Módulo

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Geometria linear
Dados dois pontos distintos A e B, o
primeiro postulado de Euclides nos permite
construir, com a régua, o segmento AB.
A
B
A
B
Notação: AB
Depois de construído o segmento AB,
tomamos o seu comprimento como unidade de
medida linear (u), que pode ser usada para
medir distâncias entre outros pontos.
Tanto o comprimento quanto a medida do
segmento AB, coincidem com a distância entre
os pontos A e B, que particularmente é igual à
exatas uma unidade linear (AB = 1u ).
u
B
A
med( AB ) = comp( AB ) = dAB = AB = 1u
A sucessão de figuras a seguir pretende associar os grafismos entre a representação geométrica de um
segmento de reta e a notação algébrica do módulo da diferença entre dois números.
B
A
B
A
B
A
A
B
A − B
Interpretação geométrica do módulo
A notação  A − B  indica a distância entre os pontos que representam os números A e B num eixo
real.
A
B
ℝ
A − B
Então, como x = x – 0 para todo x real temos, no eixo dos números reais, que x indica a
distância do ponto que representa o real x até a origem do eixo.
−3
0
+3
−3 = +3 =
3
Exercícios
Exercícios
1. Calcule o valor das seguintes expressões:
2. Sendo f(x) = x–4 e g(x) = 4–x calcule:
a) 7 – 2
a) f(3) + f(4) + f(5)
b) 2 – 7
b) g(3) + g(4) + g(5)
c) 7 – 2
d) 0,02 – 0,7
e) 3 – π
f)
4x–x2,
para x = π.
3. Esboce, em planos cartesianos diferentes, os
gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x–4
b) g(x) = 4–x
1
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Definição algébrica
x2 ≡
x
Quando operador   “módulo de” é aplicado a um número real, pode-se trata-lo como uma chave de
decisão tal que se aplicada a um real positivo pode ser ignorada, pois não altera o seu valor, mas se
aplicada a um real negativo, altera o sinal deste número, tornando-o positivo. Exemplos:
5 = 5
−5 = −(−5) = 5
Já no caso do módulo de zero, tanto faz qual decisão seja tomada, uma vez que: – 0 = 0.
Agora, tratando-se do módulo de um número real ainda desconhecido deve-se primeiro analisar o
sinal do número a fim de se tomar a decisão correta e, se necessário, deve-se explorar as
conseqüências de ambas as decisões. Observe, na definição condicional a seguir que se x é um real
negativo então −x representa um real positivo:
 x se x ≥ 0
x = 
 -x se x ≤ 0
Propriedades
A interpretação geométrica do módulo de um número real permite compreender com mais clareza
algumas das suas principais propriedades como:
•
x ≥ 0, ∀x∈ℝ, afinal uma distância não pode ser negativa.
•
x - y ≡ y - x, pois a distancia de x até y é a mesma que de y até x.
•
x + y ≤ x + y
No universo dos números reais, esta última propriedade pode ser analisada em dois casos: a
igualdade x+y = x+y é válida apenas nos quando os números reais x e y têm o mesmo sinal, ao
passo que a desigualdade x+y < x+y acontece quando x e y têm sinais contrários. Assim:
x+y
x+y = x + y ⇔ x ⋅ y ≥ 0
x+y
x+y < x + y ⇔ x ⋅ y < 0
Exercícios
Exercícios
4. Calcule o valor das expressões A = x+ y e
B = x+y nos seguintes casos:
a) x = 2 e y = 7
6. Se x é um número real tal que x < 2, então
2
2
x - 6x +9 + x +14x + 49 é igual à:
d) x = –2 e y = –7
A) 2x
B) 2x + 4
C) 4 − x
D) 4
E) 10
5. Qual das relações entre as variáveis x e y a
7 Fuvest.
Fuvest. Qual o conjunto dos valores assumidos
seguir tem representação cartesiana diferente
das demais:
pela expressão
A) x2 = y2
variam no conjunto de todos os números reais não
b) x = –2 e y = 7
c) x = 2 e y = –7
B)
2
x = y
C) x = y 
D) x = ± y
E)
x=
y
2
a
a
+
b
b
+
c
c
+
abc
abc
quando a, b e c
nulos?
A) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
B) {-4, -2, 0, 2, 4}
C) {-4, 0, 4}
D) {4}
E) ℝ
2
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Discussão das
das relações entre o módulo de um número real e uma constante.
x < k ⇔ S=∅
Se k < 0, então:
x = k ⇔ S=∅
x < 0 ⇔ S=∅
Se k = 0 então:
x > k ⇔ S=ℝ
x = 0 ⇔ S={0}
x > 0 ⇔ S=ℝ
x < k ⇔ S = {x∈ℝ tal que –k < x < k}
Se k > 0, então:
x = k ⇔ S = {–k, k}
x > k ⇔ S = {x∈ ℝ tal que x < –k ou x > k}
Exercícios
Exercícios
8. Escreva o conjunto solução das seguintes equações e inequações modulares:
a) x = 5
f) x-3 = –5
l) x+3 = 0
b) x < 5
g) x-3 < -5
m) x+3 < 0
c) x > 5
h) x-3 > -5
n) x+3 > 0
d) x ≤ 5
i) x-3 ≤ -5
o) x+3 ≥ 0
e) x ≥ 5
j) x-3 ≥ -5
p) x+3 ≤ 0
9. Considere a função f(x) = 2x–4 +x+5 de domínio real.
a) Escreva, da forma mais simples possível, a expressão y = f(x) se x ≥ 2.
b) Escreva, da forma mais simples possível, a expressão y = f(x) se x < 2.
c) Esboce o gráfico da função f(x)
d) Determine o conjunto imagem da função f(x)
e) Resolva a equação f(x) = 10.
f) Resolva a inequação f(x) ≤ 10.
3
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10. Considere o conjunto dos números inteiros ℤ = { ... , – 4, –3, –2, –1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } e observe
que este conjunto está contido no conjunto dos números reais como mostra a representação cartesiana
de um único eixo numérico:
ℝ
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro pode ser interpretado geometricamente como
sendo a distância entre dois pontos no eixo real e, também se pode interpretar o módulo da diferênça
de dois números reais como o valor da distância entre os pontos do eixo real que os representam.
A partir da interpretação geométrica do módulo da diferênça entre dois números reais, escreva o
conjunto dos números inteiros que solucionam cada uma das equações a seguir.
a) x = 10
e) x-3 + x-10 = 11
b) x-3 = 10
c) x+3 = 10
f) x-3 + x-10 = 7
d) x-3 = x-10
g) x-3 + x-10 = 5
11. Resolver no universo dos números reais às seguintes equações:
a) x = 2
b) x -5 = 2
c) x +5 = 0
2
d) x -5x = -1
e) 2x +7 = 5
2
f) 5x = x - 6
g) x +3 -5 = x
h) x -3 + x +5 =12
i) 2x -3 = 3- 2x
12. Resolver no universo dos números reais às seguintes inequações:
a) x ≤ 3
b) x -7 > 2
2
c) 4 - x < 0
d) x -7 > 2x - 9
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Testes
5. Sobre a equação
1. Observe as passagens algébricas efetuadas
2
x -1 -3 - 2 = 0 , em que x
na resolução da inequação x + 9 < 5 .
I – Elevamos ambos os membros ao quadrado:
x2 + 9 < 25
II – Subtraímos 9 unidades de cada membro:
x2 < 16
III
III – Extraímos a raiz quadrada de ambos os
membros:
x<4
A respeito desta resolução, é correto afirmar
que:
é um número real, podemos afirmar que:
A) está correta.
logx 4x -3 = 2 é
A) ela não admite solução.
B) a soma de todas as suas soluções é 6.
C) ela admite apenas soluções positivas.
D) a soma de todas as suas soluções é 4.
E) ela admite apenas duas soluções reais.
6. O número de soluções reais da equação
B) há um erro na passagem I, pois ela altera as
condições de existência da equação.
A) 0
C) há um erro na passagem II.
B) 1
D) há um erro na passagem III, pois
16 = ± 4 .
E) há um erro na passagem III, pois
x = x .
2
2. A soma de todos os números inteiros que
tornam verdadeira a desigualdade 1< x -7 < 4
é igual a:
A) 7
B) 14
C) 28
D) 35
E) 42
3. Quantos números inteiros satisfazem a
desigualdade 4 ≤ |3x − 17| ≤ 10 ?
A) 7
C) 2
D) 3
E) 4
7. A soma e o produto dos elementos do
2
conjunto verdade da equação x - 4 = x +2
são respectivamente iguais a:
A) 0 e 9
B) 4 e 3
C) 6 e 6
D) 0 e 6
E) 0 e 36
8. Assinale a alternativa com o gráfico que
B) 6
melhor representa a função f(x) = 2+ 1-
C) 5
D) 4
x
3
.
A)
E) 3
4. Sobre o conjunto S das soluções reais da
equação
4x
B)
2
2
(x -10)
= 3 , afirmar-se:
I – S possui exatamente dois elementos.
II – A soma dos elementos de S é 36.
C)
III – Não há elementos negativos em S.
A) I é falsa.
D)
B) II é falsa.
C) III é falsa.
D) Todas são falsas.
E)
E) Todas são verdadeiras
5