Lista 3 - Moodle PROFMAT

MA13 – Exercícios das Unidades 4 e 5
2014
Lista 3
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios de seus lados
são vértices de um paralelogramo.
2) Construa o triângulo ABC conhecendo o lado BC (6,0cm), a mediana relativa ao
lado BC (3,6cm) e a mediana relativa ao lado AC (5,4cm).
3) No triângulo ABC, retângulo em A, o menor ângulo agudo é
entre a altura e a mediana relativas ao vértice A.
 . Calcule o ângulo
4) No triângulo ABC seja m a mediana relativa ao vértice A. Mostre que m 
bc
.
2
5) Prove que, em todo triângulo a soma dos comprimentos das medianas é menor que
o perímetro e maior que 3 4 do perímetro do triângulo.
6) Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB. Prolongue uma corda AP
de um comprimento PQ igual a AP. As retas OQ e BP cortam-se em R. Calcule a
razão entre os segmentos RQ e RO.
7) Seja ABCD o trapézio de bases AB  7 cm e CD  3 cm (e lados não paralelos AD
e BC). Os ângulos internos de vértices A e B medem respectivamente 43o e 47o.
Calcule a distância entre os pontos médios das bases do trapézio.
8) São dados no plano uma reta r e um paralelogramo ABCD tais que r não intersecta
ABCD. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B, e C à reta r são respectivamente
iguais a 2, 3 e 6 centímetros, calcule a distância de D á r.
9) Construa com régua e compasso um trapézio conhecendo os comprimentos das
bases e os comprimentos dos lados não paralelos.
10) Um triângulo ABC retângulo em A é tal que BC  2 AB . Calcule os ângulos desse
triângulo.
11) Seja ABCD um quadrado, F o ponto médio do lado CD e E um ponto do lado CD
tal que AE  AB  EC . Mostre que EAˆ B  2  FAˆ D .
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 3.1 e 3.2, pág. 90 em diante.
12) Construa com régua e compasso um triângulo ABC conhecidos os comprimentos
c do lado AB, a do lado BC e a medida do ângulo BAC.
Discuta o número de soluções.
Faça a construção para c  6 cm, a  5 cm e BAˆ C  60 o .
13) São dados uma reta r, um ponto A e dois segmentos a e b. Determine um ponto B
do plano tal que d ( A, B )  a e d ( B, r )  b . Sob que condições há solução?
14) É dado no plano o segmento AB e um ponto P variável sobre AB. De um mesmo
lado da reta AB construa os triângulos retângulos isósceles APQ e BQR de
hipotenusas AP e BP, respectivamente. Encontre o LG do ponto M, médio do
segmento QR quando P varia sobre o segmento AB.
15) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do
circuncentro O. Explique por que a posição de A não está determinada.
16) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do incentro I.
Construa com régua e compasso o vértice A.
17) De um triângulo ABC conhecemos as posições dos vértices B e C e do ortocentro
H. Construa com régua e compasso o vértice A.
18) Construa por P uma reta que passe pelo ponto de interseção das retas r e s da
figura abaixo.
Problemas suplementares
19) A reta r passa pelo vértice D do paralelogramo ABCD e não corta o
paralelogramo. Sejam a, b e c as distâncias de A, B e C à reta r. Prove que b  a  c .
20) No trapézio ABCD, AB, DC, MM  e NN  são paralelas. Os pontos M e N
dividem o lado AD em três partes iguais, AB  a e DC  b . Calcule os
comprimentos dos segmentos MM  e NN  .
21) São dados: uma circunferência e um ponto P fixo. Uma reta r variável passa por P
e corta a circunferência em A e B. Determine o LG do ponto médio da corda AB.
Discuta os casos em que P é interior, exterior ou pertence à circunferência.
22) É dado um paralelogramo ABCD. Exteriormente ao paralelogramo construa os
quadrados de lados AB, BC, CD e DA. Mostre que os centros desses quadrados são
vértices de outro quadrado.