Operador Diferencial
2.3
Outros Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1
Modelo de Hesenberg Quântico de Spin-1/2 Anisotrópico . . . . . . . . . 32
2.3.2
Modelo de Heisenberg com Interações Complexas . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3
Modelo com Interação Dzyaloshinski-Moriya . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Modelo de Ising Antiferromagnético com Campo Transverso
39
3.1
Modelo e Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2
Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3
Propriedades Termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1
Magnetização Total e Alternada (Staggered ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2
Susceptibilidades χ Total e χs Alternada (Staggered ) . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3
Energia Interna hHi e Calor Específico Cv . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Grupo de Renormalização no Espaço Real
97
4.1
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2
Hipótese de Escala e Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1
4.3
Construção dos Blocos de Kadanoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4
Grupo de Renormalização na Aproxiamção de Campo Médio . . . . . . . . . . . 105
4.5
Grupo de Renormalização na Aproximação de Campo Efetivo . . . . . . . . . . . 109
4.5.1
Modelo de Ising Antiferromagnético com Campo Magnético Longitudinal 110
5 Conclusão
122
A Aproximação de Campo Médio (MFA)
127
B Cálculo dos Coeficientes Az-p,p (EFT-1) para sistemas em 2 e 3 dimensões 133
C Teoria de Campo Efetivo com dois Aglomerados (EFT-2)
135
D Cálculo dos Coeficientes B p,q da (EFT-2) para sistemas em 3 dimensões
138
2
Lista de Figuras
1.1
Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura, onde o campo
transverso é aplicado ao longo do eixo ~b do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quasebidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Diagrama de fase no plano H − T , onde o campo transverso é aplicado ao longo
do eixo ~b do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional. . . . . . . . . . . . 12
1.3
Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura, o campo transverso
é aplicado ao longo do eixo ~c do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional. 14
1.4
Diagrama de fase no plano H − T , o campo transverso é aplicado ao longo do
eixo ~c do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional. . . . . . . . . . . . . . 15
1.5
Diagrama de fase no plano H − T diluído Fr 0.95 Mg 0.05 Br 2 [25]. . . . . . . . . . . 16
1.6
Resultado do diagrama de fase H − T obtidos por alguns formalismos teóricos
como: Campo Médio, Monte Carlo e expansão em série de baixas temperaturas.
3.1
18
Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Honeycomb
(z = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2
Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Quadrada (z =
4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3
Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Cúbica Simples
(z = 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4
Diagramas de fase no plano H − T para uma rede Honeycomb (z = 3). . . . . . . 46
3.5
Diagramas de fase no plano Ω − T para uma rede Honeycomb (z = 3). . . . . . . 47
3.6
Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano Ω − H para uma rede
Honeycomb (z = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
3.7
Diagramas fase no plano H − T para uma rede Quadrada (z = 4). . . . . . . . . 49
3.8
Diagramas fase no plano Ω − T para uma rede Quadrada (z = 4). . . . . . . . . . 50
3.9
Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano H − Ω para uma rede
Quadrada (z = 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.10 Diagramas de fase no plano H − T para uma rede C úbica Simples (z = 6). . . . 52
3.11 Diagramas de fase no plano Ω − T para uma rede Cúbica Simples (z = 6). . . . . 53
3.12 Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano H − Ω para uma rede
Cúbica Simples (z = 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13 Comportamento da magnetização em fun ção da temperatura. (a) Magnetização
staggered mS e (b) magnetização total m para uma rede Honeycomb (z = 3). . . 55
3.14 Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Honeycomb (z = 3). . . 56
3.15 Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Quadrada (z = 4). . . . 57
3.16 Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Quadrada. . . . . . . . 58
3.17 Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Cúbica Simples (z = 6). 59
3.18 Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Cúbica Simples. . . . . 60
3.19 Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Honeycomb (z = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.20 Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Honeycomb (z = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.21 Comportamento da susceptibilidade alternada χs em função da temperatura T
para uma rede Honeycomb (z = 3). Temos o resultado da suscepitibilidade χs ,
mantendo-se fixo o valor do campo transverso Ω = 0 e variando os valores do
campo longitudinal H.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.22 Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Quadrada (z = 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4
3.23 Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Quadrada (z = 4). Temos o resultado da suscepitibilidade χ, mantendose fixo o valor do campo longitudinal H = 1.0 e variando os valores do campo
transverso Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.24 Comportamento da susceptibilidade alternada (staggeret) χs em função da temperatura T para uma rede Quadrada (z = 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.25 Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para vários valores dos campos transverso e
longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.26 Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para Ω = 0 e H = 6.0. . . . . . . . . . . . . . . 69
3.27 Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para Ω = 0 e H = 6.02. . . . . . . . . . . . . . 70
3.28 Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z=6) para Ω = 0 e H = 7.0. . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.29 Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.30 Comportamento do inverso da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T para uma rede Cúbica Simples (z=6) para vários valores de H e
Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.31 Comportamento da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T
para uma rede Cúbica Simples (z=6) para H = 6.0 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . . 74
3.32 Comportamento da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T
para uma rede Cúbica Simples (z=6) para H = 6.02 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . 75
3.33 Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma
rede Honeycomb (z = 3) fixando o valor de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.34 Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma
rede Honeycomb (z = 3) fixando o valor de H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.35 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Honeycomb (z = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5
3.36 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Honeycomb (z = 3) para H = 3.5 e Ω = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.37 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Honeycomb (z = 3) fixando o valor de H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.38 Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma
rede Quadrada (z = 4) fixando o valor de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.39 Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma
rede Quadrada (z = 4) fixando o valor de H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.40 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Quadrada (z=4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.41 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Quadrada (z = 4) para H = 4.5 e Ω = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.42 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Quadrada (z = 4) fixando o valor de H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.43 Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) fixando o valor de Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.44 Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6). Valores em torno de H(Ω = 0) = Hc = zJ.
. . . . 89
3.45 Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) fixando o valor de H. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.46 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) fixando Ω.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.47 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) fixando H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.48 Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z=6) para H = 7.5 e Ω = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.49 Comportamento do calor específico cv como fun ção da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) em torno da região reentrante. . . . . . . . . . . . . 94
6
4.1
Diagrama de fase H − T utilizando-se dos esquemas de grupo de renormalização
de campo efetivo (EFRG). O esquema EFRG-I (invariância por escala) é representado pela linha tracejada utilizando-se das Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) e o
esquema EFRG-II (campo médio) é representado pela linha sólida utilizando-se
agora as Eqs. (4.47) e (4.48) para uma rede sc (z = 6). . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2
Diagrama de fase H − T utilizando-se dos esquemas de grupo de renormalização
de campo efetivo (EFRG). O esquema EFRG-I (invariância por escala) é representado pela linha tracejada utilizando-se das Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) e o
esquema EFRG-II (campo médio) é representado pela linha sólida utilizando-se
agora as Eqs. (4.47) e (4.48) para uma rede bcc (z = 8).
4.3
. . . . . . . . . . . . . 114
Dependência do campo magnético reduzido H/J como função da temperatura
crítica reduzida kB T /J do modelo de Ising antiferromagnético para uma rede
cúbica de corpo centrada bcc (z = 8). Comparamos nossos resultados utilizando
EFT-1, EFT-2 e EFRG-I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4
Dependência do campo magnético reduzido H/J como função da temperatura
crítica reduzida kB T /J do modelo de Ising antiferromagnético para uma rede
cúbica de corpo centrada bcc (z = 8). Comparamos nossos resultados utilizando
EFT-1, EFT-2 e EFRG-I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5
Dependência do campo magnético reduzido H/Hc como uma função da temperatura de Néel reduzida T (H)/T (0) do modelo de Ising antiferromagnético de spin
1/2 da rede (bcc) (z = 8). Onde a marcação em triângular representa o resultado de Monte Carlo 3.5. Este diagrama de fase pode ser obtido pelo conjunto de
Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) para o esquema do (EFRG-I): invariância por escala.
Comparamos nossos resultados (EFRG) com o resultado de simulação de Monte
Carlo [41]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7
Lista de Tabelas
II.1 Valores da temperatura crítica para modelos clássicos e quânticos com interações
F e AF numa rede cúbica simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
IV.1 Resultados para a temperatura e os expoentes críticos térmicos de modelo de
Heisenberg de spin 1/2 e XY quântico numa rede cúbica simples, obtidos via
MFRG e expansão em série [15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
IV.2 Resultados para a temperatura e os expoentes críticos térmicos de modelo de
Heisenberg de spin 1/2, XY Ising quântico numa rede cúbica simples, obtidos
via EFRG e expansão em série [42]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8
Capítulo 1
Introdução
1.1
Considerações Gerais
O objetivo da Mecânica Estatística é explicar e predizer as propriedades da matéria
macroscópica, em qualquer de seus estados, a partir das propriedades dos seus constituintes
microscópicos e de suas interações. Fornece, portanto, a fundamentação atomística para as leis
fenomenológicas da Termodinâmica, da Mecânica dos Fluidos e de áreas correlatas.
Divide-se tradicionalmente a Mecânica Estatística em uma parte dos fenômenos que ocorrem
na matéria em estado de equilíbrio, no sentido termodinâmico usual, e a outra trata fenômenos
que ocorrem na matéria fora do equilíbrio, além da divisão entre uma parte clássica e a outra
parte quântica, conforme se considere uma ou outra dinâmica microscópica subjacente ao sistema em estudo. Podemos dizer que a Mecânica Estatística do equilíbrio é uma teoria bem
fundamentada: as propriedades de equilíbrio de sistemas macroscópicos com uma dada função
Hamiltoniana microscópica podem ser obtidas como valores esperados de “ensembles” de Gibbs
(medidas de probabilidades) bem definidos e, mesmo que seu processo seja realizável, na maior
parte das vezes apenas em princípio ela fornece um ponto de partida seguro tanto para a compreensão qualitativa quanto quantitativa para o comportamento das grandezas macroscópica
(pressão, calor específico, magnetização, etc) em equilíbrio, como no caso das teorias para os
fenômenos das transições de fases. Além disso é possível investigar exatamente alguns modelos
simples que no entanto apresentam comportamento termodinâmico complexo, como por exemplo o modelo de Ising (ver referência [1]) bidimensional, sendo este o modelo mais conhecido e
9
versátil que apresenta transição de fase e usado para investigar os princípios gerais do estudo
dos fenômenos críticos (universalidade, relação de escala).
Neste trabalho de dissertação iremos estudar o Modelo de Ising Antiferromagnético com
Campo Transverso usando métodos aproximativos para obter diagramas de fase e propriedades
termodinâmicas. Este modelo antiferromagnético apresenta transição de fase induzida por campos externos aplicados na direção axial, correspondendo à direção das interações entre os spins
primeiros vizinhos (variavéis Ising), e numa direção transversal, em particular escolheremos o
eixo x̂. A presença do campo transverso torna o modelo quântico. Na ausência do campo
axial apresenta uma transição de fase análoga ao caso do equivalente modelo ferromagnético.
O modelo de Ising ferromagnético com campo transverso foi proposto muito tempo atrás por
de Gennes [2] para explicar a transição de fase de materiais ferroelétricos, e tem sido amplamente estudado por uma variedade de técnicas teóricas: campo médio [3], operador diferencial
[4-9], grupo de renormalização [10, 17], expansão em série [18], função de Green [19] e outros.
Foi mostrado por todos estes métodos uma transição de fase quântica de segunda ordem em
T = 0 e no campo crítico Ωc . Recentemenete, o modelo de Ising desordenado nas presenças
de um campo transverso e longitudinal aleatório foi estudado [20] e verificou-se transição de 1a
e 2a ordem em T = 0, dependendo da intensidade do campo aleatório com uma distribuição
bimodal. O modelo analisado por Viana, Nogueira e de Sousa [21] teve como objetivo descrever
a transição de fase quântica vidro de spin, no qual para pequenos valores do campo aleatório
a transição de fase é de segunda ordem, e o campo crítico Ωc (H) decresce a medida que H
aumenta e a partir de um certo valor de H = Ht , conhecido como ponto tricrítico (Ωt , Ht ), a
transição de fase é de primeira ordem desaparecendo finalmente no certo valor de H.
A presença de um campo longitudinal (direção do eixo fácil da magnetização) em sistemas
ferromagnéticos (Ising, XY e Heisenberg) destrói a transição de fase, enquanto no caso de
materiais antiferromagnéticos temos uma transição de fase induzida por campo externo no qual
o diagrama de fase no plano H − T varia de acordo com a simetria do Hamiltoniano, mostrando
uma veriedade de ordenamento dos spins (antiferromagnético, spin-flop) e pontos multicríticos
(separa duas ou mais linhas de transições entre fases distintas, ex: tricríticos, bicríticos). Por
outro lado, o campo transverso ao eixo fácil da magnetização em materiais ferromagnéticos
mostra, como mencionados acima, uma transição de fase com a temperatura crítica decrescendo
10
com aumento do campo externo. Medidas recentes realizadas pelo grupo de Becerra da USP no
composto quase quase-bidimensional CH 3 NH 3 CuCl 4 , que é descrito por um Hamiltoniano de
Heisenberg ferromagnético, tem confirmado a existência de uma transição de fase de 2a ordem
quando aplicamos um campo transverso ao eixo ~a (eixo fácil da magnetização) [22].
Figura 1.1: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura, onde o campo
transverso é aplicado ao longo do eixo ~b do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase-bidimensional.
Através das análises dos comportamentos da susceptibilidade em função da temperatura
para campos nas direções ~b e ~c do eixo cristalino do material, obteve-se valores da temperatura
crítica e conseqüentemente o diagrama de fase no plano T − H. No caso do campo na direção ~b,
verificou-se que o sistema é mais sensível do que o caso na direção ~c, como podemos certificar no
diagrama de fase apresentado na Fig. (1.2) que foi obtido a partir dos picos da susceptibilidade
na Fig. (1.1), que mostra uma diminuição considerável na temparatura crítica com aplicações
de pequenos campos (H < 100 Oe). No caso do campo aplicado na diração ~c é necessário
campos mais intensos para a destruição da ordem ferromagnética, conforme podemos certificar
11
Figura 1.2: Diagrama de fase no plano H − T , onde o campo transverso é aplicado ao longo do
eixo ~b do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional.
através do diagrama de fase na Fig. (1.4). Para campo menor que 400 Oe foram observados
dois máximos, e conseqüentemente duas temperaturas críticas foram extraídas correspondendo
as curvas críticas Tc (H) inferior e superior na Fig. (1.4), indicando uma possível reentrância
no sistema. Se além do campo transverso no eixo ~b e ~c aplicamos um campo longitudinal na
direção do eixo fácil da magnetização (eixo ~a), a transição de fase neste composto ferromagnético
é destruída, isto significa que sempre teremos momentos magnéticos orientados na direção do
eixo ~a acoplados pela energia de interação Zeeman em temperaturas finitas, não existindo assim
um valor de Tc (H).
Vários resultados de diagramas de fase e propriedades termodinâmicas têm sido obtidos
experimentalmente em compostos antiferromagnéticos com aplicação de um campo externo na
direção do eixo fácil da magnetização (longitudinal) (ver Fig. (1.5)). Por exemplo, o composto
12
isolante La 2 CuO 4 1 apresenta um diagrama de fase bastante característico aos apresentados nas
Figs. (1.2-1.4), com a temperatura de Néel TN decresce com o aumento do campo externo [22].
