Gráficos de funções compostas

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Alterações gráficas e funções compostas
Considere pequenas alterações na sentença algébrica que define uma função f, como por
exemplo, mudar o sinal do x na função f(x) = 2x + 3. Se esta alteração for feita, uma nova função é
obtida. Esta função é f ’(x) = 3 – 2x, pois: f ’(x) = f(–x) = 2(–x) + 3 = –2x + 3.
Alterações algébricas como esta, geram novas funções por meio de composição e quando os
gráficos dessas funções f e f ’ são comparados, observa-se uma série de simetrias e propriedades
geométricas importantes para a compreensão da linguagem gráfica.
f(x) = 2x–3
f ’(x) = 3–2x
Neste exemplo, a alteração algébrica “mudar o sinal do x” também pode ser indicada como uma
função: g(x) = –1⋅x. Desta forma temos que f ’(x) = f(g(x)), ou simplesmente f ’ = f◦g.
É sempre bom lembrar que as tarefas indicadas pela notação da função composta devem ser
executadas no sentido contrário da leitura, ou seja, da direita para a esquerda.
esquerda
y = f ◦ g (x)
Assim, em y = f ◦g(x),
g(x) a primeira aplicação é a da função g e a segunda aplicação é a da função f.
Considere agora, a alteração: “mudar o sinal do y” em y = 2x + 3.
A função obtida é –y = 2x + 3, que na forma explícita fica expressa por y = –2x – 3.
Como a função original é f(x) = 2x + 3, temos que: y = –2x – 3 = –1⋅ f(x).
E sendo g(x) = –1⋅ x, também temos que: y = g ◦f (x) é a composição em que a primeira aplicação
é a da função f e a segunda aplicação é a da função g.
Observe que a alteração algébrica feita com as duas variáveis é a mesma: “mudar o sinal de” ou
ainda “multiplicar por menos um”. Sendo assim cada alteração deste tipo numa relação expressa por
y = f(x) pode ser representado acrescentando-se um sinal de menos do lado de fora ou do lado de
dentro dos parênteses da notação f(x). No primeiro exemplo temos y = f(–x) e no segundo y = –f(x).
No resto deste resumo, os termos “por fora” e “por dentro” são usados para se referir às
alterações algébricas que puderem ser indicadas fora ou de dentro dos parênteses de f(x). Assim,
estaremos chamaremos de alteração por fora às composições do tipo y = a◦
a◦f(x) = a(f(x)) e de
alteração por dentro às composições do tipo y = f ◦a(x) = f(a(x)).
f(a(x))
1
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Considere uma alteração a(x) que será incorporada às tarefas de uma função original f(x).
f(x) Isso
pode ser feito de duas maneiras: ou a tarefa definida por a(x) deve ser executada antes das tarefas
definidas por f(x) ou somente depois de todas elas.
Se a composição puder ser indicada do lado de fora como y = a(f(x)), então a tarefa da alteração
deve ser efetuara após as tarefas de f, mas se puder ser indicada do lado de dentro como y = f(a(x)),
então a tarefa da alteração deve preceder as tarefas de f.
Estrutura e a notação de uma alteração posterior às tarefas de uma função f.
“Alteração por fora”
f(x)
a(x)
a(f(x))
Estrutura e a notação de uma alteração anterior às tarefas de uma função f.
“Alteração por dentro”
a(x)
f(x)
f(a(x))
As alterações algébricas indicadas “por fora” provocam alterações gráficas que podem ser
observadas com referências verticais
verticais no eixo das ordenadas Oy,
Oy e as alterações algébricas indicadas
“por dentro” provocam alterações gráficas que podem ser observadas com referências horizontais
horizontais no
eixo das abscissas Ox.
Ox
Nos casos da translação e da dilatação, além da direção dos eixos a também um sentido a ser
considerado, e ao passo que as alterações feitas “por fora” promovem movimentos aparentemente
intuitivos, as alterações “por dentro” promovem movimentos que parecem contrariar nossa intuição,
e isso torna as alterações “por dentro” mais traiçoeiras que as “por fora”.
Todos os exemplos mostrados a seguir foram obtidos de uma mesma função original f(x) cujo
gráfico é representado por uma linha tracejada.
As novas funções geradas pelas alterações algébricas a seguir serão representadas, em todos os
exemplos, por linhas contínuas desenhadas no mesmo plano cartesiano que a função original.
2
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Inversões
As inversões são causadas pela mudança de sinal numa das variáveis.
y = −f(x)
“Por fora”
fora”
y = f(−x)
−f(x)
O gráfico fica de cabeça para baixo
“Por dentro”
f(−
f(−x)
O gráfico fica de trás para frente
3
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Reflexões ou rebatimentos
Os rebatimentos são causados pelo acréscimo do módulo numa das variáveis.
y = f(x)
“Por
Por fora”
f(x)
f(x)
A parte do gráfico abaixo do eixo Ox deixa de existir e é
substituída pelo seu reflexo em relação ao eixo Ox.
y = f( x )
“Por
Por dentro”
f( x )
A parte do gráfico a esquerda do eixo Oy deixa de existir
dando lugar ao reflexo do lado direito do gráfico
4
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Translações
Translações (k
(k > 0)
As translações são causadas pela adição ou subtração de uma constante positiva.
y = f(x) + k
f(x) + k
O gráfico move-se para cima
SOBE
“Por fora”
y = f(x) – k
f(x) – k
O gráfico move-se para baixo
DESCE
“Por dentro”
f(x + k)
O gráfico move-se para a esquerda
ESQUERDA
f(x – k)
O gráfico move-se para a direita
DIREITA
5
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Dilatações
Dilatações (k >1)
As dilatações são causadas pela multiplicação ou pela divisão por uma constante maior que um.
“Por fora”
“Por dentro”
O gráfico sofre dilatação vertical
O gráfico sofre dilatação horizontal
k⋅ f(x)
f(x) ÷ k
f(k⋅
f(k x)
f(x÷
f(x k)
Expande
Contrai
Contrai
Expande
y = k⋅f(x)
y=
f(x)
y = f( k⋅x )
y = f(x/k)
k
6