geometria analítica

Apostila de Geometria Analítica
Prof. Luciano Soares Pedroso – 1º período de Agronomia e Engenharia Ambiental
Aluno(a):___________________________________ data:___/___/2012
G
GE
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1
1.. O
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NO
O
Y ( eixo das ORDENADAS )
Bissetriz dos quadrantes pares
2º QUADRANTE
( -, + )
Bissetriz dos quadrantes ímpares
1º QUADRANTE
( +, + )
x ( eixo das ABSCISSAS )
3º QUADRANTE
( -, - )
4º QUADRANTE
( +, - )
A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais
e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.
Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do
plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são
numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados,
respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema
de coordenadas cartesianas.
A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes
ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.
Observações:
I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.
P Є 0x  P = ( x, 0 )
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1
II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.
P Є 0y  P = ( 0, y )
III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à
ordenada e vice-versa.
A Є bi  A = ( a, a )
IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas
opostas e vice-versa.
B Є bp  B = ( b, -b )
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
01. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)
3
E(
, - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).
2
02. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
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2
03.
a)
b)
c)
O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:
Qual a ordenada do ponto P?
Em que quadrante encontra-se o ponto P?
Qual a distância do ponto P à origem?
0
02
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B
yb
dAB
ya
yb - ya
A
xb – xa
xa
xb
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do
segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando
Pitágoras temos:
d AB 
xB  x A 2   y B  y A 2
ou
d AB 
x 2  y 2
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
04.
a)
b)
c)
d)
e)
Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é
10
15
53
2
16
05.
a)
b)
c)
d)
e)
A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:
5
10
15
20
25
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3
06.
a)
b)
c)
d)
e)
(UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
-1
0
1 ou 13
-1 ou 10
2 ou 12
07.
a)
b)
c)
d)
e)
Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
(0,5)
(5,0)
(2,3)
(6,2)
(-1,0)
08.
a)
b)
c)
d)
e)
O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:
5
10
20
17
29
0
03
3.. P
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OM
MÉ
ÉD
DIIO
O
Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:
B
yB
M
yM
yA
 x  xB y A  y B 
M A
,

2
2


A
A
xA
xM
XB
M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
09. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:
a) (4, 8)
b) (2, 4)
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4
c) (8, 16)
d) (1, 2)
e) (3, 4)
10. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto
médio, o ponto B vale:
a) (1, 6)
b) (2, 12)
c) (-5, 4)
d) (-2, 2)
e) (0, 1)
0
04
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Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:
B(xB, yB)
C(xC, yC)
A(xA, yA)
A=
xA
yA
1 xB
2 xC
yB
xA
yA
yC
ou
A=
1 xA
2 yA
xB
xC
xA
yB
yC
yA
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
11.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).
16
4
10
12
8
12.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
27
54
32
19
43
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5
13.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).
17
34
10
6
8
0
05
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Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão
alinhados, se e somente se:
C(xC, yC)
B(xB, yB)
A(xA, yA)
xA
yA
xB
yB
xC
yC
xA
yA
0
ou
xA
xB
xC
xA
yA
yB
yC
yA
0
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
14.
a)
b)
c)
d)
e)
O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
0
10
3
12
-4
15.
a)
b)
c)
d)
e)
Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:
k = 11
k = 12
k = 13
k = 14
k = 15
0
06
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A
É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou
declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.
Exemplos:
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6
2

a   3
2 x  y  1  0
1
 b
3

a2
y  2 x  3
b  3
5

a  
5 x  4 y  0
4

b

0

a  5
y  5 x  1
b  1
0
07
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O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação
().
Por definição, temos que:
a = tg 
São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:
Reta inclinada para a direita