Teoricamente este composto é descrito por um modelo de Heisenberg de spin 1/2 antiferromagnético quase-bidimensional [23] e o campo aplicado é ao longo do eixo fácil da magnetização.
Só recentemente [24], o diagrama de fase para todo o intervalo de campo magnético foi obtido
por teorias de campo efetivo.
1
Este composto isolante quando dopado com elementos alcalinos (Ba, Sr) torna-se supercondutor para pequenas concentrações, cuja temperatura de transição para condutor normal é considerada alta, o suficiente de modo
que a teoria microscópica conhecida para os supercondutores tradicionais (T . 20K) teoria BCS não explica
todas as propriedades destas cerâmicas. O descobrimento deste fenômeno em altas temperaturas (T & 30K)
valeu o prêmio Nobel em 1987 para Bednorsg e Müller.
13
Figura 1.3: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura, o campo transverso
é aplicado ao longo do eixo ~c do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional.
14
Figura 1.4: Diagrama de fase no plano H − T , o campo transverso é aplicado ao longo do eixo
~c do material (CH 3 NH 3 ) CuCl 4 quase bidimensional.
15
Figura 1.5: Diagrama de fase no plano H − T diluído Fr 0.95 Mg 0.05 Br 2 [25].
1.2
Motivações e apresentação deste trabalho
Tanto no ponto de vista teórico como experimental, apenas foram analisados diagramas
de fases em antiferromagnetos na presença de um campo longitudinal, mostrando uma variedade de fases e pontos multicríticos. Resultados recentes em compostos ferromagnéticos na
presença de um campo transverso tem mostrado um diagrama de fase (ver Figs. (1.2) e (1.4))
em concordância com as previsões teóricas feitas muito tempo atrás. Por outro lado, não se
conhece na literatura cálculos, mesmo utilizando modelos de campo médio, para a obtenção
de diagramas de fases em metamagnetos na presença de um campo transverso. Portanto,
nesta dissertação estudaremos através da técnica do operador diferencial este modelo quântico,
aqui denotando de metamagneto quântico, servindo a priori como o protótipo do diagrama
de fase de um composto antiferromagnético fortemente anisotrópico (modelo de Ising) a ser
16
obtido experimentalmente. Diagramas de fase e propriedades termodinâmicas (energia interna,
calor específico, magnetização total e de sub-rede, susceptibilidade total e de sub-rede) em redes bidimensionais (Honeycomb, Quadrada) e tridimensionais (cúbica simples, cúbica de corpo
centrada) serão obtidas pela referida técnica. Neste estudo detalharemos a análise do diagrama
de fase do metamagneto clássico para redes 2d e 3d, onde a influência da topologia da rede sobre
o fenômeno da reentrância (duas temperaturas críticas ou mais para certo intervalo do campo
magnético, em particular altos campos H ' Hc ) será investigada através da teoria de campo
efetivo (campo médio e operador diferencial) e grupo de renormalização (campo médio-MFRG
e campo efetivo-EFRG). Resultados de simulação de Monte Carlo [26] e expansão em série
[27] têm mostrado que para rede cúbica de corpo centrado (z = 8) uma pequena reentrância é
observada na região de altos campos (H ' Hc = 8J), com J referente a energia de interação
entre os spins, enquanto na rede cúbica simples (z = 6) tal fenômeno não foi verificado. Na
Fig. (1.6) mostramos o diagrama de fase para o modelo de Ising antiferromagnético no plano
H − T para uma rede bcc (z = 8), obtido por vários métodos A curva obtida por teoria de
campo médio (MFA, linha tracejada) mostra uma forte reentrância, enquanto Monte Carlo e
expansão em série de altas temperaturas apresentam uma pequena reentrância com o campo
crítico Hc aumenta de Hc /J = 8 em T = 0 para Hc /J ' 8, 02 em torno de kB T /J ' 0, 3 (ponto
de máximo). Portanto, uma análise deste diagrama de fase por outros métodos será bastante
motivante para elucidar a existência ou não deste fenômeno de reentrância.
Esta dissertação será desenvolvida da senguinte forma: no Capítulo 2 descreveremos em
detalhes a da técnica do operador diferencial e a aplicaremos no modelo de Ising ferromagnético.
Várias aproximações sucessivas são discutidas, mostrando a sua potencialidade e versatilidade.
Aplicações desta técnica em outros modelos, como por exemplo Ising com campo transverso,
Heisenberg quântico e clássico e Blume-Capel, serão apresentadas afim de ilustração. Desenvolveremos no Capítulo 3 a técnica do operador diferencial na versão de aglomerado de um
spin com aproximação de Zernike [28], conhecida na literatura como teoria de campo efetivo
correlacionada (EFT-1 [3], effective field theory), no modelo de Ising de spin 1/2 antiferromagnético na presença de campo externo (longitudinal e transversal) em redes bi e tridimensionais.
As propriedades termodinâmicas (magnetização, susceptibilidade, energia interna e calor específico) serão obtidas para vários valores dos campos longitudinal (H) e transversal (Ω). Os
17
Figura 1.6: Resultado do diagrama de fase H −T obtidos por alguns formalismos teóricos como:
Campo Médio, Monte Carlo e expansão em série de baixas temperaturas.
diagramas de fase nos planos H − T e Ω − T também são discutidos, analizando a linha de
estabilidade entre as fases antiferromagnética (AF) e paramagnética (P), a qual é uma linha
crítica de segunda ordem (transição de fase contínua). O estado fundamental será analisado
no plano Ω − H para redes 2d e 3d, objetivando investigar a presença de reentrância ao redor do campo crítico Ωc (H = 0). Em todas as análises dos diagramas de fases comparamos
nossos resultados com os obtidos pela aproximação de campo médio. Na Fig. (1.6) temos o
diagrama de fase no plano H − T para o modelo de Ising AF com interação entre primeiros
vizinhos na rede cúbica de corpo centrado (bcc, z = 8) obtidos por dois métodos mais precisos
(Monte Carlo [26] e expansão em série [27]). Na região de baixas temperaturas (altos campos,
H ' H = 8J) um pequeno comportamento reentrante é observado. Portanto, no Capítulo
4 estudaremos este modelo através do método do grupo de renormalização na aproximação
de campo efetivo (EFRG). Apresentamos, também, uma pequena análise de finite size scaling
18
na técnica do operador diferencial em aglomerados com um e dois spins (EFT-1 [4] e EFT-2
[29-31]) e comparamos nossos resultados com Monte Carlo (MC) e expansão em série (SE).
Finalmente, no Capítulo 5 apresentaremos nossas conclusões e perspectivas futuras.
19
REFERÊNCIAS
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[16] J. Ricardo de Sousa, Physica A 259, 138 (1998).
20
[17] N. S. Branco, J. Ricardo de Sousa, Phys. Rev. B 62, 5747 (2000).
[18] G. S. Rushbrooke, P. J. Wood, Mod. Phys. 6, 409 (1963).
[19] R. J. Liu, T. L. Chen, Phys. Rev. B 50, 9169 (1994).
[20] F. S. Milman, P.R. Hauser, W. Figueiredo, Phys. Rev. B 43, 16 (1991).
[21] J. Roberto Viana, Yamilles Nogueira, J. Ricardo de Sousa, Phys. Lett. A 311, 480-484
(2003).
[22] C. C. Becerra, A. Paduam Filho, J. Magn. Magn. Mater., no prelo.
[23] K. W. Mess, E. Lagendijk, D. A. Curtis e W. J. Huiskamp, Physica 34,126 (1967).
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[28] F. Zernike, Physica (Ultrecht) 1, 565 (1940).
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[30] J. Ricardo de Sousa, D.F. Albuquerque, I. P. Fittipaldi, Phys. Lett. A 191, 275 (1994).
[31] J. Ricardo de Sousa, F. Lacerda, I. P. Fittipaldi, J. Magn. Magn. Mater. 140-144, 1501
(1995).
21
Capítulo 2
Teoria de Campo Efetivo
Correlacionado
2.1
Considerações Gerais
Dado um sistema de spins interagentes, a mecânica estatística tem como objetivo o cálculo
da função de partição Z = T re−βH . Na obtenção da função de partição para um sistema de
N partículas, por exemplo de spin 1/2, o funcional traço T r na função de partição representa
matematicamente uma soma sobre 2N configurações de spins. Por exemplo, seja N = 2 e
denotamos de spins para cima (+) e para baixo por (−). O estado quântico consite na obtenção
dos autovalores de H(1,2) escrito na base ε = {|++i , |+−i , |−+i , |−−i}. No intuito de eliminar
as flutuações estatísticas (∼ N −1/2 ), a mecânica estatística de equilíbrio analisa o sistema no
chamado limite termodinâmico (N → ∞). Temos ainda que, para um sistema de partículas
interagentes apresentar uma transição de fase é necessário (mas não suficiente)1 , estarmos no
limite termodinâmico (Teorema de Yang e Lee).
Neste capítulo, desenvolvemos uma teoria de campo efetivo que é baseada na técnica do
operador diferencial, proposta por Honmura e Kaneyoshi em 1974 [1] num primeiro tratamento
em aglomerados, denominado de cluster, com um único spin (nesta dissertação usamos a nomen1
A condição da existencia de transição de fase no limite termodiâmico não é suficiente (só necessária), haja
vista que sistemas unidimensionais com interação de curto-alcance não apresentam ordem de longo alcance
(Tc = 0).
22
clatura EFT-1). Essa teoria apresenta resultados bastante satisfatórios para com as grandezas
termodinâmicas do modelo de Ising em relação aos cálculos de campo médio (ver; Apêndice
A) usuais em aglomerados finitos do mesmo tamanho (MFA-1) [2]. Devido à impossibilidade
da obtenção exata de Z (função de partição), vários métodos aproximativos foram propostos na
literatura para contornar este obstáculo. Dentre todas, os métodos de simulação computacional
de Monte Carlo [3] diagonalização exata e expansão em série constituem os métodos mais precisos para tratar os modelos estatísticos, porém, devido as suas complexidade essas se limitam
basicamente a problemas “simples”, sendo de difícil manipulação para modelos complexos. É
basicamente por esta razão que outros, e cada vez mais, métodos são propostos na literatura,
sendo que quando formulados as potecialidades são experimentados (comparados) em modelos
solúveis.
Basicamente, até a década de noventa somente sistemas Ising eram tratados via técnica do
operador diferencial, mas com a generalização para clusters maiores (clusters com dois spins)
o modelo de Heisenberg de spin 1/2 ferromagnético [4-8] foi tratados com relativo sucesso para
redes tridimensionais pois o tratamento em redes bidimensionais não apresentam resultados
satisfatórios, principalmente pelo fato que, no limite do modelo de Heisenberg isotrópico obtemse Tc 6= 0 em contradição com o teorema de Mermin-Wagner [9] (Tc = 0).
Como mencionamos anteriormente, neste capítulo vamos analizar aproximações de campo
efetivo para tratar o modelo de Ising de spin 1/2. Entretanto, temos que definir inicialmente
as dificuldades que encontraremos em um determinado problema de mecânica estatística que
justifique o uso desse método aproximativo.
Sabemos que o objetivo da mecânica estatística é tratar sistemas com um número de graus
de liberdade da ordem do número de Avogadro, onde é impossível o tratamento mediante o uso
microscópico completo. Em outras palavras, o sistema é tratado considerando as propriedades
comuns a um conjunto de partículas, não tendo em vista o que acontece com uma partícula
especificamente. Isto significa que é mais importante saber quais os estados acessíveis à partícula
do que em que estado está uma partícula em especial. Portanto se considerarmos a expressão
e−βEi , (na qual β = 1/kB T
e Ei é a energia de um determinado estado i), como sendo
proporcional ao peso estatístico para este estado, então a busca da mecânica estatística é calcular
a soma desta expressão sobre todos os estados acessíveis ao sistema, ou seja, devemos efetuar o
23
somatório
Z = Tre−βH =
X
e−βEi
(2.1)
{σi }
que é conhecido na literatura como a função de partição (em alemão Zustandssumme) e a partir
dela podemos obter toda a termodinâmica do modelo considerado, uma vez que o conhecimento
da função de partição nos permite a avaliação da energia livre
F = −kB T ln Z.
(2.2)
Atualmente sabemos que poucos modelos estatísticos são resolvidos exatamente. Por exemplo, em três dimensões, nem mesmo o modelo de Ising é tratado exatamente. Uma vez conhecida
a função de partição do sistema, podemos calcular diversas propriedades termodinâmicas tais
como: energia livre, energia interna, o calor específico, magnetização, etc. Por outro lado, para
obtermos a solução exata do problema é preciso calcular a soma sobre todas as configurações
{σ i } de estado para a função de partição 2.1, o que nem sempre é possível. Para alguns modelos
unidimensionais interagentes, tal soma pode ser feita mediante o uso da técnica da matriz de
transferência, sem a necessidade de grandes esforços matemáticos; entretanto, se o modelo for
bidimensional, os cálculos tornam-se complexos, uma vez que teremos condições de contorno
periódicas em duas direções tornando a matriz a ser diagonalizada de ordem muito elevada.
Contudo, usando o método da matriz de transferência, Onsager, em 1944 [10], obteve o função
de partição de forma exata para o modelo de Ising bidimensional a campo nulo, baseando-se no
fato de que a mesma poderia ser expressa em termos do maior autovalor de uma certa matriz.
Portanto, a solução de Onsager [10] constitui um marco importante no desenvolvimento das
modernas teorias de fenômenos críticos.
Uma vez que dispomos dos resultados exatos para o modelo de Ising 1/2 em uma e duas
dimensões, muitos métodos aproximativos foram propostos na literatura, cujo teste fundamental
era reproduzir esses resultados exatos. A seguir, alguns dos métodos mais conhecidos são
esquematizados como segue:
a) Aproximação de aglomerados, que são métodos tipo campo médio para os quais um
determinado aglomerado é tratado exatamente, enquanto que o restante do sistema é tratado
de forma aproximada. Os métodos de Bragg e Williams (1934), Bethe (1935), Guggenhein
24
(1935) e Kikuchi (1951) são exemplos e eles têm a vantagem de possuirem soluções simples sem
muito esforços matemáticos.
b) Método das equações integrais, o qual fornece bons resultados numéricos para sistemas
de fluidos simples (Kirkwood, em 1935 e van Leeuwen e colaboradores, em 1959).
c) Simulações numéricas usando a técnica de Monte Carlo, tendo-se em geral um número
grande de átomos do ponto de vista microscópico mas muito pequeno macroscopicamente [11].
d) Expansão em série de uma variável adequada ao sistema. No caso do modelo de Ising
é usual uma expansão em potências da temperatura e seus resultados são um guia para os
resultados de outros métodos.
e) Aproximações pertubativas como é caso do “Grupo de Renormalização”, o qual usa
a técnica de realizar a soma através de estágios sucessivos de renormalização do Hamiltoniano original. Apesar de ser considerado um resultado “exato”, só se têm obtidos exatamente
resultados para alguns modelos simples.
Dentre os vários métodos aproximativos temos: Curie-Weiss [12], Bragg-Willians [13, 14],
Bethe-Peierls [15], desigualdade de Bogoliubov na sua forma mais simples [16, 17] e na aproximação de pares [18], onde iremos estudar na proxima seção a técnica do operador diferencial
para aglomerados clusters com um spin (EFT-1) [19-24] e dois spins (EFT-2) [25-28].
2.2
Técnica do Operador Diferencial
Nesta seção, vamos desenvolver uma teoria de campo efetivo baseada na técnica do operador
diferencial, que foi proposta anos atrás por Honmura e Kaneyoshi [1], cuja potencialidade em
uma versão mais simples fornece resultados melhores que a aproximação de campo médio.
Primeiramente, vamos desenvolver formalmente a teoria de campo efetivo em aglomerados
de tamanhos finitos (clusters) para sistemas interagentes de spins descritos por um Hamiltoniano geral H. Em seguida, para fixar as idéias, vamos aplicar os conceitos aqui desenvolvidos
ao modelo de Ising de spin-1/2. O ponto de partida vem da mecânica estatística de equilíbrio,
sendo o valor médio de uma grandeza A é definido por
hAi =
T rAe−βH
,
Z
25
(2.3)
com a função de partição dada por
Z = T r(e−βH ),
(2.4)
no qual T r é o funcional traço no espaço de todos os spins.
Sendo H um Hamiltoniano que descreve um sistema qualquer com N partículas interagentes,
podemos separá-los em duas partes, ou seja
H = Hξ + Hξ0 0 ,
(2.5)
onde Hξ representa o Hamiltoniano de um aglomerado (ξ) finito com n < N spins levando
em conta as interações dentro do aglomerado e com a sua vizinhança e Hξ0 0 representa a parte
restante (ξ 0 ) que não possui spins do aglomerado ξ.
Seja O (ξ) uma função de variáveis dentro do aglomerado ξ. Caso Hξ e Hξ0 0 comutem,
h
i
Hξ , Hξ0 0 = 0, o traço da Eq. (2.4) pode ser efetuado em dois passos: primeiramente o traço
sobre o aglomerado finito T rξ e em seguida sobre os spins da vizinhança não pertencentes ao
aglomerado ξ, que é denotado por T rξ0 . O valor médio da grandeza O(ξ), segundo a definição
(2.3), é reescrita na forma
hO(ξ)i =
−β[Hξ +H0ξ0 ]
T rξ0 T rξ {O(ξ)e
−β[Hξ +H0ξ0 ]
T rξ 0 T rξ {e
}
.
(2.6)
}
Ao assumir que Hξ e Hξ0 0 comutem entre si, temos para a Eq. (2.6)
hO(ξ)i =
T rξ0 (e−βHξ0 )T rξ {O(ξ)e−βHξ }
T rξ 0 (e−βHξ0 )T rξ {e−βHξ }
Agora, multiplicando a Eq. (2.7) por um fator de unidade
.
(2.7)
−βHξ
)
T rξ (e
−βHξ
}
T rξ {e
e combinando ade-
quadamente mediante as propriedades da separação do traço e do Hamiltoniano, obtemos
½
−βHξ } ¾
1
−βHξ T rξ {O(ξ)e
hO(ξ)i = T r e
.
Z
T rξ {e−βHξ }
(2.8)
Comparando a Eq. (2.8) com a definição (2.3), temos que o valor médio de O(ξ) fica reduzido
26
ao cálculo parcial no aglomerado finito, ou seja
hO(ξ)i =
¿
T rξ {O(ξ)e−βHξ }
T rξ {e−βHξ }
À
.
(2.9)
A Eq. (2.9) é exata para sistemas clássicos, pois neste limite as variáveis de spin presentes no
Hamiltoniano comutam. Por outro lado, para modelos descritos por Hamiltonianos quânticos,
i
h
a Eq. (2.9) não é exata uma vez que Hξ , Hξ0 0 6= 0. Para modelos quânticos, Sá Barreto
e Fittipaldi [29] aplicaram a Eq. (2.9) de forma aproximada no modelo de Ising com campo
transverso. Como já mencionamos antes, iremos aplicar os conceitos da teoria de campo efetivo
baseada na técnica do operador diferencial no modelo de Ising de spin 1/2 sem campo externo.
Portanto, para o modelo de Ising temos o seguinte Hamiltoniano reduzido
−βH = K
X
σi σj ,
(2.10)
<i,j>
onde β = 1/kB T , K = βJ e σ i = ±1, e a soma é feita entre pares de primeiros vizinhos z.
Vamos considerar o caso mais simples de um aglomerado com apenas um spin. Neste
aglomerado, o Hamiltoniano (2.10) ficará
−βH = Kσ 1
onde ~δ é o vetor primeiro vizinho e a = K
X
σ 1+δ1 = aσ 1 ,
(2.11)
~δ
P
σ 1+δ1 .
~δ
Da Eq. (2.9), podemos calcular a magnetização por spins m = hσ 1 i, ou seja
m=
¿
T r(σ 1 eaσ1 )
T r(eaσ1 )
À
=
¿
∂ ln Z1
∂a
À
,
(2.12)
que somando-se o funcional traço sobre todo o aglomerado, teremos a magnetização por spins
dada por
m = htanh(a)i .
(2.13)
A Eq. (2.13) foi deduzida pela primeira vez usando o formalismo da função de Green
dependente de dois tempos por Callen [30] para o modelo de Ising de spin-1/2, e generalizada
27
para spin S geral por Suzuki [31]. Desta forma, com isso ficou conhecida na literatura por
identidade de Callen-Suzuki.
Aplicando a propriedade do operador diferencial eαD̂x f (x)|x=0 = f (α), onde Dx =
Eq. (2.13) ficará
+
* z
Y (Kσ
D̂x )
~
(1+
δ
)
1
tanh(x)|x=0 .
m=
e
∂
∂x ,
a
(2.14)
~δ
Agora, usando a identidade de van der Waerden para spin-1/2, i.e.,
na Eq. (2.14), obtemos
