Introdução ao Modelo de Ising

Projeto de Iniciação Cientifica:
•Simulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos
Prof. : Coordenador do Projeto:
•Prof. Dr. Sérgio Luiz Garavelli
Prof. Orientador do Projeto:
•Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito
Aluno Pesquisador e Apresentador:
• Rodrigo Alves Dias
Motivação:
•Estudo de Propriedades Magnéticas.
•Exemplos de Propriedades:
•O Ferromagnetismo
•Ant-Ferromagnetismo
•Diamagnetismo
•Paramagnetismo
•Visando Aplicações em diversas áreas cientificas
como exemplo :
•Medicina.
•Industria Computacional na Produção de Chips.
Introdução ao Modelo de Ising:
•Materiais Ferromagnéticos:
•Corrente Elétrica no Fio  Gera um Campo
Magnético em sua volta.
•Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula
 Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada
átomo(Spin) .
N
•Muitos Átomos ou Moléculas na rede
 Muitos Spins que vão interagir.
 Spins gerados Aleatoriamente.
N
S
S
Átomo
Imã
•Altas Temperaturas (Acima da Crítica) Alta Agitação.
• Magnetização Média aproximadamente zero.
Spins Desorientados.
•Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).
•Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos).
Spins Orientados.
•Materiais Anti -Ferromagnéticos:
•Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica).
•Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados
(Spins Anti-Paralelos).
Spins Orientados.
•Explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas
•Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica.
•Explicação Modelo de Ising :
•A energia de interação entre os Spins é dada por:
N
N
i , j 
i
E(s )  J  si s j  H  si
•J = Constante de acoplamento entre os Spins:
•J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente)
•J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente)
•Si = Spin interagente. Pode ser
+1 Spin Up (Para Cima) ou
-1 Spin Down (Para Baixo)
Sj = Spin Vizinho interagente.
•<i,j>=Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos.
•H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.
•Implementação Numérica (Método de Metropolis):
i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao
acaso e seu spin é invertido.
ii) A energia do sistema Ef , associada a esta nova configuração, é então calculada.
iii) Calcula-se a variação da energia do sistema E=Ef-En, onde En é a energia do sistema no
n-ésimo passo.
(a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita.
(b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade
P = exp(-(E)/T).
E= +2J Si Sj
iv) A configuração do sistema no passo n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança
do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras
descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1 será a mesma
que o sistema possuía no passo n.
Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um
resultado o mais próximo possível de uma observável.
•Exemplo Calculo da energia:
Si= -1
En = -J Si Sj
J = 1.
En = -1( Si Sj )= -1 (-1-1-1-1) = +4
En+1 = -1( (-Si ) Sj )= -1 (+1+1+1+1) = -4
Si= +1
E = En+1 - En= -4 -(+4) = -8
Aceito essa nova configuração.
Se E > 0 Aceito a nova configuração
se:
exp(-E / T) < P(E) < 1/2.
Si= -1
Si= -1
•Condições de Contorno:
•Usamos condições de contorno periódicas:(Toroidais)
•Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas:
•Magnetização Média:
1
M  M (Si ) 
N

N
S
i
i 1
1
2
•Susceptibilidade Magnética: X   M (Si )  M (Si )
T
N
1
•Energia Média: U  E(S)  (J s s )

i j
N
i , j 

•Capacidade Térmica: C  1  E (S )2  E (S )
2
T
2

2

•Explicação Modelo de Ising Diluído:
•Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e
descritas anteriormente são as mesmas.
•Rede amorfa  É uma rede com sítios não magnético.
•Está relacionada com a densidade da rede.
•Há desordem nos estados dos Spin. Mas não há desordem nas localizações dos
Spin.
•Sistema denominado Resfriado, ou (“Quenched”).
•Resultados do Ising Puro:
•Temperatura Crítica Teórica  TcTeo=2.2692 J/KB
•Temperatura Crítica Mod. Ising  TcIsing= 2.2715 J/KB.
•Expoente Crítico Magnétização:
•M  ( T - Tc ) -Bc  BcIsing = 0.1088
•Bcteorico = 1/8 = 0.125
•Resultados do Ising Diluído:
•Densidade Crítica Téorico  cTéo = 0.59  cIsing = 0.5  0.6