Reta inclinada para esquerda

x
 é agudo  a > 0
Reta horizontal
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 é agudo  a > 0
Reta vertical
x
 é nulo  a = 0
x
x
 é reto  a não existe
7
Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:
a=
 med . y
med .x
ou
a=
yB  y A
xB  x A
ou
a=
y
x
Observação: “b” é a ordenada do ponto onde a reta intersecciona o eixo y.
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
16.
a)
b)
c)
d)
e)
Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:
2/3 e 4
3/2 e 12
-2/3 e -12
2/3 e -4
-3/2 e 4
17. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre
eles é:
a) 10
b) 2
c) 3 10
d) 4 10
e) 10
18.
a)
b)
c)
d)
e)
A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:
½ e -2
2 e -1/2
-1/2 e -2
4
-2 e -1/2
½ e -1/2
-2
19.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a equação reduzida da reta:
y=x+3
y = -x + 3
y = 2x+6
3
y=x–3
y = - 3x + 2
3
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8
20.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a equação geral da reta
x – 2y - 4 = 0
2x + y – 2 = 0
4x – 2y – 4 = 0
x–y+2=0
x–y+4=0
8
-4
21.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)
4x + 3y + 1= 0
3x + 4y + 1= 0
x+y+3=0
x+y–4=0
x–y–1=0
0
08
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AS
S
Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema
formado pelas suas equações.
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
22.
a)
b)
c)
d)
e)
Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.
(-3, 3)
(2, -2)
(5, 22)
(1, 2)
(3, 4)
23.
a)
b)
c)
d)
e)
Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.
(-8, -22)
(1, 2)
(4, -10)
(5, 6)
(-4, 12)
24. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1)
determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.
a) 1 e (2, 0)
b) 2 e (1, 0)
c) 5 e (2, 0)
d) 1 e (0, 2)
e) 2 e (1, 2)
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9
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As retas não-verticais que passam por P(x0, y0) são dadas pela equação:
y  y 0  a x  x 0 
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
25. Obtenha a equação da reta que por P e tem declividade a.
a) P(2, 3); a = 2
b) P(-2, 1); a = -2
c) P(4, 0); a = 
1
2
26. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação .
a) P(2, 8) e  = 45º
b) P(-4, 6) e  = 30º
c) P(3, -1) e  = 120º
1
10
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10
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:
a1  a 2 
  PARALELAS DISTINTAS
b1  b2 
a1  a2 
  PARALELAS COINCIDENTES
b1  b2 
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
27. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam
paralelas.
a) 1
b) 2
c) - 3
d) - 6
e) 5
28.
a)
b)
c)
d)
e)
Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.
2x – y + 9 = 0
2x – 3y – 15 = 0
3x + 2y – 15 = 0
x – 2y + 9 = 0
3x – 2y + 15 = 0
29. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.
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11
a)
b)
c)
d)
e)
y = 2x – 3
y = 4x – 10
y = - x + 15
y=x+5
y = - 4x +5
R
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S
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:
a1  
1
 PERPENDICULARES
a2
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
30. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam
perpendiculares.
a) 1
b) 6
c) -10
d) 15
e) 5
31. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de
equação x + 3y - 12 = 0.
a)
b)
c)
d)
e)
y = -2x – 1
y=x+4
y = 3x + 2
y = -x + 5
y = - x – 12
32. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
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12
a)
b)
c)
d)
e)
y = - 2x + 13
y = 2x – 13
y=x+1
y = 13x + 2
y=x–4
1
11
1.. D
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A
A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:
P(xP, yP)
d
d Pr 
Ax 0  By 0  C
A2  B 2
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
33.
a)
b)
c)
Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
32
d) 4
10
e) 2
8
1
12
2.. C
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DA
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Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:
P(x, y)
yC
R
x  xc 2   y  yc 2  R 2
xC
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13
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
34. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
C (3,5)
a) 
R  2
 C (0,0)
b) 
R  7
C (0,4)
c) 
R9
35. Escreva a equação reduzida da circunferência de raio 12 e concêntrica com a circunferência
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 64. Qual é a área da coroa circular determinada por essas duas
circunferências?
36. Determine a equação da circunferência de centro em (3, 5) e raio igual a 4.
a) x2 + y2 – 2x – 8y + 1 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 2y + 1 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 8y - 8 = 0
E
EQ
QU
UA
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ÃO
OG
GE
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RA
AL
L
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Condições para ser circunferência:
1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)
2. C = 0 ( não pode aparecer xy )
3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )
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Coordenadas do centro:
  coef .x  coef . y 
C 
;

2
2


Raio:
R
xc 2   yc 2  F
14
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
37. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.
a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0
38. Determine o centro e o raio da circunferência
respectivamente:
a) (-2,5) e 7
b) (5,2) e 5
c) (2,2) e 2
d) (3,4) e 1
e) (5,-2) e 7
39.
a)
b)
c)
d)
e)
x 2  y 2  10 x  4 y  20  0 ,
Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência x 2  y 2  4 x  6 y  3  0
2u.a.
4u.a.
8u.a.
16u.a.
64u.a.
40. Determine o valor de k para que a equação x 2  y 2  4 x  2 y  k  0 represente uma
circunferência:
a) k > 5
b) k < 5
c) k > 10
d) k < 15
e) k = 20
41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0
a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0
1
13
3.. P
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Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o
seguimento de reta PC com R.
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15
Há três casos possíveis:
1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.
2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.
3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.
Interno
Pertence
Externo
P
P
dPC < R
P
dPC = R
dPC > R
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
41.
a)
b)
c)
d)
e)
Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x  2) 2  ( y  4) 2  9
externo
interno
pertence
centro
n.d.a.
R
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RÊ
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NC
CIIA
A
Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência,
obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável).
Calculando o discriminante () da equação obtida, poderemos ter:
1º) Se  > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).
2º) Se  = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).
3º) Se  < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).
Secante
Tangente
Externa
>0
=0
<0
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
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42. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo
x 2  y 2  4x  1  0 :
a) secante
b) tangente
c) externa
d) n.d.a.
D
DU
UA
AS
SC
CIIR
RC
CU
UN
NF
FE
ER
RÊ
ÊN
NC
CIIA
AS
S
Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2,
compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.
Há três possibilidades:
1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).
2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).
3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).
Tangentes
Secante
Externas
dC1C2 = R1 + R2
dC1C2 < R1 + R2,
dC1C2 > R1 + R2,
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
43. Qual a posição relativa entre as circunferências () x 2  y 2  6 x  10 y  9  0 e
() x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 .
a) tangente
b) secante
c) externas
d) coincidentes
e) n.d.a.
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