eKσ1+~δ D̂x = cosh(K D̂x ) + σ 1+~δ sinh(K D̂x )
(2.15)
* z
+
Y
m=
[Cx + σ 1+~δ Sx ] tanh(x)|x=0
(2.16)
~δ
para o qual Cx = cosh(K D̂x ) e Sx = sinh(K D̂x ). A Eq. (2.16) é exata, mas de difícil manipulação matemática, pois envolve no seu segundo membro funções de correlações de vários spins,
formando-se desta então um conjunto infinito de equações acopladas de funções de correlação2 .
Afim de melhor ilustrar as dificuldades envolvidadas na Eq. (2.16), vamos desenvolvê-la
para uma rede Honeycomb, cujo número de coordenação é z = 3. Denotando pelo índice i = 1
o spin central pertencente ao aglomerado com um spin, conforme o Hamiltoniano (2.11), e os
primeiros vizinhos pelos índices i = a, b, c, a Eq. (2.16) expandida ficará
m = h(Cx + σ a Sx ) (Cx + σ b Sx ) (Cx + σ c Sx )i tanh(x)|x=0 .
(2.17)
Observe que a função f (x) = tanh(x) é ímpar [i.e., f (−x) = −f (x)], então é fácil mostrar
que a combinação de operadores diferenciais pares envolvidas na expansão (2.17) aplicada nesta
função e fazendo o limite de x → 0 é nula, ou seja, ϕ̂par (D̂x ) f (x)|x=0 = 0. Portanto, concluimos
que apenas contribuições de funcionais ímpares são significantes (não nulos), e a Eq. (2.16) ficará
reduzida a
m = A1 hσ a + σ b + σ c i + A3 hσ a σ b σ c i
2
(2.18)
Para o caso do modelo de Ising-1/2 numa rede unidimensional, Sá Barreto e Fittipaldi (ver F. C. Sá Barreto
e I. P. Fittipaldi, Rev. Bras. Fis. 11, 745 (1981)) mostraram que não é necessário a aplicação de nenhum
desacoplamento, pois se consegue um número finito (duas) de equações de funções de correlação entre spins.
28
ou usando a propriedade da invariância translacional ficaremos
m = 3A1 m + A3 hσ a σ b σ c i ,
(2.19)
onde A1 = Cx2 Sx f (x)|x=0 e A3 = Sx3 f (x)|x=0 .
Muitas expressões similares a Eq. (2.19) podem ser obtidas para as funções de correlação, e
são mais conhecidas na literatura pelas equações de Dobrushin-Lanford-Ruelle [32, 33], e usadas
em teoria de campos para escrever a distribuição de probabilidade no limite de um certo volume
infinito de uma forma rigorosa [34].
Considerando a aproximação de ordem zero onde todas as correlações de muitos spins são
desacopladas, correspondendo à aproximação de Zernike [35], ou seja
hσ i σ j σ k ...σ p i ' hσ i i hσ j i hσ k i ... hσ p i (i 6= j 6= ... 6= n) ,
(2.20)
m = 3A1 m + A3 m3 .
(2.21)
a Eq. (2.20) ficará
A partir da Eq. (2.21) podemos obter numericamente a temperatura crítica Tc fazendo o
limite m → 0, resultando na seguinte expressão
3A1 (Tc ) = 1,
(2.22)
resolvendo numericamente a Eq. (2.22) encotramos kB Tc /J = 2, 104 (3, 00 usando MFA). Da
Eq. (2.21) podemos mostrar que próximo da criticalidade a magnetização se anula segundo
uma lei de potência com um expoente crítico clássico β = 1/2.
Podemos agora aplicar o desacoplamento Eq. (2.20) para todo o tipo topológico de rede,
sendo assim teremos que a magnetização numa aproximação de primeira ordem dada por
m ' [Cx + mSx ]z tanh(x)|x=0
onde usamos o fato de que hσ i i = m ∀ i.
29
(2.23)
Expandindo a Eq. (2.23) em primeira ordem e escrevendo-a num somatório ficaremos
z µ ¶
X
z
m=
mp Cxz−p Sxp f (x)|x=0 ,
p
p=0
onde
¡z ¢
p
=
z!
p!(z−p)! .
(2.24)
No limite de m → 0 na Eq. (2.24) obtemos a temperatura crítica resolvendo
numericamente a expressão Az1 (Tc ) = zCxz−1 Sx tanh(x)|x=0 = 1, que para uma rede quadrada
(z = 4) encontramos kB Tc /J = 3, 089 (4, 00 usando MFA), que pode ser comparada com a
solução exata de Onsager [10] kB Tc /J ' 2, 269. Para a rede cúbica simples (z = 6) obtemos
kB Tc /J ' 5, 073 (6, 00 usando MFA) que é comparada com resultados precisos de simulação de
Monte Carlo [11] kB Tc /J ' 4, 511.
A aproximação de campo médio (MFA) consiste em que façamos uma média não sobre a
função trigonométrica, mas sim sobre o seu argumento. Logo, podemos escrever (2.13) na forma
m=
*
X
σ 1+δ1
tanh K
~δ
+
+
*
X
σ 1+δ1 ,
' tanh K
(2.25)
~δ
ou
m = tanh(zKm)
(2.26)
que reproduz o mesmo resultado de MFA-1, que nos leva a um resultado errado em uma
dimensão, i.e., Tc (z = 2) 6= 0. O resultado de EFT-1 (2.24) que usa o desacoplamento (2.20),
onde as funções de correlação entre diferentes spins são tratados com uma aproximação, trata
de forma exata a relação de cinemática de spins σ 2n
i = 1 (σ i = ±1) através da identidade de van
der Waerden (2.15). Por outro lado, MFA trata aproximadamente tanto as correlações como as
auto-correlações (σ 2n
i ). Não existe uma adequação do MFA para sistemas unidimensionais, isto
porque é obtido um resultado contraditório (Tc 6= 0), pois sabemos que para sistemas em uma
dimensão com interações de curto-alcance Tc = 0. Sendo o MFA um dos métodos teóricos mais
utilizados para a resolução de problemas de muitos corpos na Mecânica Estatística, é possível
encontrar na literatura uma variedade de modelos estudados, para sistemas com dimensões
superiores a dois, tais como: metamagneto [36], vidro de spin [37], modelo de Heisenberg AF
[38], modelo de Heisenberg com interação Dzyaloshinski-Moriya [39], etc.
30
Em contrapartida, EFT apresenta melhorias nos processos qualitativos e quantitativos com
relação MFA, como por exemplo: em uma rede unidimensional EFT obtem resultados exatos
para as propriedades termodinâmicas do modelo de Ising-1/2 [40] com Tc = 0. Metodologicamente, EFT trata exatamente a cinemática de spin fazendo com que o modelo com interação
de curto alcance não apresente ordem de longo alcance em uma dimensão. É preciso mencionar
que a medida em que crescemos os sistemas de aglomerados e também se utilizando de desacoplamentos [41], temos melhorias na parte quantitativa para estas grandezas críticas, com
uma relativa convergência em direção ao resultado exato.
Um estudo sistemático do aumento dos aglomerados no esquema MFA foi realizado anos
atrás por Suzuki e Katori [42] para calcular a temperatura crítica do modelo de Ising numa
rede quadrada (z = 4). Para melhor ilustrar está análise de convergência de Tc , vamos desenvolver explicitamente MFA em aglomerado com dois spins (MFA-2), denotada na literatura de
aproximação de Oguchi [25], e para o Hamiltoniano de um par é dado por
H2MF A = −Jσ 1 σ 2 − J(z − 1)m(σ 1 + σ 2 ).
(2.27)
Na Eq. (2.27) último termo representa a soma das médias realizadas aos redores dos spins
®
­
σ 1 e σ 2 pertecentes ao aglomerado, excluindo o par da interação, e m = 12 (σ 1 + σ 2 ) é a
magnetização por spins nesta aproximação dada por
m=
sinh 2K(z − 1)m
,
cosh 2K(z − 1)m + e−2K
(2.28)
com K = βJ.
No limite m → 0 da Eq. (2.28) obtemos a temperatura crítica, com um resultado espúrio
Tc 6= 0 para cadeia linear (z = 2). No caso da rede quadrada (z = 4) temos kB T /J = 3, 893.
Aumentando ainda mais os aglomerados, mantendo a simetria da rede quadrada, Suzuki e
Katori [42] encontraram kB T /J = 3, 125, 2, 915, 2, 748, 2, 679 e 2, 631 para aglomerados com
N = 9, 21, 45, 87 e 177 spins, respectivamente, mostrando uma pequena convergência em
direção ao resultado exato kB T /J = 2, 269, com o grande empecilho do aumento do tempo
computacional.
Todas as teorias de campo efetivo (MFA e EFT, por exemplo) têm em comum uma expressão
31
auto-consistente para o parâmetro de ordem do tipo m = φ(m, T ), e que ao redor da criticalidade
os expoentes críticos são universais (clássicos) independentes da dimensão espacial (d) e da
simetria do Hamiltoniano, contradizendo assim as experiências em compostos magnéticos (classe
de universalidade). Na tentativa de se obter expoentes críticos não clássicos, Suzuki [43] propôs
anos atrás um novo método aproximativo denotado de anomalia coerente (CAM, Coherent
Anomaly Method ) e que tem sido aplicado numa série de modelos (ver [43] para detalhes).
2.3
Outros Modelos
2.3.1
Modelo de Hesenberg Quântico de Spin-1/2 Anisotrópico
Diversos modelos quânticos na mecânica estatística têm sido estudos, como por exemplo;
Heisenberg, Ising com campo transverso, Hubbard, Kondo. Ao contrário de sistemas clássicos
que apresentam certas dificuldades com as interações microscópicas presentes nos termos do
Hamiltoniano, os modelos quânticos acrescentam mais uma dificuldade que é às diversas relações
de comutação entre os operadores do Hamiltoniano. Alguns resultados exatos existem para esses
modelos quânticos, onde em especial temos o teorema de Mermim e Wagner [9] que demonstra
não existir ordem de longo-alcance no modelo de Heisenberg isotrópico em duas dimensões a
T > 0, ou seja, Tc = 0. O modelo de Heisenberg é definido pelo seguinte
H = −J
´
X ³
η x σ xi σ xj + η y σ yi σ yj + σ zi σ zj
(2.29)
<i,j>
sendo J é a energia de intercâmbio (exchange) (J > 0 e J < 0 correspondem aos modelos
ferromagnéticos e antiferromagnéticos, respectivamente), η ν ∈ [0, 1] é definido como o parâmetro
de anosotropia, < i, j > corresponde a soma sobre os primeiros vizinhos e σ ν é a componente
ν do operador de spin de Pauli nos seus respectivos sítios i. O Hamiltoniano (2.29) têm alguns
casos particulares: a) XY (η x = 0 e η y = 1 ou ηx = 1 e η y = 0); ii) Ising (η x = η y = 0); c)
Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
A técnica do operador diferencial foi desenvolvida por Idogaki e Uryû [22] e [44], para tratar o
Hamiltoniano (2.29) numa rede ferromagnética. Na rede quadrada foi encontrado erroneamente
que este modelo no limite isotrópico (η x = ηy = 1) apresenta ordem de longo alcance, em con-
32
tradição com o teorema de Mermim e Wagner [9], num entanto, quando aplicada essa técnica do
operador diferencial no modelo de Heisenberg numa rede tridimensional, estes resultados são, a
priore, satisfatórios tanto para as propriedades termodinâmicas quanto as temperaturas críticas,
estabelecendo-se assim a desigualdade das temperaturas Tc (Ising)> Tc (XY)> Tc (Heisenberg).
Quantitativamente, os resultados de T não são comparáveis com os obtidos por simulação de
Monte Carlo [45-47] e expansão em séries [48]. Este mesmo modelo, agora com interação antiferromagnética, foi estudado por Araújo, Neto e de Sousa [8], onde o comporatmento da
magnetização de sub-rede em função da temperatura foi analisada. Os resultados não foram
satisfatório eem comparação com os resultados mais rigorosos. Na Tabela (II.1) apresentaremos
os resultados de T (caso F) e T (caso AF) para os modelos Ising, XY (clássico e quântico) e
Heisenberg (clássico e quântico) numa rede cúbica simples (z = 6) obtidas por EFT, MFA e
métodos de Monte Carlo [11].
2.3.2
Modelo de Heisenberg com Interações Complexas
Recentemente, a técnica do operador diferencial em aglomerados com dois spins foi aplicada
ao modelo de Heisenberg ferromagnético na presença de interações complexas. A inclusão de
um termo biquadrático de íon-único, que é descrita pelo Hamiltoniano
H = −J
X
{γ(Six Sjx + Siy Sjy )+ Siz Sjz } − J 0
<i,j>
X
{γ(Six Sjx +Siy Sjy ) +Siz Sjz } − D
<i,j>
X
(Siz )2 , (2.30)
i
J é a interação de exchange bilinear, J 0 a interação biquadrática, D a anisotropia de íon-único,
foi estudado por Idogaki, Tanaka e Tucker [49, 50]. Para o limite de γ → 0 o Hamiltoniano
(2.30) reduz-se ao modelo de Blume-Emery-Griffiths (BEG).
2.3.3
Modelo com Interação Dzyaloshinski-Moriya
Outro modelo onde têm-se aplicado a técnica do operador diferencial para analisar o comportamento tricrítico e o modelo de Heisenberg ferromagnético, que consiste do Hamiltoniano
(2.29) com a inclusão da interação de Dzyaloshinski-Moriya (DM) dada por
H=
z
X
~ ij · (S
~i ∧ S
~j ),
D
<i,j>
33
(2.31)
~ ij é o tensor anti-simétrico da interação DM. Incluindo a interação DM (2.31)
~ ji = −D
onde D
na Eq. (2.29), Lacerda, de Sousa e Fittipaldi [28] mostraram que o sistema ferromagnético
~ ij = Dẑ (direção axial) apresenta no diagrama de fases no plano (T, D) transições de 1a
com D
e 2a ordem. Para interações antiferromagnéticas (J < 0), Gil e de Sousa [51] usando método
variacional mostraram ausência de transição de primeira ordem. Alguns resultados preliminares
usando a técnica do operador diferencial confirmam a ausência do ponto tricrítico no diagrama
(T, D) para o modelo DM antiferromagnético [52].
34
Tabela II.1: Valores da temperatura crítica para modelos clássicos e quânticos com interações
F e AF numa rede cúbica simples.
Modelo
Ising
XY Clássico
XY Quântico
Heisenberg Clássico
Heisenberg Quântico
Métodos
MFA
EFT
Séries [53]
MFA
EFT
Séries [54]
MFA
EFT
Séries [53]
MFA
EFT
Séries [55]
MFA
EFT
Séries [53]
Tc
5,847
5,039
4,511
5,843
5,034
4,405
5,787
4,980
4,000
5,841
5,031
4,329
5,719
4,891
3,360
TN
5,847
5,039
4,511
5,843
5,034
4,405
5,787
4,980
4,000
5,841
5,031
4,329
5,771
4,947
3,593
No próximo capítulo aplicaremos a técnica do operador diferencial no modelo de Ising com
os campos magnéticos longitudinal e transversal para aglomerados com 1 e 2 spins. Utilizamos
esta técnica, que é muito superior a MFA, para o cálculo dos diagramas de fase e propriedades
termodinâmicas das redes: honeyconb, quadrada e cúbica simples.
35
REFERÊNCIAS
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36
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Soc. 32, 471, 477 (1936).
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[17] H. Falk, Physical Reriew 133, 1382 (1964).
[18] L. G. Ferreira, S. R. Salinas e M. J. Oliveira, Phys. Stat. Sol. B 83, 229 (1977).
[19] R. S. Fishman, G. Vignale, Phys. Rev. B 44, 44 (1991).
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37
[35] F. Zernike, Physica (Ultrecht) 1, 565 (1940).
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[50] T. Idogaki, A. Tanaka e J. W. Tucker, J. Mag. Mag. Mat. 177-181, 773 (1998).
[51] A. X. Gil e J. Ricardo de Sousa, Phys. Stat. Sol. B 213, R5 (1999).
[52] J. Ricardo de Sousa e A. S. Arruda (comunicação privada).
[53] C. Domb, Phase Transition an Critical Phenomena, Vol. 3, Ed. C. Domb e M. S. Green
(Academic Press Inc., London, 1974).
[54] J. Alder, C. Holm e S. Meyer, Physica A 201, 581 (1993).
[55] P. Butera e M. Comi, Phys. Rev. B 52, 6185 (1995).
38
Capítulo 3
Modelo de Ising Antiferromagnético
com Campo Transverso
3.1
Modelo e Formalismo
Neste capítulo, com aglomerado com único sítio, desenvolveremos com detalhes o formal-
ismo do modelo de Ising antiferromagnético com campo transverso Ω, ou seja, para o primeiro
termo do Hamiltoniano (3.1)
H=J
X (z)
X (x)
X (z) (z)
σi σj − H
σi − Ω σi ,
i
hi,ji
(3.1)
i
significa que o estado fundamental corresponde a cofiguração com spins primeiros vizinhos
antiparalelos (↑↓↑↓↑↓) (interações entre os spins é para J > 0), onde no sistema é aplicado
um campo longitudinal1 H e um terceiro termo será introduzido no Hamiltoniano clássico2 do
modelo de Ising antiferromagnético chamado de campo transverso3 Ω. Substituindo Eq. (3.1)
na Identidade de Callen-Suzuki dada pela Eq. (2.9) podemos encontrar a magnetização média
~ = H ẑ.
Campo aplicado ao paralelamente ao eixo fácil de orientação dos spins H
Ver Tese de Mestrado de Edgar Bublitz Filho, UFAM-2003.
3
Ver B. K. Chakravarti, A. Dutta, and P. Sen, Quantum Ising Models and Phase Transitions in Transverse
Ising Systems, Lecture Notes in Physics, Vol. M 41 (Springer-Verlag, Berlin, 1996) e S. Sachdev, Quantum Phase
Transitions (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1999).
1
2
39
­
®
m = σ (z) como
E
D
σ (z) =
*
T r{n} {σ (z) exp(−βH)}
T r{n} exp(−βH)
+
.
(3.2)
Podemos obter a magnetização média da sub-rede A escrevendo (3.2) como
D
E
(z)
σ 1A =
*
(z)
T r1 {σ 1A exp(−βH1A )}
T r1 exp(−βH1A )
+
,
(3.3)
(x)
(3.4)
sendo o Hamiltoniano H1A escrito na forma
(z)
H1A = Jσ 1A
z
X
(z)
σ
(z)
(1A+~δ)B
~δ
− Hσ 1A − Ωσ 1A .
A soma no primeiro termo da Eq. (3.4) significa os termos de interação de exchange sobre
todos os primeiros vizinhos ao redor da sub-rede A. Com isso, podemos escrever ainda a Eq.
(3.4) de uma forma mais compacta
(z)
(x)
H1A = −a1 σ 1A − Ωσ 1A
(3.5)
com o termo a1 contendo apenas termos da componente ẑ do Hamiltoniano sendo expressa por
a1 = −J
z
X
(z)
σ
(1A+~δ)B
+ H.
(3.6)
~δ
Substituindo a Eq. (3.5) na Eq. (3.3), temos que a magnetização média da sub-rede A é
portanto dada como
E
D
(z)
σ 1A =
*
(z)
(z)
(x)
T r1 {σ 1A exp(Kσ 1A + Lσ 1A )}
(z)
(x)
T r1 exp(Kσ 1A + Lσ 1A )
+
(3.7)
com K = βa1 e L = βΩ, ou ainda podemos escrever a Eq. (3.7) na forma
À
E ¿ ∂
D
(z)
(z)
(z)
(x)
σ 1A =
{ln T r1 σ 1A exp(Kσ 1A + Lσ 1A )} ,
∂K
(3.8)
sendo o traço T r da matriz, a soma das componentes de spins para ↑ (cima) ou de spins para
baixo ↓ (baixo). Com isso, podemos facilmente reescrever as relações hiperbólicas envolvento
termos exponenciais de uma forma mais simples. Com isso, calculando o traço funcional sobre
40
está configuração obteremos que
À
E ¿ ∂
D
(z)
mA = σ A =
{ln 2 cosh(W (K))}
∂K
(3.9)
com W (K) sendo a solução da matriz diagonal (autovalores) do Hamiltoniano dada por
p
K 2 + L2 .
(3.10)
+
p
a21 + Ω2
p
p
,
a21 + Ω2 2 cosh β a21 + Ω2
(3.11)
W (K) =
Derivando a Eq. (3.8) temos
mA =
*
2 sinh β
a1
ou ainda, utilizando-se das relações hiperbólicas tanh(x) = sinh(x)/ cosh(x) teremos que
mA =
*
a1
p
a21 + Ω2
+
q
2
tanh β a1 + Ω2 .
(3.12)
Agora, usando a propriedade do operador diferencial
eαDx f (x) = f (x + α)
(3.13)
e definindo a função f (x) por
H −x
f (x) = q
(H − x)2 + Ω2
q
tanh β (H − x)2 + Ω2
(3.14)
a Eq. (3.12) pode ser reescrita na forma
+
* z
Y z
Jσ δB Dx
mA =
F (x)|x=0 .
e
(3.15)
~δ
z
Usando a identidade de van Waerden (i.e., eaσi = cosh a + σ zi sinh a) e a aproximação de
Zernike desenvolvida no Capítulo 2, que consiste basicamente em desacoplar as funções de
correlações por produto individuais das médias de cada operador σ zi situados em diferentes
41
sítios, podemos reescrever a Eq. (3.15) na seguinte forma
z µ ¶
X
z
mA =
cosh(J D̂x )z−p sinh(J D̂x )p mpB f (x)|x=0
p
p=0
(3.16)
de forma análoga obtemos a magnetização da sub-rede mB por
z µ ¶
X
z
cosh(J D̂x )z−p sinh(J D̂x )p mpA f (x)|x=0 .
mB =
p
(3.17)
p=0
Como estamos inicialmente interessados em analizar a criticalidade do sistema (i.e., obter
TN (H, Ω)), então podemos substituir mA = m + mS e mB = m − mS e expandindo um
dos somatórios acima até termos de primeira ordem na variável mS (magnetização staggered)
obtemos o conjunto de equações dada por
z
X
pAp mp−1 = −1
(3.18)
p=0
e
z
X
Ap mp = m
(3.19)
p=0
com o coeficiente de expanção Ap sendo escrito da forma
µ ¶
z
cosh(J D̂x )z−p sinh(J D̂x )p f (x)|x=0 .
Ap =
p
(3.20)
Feito isto, podemos analisar alguns resultados importantes dos diagramas de fases utilizandose das Eqs. (3.18) e (3.19) para alguns tipos de redes.
42
3.2
Diagramas de Fase
Nesta seção mostramos alguns resultados dos diagramas de fase e algumas propriedades
termodinâmicas para este modelo aplicada algumas redes 2d e 3d. Calculamos estes diagramas
de fase para alguns valores do campo transverso Ω fixando-se os valores do campo longitudinal
H e também variando alguns valores de H mantendo o valor de Ω fixo. Nas Figs. (3.1),
0,6
0,5
Ω = 0.0
0,4
Ω = 1.0
M (T )
C
0,3
Ω = 1.5
0,2
0,1
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
kBT / J
2,0
2,5
3,0
Figura 3.1: Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Honeycomb
(z = 3).
43
(3.2) e (3.3) temos o comportamento da magnetização sobre toda a linha crítica de TN (H)
para diversas redes (z = 3, z = 4 e z = 6).
0,7
0,6
Ω = 0.0
0,5
M (TC)
Ω = 1.0
0,4
0,3
Ω = 2.0
0,2
0,1
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
k BT / J
Figura 3.2: Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Quadrada (z = 4).
44
À magnetização é obtida utilizando o sistema de equações não lineares dadas por (3.18) e
(3.19). A medida em que aumentamos os valores do campo transverso obetemos em nossos
diagramas a transição de fase em baixas temperaturas, diminuindo gradativamente o valor
de M (Tc ) quando Ω cresce, se anulando no valor do campo crítico Ωc que depende da rede
analisada.
0,8
0,7
Ω = 0.0
0,6
Ω = 1.0
0,5
M (TC)
0,4
Ω = 2.0
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
kBT / J
Figura 3.3: Comportamento da magnetização no ponto crítico para uma rede Cúbica Simples
(z = 6).
45
Os dois diagramas de fase seguintes são os comportamentos dos campos longitudinal e
tranverso como função da temperatura para uma rede Honeycomb (z = 3) e vários valores de
Ω e H como mostram as Figs. (3.4) e (3.5) respectivamente.
3,5
3,0
Ω = 0.0
2,5
H/J
Ω = 1.0
2,0
Ω =15
.
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
k BT / J
Figura 3.4: Diagramas de fase no plano H − T para uma rede Honeycomb (z = 3).
46
Observamos mais uma vez que a ordem é destruída quando um dado campo crítico Hc = zJ
(Ωc ) é atingidos de tal forma que para H ≥ Hc (Ω ≥ Ωc ) o sistema está desordenado (fase
paramagnética).
2,0
H = 0.0
1,5
H = 1.0
H = 2.0
Ω/J
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
k BT / J
Figura 3.5: Diagramas de fase no plano Ω − T para uma rede Honeycomb (z = 3).
47
No limite de T = 0 (estado fundamental) podemos analisar das Figs. (3.4) ou (3.5) o
comportamento dos campos críticos Hc (Ω) ou Ωc (H), respectivamente para a rede Honeycomb
(z = 3). Na Fig. (??) apresentamos o resultado desta análise no plano Ω − H, onde fazemos
comparação com os resultados obtidos através da aproximação de campo médio-MFA (linha
pontilhada). Observamos que para o caso de MFa existe uma reentrância (dois valores de Ω
para um dado H) ao redor do campo crítico Hc = 3J, que não é verificado pelo presente
formalismo (EFT) (linha tracejada).
3,5
3,0
2,5
Ω /J
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
H/J
Figura 3.6: Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano Ω − H para uma rede
Honeycomb (z = 3).
48
Os dois diagramas de fase seguintes, representam os comportamentos dos campos longitudinal e tranverso como função da temperatura de uma rede quadrada (z = 4) para vários valores
de Ω e H como mostram as Figs. (3.7) e (3.8), respectivamente. As análises qualitativas das
curvas são analogas aos das Figs. (3.4) e (3.5) quando estudamos a rede Honeycomb (z = 3).
O comportamento de Ωc (H) é apresentado na Fig. (3.9), onde mais uma vez comparamos os
resultados de MFA e verificamos o comportamento reentrante apenas no formalismo MFA.
4,5
4,0
Ω = 0.0
3,5
Ω = 1.0
3,0
Ω = 2.0
2,5
H/J
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
kB T / J
Figura 3.7: Diagramas fase no plano H − T para uma rede Quadrada (z = 4).
49
Por outro lado, verificamos que o aumento do número de coordenação z a declividade da
curva Ωc (H) obtida por EFT (este trabalho) aumento no ponto H = Hc . Fisicamente falando,
temos que o limite z → ∞ os resultados EFT coincidem com MFA, assim sendo esperamos que
para certos valores de z devemos observar o comportamento reentrante ao redor de Hc por uso
de um certo método, em partícular EFT ocorre para z ≥ 6 conforme será discutido a seguir.
3,0
H = 0.0
2,5
H = 1.0
H = 2.0
2,0
Ω / J 1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
k BT / J
Figura 3.8: Diagramas fase no plano Ω − T para uma rede Quadrada (z = 4).
50
Apesar de não mostrar explicitamente os diagramas de fase nos planosH −T e Ω−T obtidos
por MFA, devemos salientar que para H ' Hc temos presença de reentrância, que para Ω = 0
está em desacordo com resultados rigorosos de simulação de Monte Carlo. No caso da presença
do campo transverso no Ising AF este estudo é apresentado neste trabalho pela primeira vez.
4,5
4,0
3,5
3,0
Ω/J
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
H/ J
Figura 3.9: Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano H − Ω para uma rede
Quadrada (z = 4).
51
7
Ω = 0.0
6
Ω =10
.
5
Ω = 2.0
4
H/J
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 3.10: Diagramas de fase no plano H − T para uma rede C úbica Simples (z = 6).
52
Diferentemente de sistemas bidimensionais (ver Fig. (3.4) e (3.7)), a rede cúbica simples
apresenta um comportamento reentrante a baixas temperaturas utilizando-se o EFT-1 como
pode ser verificado na Fig. (3.10). A medida que o campo transverso Ω aumenta a reentrância
ao redor de Hc = 6J vai diminuindo, desaparecendo por completo para Ω % Ω1 = J. No caso
da curva crítica TN (Ω), Fig. (3.11), não observamos reentrância para H ≤ 6J.
5
H = 0 .0
4
H = 1 .0
H = 2 .0
3
Ω /T
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
kB T / J
Figura 3.11: Diagramas de fase no plano Ω − T para uma rede Cúbica Simples (z = 6).
Devemos mencionar que a reentrância da curva TN (H) na Fig. (3.10) para Ω = 0 está
em desacordo com o resultado de simulação de Monte Carlo, sendo portanto um resultado
espúrio do método aproximativo utilizado (EFT), e que a presença do campo transverso (Ω)
não conhecemos nenhum resultado na literatura que possamos comentar.
53
A caracteristica deste fenômeno de reentrância pode ser evidenciada utilizando os formalismos MFA-1 (linha pontilhada) e EFT-1 (linha tracejada), onde na Fig. (3.12) apresentamos
o diagrama de fase no estado fundamental em que o comportamento reentrante é menos acentuado no formalismo EFT. Resultados recentes de grupo de renormalização4 na rede 3d tem
7
6
5
4
Ω /J
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
H/J
Figura 3.12: Diagrama de fase do estado fundamental (T = 0) no plano H − Ω para uma rede
Cúbica Simples (z = 6).
comentado a presença do resultado espúrio usando MFA e ainda o valor universal
Ωc
zJ
= 1.0, re-
sultado este confirmado neste trabalho para redes de baixas dimensionalidades (2d ) e discutido
neste trabalho pela primeira vez e não disposmos de cálculos na literatura.
4
Estes resultados estão em boa concordância com o trabalho de Ovchinnikov, Dmitriev et Cheranovskki, Phys.
Rev. B 68, 16112 (2000) utilizando grupo de renormalização de matriz densidade (DMRG) para o modelo de
Ising com campo transverso em um sistema unidimensional. Os diagramas (??) e (??) foram obtidos por Minos
A. Neto e J. Ricardo de Sousa, Phys. Lett. A, artigo aceito em junho 2004.
54
3.3
Propriedades Termodinâmicas
3.3.1
Magnetização Total e Alternada (Staggered)
Resolvendo simultaneamente o conjunto de Eqs. (3.16) e (3.17) agora para todos os termos
da expansão, obtemos os comportamentos de m e ms como uma função da temperatura. Com
isso podemos verificar o comportamento de sistemas 2d e 3d para as magnetizações total e
staggered visto nas Figs. (3.13a) e (3.13b) usando EFT-1 e vários valores do campo transverso Ω
e campo longitudinal H indicados nas curvas. Note que a medida em que aumentamos os valores
de H (mantendo-se fixo o valor de Ω) teremos uma diminuição nos valores da temperatura de
transição.
1 ,2
mS
a
0 ,8
0 ,4
Ω = 0.0 e H = 0 .0
Ω = 0.0 e H = 1 .0
Ω = 0.0 e H = 2 .0
0 ,0
0
1
3
kB T / J
0 ,4 0
0 ,3 2
m
2
b
Ω = 0.0 e H = 0 .0
Ω = 0.0 e H = 1 .0
Ω = 0.0 e H = 2 .0
0 ,2 4
0 ,1 6
0 ,0 8
0 ,0 0
-0 ,0 8
0
1
2
3
k BT / J
Figura 3.13: Comportamento da magnetização em fun ção da temperatura. (a) Magnetização
staggered mS e (b) magnetização total m para uma rede Honeycomb (z = 3).
55
Usando novamente a teoria de campo efetivo correlacionado para aglomerados com um spin
(EFT-1) e vários valores do campo transverso Ω e campo longitudinal H indicados nas legendas,
temos nas Figs. (3.14a) e (3.14b) os comportamentos de m e ms em função da temperatura. Por
ser ms o parâmetro de ordem, vemos que este se anula no ponto crítico TN (H, Ω) com o expoente
crítico β = 1/2 igual ao resultado clássico (campo médio). Na caso da magnetização total temos
que na temperatura de transição m sofre uma descontinuidade. Os vários comportamentos de
TN (H, Ω) (diagramas de fases) foram mostrados anteriormente nas Figs. (3.4) a (3.12)
1 ,2
mS
a
0 ,8
Ω = 0. 0 e H = 1. 0
Ω = 1. 0 e H = 1. 0
Ω = 1. 5 e H = 1. 0
0 ,4
0 ,0
0
1
k BT / J
2
3
0 ,1 8
m
b
0 ,1 2
Ω = 0. 0 e H = 1. 0
Ω = 1. 0 e H = 1. 0
Ω = 1. 5 e H = 1. 0
0 ,0 6
0 ,0 0
0
1
kB T / J
2
3
Figura 3.14: Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Honeycomb (z = 3).
56
Resultados análogos, agora para as redes quadrada e cúbica simples, são mostradas nas
Figs. (3.15) à (3.18).
1 ,2
a
0 ,8
mS
Ω = 0.0 e H = 0 .0
Ω = 0.0 e H = 1 .0
Ω = 0.0 e H = 1 .5
0 ,4
0 ,0
0
1
2
k BT / J
3
4
0 ,4
b
0 ,3
m
0 ,2
Ω = 0. 0 e H = 0 .0
Ω = 0. 0 e H = 1 .0
Ω = 0. 0 e H = 1 .5
0 ,1
0 ,0
-0 ,1
0
1
2
3
4
kB T / J
Figura 3.15: Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Quadrada (z = 4).
57
1 ,2
a
0 ,8
mS
Ω = 1. 0 e H = 1. 0
Ω = 1. 5 e H = 1. 0
Ω = 2. 0 e H = 1. 0
0 ,4
0 ,0
0
1
0 ,1 6
2
k BT / J
3
4
b
0 ,1 2
m 0 ,0 8
Ω = 1.0 e H = 1 .0
Ω = 1.5 e H = 1 .0
Ω = 2.0 e H = 1 .0
0 ,0 4
0 ,0 0
0
1
2
kB T / J
3
4
Figura 3.16: Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Quadrada.
58
1 ,2
a
0 ,8
mS
Ω =
Ω =
Ω =
Ω =
0 ,4
0. 0 e
0. 0 e
0. 0 e
0. 0 e
H = 0. 05
H = 1. 0
H = 1. 5
H = 2. 5
0 ,0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
0 ,2 4
0 ,1 8
m
b
Ω
Ω
Ω
Ω
0 ,1 2
0 ,0 6
=
=
=
=
0. 0 e
0. 0 e
0. 0 e
0. 0 e
H = 0. 05
H = 1. 0
H = 1. 5
H = 2. 5
0 ,0 0
-0 ,0 6
0 ,0
0 ,5
1 ,0
1 ,5
2 ,0
2 ,5
3 ,0
3,5
4 ,0
4 ,5
5 ,0
5 ,5
6 ,0
k BT / J
Figura 3.17: Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Cúbica Simples (z = 6).
59
1 ,2
a
mS
0 ,8
Ω
Ω
Ω
Ω
0 ,4
=
=
=
=
0. 0
1. 0
2. 0
3. 0
eH
eH
eH
eH
=
=
=
=
1. 0
1. 0
1. 0
1. 0
0 ,0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
0 ,1 2
b
m
0 ,0 8
Ω
Ω
Ω
Ω
0 ,0 4
=
=
=
=
0. 0
1. 0
2. 0
3. 0
eH
eH
eH
eH
=
=
=
=
1. 0
1. 0
1. 0
1. 0
0 ,0 0
0
1
2
3
4
5
6
kB T / J
Figura 3.18: Comportamento da magnetização em função da temperatura. (a) Magnetização
alternada mS e (b) magnetização total m para uma rede Cúbica Simples.
60
3.3.2
Susceptibilidades χ Total e χs Alternada (Staggered)
Através das Eqs. (3.18), (3.19) e (3.20), podemos calcular as propriedades termodinâmicas
para o modelo de Ising antiferromagnético de spin 1/2 com campo transverso Ω. Logo a
susceptibilidade magnética χ pode ser obtida a partir da derivada
χ=
µ
∂m
∂H
¶
.
(3.21)
H=0
Aqui, no entanto, estamos interessados em calcular a susceptibilidade magnética total do
sisitema χ e da susceptibilidade magnética alternada (staggered ) χs , portanto façamos as
derivadas das Eqs. (3.16) e (3.17) com as substituições de mA e mB por mA = m + mS e
mB = m − mS e com isso encontraremos a susceptibilidade χ total dada por
χz =
Θ
1−∆
(3.22)
χzs =
Θ
,
1+∆
(3.23)
e a susceptibilidade χs (staggered ) por
onde z é o número de coordenação5 , sendo Θ e ∆ dadas por
z
X
∂
(Ap )
mpB
Θ=
∂H
p=0
e
∆=
z
X
pmpB Ap ,
(3.24)
(3.25)
p=0
e com isso podemos encontrar resultados da susceptibilidade χs (staggered ) utilizando as Eq.
(3.18), (3.19) e (3.23) podemos simular no programa Fortran 77 os resultados desta susceptibilidade e total χ utilizando-se do modelo de Ising Antiferromagnético de spin 1/2 com Campo
Transverso Ω.
5
Dependendo da topologia do sistema a função χz pode ser modificada de acordo com as funções Θ e ∆.
61
Aqui alguns resultados da susceptibilidade total e alternada (staggered) são apresentadas.
Na Fig. (3.19a) note que não há transição de fase para valores em torno de H(T = 0) = Hc =
zJ. Na Fig. (3.19b) temos mantendo-se fixo o valor de Ω = 0, vários valores de susceptibilidade
variando com o valor do campo longitudinal H, onde associamos a temperatura de transição
de fase o ponto onde temos descontinuidade, e que TN diminui a medida que H aumenta.
0,20
a
0,15
χ / J
Ω = 0.0 e H = 4 .3
0,10
0,05
0,00
0
0,20
k BT / J
2
3
b
0,15
χ / J
1
0,10
Ω = 0.0 e H = 0 .0
Ω = 0.0 e H = 1 .0
Ω = 0.0 e H = 2 .0
0,05
0,00
0
1
k BT / J
2
3
Figura 3.19: Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Honeycomb (z = 3).
62
Temos agora na Fig. (3.20), o resultado da suscepitibilidade χ mantendo-se fixo o valor do
campo longitudinal H = 1.0 e variando os valores do campo transverso Ω, onde mais uma vez
temos caracterizado a transição de fase pela descontinuidade de χ em T = TN .
0,20
0,15
χ/J
0,10
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 1.0 e H = 1.0
Ω = 1.5 e H = 1.0
0,05
0,00
0
1
k BT / J
2
3
Figura 3.20: Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Honeycomb (z = 3).
63
A Fig. (3.21) mostra o resultado da suscepitibilidade χs , mantendo-se fixo o valor do campo
transverso Ω = 0 e variando os valores do campo longitudinal H, onde agora a transição de
fase é caracterizado pela divergência de χs , que fisicamente é entendido por causa do teorema
de flutuação é dissipação em que χs está associado a flutuação do parâmetro de ordem ms ,
analogamente como acontece no sistema ferromagnético.
5
Ω = 0.0 e H = 0.0
4
Ω = 0.0 e H = 1.0
χ / J
s
3
Ω = 0.0 e H = 2.0
2
Ω = 0.0 e H = 4.0
1
0
0
1
2
3
4
5
kB T / J
Figura 3.21: Comportamento da susceptibilidade alternada χs em função da temperatura T
para uma rede Honeycomb (z = 3). Temos o resultado da suscepitibilidade χs , mantendo-se
fixo o valor do campo transverso Ω = 0 e variando os valores do campo longitudinal H.
64
Na Fig. (3.22a) temos o mesmo comportamento verificado anteriormente na Fig. (3.19a)
onde não há transição de fase para campos maiores que H = Hc = zJ. Na Fig. (3.22b), temos,
mantendo-se fixo o valor de Ω = 0 vários valores de susceptibilidade variando o valor do campo
longitudinal H.
0,12
χ /J
χ /J
a
0,08
Ω = 0.0 e H = 5.5
0,04
0,00
0
1
2
3
4
3
4
kB T / J
0,15
χ /J
b
0,10
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 1.5
0,05
0,00
0
1
2
k BT / J
Figura 3.22: Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Quadrada (z = 4).
65
Temos na Fig. (3.23) resultado da suscepitibilidade χ, mantendo-se fixo o valor do campo
longitudinal H = 1.0 e variando os valores do campo transverso Ω.
0,15
Ω
Ω
Ω
Ω
=
=
=
=
0.0 e
1.0 e
1.5 e
2.0 e
H=
H=
H=
H=
1.0
1.0
1.0
1.0
0,10
χ /J
0,05
0,00
0
1
2
3
4
k BT / J
Figura 3.23: Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Quadrada (z = 4). Temos o resultado da suscepitibilidade χ, mantendo-se fixo o
valor do campo longitudinal H = 1.0 e variando os valores do campo transverso Ω.
66
Na Fig. (3.24) apresenta valores da suscepitibilidade χs mantendo-se fixo o valor do campo
transverso Ω = 0 e variando os valores do campo longitudinal H.
10,0
Ω = 0.0 e H = 0.0
7,5
Ω = 0.0 e H = 1.0
χS / J
5,0
2,5
Ω = 0.0 e H = 5.0
0,0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 3.24: Comportamento da susceptibilidade alternada (staggeret) χs em função da temperatura T para uma rede Quadrada (z = 4).
67
Na Fig.(3.25), temos, mantendo-se fixo o valor de Ω = 0, vários valores de susceptibilidade
varindo o valor do campo longitudinal H.
0,09
Ω = 0.0 e H = 0.05
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 1.5
Ω = 0.0 e H = 2.5
χ / J
0,06
0,03
0,00
0
1
2
3
4
5
6
kBT / J
Figura 3.25: Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para vários valores dos campos transverso e longitudinal.
68
Na Fig.(3.26), temos o resultado em que a susceptibilidade sai do valor na fase antiferromagnético (AF) ↑↓↑↓ para a fase paramagnético (P) ↑↑↑↑ induzido por campo externo, para
Ω = 0 e H = 6.0.
7
6
5
4
χ /J
Ω = 0.0 e H = 6.0
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 3.26: Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para Ω = 0 e H = 6.0.
69
Na Fig.(3.27), temos o resultado em que a susceptibilidade saí da fase paramagnético (P)
↑↑↑↑ entra no regime antiferromagnético (AF) ↑↓↑↓ e retorna para o regime paramagnético (P)
↑↑↑↑ induzido por campo externo (regime da reentrância ocorrido em sistemas tridimensionais),
para Ω = 0 e H = 6.02.
4
3
χ /J
Ω = 0.0 e H = 6.02
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
kB T / J
Figura 3.27: Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6) para Ω = 0 e H = 6.02.
70
Na Fig.(3.28), verificamos que não há transição de fase para campos maiores que H = Hc =
zJ quando o valor do campo transverso for igual á zero Ω = 0.
0,1900
0,1425
χ/J
Ω = 0.0 e H = 7.0
0,0950
0,0475
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
kBT / J
Figura 3.28: Comportamento da susceptibilidade total χ como função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z=6) para Ω = 0 e H = 7.0.
71
Aqui temos o resultado da suscepitibilidade χ, ver Fig. (3.29), mantendo-se fixo o valor do
campo longitudinal H = 1.0 e variando os valores do campo transverso Ω.
0,09
Ω
Ω
Ω
Ω
χ /J
= 0.0 e
= 1.0 e
= 2.0 e
= 3.0 e
H = 1.0
H = 1.0
H = 1.0
H = 1.0
0,06
0,03
0,00
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 3.29: Comportamento da susceptibilidade total χ em função da temperatura T para
uma rede Cúbica Simples (z = 6).
72
Na Fig. (3.30), temos, mantendo-se fixo o valor de Ω = 0, vários valores do inverso da
susceptibilidade variando o valor do campo longitudinal H.
40
Ω = 0.0 e H = 0.05
30
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 2.0
J / χS
20
Ω = 0.0 e H = 2.5
10
0
0
3
6
9
kBT / J
Figura 3.30: Comportamento do inverso da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T para uma rede Cúbica Simples (z=6) para vários valores de H e Ω.
73
Na Fig. (3.31), temos o resultado em que a susceptibilidade varia do valor na fase antiferromagnético (AF) ↑↓↑↓ para a fase paramagnética (P) ↑↑↑↑ induzido por campo externo, para
Ω = 0 e H = 6.0.
18
15
χS / J
Ω = 0.0 e H = 6.0
12
9
6
3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
k BT / J
Figura 3.31: Comportamento da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T
para uma rede Cúbica Simples (z=6) para H = 6.0 e Ω = 0.
74
Na Fig. (3.32), temos o resultado em que a susceptibilidade varia da fase paramagnética (P)
↑↑↑↑ entra no regime antiferromagnético (AF) ↑↓↑↓ e retorna para o regime paramagnético (P)
↑↑↑↑ induzido por campo externo (regime da reentrância ocorrido em sistemas tridimensionais),
para Ω = 0 e H = 6.02.
18
15
χS / J
Ω = 0.0 e H = 6.05
12
9
6
3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
k BT / J
Figura 3.32: Comportamento da susceptibilidade (staggeret) χs em função da temperatura T
para uma rede Cúbica Simples (z=6) para H = 6.02 e Ω = 0.
75
3.3.3
Energia Interna hHi e Calor Específico Cv
Outra propriedade termodinâmica a ser calculada nesta dissertação para o modelo descrito pela
Eq. (3.1) é a energia interna U = hHi do sistema. Sendo a energia a média desdo Hamiltoniano
U=
1
hHA + HB i ,
2
(3.26)
onde os Hamiltonianos HA e HB são respectivamente os Hamiltonianos das sub-redes A e B
que calculando estes Hamiltoniano separadamente teremos que
UA = hHA i
(3.27)
e reescrevendo (3.1) em termos da sub-rede A poderemos ainda desenvolver (3.27) como sendo
UA = h(x − H)σ z1A i − Ω hσ x1A i ,
(3.28)
UA = hxσ z1A i − H hσ z1A i − Ω hσ x1A i
(3.29)
ou ainda,
e utilizando-se da expressão (3.7) para calcularmos estas médias destas denotações acima temos
que

¿
À
q

2
H−x
2

√
UA = x
tanh β (H − x) + Ω


(H−x)2 +Ω2


À
¿
q

2
H−x
tanh β (H − x) + Ω2
−H √
(H−x)2 +Ω2


À
¿
q



2
Ω
2

tanh β (H − x) + Ω
 −Ω √
2
(3.30)
(H−x) +Ω2
e utilizando da técnica do operador diferencial dada pela Eq. (2.9) teremos por fim que
D
E
E
E
D
D
UA = xexD̂x f1 (x)|x=0 − H exD̂x f1 (x)|x=0 − Ω exD̂x f2 (x)|x=0
(3.31)
que pode ser reescrita
UA =
E
E
D
D
∂ D xD̂x E
e
f1 (x)|x=0 − H exD̂x f1 (x)|x=0 − Ω exD̂x f2 (x)|x=0
∂ D̂x
76
(3.32)
onde
f1 (x) =
*
f2 (x) =
*
e
+
q
2
tanh β (H − x) + Ω2
(3.33)
+
q
tanh β (H − x)2 + Ω2 .
(3.34)
H −x
q
(H − x)2 + Ω2
Ω
q
(H − x)2 + Ω2
Portanto podemos escrever (3.32) numa forma bem mais compacta dado por






z
z
z
X
X
∂ X p 0 
UA =
mB Ap − H  mpB A0p  − Ω  mpB Bp0  ,
∂ D̂x p=0
p=0
p=0
(3.35)
com os coeficientes A0p e Bp0 sendo
A0p
µ ¶
z
=
cosh(J D̂x )z−p sinh(J D̂x )p f1 (x)|x=0
p
(3.36)
Bp0
µ ¶
z
=
cosh(J D̂x )z−p sinh(J D̂x )p f2 (x)|x=0 ,
p
(3.37)
e
considerações análogas podem ser feitas para sub-rede B






z
z
z
X
X
∂ X p 0 
UB =
mA Ap − H  mpA A0p  − Ω  mpA Bp0 
∂ D̂x p=0
p=0
p=0
(3.38)
Com isso podemos calcular diretamente da Eq. (3.35) uma outra propriedade termodinâmica
(calor específico) diferenciando-a numericamente6 .
Nas Figs. (3.33)-(3.37) temos o comportamento da energia interna e calor específico como
funções da temperatura fixando-se agora os valores de H e variando Ω.
6
Foi utilizado o software Origin 6.0 para encontrar a derivada do calor específico cV .
77
0,0
Ω = 0.0 e H= 0.0
Ω = 0.0 e H= 1.0
Ω = 0.0 e H= 3.5
-0,7
-1,4
u/J
-2,1
-2,8
-3,5
0
1
k BT / J
2
3
Figura 3.33: Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma rede
Honeycomb (z = 3) fixando o valor de Ω.
Na Fig. (3.36) o calor específico como função da temperatura mostra que não há uma
transição de fase para valores maiores de que Hc (Ω = 0) = zJ. Este valor do campo crítico Ω
pode ser visto na Fig. (3.6).
78
0,0
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.5 e H = 0.0
Ω = 1.0 e H = 0.0
-0,7
u/J
-1,4
-2,1
-2,8
-3,5
0
1
kBT / J
2
3
Figura 3.34: Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma rede
Honeycomb (z = 3) fixando o valor de H.
Resultados análogos, agora para a rede quadrada, são mostrados nas Figs. (3.38)-(3.42)
79
4
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
3
c vJ / kB
2
1
0
0
1
2
3
kB T / J
Figura 3.35: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Honeycomb (z = 3).
Aqui apresentamos alguns dos resultados da energia interna u e calor específico cv (ver Figs.
(3.43)-(3.49)). Nas Figs. (3.43)-(3.45) temos o comportamento da energia interna para vários
valores de Ω e H variando-os alternadamente.
80
0,35
0,28
0,21
c vJ / kB
0,14
0,07
0,00
0
1
2
3
k BT / J
Figura 3.36: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Honeycomb (z = 3) para H = 3.5 e Ω = 0.
À descontinuidade da energia interna é verificada para valores na região reentrante (ver Fig.
(3.44)) H(Ω = 0) = Hc = zJ.
81
4
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.8 e H = 0.0
Ω = 1.0 e H = 0.0
3
c vJ / kB2
1
0
0
1
k BT / J
2
3
Figura 3.37: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Honeycomb (z = 3) fixando o valor de H.
Para valores maiores que Hc (Ω = 0) = zJ não observamos transição de fase e ainda um
comportamento não físico7 apresentado pelo calor específico Figs. (3.48) e (3.49).
7
Pela terceira lei da termodinâmica o valor do calor específico em (T = 0) deve ir de zero e crescendo para
valores positivos a medida em que T aumenta.
82
0,0
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 4.5
-0,9
u/J
-1,8
-2,7
-3,6
-4,5
0
1
2
3
4
k BT / J
Figura 3.38: Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma rede
Quadrada (z = 4) fixando o valor de Ω.
Portanto, na região da reentrância não se é possível determinar as duas temperaturas de
transição caracterizado no comportamento da susceptibilidade staggered como função da temperatura, (ver Figs. (3.31) e (3.32)).
83
0,0
Ω
Ω
Ω
Ω
-0,9
= 0.0 e
= 1.0 e
= 1.5 e
= 2.0 e
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
u/J
-1,8
-2,7
-3,6
-4,5
0
1
2
3
4
kB T / J
Figura 3.39: Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma rede
Quadrada (z = 4) fixando o valor de H.
84
4
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
3
c vJ / kB
2
1
0
0
1
2
3
4
kB T / J
Figura 3.40: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Quadrada (z=4).
85
0,35
0,28
0,21
c vJ / kB
0,14
0,07
0,00
0
1
2
3
4
k BT / J
Figura 3.41: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Quadrada (z = 4) para H = 4.5 e Ω = 0.
86
4
Ω
Ω
Ω
Ω
= 0.0 e
= 1.0 e
= 1.5 e
= 2.0 e
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
3
JcV / kB
2
1
0
0
1
2
kB T / J
3
4
Figura 3.42: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Quadrada (z = 4) fixando o valor de H.
87
0,0
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 1.5
-0,8
-1,6
-2,4
u/J
-3,2
-4,0
-4,8
-5,6
-6,4
0
1
2
3
4
5
6
kB T / J
Figura 3.43: Comportamento da energia interna u como fun ção da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z = 6) fixando o valor de Ω.
88
0
Ω = 0.0 e H = 6.02
Ω = 0.0 e H = 7.5
Ω = 0.0 e H = 6.0
-1
u/J
-2
-3
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 3.44: Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z = 6). Valores em torno de H(Ω = 0) = Hc = zJ.
89
0,0
Ω
Ω
Ω
Ω
-0,8
-1,6
u/J
=
=
=
=
0.0 e
1.0 e
2.5 e
3.0 e
H=
H=
H=
H=
0.0
0.0
0.0
0.0
-2,4
-3,2
-4,0
-4,8
-5,6
-6,4
0
1
2
3
kB T / J
4
5
6
Figura 3.45: Comportamento da energia interna u como função da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z = 6) fixando o valor de H.
90
4
Ω = 0.0 e H = 0.0
Ω = 0.0 e H = 1.0
Ω = 0.0 e H = 1.5
3
c vJ / kB 2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
kB T / J
Figura 3.46: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z = 6) fixando Ω.
91
4
Ω
Ω
Ω
Ω
3
= 0.0 e
= 1.0 e
= 2.5 e
= 3.0 e
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
H = 0.0
c vJ / kB
2
1
0
0
1
2
3
k BT / J
4
5
6
Figura 3.47: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z = 6) fixando H.
92
0,0
-0,2
c vJ / kB
-0,4
-0,6
0
1
2
3
kB T / J
4
5
6
Figura 3.48: Comportamento do calor específico cv como função da temperatura para uma rede
Cúbica Simples (z=6) para H = 7.5 e Ω = 0.
93
0
-6
Ω = 0.0 e H = 6.0
Ω = 0.0 e H = 6.02
-12
cvJ / kB
-18
-24
-30
-36
-42
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
k BT / J
Figura 3.49: Comportamento do calor específico cv como fun ção da temperatura para uma
rede Cúbica Simples (z = 6) em torno da região reentrante.
94
REFERÊNCIAS
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[3] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 261 (1944).
[4] D. P. Landau e K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulation in Statistical Physics,
Cambridge University Press, 2000.
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E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. London A 151, 540; A 152, 231(1935).
[7] H. A. Bethe, Proc. Roy. Soc. London A 150, 552 (1935); R. E. Peierls, Proc. Camb. Phil.
Soc. 32, 471, 477 (1936).
[8] H. Falk, Amer. J. Phys. 38, 858 (1970).
[9] H. Falk, Physical Reriew 133, 1382 (1964).
[10] L. G. Ferreira, S. R. Salinas e M. J. Oliveira, Phys. Stat. Sol. B 83, 229 (1977).
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[12] R. S. Fishman, S. H. Liu, Phys. Rev. B 45, 5414 (1992).
[13] X. W. Jiang, R. S. Fishman, Phys. Rev. B 47, 8273 (1993).
[14] T. Idogaki, N. Uryû, Physica A 181, 173 (1992).
95
[15] K. G. Chakraborty, Phys. Lett. A 177, 263 (1993).
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[19] J. Ricardo de Sousa, D.F. Albuquerque, I. P. Fittipaldi, Phys. Lett. A 191, 275 (1994).
[20] J. Ricardo de Sousa, F. Lacerda, I. P. Fittipaldi, J. Magn. Magn. Mater. 140-144, 1501
(1995).
[21] F. C. Sá Barreto e I. P. Fittipaldi, Physica A 129, 360 (1985).
[22] H. B. Callen, Phys. Lett. 4, 161 (1963).
[23] M. Suzuki, Phy. Lett. 19, 267 (1965).
[24] F. Zernike, Physica (Ultrecht) 1, 565 (1940).
96
Capítulo 4
Grupo de Renormalização no Espaço
Real
4.1
Considerações Gerais
Nos capítulos anteriores estudamos as transições de fase de um dado sistema físico através
do diagrama de fase que delimita uma dada região de existência de cada fase em função dos
parâmetros externos (campo magnético longitudinal e transversal, temperatura, etc). Estes
estudos também podem ser efetuados a partir da funções de estado (magnetização, densidade,
etc) que refletem diretamente uma mudança de fase sob a variação de um parâmetro externo.
Num conceito geral do parâmetro de ordem, introduzido pela primeira vez por Landau na
década 30, é estabelecido em termos de uma expansão na energia livre em série de potências
deste parâmetro de ordem. O parâmetro de ordem é a grandeza que caracteriza uma transição
de fase que podendo ser tanto contínuo (transição de fase de segunda ordem) quanto descontínuo
(transição de fase de primeira ordem).
Em uma primeira tentativa de se explicar o magnetismo de spins localizados Weiss, em
1907, introduziu a teoria de campo molecular, antes mesmo de Heisenberg propor a interação
de troca como o mecanismo responsável pelo cooperativismo nestes materiais magnéticos. A
teoria de Weiss é uma forma análoga a da teoria fonomenológica de van der Waals para fluidos:
substiuti-se a interação entre pares por uma interação do tipo efetiva. Em aspectos que aparecem transições de fase, de uma forma bem ampla, é a presença de um parâmetro de ordem que
97
está associado a algum tipo de quebra de simetria. Ou seja, numa fase bem ordenada (T < Tc )
temos uma simetria menor do que em uma fase desordenada (T > Tc ). Em alguns magnetos
o tipo de simetria global (do tipo contínua) da fase de altas temperaturas é quebrada pelo
aparecimento de uma magnetização em uma específica direção no espaço. Landau, em 1937,
propôs um tratamento da energia livre próximo da transição de segunda ordem, que é uma
expansão analítica desta energia como função do parâmetro de ordem. Ao contrário a teoria
de Weiss, a teoria de Landau não estabelece nem um Hamiltoniano, no entanto nestas duas
idéias os expoentes críticos são exatamente iguais e também divergem dos resutados experimentais. Não é possível fazer uma expansão analítica do parâmetro de ordem para o modelo
de Ising em duas dimensões (solução exata), mostrando ser uma formulação que despreza os
efeitos das correlações. As várias teorias de campo médio (Weiss, desigualdade de Bogoliubov,
Landau, interação de longo alcance) conhecidas na literatura, apresentam em comum algumas
das seguintes falhas:
a) Não prevê a existência de excitações coletivas, como ocorre no modelo de Heisenberg
(ondas de spins).
b) Dão resultados insatisfatórios em baixas dimensionalidades, isto porque estes tipos de
soluções aproximadas não levam em conta a presença de flutuações podendo levar a instabilidade
da fase ordenada. Esta teoria preve transição de fase em sistemas unidimensionais.
c) Apresentam expoentes críticos em contradição com a experiência. De um ponto de vista
qualitativo, a transição de fase em um ferromagneto consite da competição entre a interação de
troca J, responsável pelo alinhamento dos spins paralelamente, e a energia térmica (kB T ), que
faz com que os spins apontem em direções aleatórias. Para temperaturas altas (kB T >> J),
o sistema comporta-se aproximadamente como se não existisse interação, de modo que o efeito
microscópico dos spins apontando em direções aleatórias resulta numa magnetização (Efeito
macroscópico) nula. À medida que abaixamos a temperatura, a interação de troca passa a
ser relevante e os spins a curtas distâncias (≤ comprimento de correlação ξ) começam a se
correlacionar. Quando kB T ' J, o comprimento de correlação diverge, ou seja, todos os
spins da rede se correlacionam, e o sistema sofre uma transição de fase (quebra espontânea
de simetria). A existência de correlações de longo-alcance é responsável pelo comportamento
singular de algumas funções termodinâmicas, como calor específico, magnetização espontânea,
98
susceptibilidade magnética e da função de correlação.
Próximo da região crítica T ' Tc e H = 0, podemos definir expoentes críticos que indicam
os comportamentos das grandezas termodinâmicas, conforme indicadas abaixo
i) Magnetização (β,δ)
H = 0 → M ' (Tc − T )β
(4.1)
e
1
T = Tc → M = H δ .
(4.2)
ii) Susceptibilidade (γ)

 (T − Tc )−γ ; T → T +
c
H = 0 → χo '
 (T − T )−γ 0 ; T → T −
c
c
(4.3)
iii) Calor Específico (α)

 (T − Tc )−α ; T → T +
c
H = 0 → Co '
 (T − T )−α0 ; T → T −
c
c
(4.4)
iv) Função de Correlação (η,ν)
­
®
­
®
G(~r, ~r0 ) = ~σ (~r) · ~σ (~r0 ) − h~σ (~r)i · ~σ (~r0 ) ,
(4.5)
onde ~σ (~r) é o spin na posição ~r e h...i indica a média térmica no ensemble (ver Eq. (2.3)). Para
grandes distâncias entre os spins e próximo da criticalidade (H = 0, T = Tc ) temos a seguinte
comportamento assintótico para G(~r, ~r0 )
G(~r, ~r0 ) '
−
e
|~r
|~r−~r0 |
ξ
− ~r0 |d−2+η
,
(4.6)
onde ξ(T ) é o comprimento de correlação que mede aproximadamente o tamanho do aglomerado
99
correlacionado, no qual no ponto crítico diverge na forma

 (T − Tc )−ν ; T → T +
c
ξ'
0
 (T − T )−ν ; T → T −
c
c
(4.7)
Por outro lado, tem sido observado experimentalmente que os expoentes críticos independem
da forma como chegamos ao ponto crítico (pela direita ou esquerda), isto é, γ 0 = γ, α0 = α e
ν 0 = ν.
Muitas das vezes é possível definir um parâmetro de ordem associado a uma determinada
transição de diferentes maneiras. Nem sempre o parâmetro de ordem pode ser caracterizado por
um escalar. Em sistemas mais complexos pode ser determinado por um vetor ou até mesmo por
uma grandeza tensorial. Em geral, temos que o parâmetro de ordem introduzido por Landau
ψ numa fase mais simétrica ψ = 0 (desordenada ou que ocorre a altas temperaturas) e ψ 6= 0
na fase menos simétrica (ou ordenada). Alguns exemplos físicos aqui podem ter características
de um parâmetro de ordem, como por exemplo: (i) a transição líquido-gás, em que ψ pode
ser tomado como sendo a diferença do volume específico na fase gasosa para a fase líquida
vG − vL ou da densidade ρL − ρG ; (ii) a transição para-ferromagnética, em que o parâmetro de
ordem ψ pode ser o vetor magnetização quando o campo externo tende a zero (tornando-se um
escalar para um sistema uniaxial); (iii) a transição para-antiferromagnética, em que ψ pode
ser associado à magnetização de sub-rede; (iv) a transição ordem-desordem nas ligas binárias
do tipo Cu-Zn, em que o parâmetro de ordem pode ser escolhido como sendo a diferença entre
as densidades de Cu e Zn nos sítios de uma das sub-redes; (v) a transição estrutural em
substâncias como titânio de bário, BaTiO 3 , em que ψ é associado ao deslocamento de uma
sub-rede de íons em relação à outra sub-rede, e (vi) a transição superfluida no hélio líquido,
em que ψ está associado a uma função de onda complexa.
Numa expansão de Landau feita para a energia livre em uma série de potências do parâmetro
de ordem não é uma hipótese justificável na região crítica. No caso do modelo de Ising bidimensional, a solução exata de Onsager já indica que não é possível escrever um expansão cujos
coeficientes sejam funções analíticas da temperatura, pois, várias técnicas aproximadas foram
desenvolvidas para resolver o modelo de Ising em duas ou três dimensões, já que muitas vezes
são técnicas úteis, que fornecem bons resultados para os aspectos qualitativos dos diagramas
100
de fases e que constituem as poucas ferramentas disponíveis para o estudo analítico de sistemas
mais complexos. No entanto, a transição de fase é caracterizada por uma não-analiticidade da
energia livre no limite termodinâmico, tornando discutíveis quaisquer truncamento de uma expansão perturbativa. Todas as aproximações fechadas, do tipo campo médio, sempre conduzem
a uma energia livre que pode ser colocada na forma da expansão de Landau e que, portanto,
reproduz os resultados clássicos para os expoentes críticos. Na década de 60 formularam-se,
então, hipóteses de escala, que são menos justificavéis, baseando-se apenas em certas formas
gerais para os expoentes críticos. Embora não permitam uma abordagem microscópica dos
fenômenos críticos, essas formulações apontam um caminho para ultrapassar as equações de
van der Walls ou de Curie-Weiss. O embasamento microscópico das hipóteses de escala, bem
como a possibilidade real de calcular os expoentes críticos foram proporcionados pelas técnicas
modernas de grupo de renormalização.
4.2
Hipótese de Escala e Universalidade
Após a solução exata do modelo de Ising 2d sem campo magnético externo, em 19441 , esta-
belece o início moderno de estudos de transição de fase e fonômenos críticos. Com isso, em 1965
Windon [1] e Domb e Hunter [2] observaram que quando os parâmetros que caracteriza o ponto
crítico (t = 1−T /Tc e H) variam, as funções termodinâmicas preservam a depedência funcional,
mudando apenas em escala. Desta forma, o comportamento crítico de um sistema é obtido pela
parte singular das funções termodinâmicas, a qual pode ser descrita, convenientemente, apenas em torno dos parâmentros que traduzem as distâncias ao ponto crítico. Windom, Domb
e Hunter expressaram uma parte singular para a energia livre como uma função homogênea2
generalizada, ou seja,
Gsing (λa t, λb H) = λGsing (t, H)
(4.8)
onde os dois parâmetros (a, b) definem o grau de homogeneidade da função Gsing , fazendo com
que a Eq. (4.8) valha para qualquer valor de λ. Usando a Eq. (4.8), obtem-se, com as definição
1
Esta solução pode ser encontrada no trabalho, L. Onsager, Phys. Rev. 65, 261 (1944).
Uma função homogênea f (r) [f (λr) = g(λ)f (r)] tem a propriedade de que se soubermos o valor em torno
do ponto crítico r = r0 e a forma funcional de g(λ), então conhecemos a função em outra parte escrevendo ainda
r = λr0 . Isto é, a função f(r) refere-se ao seu valor em r0 por uma mudança de escala.
2
101
das relações termodinâmicas, igualdades, e não as desigualdades (4.1-4.7), entre os expoentes
críticos, fazendo com que (α0 = α, γ 0 = γ, ν 0 = ν). Abaixo se seguem algumas das igualdades
entre os expoentes críticos
2 − νd = α,
(4.9)
γ = β(δ − 1) = (2 − η)ν
(4.10)
α + 2β + γ = 2
(4.11)
δ=
d+2−η
d−2+η
(4.12)
com d expresso como a dimensão do sistema.
Assim a hipótese de escala, Eq. (4.8), também é possível obter uma equação homogênea
para a função da magnetização que independem de qualquer tipo de substância, descrevendo
assim um comportamento universal para magnetos, como é bem conhecido para a lei dos estados correspondentes para os fluidos. Este comportamento universal já é bem conhecido nas
literaturas como comprovado teoricamente por simulação numérica. Por exemplo, da Eq. (4.8),
pode-se mostrar que a magnetização apresenta a segunda lei de escala
M(
m(t, H)
H
)=
,
∆
t
tβ
(4.13)
onde ∆ = βδ. A Eq. (4.13) representa uma universalidade de curvas, isto é, traçando um
digrama
m(t,H)
tβ
versus
H
t∆
teremos como consequência duas curvas universais, uma com com-
portamento T < Tc e outra T > Tc que é independem de qualquer tipo de material.
A classe de universalidade, que surgi como uma consequência da hipótese de escala de
Windom, dita quais os parâmetros que os expoentes críticos devem assumir, que são:
a) Dimensionalidade da rede (d);
b) Número total de componentes do hamiltoniano;
c) Alcance da ordem de interação, pois para sistemas com ordem de longo alcance os expoentes críticos são todos clássicos.
102
Em dimensões menores que d = 2 nenhum modelo magnético, até hoje3 , com interações
de curto-alcance apresentam ordem de longo alcance, ou seja, não temos transições de fase em
torno de T > 0. Os resultados clássicos são obtidos atráves de campo médio, que obviamente
independem da dimensão (d) e número de componentes do parâmetro de ordem contrariando
desta forma os resultados experimentais. A teoria de campo médio prevê especificamente a
transição de fase em uma dimensão (Tc 6= 0 !).
Por outro lado, temos modelos magnéticos em redes bidimensionais apresentam ordem de
longo alcance onde para o modelo de Ising cujos expoentes críticos exatos são: α = 0 (log),
β = 1/8, γ = 7/4, δ = 15, ν = 1 e η = 1/4. Apesar de não se conhecer a solução exata para
o modelo de Heisenberg quântico 2d, existe o teorema de Mermim e Wagner [3] no qual exibe
não existência de ordem de longo alcance para este modelo no limite isotrópico, mas a presença
de anisotropia no exchange induz uma magnetização espontânea.
4.3
Construção dos Blocos de Kadanoff
Próximo de um ponto crítico o sistema sofre grandes flutuações, gerando correlações de
longo alcance, tornando-se desta forma muito difícil obter informações mais precisas sobre
fenômenos críticos, nesta região teorias aproximativas (do tipo campo médio) que não levam
em consideração as flutuações, para a descirção destes fenômenos, estas não são apropriadas.
A idéia de renormalização está associada à invariância sob mudança de escala na região crítica
e numa dada região mais próxima a mesma.
Utilizaremos aqui o modelo de Ising numa rede d-dimensional, definido pelo Hamiltoniano
H = −J
X
<ij>
σi σj − H
N
X
σi,
(4.14)
i=1
J é interação de exchange e H é o campo magnético. A fim de justificar as formas de escalas,
3
Do ponto de vista teórico, podemos associar uma interação do tipo
J(r) =
Jo
rd+σ
como sendo de longo-alcance quando σ ∈ (−d, 0], onde d é dimensionalidade do espaço. Por outro lado, existe
uma região σ < 0 na qual as integrais divergem e a estatística de Boltzmann-Gibbs não mais é aplicada, dizemos
então está na região não extensiva (!!).
103
para apresentar um argumento introduzido por Kadanoff (e por Patashinski e Pokrovski, com
o nome de hipótese da similaridade). Perto da temperatura crítica, o comprimento de correlação
se torna muito grande em comparação com os espaçamentos da rede critalina, portanto, há
grandes grupos de spins que ficam bastante correlacionados.
Considerando células de dimensão b (com b << ξ) contendo bd spins altamente correlacionados. Então, associa-se a cada célula uma nova variável de spin, θα , com α = 1, 2, ..., N/bd ,
tal que θα = ±1 para qualquer α. Supondo ainda que o Hamiltoniano do sistema possa ser
expresso por uma fórmula semelhante a Eq. (4.14)
H = −J
0
0
N
X
i=1
θαi θβ i − H
0
N
X
θα ,
(4.15)
i=1
0
mas com novos parâmetros J e H . Como J define a temperatura crítica, a mudança de J
0
0
0
0
para J equivale a uma mudança de t = (T − Tc )/Tc para t . Sendo que a relação entre (t , H )
e (t, H) em termos das energias livres é dada por:
0
0
g(t , H ) = bd g(t, H),
(4.16)
onde g(t, H) é a energia livre por spin. A hipótese da similaridade consiste em supor que
0
0
t = bYt t e H = bYH H,
(4.17)
onde Yt e YH são os dois expoentes críticos, e a Eq. (4.16) foi obtida assumindo que a função
de partição do sistema fica invariante com a mudança de escala (4.17) próxima da criticalidade,
Essa hipótese preserva os aspectos físicos do problema e fornerce imediatamente uma justificativa para a forma de escala,
g(bYt t, bYH H) = bd g(t, H).
(4.18)
Os pontos fixos do modelo de Ising unidimensional4 (K 0 = K = K ∗ ) são K ∗ = 0 (correspondente à temperatura infinita) e K ∗ = ∞ (correspondente a temperatura nula), onde K = βJ.
4
Ver Livro: Sílvio R. A. Salinas, Introdução à Mecânica Estatística; Editora Edusp 1999.
104
Não é difícil verificar que, para qualquer condição inicial K > 0, a aplicação sucessiva da relação
de recorrência, K 0 =
1
2
ln[cosh(2K)], produz um fluxo em direção ao ponto fixo trivial, K ∗ = 0.
O ponto fixo físico (isto é, associado à transição em T = 0) é totalmente instável.
A Eq.(4.18) justifica assim a hipótese moderna de escala proposta por Widom em 1964 e
justificada por Kadanoff em 1966, constituindo o alicerce para o estudo de transições de fases
e fenômenos críticos. O método de scaling de Kadanoff abre novas perspectivas para o entendimento físico da criticalidade dos magnetos5 . Os argumentos fundamentais são de que as
propriedades do sistema perto do ponto crítico não dependerão de forma “relevante” dos detalhes das interações entre estas partículas constituintes e que a correlação entre estas partículas
tende ao infinito, o sistema se encontra, portanto, no mais alto grau de cooperativismo6 .
4.4
Grupo de Renormalização na Aproxiamção de Campo Médio
Os métodos de grupo de renormalização utilizados até o início dos anos 80 fizeram-se do
uso da dizimação, e aplicados a sistemas clássicos e quânticos. Indekeu, Maritan e Stella [4], em
1982, esquematizaram um novo e simples método de grupo de renormalização no espaço real
para tratar sistemas de spins, baseados nos conceitos clássicos de campo médio da transição de
fase comparando sistemas finitos de tamanhos diferentes.
O método (MFRG) pode ser caracterizado da seguinte forma:
a) Considera-se duas células de tamanho finitos com N e N 0 spins, respectivamente. Podemos
estabelecer que N 0 < N sem perdas de generalidades.
b) Para ambas as células calcula-se o parâmetro de ordem que caracteriza a transição de
fase, na presnça de condições de contorno que contenham a simetria da correspondente fase,
5
Para uma revisão dos conceitos e evolução da teoria de Grupo de Renormalização em mecânica estatística,
o leitor interessado pode consultar o excelente trabalho de Fisher [Renormalization Group Theory: its basis and
formulation in statistical physics], publicado recentemente na revista científica Reviews of Modern Physics 70, 2
(1998).
6
O efeito cooperativo surge devido a uma interação microscópica que tende a minimizar a energia interna do
sistema, alinhado os momentos magnéticos atômicos (spins) numa dada configuração microscópica, e gerando
uma correlação entre os vários graus de liberdade do sistema. Sendo assim, para um sistema magnético sujeito
a uma variação de temperatura, há uma competição entre a agitação térmica, que tende a desordenar o sistema,
e o acoplamento dos momentos magnéticos, que tende a ordenar o sistema.
105
simulando desta forma os efeitos dos spins vizinhos em um sistema infinito, na abordagem da
(MFA). O efeito que se instala sobre os spins vizinhos pode ser estimado por uma campo de
quebra de simetria com magnitudes b e b0 para as células N e N 0 spins, respectivamente.
c) Determina-se, desta maneira as magnetizações por spin mN e mN 0 para ambas as células.
d) Estabelece uma relação de escala entre as magnetizações dada por
mN 0 ({Ki0 }, b0 ) = ld−yh mN ({Ki }, b),
(4.19)
onde {Ki } é definido como o conjunto de parâmetros presentes no Hamiltoniano em estudo (sem
1
campo externo) com N (N 0 ) spins e l = ( NN0 ) d é o fator de escala. Indekeu e colaboradores
assumiram (hipótese forte !) que os campos de quebra de simetria se escalam da mesma maneira
que as magnetizações da forma
b0 = ld−yh b.
(4.20)
e) Exapandindo a Eq. (4.20) para b e b0 pequenos, isto é,
mN 0 ({Ki0 }, b0 ) ' AN 0 ({Ki0 })b0 ,
(4.21)
mN 0 ({Ki }, b) ' AN 0 ({Ki })b.
(4.22)
relacionando (4.21) e (4.22) com (4.19), elimina-se desta maneira o fator de escala e encontra-se
a equação de fluxo
AN 0 ({Ki0 }) = AN ({Ki }).
(4.23)
Esta conexão com aproximação de campo médio e uso de relação de escala em grupo de
renormalização, o método recebeu a denominação de Grupo de Renormalização na Aproximação de Campo Médio (MFRG - Mean Field Renormalization Group). A grande potencialidade do método MFRG é fornecer bons resultados para grandezas críticas (temperatura
e expoentes críticos), sem muitas complicações computacionais, bem como remover restrições
e limitações inerentes a MFA, como por exemplo conclui corretamente Tc = 0 para redes unidimensionais, por esta razão o formalismo MFRG constitui uma ferramenta bastante eficiente
no tratamento de fonômenos críticos que estão associados a modelos complexos de transição de
106
fase.
O método (MFRG) tem sido aplicado a vários modelos estatísticos tais como: modelo de
Ising desordenado [5, 6], modelo de Ising com campo transverso [6], modelo de Ising com campo
aleatório [7], modelo de Ising semi-infinito [8], modelo de Heisenberg com spin 1/2 ferromagnético [9, 10], modelo D̂-vetorial com diluição correlacionada [11, 12], etc. Alguns aperfeiçoamentos têm sido feitos para um bom desenvolvimento do método [13, 14], onde combina-se
MFRG com técnicas usuais de dizimação.
Como aplicação, consideremos o Hamiltoniano de Heisenberg-1/2 anisotrópico ferromagnético (F) e antiferroamgnético (AF), que são descritos por
H = −J
X
(η x σ xi σ xj + η y σ yi σ yj + σ zi σ zj )
(4.24)
<ij>
sendo Jij = Jji é a interação de intercâmbio entre os spins do aglomerado (Jij > 0 e Jij <
0) correspondem as casos F e AF, respectivamente, η ν (ν = x, y) caracteriza o parâmtro de
anisotropia, σ νi (ν = x, y, z) é a componete ν do operador de Pauli e < i, j > indica a soma
sobre os pares de primeiros vizinhos. Observe que no Hamiltoniano (4.24) temos três parâmetros
Jijx = ηx Jij , Jijy = η y Jij e Jijz = η z Jij , que dependem da escolha apropriada para η x e η y
(ex.: η x = η y = η) termos apenas dois parâmetros independentes, portanto necessitamos no
formalismo do MFRG de duas equações independentes para descrever corretamente o diagrama
de fluxo. Nesta dissertação, adotaremos a metodologia do MFRG aproximada com uma única
equação AN 0 (K10 , K20 ) = AN (K10 , K20 ) que pode determinar todas as informações sobre o modelo
estatístico. Logo, podemos encontrar as magnetizações do sistema partindo do Hamiltoniano
(4.24) expandindo os campos de quebra de simetria primeiro: para aglomerados com um único
spin
m1A ' A1 (K 0 )b0B ,
(4.25)
onde A1 (K 0 ) = 2dK 0 , e d é a dimensão da rede cristalina (z = 2d). Diagonalizando o Hamiltoniano para aglomerado com dois spins e expandindo os campos de quebra de simetria (bA , bB )
teremos
m1A ' A+ (K, ηx , η y )bA + A− (K, η x , η y )bB ,
107
(4.26)
com
A± =
sinh[K(ηx −ηy )]
sinh[K(η x +ηy )]
∓ e−2K
}
η x −ηy
η x +η y
.
cosh[K(η x − η y )] + e−2K cosh[K(η x + η y )]
(2d − 1){
(4.27)
Com as equações acima podemos estudar os casos F e AF. Para o sistema F utilizaremos
a condição de contorno bA = bB = b com K > 0; e para o sistema AF utilizaremos a condição
de contorno bA = −bB = b com K → −K (ordem de Néel). Assim sendo os coeficientes da Eq.
(4.27) tornam-se



AF

 A2 (K, η x , ηy ) =


F

 A2 (K, η x , η y ) =
sinh[K(η x −η y )]
η x −ηy
)]+e−2K cosh[K(η
(2d−1)
cosh[K(η x −η y
x +η y )]
sinh[K(η x +η y )]
(2d−1)e−2K
ηx +η y
cosh[K(η x −ηy )]+e−2K cosh[K(η x +η y )]
.
(4.28)
Para o aglomerado com apenas um spin, o coeficiente, tanto para o caso F quanto para o
caso AF, é A1 (K 0 ) = 2dK 0 . De acordo com esquema do MFRG Eq. (4.23), onde os coeficientes
dos aglomerados são conmparados. Então,



0
F

 K = f (K, η x , ηy ) =



 K 0 = f AF (K, η x , η y ) =
sinh[K(ηx −η y )]
η x −ηy
)]+e−2K cosh[K(η
( 2d−1
)
d
cosh[K(η x −η y
x +η y )]
2d−1 sinh[K(η x +ηy )]
( d )
η x +η y
cosh[K(η x −η y )]+e−2K cosh[K(ηx +ηy )]
(4.29)
os temos para o F e AF respectivamente. Com o conjunto da Eq. (4.29), pode-se determinar
as temperaturas críticas Tc (K 0 = K = Kc = 1/Tc ) e TN para os casos F e AF, respectivamente
conforme os resultados da Tabela (IV. 1). Temos observado que TN > Tc para o modelo de
Heisenberg K 0 = K = KN = 1/TN e Tc = TN para o modelo XY, em concordância com os
resultados rigorosos de expansão em série.
108
Tabela IV.1: Resultados para a temperatura e os expoentes críticos térmicos de modelo de
Heisenberg de spin 1/2 e XY quântico numa rede cúbica simples, obtidos via MFRG e expansão
em série [15].
TN
ytF
ytAF
Modelo Quântico Método
TC
MFRG
3.64
4.06
1.00
1.02
Heisenberg
Expansão e Séries
3.36
3.59
1.39
1.39
MFRG
4.47
4.47
1.29
1.29
XY
Expansão e Séries
4.00
4.00
1.49
1.49
4.5
Grupo de Renormalização na Aproximação de Campo Efetivo
Vários métodos de grupo de renormalização (RG) no espaço real tem sido desenvolvidos
para tratar da criticalidade em diversos modelos estatístico. Temos como exemplo, o modelo de
Heisenberg quântico de spin 1/2 ferromagnético [15, 16], onde as grandezas críticas (expoentes
e temperaturas críticas) obtidas foram mostradas ser satisfatórias quando comparadas com resultados de expansão em série [17] e simulação de Monte Carlo [18]. Somente recentemente
que esses métodos foram generalizados para tratar este modelo quântico com interação antiferromagnética em duas [19-21] e três [22-24] dimensões. O método EFRG é muito superior ao
método MFRG pois para um tratamento inicial de sistemas clássicos foi verificado que para
um mesmo aglomerado os resultados obtidos por EFRG são melhores que o MFRG. A seguir
desenvolveremos o método (EFRG) [25] para uma análise no comportamento reentrante no
modelo de Ising clássico7 feito através do diagrama de fase H − T para sistemas tridimencionais
utlizando-se aqui as redes cúbica simples (sc) e cúbica de corpo centrada (bcc), e compararmos
aqui com alguns resultados mais rigorosos como Monte Carlo [26] e Expansão em Série [27].
O método EFRG foi desenvolvido inicialmente num tratamento de sistemas clássicos [28-30],
e foi verificado que os resultados são bens superiores aos obtidos, usando mesmos aglomerados,
pelo método MFRG. Outra vantagem ainda do EFRG sobre o MFRG é a sua convergência
rápida em direção do valor exato das grandezas críticas. A primeira aplicação do EFRG em
sistemas quânticos foi no modelo de Ising de spin 1/2 com campo transverso [31], os resultados
foram mostrados ser superiores aos obtidos pelo MFRG [32, 33]. A extensão do método EFRG
7
Obedecendo aqui, as relações de comutação entre os operadores.
109
para o modelo de Heisenberg quântico ferromagnético [34, 35] mostra-se ser bastante eficiente.
Recentemente, o método EFRG também tem sido tratado no modelo de Heisenberg quântico
AF [31, 37, 38] e clássico [31, 39].
Nesta dissertação aplicaremos o método EFRG para estudar a criticalidade de modelo de
Ising com campo magnético H e compararemos nosso resultados com alguns resultados bem
superiores a este método como por exemplo Monte Carlo [26] e Expansão em Série [27].
4.5.1
Modelo de Ising Antiferromagnético com Campo Magnético Longitudinal
O sistema considerado neste capítulo é descrito pelo seguinte Hamiltoniano:
H=J
X
σ zi σ zj − H
<i,j>
X
σ zi
i
Para o tratamento deste modelo utilizaremos a aproximação EFRG8 , onde consideraremos
um simples caso de renormalização para aglomerados com N 0 = 1 e N = 2 spins, e o Hamiltoniano para estes aglomerados é dado por
−βH10 = a01B σ 1A
(4.30)
−βH2 = −Kσ 1A σ 2B + a1B σ 1A + a2A σ 2B
(4.31)
e
onde a01B = L0 − K 0
z−1
z
P
P
σ 1B+~δ (K 0 = βJ 0 , L0 = βH 0 ) e aiλ = L − K σ iλ+~δ (K = βJ, L = βH,
~
δ
~
δ
i = 1, 2 e λ = A, B).
Utilizando a identidade de Callen-Suzuki [40] e as Eqs. (3.16) e (3.8), podemos facilmente
mostrar que as magnetizações para aglomerados com um e dois spins é expresso por
m01A (K 0 , L0 ) =
*
z
Y
(cosh K 0 Dx + σ δB sinh K 0 Dx
δ6=1
+
¯
tanh(L0 − x)¯x=0 ,
(4.32)
8
Salientamos que a tentativa de se usar o método MFRG foi frustrante, haja vista não ser possível obter
solução para TN em todo intervalo de campo magnético para redes 3d. Apenas na região de baixos campos
obtem-se uma curva (incompleta), portanto, omitimos tal estudo por achar desnecessário.
110
e
m2A (K, L) =
z−1
* Q (cosh K 0 Dx + σ δB sinh K 0 Dx ) +
δ6=1,2
z−1
Q
(4.33)
(cosh K 0 Dy + σ δA sinh K 0 Dy )
δ6=1,2
g(x, y)|x=y=0
(4.34)
sendo g(x, y)|x=y=0 dado por
g(x, y) =
sinh(2L − x − y) + e−2K sinh(x − y)
.
cosh(2L − x − y) + e−2K cosh(x − y)
(4.35)
Com uma aproximação entre os pares de correlações, ver Eq. (2.20), podemos reescrever
m01A (K 0 , L0 ) e m2A (K, L) como sendo
m01A (K 0 , L0 ) =
z
X
0
0
0
b0p
B A1p (K , L ).
(4.36)
p=0
sendo
A01p (K 0 , L0 ) =
e
m2A (K, L) =
µ ¶
z
C z−p Sxp f (x)|x=0
p x
(4.37)
z−1 X
z−1
X
0q
b0p
A bB B2pq (K, L),
(4.38)
p=0 q=0
onde
µ
¶µ
¶
z−1 z−1
B2pq (K, L) =
Cxz−p−1 Sxp Cyz−q−1 Syq g(x, y)|x,y=0 .
p
q
Usando as definições dos campos de quebra de simetria staggered {bs =
1 0
2 (bA
0
0
0
0
1
2 (bA
(4.39)
0
− bB ), bs =
− bB ) } e da magnetização total {b = 12 (bA + bB ), b = 12 (bA + bB ) } podemos obter as
0
seguintes expressões em primeira ordem nos parâmetros bs e bs
m1s (K 0 , L0 ) '
z
X
b0p b0s A01p (K 0 , L0 ),
z
X
m1 (K , L ) '
b0p A01p (K 0 , L0 ),
0
(4.40)
p=0
0
p=0
111
(4.41)
m2s (K, L) '
z−1 X
z−1
X
(p − q)bp+q−1 bs B2pq (K, L),
(4.42)
p=0 q=0
e
m2 (K, L) '
z−1 X
z−1
X
bp+q B2pq (K, L).
(4.43)
p=0 q=0
0
Usando os dois procedimentos do método (EFRG) [m1s = ξm2s e bs = ξbs ] podemos tirar
z−1 X
z
z−1
X
X
(p − q)bp+q−1 B2pq (K, L) =
b0p A01p (K 0 , L0 ),
p=0 q=0
(4.44)
p=0
0
b =
z
X
b0p A01p (K 0 , L0 )
(4.45)
p=0
e
b=
z−1 X
z−1
X
bp+q B2pq (K, L).
(4.46)
p=0 q=0
Para o esquema de (invariância por escala) tipo (4.20), e
z−1 X
z
z−1
X
X
p+q−1
(p − q)b
B2pq (K, L) =
b0p A01p (K 0 , L0 )
p=0 q=0
e
z
z−1 X
z−1
X
X
b0p A01p (K 0 , L0 ) =
bp+q B2pq (K, L).
p=0
(4.47)
p=0
(4.48)
p=0 q=0
No esquema de (campo médio).
Resolvendo simultaneamente os sistema de equações não-lineares acima, obtemos alguns
resultados importantes dos diagramas de fases no plano H − T para redes tridimensionais,
como por exemplo: a rede cúbica simples-sc (z = 6) e cúbica de corpo centrada-bcc (z = 8).
Na Fig. (4.1) temos apresentado o comportamento de TN (H) em função de H para a
rede sc utilizado EFRG nos dois esquemas acima mencionados, i.e., invariância por escala
(EFRG-I) e campo médio (EFRG-II). Observamos que os resultados de EFRG-I e EFRG-II são
bastante semelhantes, com uma curva decrescente a medida que o campo aumenta em direção
ao valor crítico Hc = 6J, com uma pequena “anomalia” em torno de baixas temperaturas, que
é caracterizada pela existência de mudança de concavidade próximo kB T /J ' 1.1 . Temos
observado, ainda, a ausência de reentrância em torno do campo crítico, em completo acordo
112
com resultados rigorosos de Monte Carlo [27] e resolvendo os resultados incosistente de EFT-1
e EFT-2 discutido no capítulo anterior.
7
6
5
H/J
4
3
2
sc lattice (z=6)
EFT-1
EFT-2
EFRG (Scaling Invarienc)
1
0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 4.1: Diagrama de fase H − T utilizando-se dos esquemas de grupo de renormalização de
campo efetivo (EFRG). O esquema EFRG-I (invariância por escala) é representado pela linha
tracejada utilizando-se das Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) e o esquema EFRG-II (campo médio)
é representado pela linha sólida utilizando-se agora as Eqs. (4.47) e (4.48) para uma rede sc
(z = 6).
113
Na Fig. (4.2) temos apresentado a curva crítica para a rede bcc (z = 8). Para este caso um
comportamento reentrante é observado em torno de Hc .
9
8
7
6
H /J
5
4
3
2
bcc lattice (z=8)
EFRG I - Scaling Invarienc
EFRG II - Mean Field
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k BT / J
Figura 4.2: Diagrama de fase H − T utilizando-se dos esquemas de grupo de renormalização de
campo efetivo (EFRG). O esquema EFRG-I (invariância por escala) é representado pela linha
tracejada utilizando-se das Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) e o esquema EFRG-II (campo médio)
é representado pela linha sólida utilizando-se agora as Eqs. (4.47) e (4.48) para uma rede bcc
(z = 8).
114
Nas Figs. (4.3) e (4.4), respectivamente para as redes sc e bcc, três formalismos são utilizados: EFT-1, EFT-2 e EFRG-I; onde mostra que para o limite de baixas temperaturas
a reentrância9 tende a diminuir com o aumento do número de aglomeradosdo sistema. Os
resultados da declividade ac = (dH/dT )H=0 em torno de Hc mostra um bom resultado em
comparação com Monte Carlo (MC) [41] e expansão em série (SE) [26]. Para uma rede cúbica
simples (z = 6), Fig. (4.3), o resultado de EFRG-I é de −0.44 enquanto o de (SE) [26] é de
−0.04 e para um rede cúbica de corpo centrada (z = 8) este resultado é de 0.07 para o esquema
EFRG-I e de 0.13 para (SE).
7
6
5
H/J
4
3
2
sc lattice (z=6)
EFT-1
EFT-2
EFRG (Scaling Invarienc)
1
0
0
1
2
3
4
5
6
k BT / J
Figura 4.3: Dependência do campo magnético reduzido H/J como função da temperatura
crítica reduzida kB T /J do modelo de Ising antiferromagnético para uma rede cúbica de corpo
centrada bcc (z = 8). Comparamos nossos resultados utilizando EFT-1, EFT-2 e EFRG-I.
9
Este valor diminui de acordo com o cálculo da declividade da curva dado por ac = (dH/dT )H=0 .
115
9
8
7
6
5
H/J
4
3
bcc l atti ce (z=8)
EFT-1
EFT-2
EFRG (Scaling Invarienc)
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k BT / J
Figura 4.4: Dependência do campo magnético reduzido H/J como função da temperatura
crítica reduzida kB T /J do modelo de Ising antiferromagnético para uma rede cúbica de corpo
centrada bcc (z = 8). Comparamos nossos resultados utilizando EFT-1, EFT-2 e EFRG-I.
116
Isso de fato vêm a se confirmar quando um método muito superior a, podendo desta forma,
aproximar-se de resultados mais precisos como Monte Carlo [27], i.e., (ver Fig. (4.5)).
1,2
1,0
0,8
H / Hc
0,6
0,4
EFRG
Monte Carlo
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
TN (H) / TN (0)
Figura 4.5: Dependência do campo magnético reduzido H/Hc como uma função da temperatura
de Néel reduzida T (H)/T (0) do modelo de Ising antiferromagnético de spin 1/2 da rede (bcc)
(z = 8). Onde a marcação em triângular representa o resultado de Monte Carlo 3.5. Este
diagrama de fase pode ser obtido pelo conjunto de Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) para o esquema
do (EFRG-I): invariância por escala. Comparamos nossos resultados (EFRG) com o resultado
de simulação de Monte Carlo [41].
Utilizando EFT-1 onde o resultado pode ser obtido pelo conjunto de Eqs. (3.18) e (3.19)
(linha sólida) e EFT-2 resultado este determinado pelas Eqs. (3.8) e (3.10) (linha tracejada) “ver
Apêndice D” para as redes sc (z = 6) e bcc (z = 8) verificamos que a medida em aumentamos
o número de aglomerados do sistema termos uma diminuição da linha de transição do sistema
em baixas temperaturas (região reentrante) em torno de Hc que separa as fases AF-P. Com isso
o formalismo do esquema EFRG-I, Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46), (linha pontilhada) mostra ser
muito superior as dois outros anteriores já que computacionalmente fica ligeiramente muito mais
117
Tabela IV.2: Resultados para a temperatura e os expoentes críticos térmicos de modelo de
Heisenberg de spin 1/2, XY Ising quântico numa rede cúbica simples, obtidos via EFRG e
expansão em série [42].
TN
YtF
YtAF
Modelo Quântico Método
Tc
EFRG
4.85
4.85
1.64
1.64
Ising
Expansão e Séries [42]
4.51
4.51
1.59
1.59
EFRG
4.43
4.43
1.51
1.51
XY
Expansão e Séries [42]
4.00
4.00
1.49
1.49
EFRG
3.69
4.09
1.36
1.30
Heisenberg
Expansão e Séries [42]
3.36
3.59
1.39
1.39
complicado trabalhar com aglomerados superiores a EFT-4 para este sistema onde a dificuldade
ainda maior é na diagonalização do Hamiltoniano. Este diagrama de fase pode ser obtido pelo
conjunto de Eqs. (4.44), (4.45) e (4.46) para o esquema do (EFRG-I): invariância por escala.
Verificamos uma boa concordância com resultado de Monte Carlo 3.5, ver marcação em
triângular da Fig. (4.5), sendo que o resultado de simulação de Monte Carlo [41] mostra
que, em baixas temperaturas, o valor do campo magnético longitudinal Hc é de H/zJ = 1.02 e
H/zJ = 1.04 obtido pelo esquema (EFRG-I). O valor da declividade dado por ac = (dH/dT )H=0
sobre esta região (região de baixas temperaturas) obtido pelo (EFRG-I) é de 0.07, enquanto
0.13 e 0.16 foram obtidos pelo método de expansão em série [26] e simulação de Monte Carlo
[41] respectivamente10 .
Foram calculados os expoentes críticos térmicos para os casos limites F e AF de alguns
modelos conforme a Tabela (IV.2). Os resultados de EFRG podem ser visto no trabalho de de
Sousa e Araújo [37].
10
Estes resultados podem ser melhor estudados no trabalho de Minos A. Neto e J. Ricardo de Sousa, Phys.
Rev. B, submetido em 2004.
118
REFERÊNCIAS
[1] B. Widom, J. Chim. Phys. 43, 3892 (1965); J. Chim. Phys. 43, 3898 (1965).
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119
[11] L. R. Evangelista e V. K. Saxena, Phys. St. Solidi B 137, K31 (1986). O. F. de Alcântara
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(1984); J. Ricardo de Sousa, Phys. Lett. A 252, 137 (1999).
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[15] J. Ricardo de Sousa, Phys. Lett. A 216, 321 (1996); Physica A 259, 138 (1998); Phys.
Lett. A 252, 137 (1999); C. N. Likos e A. Maritam, Phys. Rev. E 53, 3303 (1996).
[16] J. Ricardo de Sousa, N. S. Branco, B. Boechat e Claudette Cordeiro Physica A (2003) no
prelo.
[17] G. S. Rushbrooke e P. J. Wood, Mod Phys. 6, 1133 (1966).
[18] A. J. F. de Sousa, U. M. S. Costa e M. L. Lyra, Phys. Rev. B 62, 8909 (2000).
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[20] I. P. Fittipaldi, J. Magn. Magn. Mater. 131, 43 (1994).
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[22] J. Ricardo de Sousa e I. P. Fittipaldi, J. Appl. Phys. 75, 5835 (1994); Phys. Lett. A 252,
137 (1999).
[23] J. Ricardo de Sousa, em publicação
[24] J. S. Cabral Neto e J. Ricardo de Sousa, em publicação
[25] J. Ricardo de Sousa e I. P. Fittipaldi, J. Appl. Phys. 75, 3835 (1994).
[26] Zoltàn Ràcz, Phys. Rev. B 21, 4012 (1980).
[27] C. Wentworth and Y. L. Wang, Phys. Rev. B. 36, 8687 (1987).
120
[28] Tese de Mestrado de Edgar Bublitz Filho, apresentado no Departamento de Física da
UFAM (2003).
[29] I. P. Fittipaldi, J. Mag. Mag. Mat. 131, 43 (1994); J. Ricardo de Sousa, Phys. Lett. A 216,
321 (1996).
[30] J. Ricardo de Sousa e D. F. Albuquerque, Physica A 236, 419 (1997).
[31] I. P. Fittipaldi e D. F. de Albuquerque, J. Mag. Mag. Mat. 104-107, 236 (1992).
[32] J. Ricardo de Sousa, Physica A 256, 383 (1998).
[33] C. Z. Yang e W. J. Song, Phys. St. Solidi B 166, 269 (1991).
[34] J. A. Plascak, J. Phys. A 17, L597 (1984).
[35] J. Ricardo de Sousa e I. P. Fittipaldi, J. Appl. Phys. 75, 5835 (1994).
[36] J. Ricardo de Sousa, Physica A 259, 138 (1998).
[37] J. Ricardo de Sousa e Ijanílio G. Araújo, J. Mag. Mag. Mat. 202, 231 (1999).
[38] Ijanílio G. Araújo e J. Ricardo de Sousa, Phys. Rev. B (1999) preprint.
[39] J. Ricardo de Sousa e D. F. Albuquerque, Physica A 236, 419 (1997).
[40] H. B. Callen, Phys. Lett. 4, 161 (1963). M. Suzuki, Phy. Lett. 19, 267 (1965).
[41] D. P. Landau, Phys. Rev B 16, 4164 (1977); 14, 255 (1976). Para uma rede cíbica simples,
ver A. M. Ferrenberg e D. P. Landau, Phys. Rev. B 44, 5081 (1991), onde a melhor estimativa
do inverso da temperatura crítica é Kc = 1/Tc = 0.2216595 ± 0.0000026.
[42] G. S. Rushbrooke e P. J. Wood, Mod. Phys. 11, 409 (1967).
121
Capítulo 5
Conclusão
Ao contrário das transições de fases tradicionais em sistemas clássicos que são governadas
por flutuações térmicas, uma transição de fase quântica, associadas ao princípio da incerteza de
Heisenberg, pode ocorrer no estado fundamental (T = 0) quando algum parâmetro não-térmico
alcança certo limite crítico. Um bom exemplo de modelo com transição de fase quântica é
o Ising com campo transverso, que foi proposto por de Gennes para descrever a transição de
fase ordem-desordem em ferroéletricos, onde para o valor crítico do campo Ω = Ωc temos
quebra espontânea de simetria. Esse modelo tem sido estudado por uma variedade de métodos,
em particular a teoria de campo efetivo correlacionado (CET) [1], que é baseada no uso da
identidade de spin e a técnica do operador diferencial de Honmura e Kaneyoshi [2], e mostrado
ser eficiente obtendo valores do campo crítico Ω (T = 0) dependentes da topologia da rede. Por
outro lado, transição de fase clássica induzida por campo externo tem sido também analisada,
e neste trabalho de dissertação estudamos o modelo de Ising antiferromagnético quântico na
presença de um campo uniaxial.
Neste trabalho, estudamos a criticalidade e propriedades termodinâmicas do modelo de
Ising de spin-1/2 antiferromagmético (AF) nas presenças de campos longitudinal e transversal
(“Metamagneto Ising Quântico”). Utilizamos a técnica do operador diferencial e grupo de
renormelização na aproximação de campo efetivo (EFRG) [3].
No Capítulo 2, a técnica do operador diferencial foi desenvolvida e aplicada na versão de
aglomerado com um spin no modelo de Ising-1/2 ferromagnético. Esta técnica encontra relações
exatas para as funções termodinâmicas, porém com o empecilho de envolver sistemas (infinitos)
122
de equações acopladas onde funções de correlações de diversas ordens estão presentes. Para se
obter resultados quantitativos através desta técnica, faz-se uso de algum desacoplamento nas
funções de correlações, tipo o utilizado no formalismo da função de Green [4] dependente do
tempo e temperatura. Em particular, usamos o desacoplamento de Zernike [5], onde aproximamos as funções de correlações por produtos dos operadores em diferentes sítios (“RPA”
Random Phase Approximation) e tratamos de forma exata as auto-correlações (cinemática de
spin-1/2; σ 2i = 1). Esta aproximação é capaz de reproduzir o resultado exato para a temperatura
crítica em uma dimensão, i.e., Tc = 0, o que não é verdade na aproxiamção de campo médio
usual (ou aproximação de interação de longo-alcance). Estes métodos de teorias de campo efetivo têm em comum os mesmos expoentes críticos universais na aproximação de campo médio.
Temos discutido, também, a generalização do presente formalismo a sistemas mais complexos
e os resultados têm mostrado bastante stisfatórios do ponto de vista qualitativo. Os resultados deste capítulo foram desenvolvidos por outros autores, nosso objetivo foi dar uma visão
aprofundada do método para ser utilizada nos capítulos sub-sequentes.
No Capítulo 3, aplicamos a técnica do operador diferencial no modelo de Ising AF quântico
para um aglomerado com 1-spin. Obtemos as propriedades termodinâmicas (magnetização,
susceptibilidade, energia interna e calor específico) e diagramas de fase. Os efeitos dos campos
longitudinal (H) e transverso (Ω) são predominantes de distruição de ordem AF presente
no sistema. Para redes tridimensionais, o diagrama de fase no plano H − T apresenta um
comportamento reentrante ao redor do campo crítico Hc (Ω) (duas temperaturas críticas para
um certo valor de campo H > Hc ) que desaparece à medida que o campo transverso (Ω)
aumenta. Observamos ainda que a ordem AF é destruída no estado fundamental (T = 0) para
certos valores de (H) e (Ω), assim sendo apresentamos diagramas de fase no plano H −Ω (T = 0)
para diversas estruturas de redes. Para o caso de redes 3d observamos um reentrância ao redor
de Hc (Ω = 0) = zJ. A presença de reentrância na curva crítica TN (H) na ausência de campo
transverso (Ω = 0) está em desacordo com os resultados rigorosos de simulação de Monte Carlo
[6]. O diagrama de fase no plano Ω − T mostra como a temperatura crítica TN (Ω) diminui a
medida que o campo Ω aumenta, se anulando no ponto crítico Ωc (H) que decresce com aumento
de H sendo nulo em Hc = zJ. para o caso da rede cúbica simples (z = 6), e com campo H
baixos (H < 6J) não observamos o comportamento reentrante. Analisando as propriedades
123
termodinâmicas caracterizamos a temperatura crítica (transição de fase) através de três efeitos
distindos: i) parâmetro de ordem (magnetização staggered ) vai a zero; ii) a suscepetibilidade
staggered diverge; iii) o calor específico, magnetização total e susceptibilidade total apresentam
uma descontinuidade.
No Capítulo 4, desenvolvemos a técnica do grupo de renormalização na aproximação de
campo efetivo em aglomerados com um e dois spins1 para analisar o comportamento reentrante
no modelo de Ising AF com interação de primeiros vizinhos. Uma análise de “finite size scaling”
foi preliminarmente apresentado com o uso da técnica do operador diferencial nas versões das
aproximações EFT-1 (1 spin) [3]e EFT-2 (2 spins) [3]. No caso da rede sc (z = 6) o diagrama
de fase no plano H − T apresentou uma reentrância ao redor do campo crítico Hc = 6J,
eque o crescimento do aglomerado fez em pequeno efeito na diminuição do grau da curvatura
da reentrância. Usando EFRG nesta rede sc, o comportamento é destrído em acordo com
resultados rigorosos. Por outro lado, a medida que aumentamos o número de coordenação (z),
em particular tratamos o número a rede bcc (z = 8), verificamos com EFRG a presença de uma
pequena reentrância ao redor do campo crítico Hc = 8J, concordando assim com os resultados
de simulação de Monte Carlo [6] e expansão em série [7].
Algumas futuras investigações podem ser feitas como consequências destes trabalho de dissertação, tais como:
1) Aplicar um desacoplamento um pouco mais elaborado nas funções de correlações, como
por exemplo o campo de reação de Onsager, para eliminar o resultado espúrio da reentrância no
diagrama de fase na rede cúbica simples (z = 6), ou mesmo um crescimento para aglomerados
maiores;
2) Utilizar o método DPIR (Discretized Path-Integral Representation) no modelo de Ising
Quântico em aglomerados com dois spins no esquema EFRG, e descrever o comportamento
qualitativo correto do diagrama de fase no estado fundamental no plano Ω − H na rede cúbica
simples, que não deve mostrar reentrância ao redor de Hc = 6J;
3) Introduzir efeitos de desordem no modelo;
4) Estudar este modelo numa rede com estrutura de filmes finos, onde apenas o caso ferro1
Este trabalho, intitulado: Reentrant Behavior in the Nearest-Neighbor Ising Antiferromagnetic in a Magnetic
Field, foi recentemente aceito para a publicação na Physical Review B (2004).
124
magnético foi investigado na literatura.
125
REFERÊNCIAS
[1] R. Honmura and T. Kaneyoshi, Prog. Theor. Phys. (Kyoto) 60, 635 (1978).
[2] R. Honmura and T. Kaneyoshi, J. Phys. C 12, 3979 (1979).
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[6] Zoltàn Ràcz, Phys. Rev. B 21, 4012 (1980).
[7] C. D. Wentworth and Y. L. Wang, J. Appl. Phys. 73, 10 (1993).
126
Apêndice A
Aproximação de Campo Médio
(MFA)
Desenvolveremos com detalhes, neste apêndice, os cálculos para o modelo de Ising com
campo transverso Ω, na aproximação de campo médio MFA. A aproximação de campo médio
também pode ser obtida utilizando-se de um princípio variacional baseado na desigualdade
de Peierls-Bogolliubov [que se apóia em argumentos de convexidade, aparentemente conhecidos pelo próprio Gibbs1 ]. Para qualquer sistema clássico (de fato, para sistemas quânticos),
podemos escrever a desigualdade
G(H) ≤ G0 (H0 ) + G hH − H0 i0 = Φ,
(1.1)
onde G(H) e G0 (H0 ) são energias livres associadas a dois sistemas definidos pelos Hamiltoniano
H e H0 , respectivamnete, e a média térmica deve ser tomada em relação a uma distribuição
canônica associada ao Hamiltoniano H0 . Escolhendo um hamiltoniano (de tentativa) nãointeragente,
H0 = −η
1
H.Falk, Am. J. Phys. 38, 858 (1970)
127
N
X
σi
i=1
(1.2)
onde η é um parâmetro a ser determinado. Tomando o Hamiltoniano do Modelo de Ising
Anteferromagnético com Campo Transverso teremos que
H0 =
X
X
X
X
X
σ zi − Ω σ xi
H0i = −η 1 σ zi − η 2 σ zi − H
i
i∈A
i∈B
i∈A,B
(1.3)
i
ou ainda
i
i
+ H0B
H0i = H0A
(1.4)
i
= − (η1 + H) Ŝiz − ΩŜix
H0A
(1.5)
i
= − (η2 + H) σ zi − Ωσ xi .
H0B
(1.6)
onde
e
assim podemos escrever a função de partição como sendo
Z0i = Trexp(−βH0i )
(1.7)
logo, substituindo (1.6) em (1.7) teremos que
i
i
)Trexp(−βH0B
)
Z0i = Trexp(−βH0A
(1.8)
com isso teremos que desenvolver os termos da função de partição substituindo (1.5) e (1.6) em
(1.8), assim sendo teremos ainda que
Z0i = Trexp{−β (− (η 1 + H) σ zi − Ωσ xi )}Trexp{−β (− (η 2 + H) σ zi − Ωσ xi )}
(1.9)
note no entanto novamente o traço das exponenciais só nos permitem soma sobre as configurações de spins para cima ↑ e para baixo ↓, portanto o termo da Eq. (1.9) reduz-se a uma
equação feita anteriormente dada por
Z0i = [2 cosh β
q
q
(η 1 + H)2 + Ω2 ][ 2 cosh β (η 2 + H)2 + Ω2 ]
128
(1.10)
por fim
Z0 =
q
q
X
N
N
Z0i = [2 cosh β (η 1 + H)2 + Ω2 ] 2 [ 2 cosh β (η 2 + H)2 + Ω2 ] 2 .
(1.11)
i
Apartir da Eq. (1.11) podemos calcular as propriedades termodinâmicas do nosso problema,
logo dado que a energia livre como função das magnetização das duas sub-redes teremos que
φ (mA , mB ) ≡
1F
ln Z0
βN
(1.12)
substituindo (1.11) em (1.12) teremos que
N kB T
ln[4 cosh β
F =−
2
q
q
(η 1 + H)2 + Ω2 cosh β (η 2 + H)2 + Ω2 ]
(1.13)
q
q
2
2
fazendo W1 = (η1 + H) + Ω e W2 = (η 2 + H)2 + Ω2 para exemplificar nossos cálculos
futuros 1.13 reduzira a uma expressão muito mais simples
F = −N kB T ln[4 cosh βW1 cosh βW2 ].
(1.14)
Calculando agora o segundo termo da desigualdade teremos por simplicidade que
hH − H0 i0 =
* J P σ z σ z − ΩPσ x − H Pσ z + η P σ z + +
1
i j
i
i
i
<i,j>
η2
P
i∈B
i
σ zi
+H
i
P
i∈A,B
σ zi
i∈A
P
+ Ω σ xi
,
(1.15)
i
desenvolvendo (1.15) termos
hH − H0 i0 =
ou ainda
*
J
P
Ŝ
<i,j>
σ zi σ zj + η 1
P
σ zi + η 2
i∈A
P
i∈B
σ zi
+
(1.16)
E
XD E
XD E
XD
z z
z
Ŝi Ŝ(i+~δ) + η 1
Ŝi + η 2
Ŝiz
hH − H0 i0 = J
i,~δ
0
i∈A
0
i∈B
0
(1.17)
podemos fazer uma aproximação de campo médio desconectando a função de correlação no
129
primeiro termo da Eq. (1.17) com isso ficaremos
hH − H0 i0 = J
XX
i
~δ
D
E
X
X
hσ zi i0 σ z(i+~δ) + η1
hσ zi i0 + η 2
hσ zi i0 ,
(1.18)
X
X
XX
mA mB + η 1 mA + η 2 mB
(1.19)
JN z
N
mA mB + (η 1 mA + η 2 mB )
2
2
(1.20)
0
i∈A
i∈B
haja vista que m ≡ hσi, teremos
hH − H0 i0 = J
i
i∈A
~δ
i∈B
calculando os somatórios
hH − H0 i0 =
e para os segundos vizinhos teremos que o primeiro termo é dado por
J
0
XX
i
~δ
D
E
hσ zi i0 σ z(i+~δ)
0
= J
0
XX
i∈A ~δ
0
D
E
D
E
XX
0
hσ zi i0 σ z(i+~δ) + J
hσ zi i0 σ z(i+~δ) (1.21)
0
i∈B ~δ
Nz
(m2A + m2B )
= J
2 2
0
0
(1.22)
substituindo (1.14) e (1.20) em (1.1) teremos que
φ≡
Φ
JN z
N
= −NkB T ln[4 cosh βW1 cosh βW2 ] +
mA mB + (η 1 mA + η 2 mB ).
N
2
2
(1.23)
Minimizando o funcional com respeito aos parâmetros η 1 e η 2 teremos as respectivas magnetizações dadas por
η1 + H
∂φ
= 0 → mA = q
tanh βW1
∂η1
(η 1 + H)2 + Ω2
(1.24)
e
∂φ
η2 + H
= 0 → mB = q
tanh βW2 .
∂η 2
(η 2 + H)2 + Ω2
(1.25)
Minimizando o funcional com respeito aos parâmetros de ordem mA e mB teremos os
130
seguintes parâmetros de ordem
∂φ
= 0 → η 1 = −zJmB
∂mA
(1.26)
∂φ
= 0 → η 2 = −zJmA
∂mB
(1.27)
e
substituindo (1.27) em (1.25) e (1.26) em (1.24) teremos que as magnetizações das sub-redes A
e B serão dadas por
q
(H − zJmB )2 + Ω2
(1.28)
q
tanh β (H − zJmA )2 + Ω2
(1.29)
H − zJmB
tanh β
mA = q
2
2
(H − zJmB ) + Ω
e
H − zJmA
mB = q
(H − zJmA )2 + Ω2
substituindo (1.24) e (1.25) em (1.23) teremos o funcional dado por
φ ≡
Φ
= −kB T ln[4 cosh β
N
Jz
− mA mB
2
q
q
(H − zJmB )2 + Ω2 cosh β (H − zJmA )2 + Ω2 ] (1.30)
(1.31)
e fazendo mA = mB = m que nada mais é que a fase antiferromagnética, logo a magnetização
das sub-redes serão dadas por
H − zJm
tanh β
m= q
2
2
(H − zJm) + Ω
q
(H − zJm)2 + Ω2 .
(1.32)
Dada a magnetização podemos ainda calcular algumas outras propriedades termodinâmicas
como a suscetibilidade, que e dada pela expressão
χ=
∂m
= βh(tanh2 βµ)[h3 + hΩ2 − 4ζ 3 ] − βζ 4 − 2βhζ,
∂h
(1.33)
q¡
¢
H 2 − 2hζ + ζ 2 − Ω2
(1.34)
onde
µ=
131
e
ζ = zJm,
(1.35)
o calor especifico que pode ser calculado determinando a derivada segunda do funcional, que e
dado pela Eq. (1.30),
¢
¡
∂2φ
β W12 cosh2 βW2 + cosh2 βW1 W22
cV = −T
=
,
∂T 2
T
cosh2 βW1 cosh2 βW2
(1.36)
a entropia do sistema
s=−
∂φ
=
∂T
³
´
2T KB Ψ ln 2 − T KB Ψ ln (Ψ) + sinh KWB1T W1 cosh KWB2T + ΨW2
TΨ
(1.37)
com
Ψ = cosh
W2
W1
cosh
.
KB T
KB T
(1.38)
E por fim podemos obter a energia interna deste sistema fazendo
u = f − sT
132
(1.39)
Apêndice B
Cálculo dos Coeficientes Az-p,p
(EFT-1) para sistemas em 2 e 3
dimensões
Utilizando-se de um programa computacional1 podemos encontra estes coeficientes, para
aglomerados com um único spin de sistemas em 2 e 3 dimensões relacionados abaixo
Rede Honeycomb:
A3,0 = Cx3 f (x)|x=0 ;
A2,1 = 3Cx2 Sx f (x)|x=0 ;
A1,2 = 3Cx Sx2 f (x)|x=0 ;
A0,3 = Sx3 f (x)|x=0 .
Rede Quadrada (sqrt)
A4,0 = Cx4 f (x)|x=0 ;
A3,1 = 4Cx3 Sx f (x)|x=0 ;
A2,2 = 6Cx2 Sx2 f (x)|x=0 ;
A1,3 = 4Cx Sx3 f (x)|x=0 ;
A0,4 = Sx4 f (x)|x=0 .
Rede Cúbica Simples (sc)
1
Software Maple IV
133
A6,0 = Cx6 f (x)|x=0 ;
A5,1 = 6Cx5 Sx f (x)|x=0 ;
A4,2 = 15Cx4 Sx2 f (x)|x=0 ;
A3,3 = 20Cx3 Sx3 f (x)|x=0 ;
A2,4 = 15Cx2 Sx4 f (x)|x=0 ;
A1,5 = 6Cx Sx5 f (x)|x=0 ;
A6,0 = Sx6 f (x)|x=0 ;
Rede Cúbica de Corpo Centrada (bcc)
A8,0 = Cx8 f (x)|x=0 ;
A7,1 = 8Cx7 Sx f (x)|x=0 ;
A6,2 = 28Cx6 Sx2 f (x)|x=0 ;
A5,3 = 56Cx5 Sx3 f (x)|x=0 ;
A4,4 = 70Cx4 Sx4 f (x)|x=0 ;
A3,5 = 56Cx3 Sx5 f (x)|x=0 ;
A2,6 = 28Cx2 Sx6 f (x)|x=0 ;
A1,7 = 8Cx1 Sx7 f (x)|x=0 ;
A0,8 = Sx8 f (x)|x=0 .
Onde os termos Cx e Sx são as funções hiperbólicas ralacionados com o operador diferencial
eαDx dadas por
Cx = cosh(x) =
ex + e−x
2
(2.1)
Sx = sinh(x) =
ex − e−x
,
2
(2.2)
e
com
H −x
f (x) = q
(H − x)2 + Ω2
q
tanh β (H − x)2 + Ω2
(2.3)
e Az−p,p são os coeficientes associados ao número de coordenção z e a uma variável aleatória p
que varia de 0 à z.
134
Apêndice C
Teoria de Campo Efetivo com dois
Aglomerados (EFT-2)
Desenvolveremos a teoria de campo efetivo para aglomerados com dois spins, que aqui
utilizaremos a nomenclatura (EFT-2), onde o Hamiltoniano é dado por
z
X
X
σ zi σ zj − H
σ zi ,
H=J
(3.1)
i
hi,ji
~ = H ẑ (mesma direção de orientação dos spins) e que a
com um campo magnético externo H
interação de troca J seja antiparalela (↑↓↑↓) , ou seja, antiferromagnética, com isso podemos
escrever o Hamiltoniano do sistema como sendo e separando-se o Hamiltoniano (3.1) em
−βH2 = Kσ 1A σ 2B + (a1 + L)σ 1A + (a2 + L)σ 2B ,
(3.2)
assim teremos que a matriz diagonal é




−βH2 = 



K + 2L + a1 + a2
0
0
0
0
−K + a1 − a2
0
0
0
0
−K − a1 + a2
0
0
0
0
K − 2L − a1 − a2
135








(3.3)
portanto, podemos encontrar os autovalores desta matriz dadas por: λ1 = K + 2L + a1 + a2 ,
λ2 = K − 2L − a1 − a2 , λ3,4 = −K ± (a1 − a2 ), e, com isso, escrevermos a função de partição
como
−βH2
Z2 = T r{1,2} e
4
X
=
eλn = 2 cosh(2L − a1 − a2 ) + 2e−2K cosh(a1 − a2 ),
(3.4)
n=1
logo, a magnetização da sub-rede A é da forma
hσ 1A i =
¿
T r{n} σ 1A exp(Kσ 1A σ 2B + (a1 + L)σ 1A + (a2 + L)σ 2B )
T r{n} exp(Kσ 1A σ 2B + (a1 + L)σ 1A + (a2 + L)σ 2B )
ou ainda
hσ 1A i =
¿
À
À
∂
{ln Z2 }
∂a1
(3.5)
(3.6)
e por fim temos que a magnetização da sub-rede é dada por
hσ 1A i =
¿
sinh(2L − a1 − a2 ) + e−2K sinh(a1 − a2 )
cosh(2L − a1 − a2 ) + e−2K cosh(a1 − a2 )
À
,
(3.7)
ou seja, a magnetização mA é dada por
¶µ
¶
z−1 X
z−1 µ
X
z−1 z−1
Cxz−p−1 Sxp Cyz−q−1 Syq mpA mqB g(x, y)|x,y=0
mA =
p
q
p=0 q=0
(3.8)
com
g(x, y)|x,y=0 =
sinh(2L − a1 − a2 ) + e−4K sinh(a1 − a2 )
cosh(2L − a1 − a2 ) + e−4K cosh(a1 − a2 )
(3.9)
e também podemos calcular a magnetização da sub-rede B sendo escrita analogamente a Eq.
(3.8)
¶µ
¶
z−1 X
z−1 µ
X
z−1 z−1
Cxz−p−1 Cxp Cyz−q−1 Syq mqA mpB g(x, y)|x,y=0 .
mB =
p
q
(3.10)
p=0 q=0
Como estamos inicialmente interessados, novamente, em analizar a criticalidade do sistema
(i.e, obter TN (H, Ω)), então podemos substituir mA = m + mS e mB = m − mS e expandindo
num dos somatórios acima, Eqs. (3.9) e (3.10), até termos de primeira ordem na variável
mS (magnetização alternada) onde o termo m é a (magnetização total do sistema) com isso
136
podemos obter dois conjuntos de equações dados por
z−1 X
z−1
X
(p − q)mp+q−1 Bp,q = 1
(3.11)
p=0 q=0
e
z−1 X
z−1
X
mp+q Bp,q = m
(3.12)
p=0 q=0
com o coeficiente de expanção Bp,q sendo escrito da forma
Bp,q
µ
¶µ
¶
z−1 z−1
=
Cxz−p−1 Sxp Cyz−q−1 Syq g(x, y)|x,y=0 .
p
q
137
(3.13)
Apêndice D
Cálculo dos Coeficientes B p,q da
(EFT-2) para sistemas em 3
dimensões
Utilizando-se de um programa computacional1 podemos encontra estes coeficientes, para
aglomerados com um único spin de sistemas em 3 dimensões relacionados abaixo
Rede Cúbica Simples (sc)
B0,0 = Cx5 Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,1 = 5Cx5 Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B0,2 = 10Cx5 Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,3 = 10Cx5 Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,4 = 5Cx5 Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,5 = Cx5 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,0 = 5Cx4 Sx Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,1 = 25Cx4 Sx Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B1,2 = 50Cx4 Sx Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,3 = 50Cx4 Sx Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,4 = 25Cx4 Sx Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
1
Software Maple IV
138
B1,5 = 5Cx4 Sx Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,0 = 10Cx3 Sx2 Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,1 = 50Cx3 Sx2 Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B2,2 = 100Cx3 Sx2 Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,3 = 100Cx3 Sx2 Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,4 = 50Cx3 Sx2 Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,5 = 10Cx3 Sx2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,0 = 10Cx2 Sx3 Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,1 = 50Cx2 Sx3 Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B3,2 = 100Cx2 Sx3 Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,3 = 100Cx2 Sx3 Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,4 = 50Cx2 Sx3 Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,5 = 10Cx2 Sx3 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,0 = 5Cx Sx4 Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,1 = 25Cx Sx4 Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B4,2 = 50Cx Sx Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,3 = 50Cx Sx4 Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,4 = 25Cx Sx4 Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,5 = 5Cx Sx4 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,0 = Sx4 Cy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,1 = 5Sx4 Cy4 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B5,2 = 10Sx Cy3 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,3 = 10Sx4 Cy2 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,4 = 5Sx4 Cy Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,5 = Sx5 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
Rede Cúbica de Corpo Centrado (bcc)
B0,0 = Cx7 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,1 = 7Cx7 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B0,2 = 21Cx7 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,3 = 35Cx7 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
139
B0,4 = 35Cx7 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,5 = 21Cx7 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,6 = 7Cx7 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B0,7 = Cx7 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,0 = 7Cx6 Sx Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,1 = 49Cx6 Sx Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B1,2 = 147Cx6 Sx Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,3 = 245Cx6 Sx Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,4 = 245Cx6 Sx Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,5 = 147Cx6 Sx Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,6 = 49Cx6 Sx Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B1,7 = 7Cx6 Sx Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,0 = 21Cx5 Sx2 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,1 = 147Cx5 Sx2 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B2,2 = 441Cx5 Sx2 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,3 = 735Cx5 Sx2 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,4 = 735Cx5 Sx2 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,5 = 441Cx5 Sx2 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,6 = 147Cx5 Sx2 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B2,7 = 21Cx5 Sx2 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,0 = 35Cx4 Sx3 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,1 = 245Cx4 Sx3 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B3,2 = 735Cx4 Sx3 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,3 = 1225Cx4 Sx3 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,4 = 1225Cx4 Sx3 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,5 = 735Cx4 Sx3 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,6 = 245Cx4 Sx3 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B3,7 = 35Cx4 Sx3 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,0 = 35Cx3 Sx4 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,1 = 245Cx3 Sx4 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
140
B4,2 = 735Cx3 Sx4 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,3 = 1225Cx3 Sx4 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,4 = 1225Cx3 Sx4 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,5 = 735Cx3 Sx4 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,6 = 245Cx3 Sx4 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B4,7 = 35Cx3 Sx4 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,0 = 35Cx2 Sx5 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,1 = 245Cx2 Sx5 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B5,2 = 735Cx2 Sx5 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,3 = 1225Cx2 Sx5 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,4 = 1225Cx2 Sx5 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,5 = 735Cx2 Sx5 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,6 = 245Cx2 Sx5 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B5,7 = 35Cx2 Sx5 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,0 = 7Cx Sx6 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,1 = 49Cx Sx6 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B6,2 = 147Cx Sx6 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,3 = 245Cx Sx6 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,4 = 245Cx Sx6 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,5 = 147Cx Sx6 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,6 = 49Cx Sx6 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B6,7 = 7Cx Sx6 Sy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,0 = Sx7 Cy7 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,1 = 7Cx2 Sx5 Cy6 Sy g(x, y)|x=y=0 ;
B7,2 = 21Cx2 Sx5 Cy5 Sy2 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,3 = 35Cx2 Sx5 Cy4 Sy3 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,4 = 35Cx2 Sx5 Cy3 Sy4 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,5 = 21Cx2 Sx5 Cy2 Sy5 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,6 = 7Cx2 Sx5 Cy Sy6 g(x, y)|x=y=0 ;
B7,7 = Cx2 Sx5 Sy7 g(x, y)|x=y=0 .
141
Onde os termos Cx e Sx são as funções hiperbólicas ralacionados com o operador diferencial
eαDx dadas por
Cx = cosh(x) =
ex + e−x
ex − e−x
; Sx = sinh(x) =
2
2
(4.1)
Cy = cosh(y) =
ey + e−y
ey − e−y
; Sy = sinh(y) =
,
2
2
(4.2)
e
com
g(x, y) =
sinh(2L − x − y) + e−2K sinh(x − y)
cosh(2L − x − y) + e−2K cosh(x − y)
(4.3)
e Bp,q são os coeficientes associados ao número de coordenção z e duas variáveis aleatórias p e
q que varia de 0 à z − 1. E as variavéis normalizadas L = βH e K = βJ.
142